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\newenvironment{proof}[1][Proof]{\textbf{#1.} }{\ \rule{0.5em}{0.5em}}



\begin{document}
\section{Premi\`{e}re question}

\begin{enumerate}
\item  En \'{e}crivant $\exp\left(  -int\right)  =\cos nt-i\sin nt,$ il vient
imm\'{e}diatement :

\fbox{$c_{0}\left(  f\right)  =a_{0}\left(  f\right)  $} et

\fbox{$\forall n\in\mathbb{N}^{\ast},$ $c_{n}\left(  f\right)  =\dfrac
{a_{n}\left(  f\right)  -ib_{n}\left(  f\right)  }{2}$ et $c_{-n}\left(
f\right)  =\dfrac{a_{n}\left(  f\right)  +ib_{n}\left(  f\right)  }{2}$}

\item $\left|  a_{n}\left(  f\right)  \right|  \leqslant\left|  c_{n}\left(
f\right)  \right|  +\left|  c_{-n}\left(  f\right)  \right|  $ et $\left|
b_{n}\left(  f\right)  \right|  \leqslant\left|  c_{n}\left(  f\right)
\right|  +\left|  c_{-n}\left(  f\right)  \right|  $ entrainent la convergence
absolue de $\sum a_{n}\left(  f\right)  $ et $\sum b_{n}\left(  f\right)  $
quand on a la convergence absolue de $\sum c_{n}\left(  f\right)  $ et $\sum
c_{-n}\left(  f\right)  .$

$\left|  c_{n}\left(  f\right)  \right|  \leqslant\dfrac{\left|  a_{n}\left(
f\right)  \right|  +\left|  b_{n}\left(  f\right)  \right|  }{2}$ et $\left|
c_{-n}\left(  f\right)  \right|  \leqslant\dfrac{\left|  a_{n}\left(
f\right)  \right|  +\left|  b_{n}\left(  f\right)  \right|  }{2}$ entrainent
la convergence absolue de $\sum c_{n}\left(  f\right)  $ et $\sum
c_{-n}\left(  f\right)  $ quand on a celle de $\sum a_{n}\left(  f\right)  $
et $\sum b_{n}\left(  f\right)  $

On a fait ici une d\'{e}monstration \'{e}galement valable si $f$ est \`{a}
valeur complexe.

\item  On a $a_{0}\left(  f\right)  +\sum\limits_{n\in\mathbb{N}^{\ast}%
}\left(  a_{n}\left(  f\right)  \cos nx+b_{n}\left(  f\right)  \sin nx\right)  $

$=c_{0}\left(  f\right)  +\sum\limits_{n\in\mathbb{N}^{\ast}}\left(
a_{n}\left(  f\right)  \dfrac{\exp\left(  inx\right)  +\exp\left(
-inx\right)  }{2}+b_{n}\left(  f\right)  \dfrac{\exp\left(  inx\right)
-\exp\left(  -inx\right)  }{2i}\right)  $

$=c_{0}\left(  f\right)  +\sum\limits_{n\in\mathbb{N}^{\ast}}\left(
\dfrac{a_{n}\left(  f\right)  -ib_{n}\left(  f\right)  }{2}\exp\left(
inx\right)  +\dfrac{a_{n}\left(  f\right)  +ib_{n}\left(  f\right)  }{2}%
\exp\left(  -inx\right)  \right)  $

Ce qui est le r\'{e}sultat demand\'{e}.
\end{enumerate}

\section{Deuxi\`{e}me question}

\begin{enumerate}
\item  Cette \'{e}quation diff\'{e}rentielle est alors \`{a} coefficients
constant, l'\'{e}quation caract\'{e}ristique est : $r^{2}+a=0.$

Si $a\leqslant0,$ les solutions non nulles ne sont pas p\'{e}riodiques, en
polyn\^{o}mes et en exponentielles.

