%M00AM3C.tex 20 mai 2000 16h40 version 30  mai 00 17h20
\input liv.mac
\let\cadrejoli=\cadrefin
%\centerline{\vbox{\hrule  depth 0pt width 80mm}}% trait partiel centr\'e
\def\titreimpair{\line{ {\fiverm d: M00AM3C.tex \hskip 3mm}
{\bf E3A 2000 Math 3 Polyn\^omes de STURM
\hskip 3mm\Carre \hfil Mr VIDIANI Sp\'e MP1 CARNOT
\hskip 2mm\liond\ \vrule\  \folio}}  }

\def\titrepair{\line{\bf\folio  \hfill %{\fiverm  \ \ \  }
   %Underfull hbox si  ce { mme vide mais avec fonte} pas mis
    % en fait line demande une ligne compl\`ete : il faut hfill
{\bf E3A 2000 M3  :
\hskip 3mm\Carre Mr VIDIANI \hskip 2mm\liong}}  }
%\vskip -6mm\noindent{\fiverm (version \date\ : \heure )}   %\^U\^U\^U\^U\^U

% QQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQ Code Bourse UPS  Quercia QQQQQQQQQQQQQQQQQQQQ
%*****Haut et bas de page
%\def\makeheadline{}
\catcode`\@=11
\font\@upstt=cmtt10
\footline={\@upstt\hfil\jobname.tex\ - page \the\count0\ifodd\count0\hfill\fi}
\catcode64=\active
\ifx\numerodepage\undefined\else\count0=\numerodepage\fi
% QQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQ FIN code bourse UPS, Quercia QQQQQQQQQQQQ
\vskip-4mm


\leavevmode
\cadrefin{\vbox to 10mm {\hsize 30mm\leftskip 0mm\noindent\fiverm nom :
\hfill\vfill\noindent sp\'e MP1 carnot DIJON}}

Erreur d'\'enonc\'e : \danger {\it(Dans II il manque le (3.b) !!)}

\leavevmode\idee\ {\gros MP1} {\it (Beaucoup de questions,  de ce tr\`es ``joli"
 probl\`eme avaient \'et\'e trait\'ees, (signal\'ees par \idee MP1  soit dans le cours,
soit en TP, MP1 : Il fallait \'ecouter et faire attention, vous n'avez qu'\`a vous
 en prendre \`a vous m\^eme ; Je rajoute des titres aux parties, pour bien marquer
 la cl\'e des m\'ethodes privil\'egi\'ees qu'il fallait utiliser).}  Voici donc \`a
la demande de {\gros R} qui a ``bien aim\'e" ce tr\`es beau probl\`eme, une solution
{``Toute MP 1"} !

{\it Le seul ennui est que ce probl\`eme, bien dans le programme (1) ne
comportait absolument aucune indication (voir par exemple III-1, que l'on
traite en TP ou cours mais en aidant les \'el\`eves), ce qui en fait un bon
probl\`eme pour les 10 premiers de MP* (je signale ces questions par \vache\ )
De plus les liens entre les parties n'\'etaient pas transparents, ni leur
but affich\'e.

Comme le constatent les deux post-correcteurs (Philippe Fontaine et Benoit
Richard) du contr\^ole \`a post\'eriori de
l'UPS : ``cette \'epreuve nous semble difficile car certaines questions
sont ABRUPTES et d'autres bizarres". (Les questions IV.1.d dont on ne voit pas
l'int\'er\^et, IV 1.b car on a la valeur exacte du d\'eterminant et V.5 pour la
m\^eme raison)

{\it(Je laisse
le soin \`a G Debeaumarch\'e, de protester, apr\`es avoir constat\'e ce fait
en cherchant ces questions mais sans avoir pr\'ealablement regard\'e mon corrig\'e)}
mais pas pour les \'el\`eves moyens de MP ; or E3A
qui pr\'etend regrouper Estp, Icare, \'Ecrin, Ensam, Archim\'ede, qui \'etaient
des concours assurant les arri\`eres des \'el\`eves moyens, montre les limites
du regroupement des concours : une fois regroup\'es, c'est la surench\`ere qui nuit
aux \'el\`eves moyens !  (2) Les liens entre les parties \'etaient peu apparents.


Ce probl\`eme montre s'il en \'etait encore besoin le double langage :
le secondaire fait croire \`a la facilit\'e, mais au moment des concours, ceux ci
sont de plus en plus difficiles : moins il y a de vaches dans un pr\'e, plus
il y a d'herbe pour celles qui y sont : ceux qui font croire aux autres qu'il
n'y a pas besoin d'efforts pour r\'eussir, accroissent leur chance d'\^etre mieux
 class\'es ! sachez que tout flatteur vit au d\'epend de celui qui l'\'ecoute,
cette le\c{c}on vaut bien un \'echec aux concours sans doute !}

\traitgras
\hfill\cadrejoli{\bf Partie  I : D\'eterminant tridiagonal,
polyn\^omes de STURM}\hfill{}

\num{(1}\vache\  {\bf A admet n valeurs propres distinctes : }

\cadrejoli{\bf Premi\`ere solution} La matrice A est sym\'etrique r\'eelle, donc
diagonalisable, {\bf donc pour chaque valeur propre $\bf t$, l'ordre de
multiplit\'e $\bf m(t)$ est \'egal \`a la dimension $d(t)$ du sous espace propre
associ\'e.} Or le rang de la matrice $A-tI$  est \'egal \`a $n-1$, comme on le voit
avec la sous matrice d'ordre $n-1$ situ\'ee en bas \`a gauche qui est triangulaire
sup\'erieure. Ainsi par la formule du rang la dimension  de $Ker(A-tI)$
est $d(t)=1