Si $a>0,$ les solutions non nulles sont p\'{e}riodiques de plus petite
p\'{e}riode $\dfrac{2\pi}{\sqrt{a}}.$ Pour que $2\pi$ soit une p\'{e}riode, il
faut et il suffit d'avoir un entier $p$ tel que $p\dfrac{2\pi}{\sqrt{a}}=2\pi$

\fbox{La condition n\'{e}cessaire et suffisante est $a=p^{2},$ $p\in
\mathbb{N}^{\ast}$}

\item $\mathcal{E}_{a,0}$ admet toujours des solutions r\'{e}elles non
nulles... comme toute \'{e}quation diff\'{e}rentielle lin\'{e}aire \`{a}
coefficients r\'{e}els constants.
\end{enumerate}

\section{Troisi\`{e}me question}

\begin{enumerate}
\item $c_{n}\left(  f^{\prime}\right)  =\dfrac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi
}f^{\prime}\left(  t\right)  \exp\left(  -int\right)  dt$

$=\dfrac{1}{2\pi}\left[  f\left(  t\right)  \exp\left(  -int\right)  \right]
_{0}^{2\pi}+\dfrac{in}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}f\left(  t\right)  \exp\left(
-int\right)  dt=inc_{n}\left(  f\right)  $

\fbox{$c_{n}\left(  f^{\prime}\right)  =inc_{n}\left(  f\right)  $}

\item  Pour $n\in\mathbb{Z},$ on a par r\'{e}currence facile sur $k$
\fbox{$c_{n}\left(  f^{\left(  k\right)  }\right)  =i^{k}n^{k}c_{n}\left(
f\right)  $}

L'amorce pour $k=0$ \'{e}tant \'{e}vidente.

\item  Il d\'{e}coule $\left|  c_{n}\left(  f\right)  \right|  \leqslant
\dfrac{\left|  c_{n}\left(  f^{\left(  k\right)  }\right)  \right|  }{\left|
n\right|  ^{k}}$ pour $n\in\mathbb{Z}^{\ast}.$

Comme, de plus, $\lim\limits_{\left|  n\right|  \rightarrow+\infty}%
c_{n}\left(  f^{\left(  k\right)  }\right)  =0$ en utilisant la relation du
d\'{e}but de la question et le fait que $f^{\left(  k+1\right)  }$ est
continue donc born\'{e}e.

On a donc bien $c_{n}\left(  f\right)  =o\left(  \dfrac{1}{\left|  n\right|
^{k}}\right)  $ en $\pm\infty$

et enfin \fbox{$c_{n}\left(  f\right)  =o\left(  \dfrac{1}{n^{k}}\right)  $ et
$c_{-n}\left(  f\right)  =o\left(  \dfrac{1}{n^{k}}\right)  $}

\item  La fonction $f^{\left(  k\right)  }$ est continue, de classe
$\mathcal{C}^{1}$ par morceaux, car de classe $\mathcal{C}^{\infty},$ on peut
donc lui appliquer le th\'{e}or\`{e}me de Dirichlet, cas continu. On obtient
donc la convergence absolue de la s\'{e}rie de Fourier et sa somme qui est la
fonction de d\'{e}part.

\fbox{$\forall x\in\mathbb{R},$ $f^{\left(  k\right)  }\left(  x\right)
=c_{0}\left(  f^{\left(  k\right)  }\right)  +\sum\limits_{n\in\mathbb{N}%
^{\ast}}\left(  c_{n}\left(  f^{\left(  k\right)  }\right)  \exp\left(
inx\right)  +c_{-n}\left(  f^{\left(  k\right)  }\right)  \exp\left(
-inx\right)  \right)  $}

Remarquons que pour $k$ non nul, $c_{0}\left(  f^{\left(  k\right)  }\right)
=0$ en utilisant les relations du d\'{e}but de la question.

Si on d\'{e}rive terme \`{a} terme la s\'{e}rie de Fourier, on obtient :

$\sum\limits_{n\in\mathbb{N}^{\ast}}\left(  inc_{n}\left(  f^{\left(
k\right)  }\right)  \exp\left(  inx\right)  -inc_{-n}\left(  f^{\left(
k\right)  }\right)  \exp\left(  -inx\right)  \right)  $

$=\sum\limits_{n\in\mathbb{N}^{\ast}}\left(  c_{n}\left(  f^{\left(
k+1\right)  }\right)  \exp\left(  inx\right)  +c_{-n}\left(  f^{\left(
k+1\right)  }\right)  \exp\left(  -inx\right)  \right)  $

$=c_{0}\left(  f^{\left(  k+1\right)  }\right)  +\left(  c_{n}\left(
f^{\left(  k+1\right)  }\right)  \exp\left(  inx\right)  +c_{-n}\left(
f^{\left(  k+1\right)  }\right)  \exp\left(  -inx\right)  \right)  $

$=f^{\left(  k+1\right)  }\left(  x\right)  $

On peut d\'{e}river terme \`{a} terme la somme de la s\'{e}rie de Fourier.
\end{enumerate}

\section{Quatri\`{e}me question}

\begin{enumerate}
\item  une solution de $\mathcal{E}_{a,b}$ sur un intervalle quelconque est de
classe $\mathcal{C}^{2}.$

Or $y^{\prime\prime}=-\left(  a+b\exp\left(  2ix\right)  \right)  y$ prouve
que $y^{\prime\prime}$ est de classe $\mathcal{C}^{2},$ donc $y$ de classe
$\mathcal{C}^{4},$ par r\'{e}currence imm\'{e}diate de classe $\mathcal{C}%
^{2p}$ et donc de classe $\mathcal{C}^{\infty}.$

\item  La fonction et toutes ses d\'{e}riv\'{e}es sont continues, de classe
$\mathcal{C}^{1}$ par morceaux, car de classe $\mathcal{C}^{\infty},$ on peut
donc leur appliquer le th\'{e}or\`{e}me de Dirichlet, cas continu. Elles sont
donc \'{e}gales aux sommes de leur s\'{e}ries de Fourier respectives.

\item $c_{n}\left(  g\right)  =\dfrac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}\left(
a+b\exp\left(  2ix\right)  \right)  f\left(  x\right)  \exp\left(
-inx\right)  dx$

$=a\dfrac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}f\left(  x\right)  \exp\left(  -inx\right)
dx+b\dfrac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}f\left(  x\right)  \exp\left(  -i\left(
n-2\right)  x\right)  dx$

\fbox{$c_{n}\left(  g\right)  =ac_{n}\left(  f\right)  +bc_{n-2}\left(
f\right)  $}

\item  On \'{e}crit $f\left(  x\right)  =c_{0}\left(  f\right)  +\sum
\limits_{n\in\mathbb{N}^{\ast}}\left(  c_{n}\left(  f\right)  \exp\left(
inx\right)  +c_{-n}\left(  f\right)  \exp\left(  -inx\right)  \right)  $

D'apr\`{e}s la troisi\`{e}me question, on peut d\'{e}river terme \`{a} terme,

ce qui donne :

$f^{\prime\prime}\left(  x\right)  =c_{0}\left(  f^{\prime\prime}\right)
+\sum\limits_{n\in\mathbb{N}^{\ast}}\left(  c_{n}\left(  f^{\prime\prime
}\right)  \exp\left(  inx\right)  +c_{-n}\left(  f^{\prime\prime}\right)
\exp\left(  -inx\right)  \right)  $

$=-n^{2}\sum\limits_{n\in\mathbb{N}^{\ast}}\left(  c_{n}\left(  f\right)
\exp\left(  inx\right)  +c_{-n}\left(  f\right)  \exp\left(  -inx\right)
\right)  $

Comme on a convergence absolue de toutes ces s\'{e}ries, on pourra regrouper
les termes comme on veut. On obtient :

$0=-n^{2}\sum\limits_{n\in\mathbb{N}^{\ast}}\left(  c_{n}\left(  f\right)
\exp\left(  inx\right)  +c_{-n}\left(  f\right)  \exp\left(  -inx\right)
\right)  $

$+\left(  a+b\exp\left(  2ix\right)  \right)  \left(  c_{0}\left(  f\right)
+\sum\limits_{n\in\mathbb{N}^{\ast}}\left(  c_{n}\left(  f\right)  \exp\left(
inx\right)  +c_{-n}\left(  f\right)  \exp\left(  -inx\right)  \right)
\right)  $

Ce qui se r\'{e}\'{e}crit :

$\left(  n^{2}-a\right)  \sum\limits_{n\in\mathbb{N}^{\ast}}\left(
c_{n}\left(  f\right)  \exp\left(  inx\right)  +c_{-n}\left(  f\right)
\exp\left(  -inx\right)  \right)  -ac_{0}\left(  f\right)  $

$=b\left(  c_{0}\left(  f\right)  \exp\left(  2ix\right)  +\sum\limits_{n\in
\mathbb{N}^{\ast}}\left(  c_{n}\left(  f\right)  \exp\left(  i\left(
n+2\right)  x\right)  +c_{-n}\left(  f\right)  \exp\left(  i\left(
-n+2\right)  x\right)  \right)  \right)  $

On peut encore le r\'{e}\'{e}crire :

$\left(  n^{2}-a\right)  \sum\limits_{n\in\mathbb{Z}}c_{n}\left(  f\right)
\exp\left(  inx\right)  =b\sum\limits_{n\in\mathbb{Z}}c_{n}\left(  f\right)
\exp\left(  i\left(  n+2\right)  x\right)  $

On r\'{e}indexe la deuxi\`{e}me partie :

$\left(  n^{2}-a\right)  \sum\limits_{n\in\mathbb{Z}}c_{n}\left(  f\right)
\exp\left(  inx\right)  =b\sum\limits_{n\in\mathbb{Z}}c_{n-2}\left(  f\right)
\exp\left(  inx\right)  $

Par unicit\'{e} (admise ?) du d\'{e}veloppement en s\'{e}rie de Fourier, on
obtient :

\fbox{$\forall n\in\mathbb{Z},$ $\left(  n^{2}-a\right)  c_{n}\left(
f\right)  =bc_{n-2}\left(  f\right)  $}
\end{enumerate}

\section{Cinqui\`{e}me question}

\begin{enumerate}
\item  On a donc ici $\left(  2p+1\right)  ^{2}c_{2p+1}\left(  f\right)
=bc_{2p-1}\left(  f\right)  $ pour $p\in\mathbb{Z},$

$2p+1$ et $b$ ne sont jamais nuls, ce qui prouve que si $c_{1}\left(
f\right)  =0,$ alors

\fbox{$\forall p\in\mathbb{Z},$ $c_{2p+1}\left(  f\right)  =0$} par double
r\'{e}currence montante et descendante

Si $c_{1}\left(  f\right)  $ n'est pas nul, la suite $\left(  c_{-2p+1}\left(
f\right)  \right)  $ est clairement non nulle, croissante en valeur absolue
d\`{e}s que $\dfrac{\left(  2p+1\right)  ^{2}}{\left|  b\right|  }\geqslant1,$
la s\'{e}rie $\sum\limits_{p\in\mathbb{N}}c_{-2p+1}\left(  f\right)  $ diverge
grossi\`{e}rement et donc ne converge pas absolument.

\item  On applique la relation de r\'{e}cuurence de la question pr\'{e}%
c\'{e}dente avec $n=0,$ ce qui donne :

$0=bc_{-2}\left(  f\right)  ,$ ce qui prouve $c_{-2}\left(  f\right)  =0.$

Par r\'{e}currence \'{e}l\'{e}mentaire, en prenant $n=-2p$, \fbox{$\forall
p\in\mathbb{N}^{\ast},$ $c_{-2p}\left(  f\right)  =0$}

\item  Il suffit de prendre $n=2p$ dans la relation de r\'{e}currence...
\end{enumerate}

\section{Sixi\`{e}me question}

\begin{enumerate}
\item  Le th\'{e}or\`{e}me de d'Alembert s'applique parfaitement ici, les
$\gamma_{n}$ sont non nuls :

$\lim\limits_{n\rightarrow+\infty}\left|  \dfrac{\gamma_{n+1}}{\gamma_{n}%
}\right|  =\lim\limits_{n\rightarrow+\infty}\dfrac{\left|  b\right|
}{4\left(  n+1\right)  ^{2}}=0$, d'o\`{u} \fbox{$R=+\infty$}

\item  La s\'{e}rie $\sum\limits_{n\in\mathbb{N}}\gamma_{n}$ est donc
absolument convergente car elle correspond \`{a} $z=1.$ Et comme $\left|
\exp\left(  2inx\right)  \right|  =1,$ la s\'{e}rie $\sum\limits_{n\in
\mathbb{N}}\gamma_{n}\exp\left(  2inx\right)  $ est aussi absolument convergente.

\item  On \'{e}crit $\varphi\left(  x\right)  =\sum\limits_{n\in\mathbb{N}%
}\gamma_{n}\exp\left(  2inx\right)  ,$ et comme on peut d\'{e}river terme
\`{a} terme, $\varphi^{\prime\prime}\left(  x\right)  =\sum\limits_{n\in
\mathbb{N}}-4n^{2}\gamma_{n}\exp\left(  2inx\right)  .$

On injecte dans $\mathcal{E}_{0,b}$ et on obtient :

$\sum\limits_{n\in\mathbb{N}}-4n^{2}\gamma_{n}\exp\left(  2inx\right)
+b\exp\left(  2ix\right)  \sum\limits_{n\in\mathbb{N}}\gamma_{n}\exp\left(
2inx\right)  $

$=\sum\limits_{n\in\mathbb{N}}-4n^{2}\gamma_{n}\exp\left(  2inx\right)
+b\sum\limits_{n\in\mathbb{N}}\gamma_{n}\exp\left(  2i\left(  n+1\right)
x\right)  $

$=\sum\limits_{n\in\mathbb{N}}-4n^{2}\gamma_{n}\exp\left(  2inx\right)
+b\sum\limits_{n\in\mathbb{N}^{\ast}}\gamma_{n-1}\exp\left(  2inx\right)  $

$=\sum\limits_{n\in\mathbb{N}^{\ast}}-4n^{2}\gamma_{n}\exp\left(  2inx\right)
+b\sum\limits_{n\in\mathbb{N}^{\ast}}\gamma_{n-1}\exp\left(  2inx\right)  $

$=\sum\limits_{n\in\mathbb{N}^{\ast}}\left(  -4n^{2}\gamma_{n}+b\gamma
_{n-1}\right)  \exp\left(  2inx\right)  =0$

$\varphi$ est donc bien solution de $\mathcal{E}_{0,b},$ non nulle, $2\pi$
p\'{e}riodique.
\end{enumerate}

\section{Septi\`{e}me question}

On va \'{e}crire trois proc\'{e}dures Maple. On est surpris du fait que ce
n'est pas le reste de la s\'{e}rie qu'on majore mais le terme g\'{e}%
n\'{e}ral... Ceci n'est pas tr\`{e}s orthodoxe.

\begin{enumerate}
\item  Calcul du premier rang tel que $\left|  \gamma_{n}\right|
\leqslant10^{-m}$

Il s'agit d'une simple boucle ''tant que''.

\texttt{rang:=proc(b,m)}

\texttt{local n,gamma;}

\texttt{gamma:=1;}

\texttt{for n from 0 while gamma%
%TCIMACRO{\TEXTsymbol{>}}%
%BeginExpansion
$>$%
%EndExpansion
10**(-m)}

\quad\quad\texttt{do}

\quad\quad\texttt{gamma:=b*gamma/(4*(n+1)**2)}

\quad\quad\texttt{od;}

\texttt{n}

\texttt{end;}

\item  Calcul de la somme partielle. On la calculera comme une expression de
la variable \textbf{libre} \texttt{t}. On pourra toujours au besoin
retransformer cette expression en fonction, par \texttt{unapply} par exemple.
On va utiliser la proc\'{e}dure pr\'{e}c\'{e}dente bien que ce ne soit pas une
bonne solution du point de vue calcul, puisque les $\gamma_{n}$ sont alors
calcul\'{e}s deux fois...

Il s'agit ici d'une boucle \texttt{for} puisqu'on connait le nombre d'it\'{e}rations.

\texttt{somme:=proc(b,m);}

\texttt{local n,gamma,k,S;}

\texttt{global t;}

\texttt{S:=0;gamma:=1;n:=rang(b,m)}

\texttt{for k from 0 to n;}

\quad\quad\texttt{do}

\quad\quad\texttt{S:=S+gamma*exp(2*I*k*t);}

\quad\quad\texttt{gamma:=b*gamma/(4*(k+1)**2)}

\quad\quad\texttt{od;}

\texttt{S}

\texttt{end;}

\item  Pour la valeur approch\'{e}e, on va utiliser l'expression pr\'{e}%
c\'{e}dente. Il n'est peut-\^{e}tre pas indispensable de l'\'{e}crire comme
proc\'{e}dure... Il s'agit d'un simple appel \`{a} \texttt{evalf}.

\texttt{t:=x;evalf(somme(b,m));t:='t';}

On lib\`{e}re \texttt{t} ensuite. On aurait aussi pu utiliser \texttt{subs}...
\end{enumerate}
\end{document}
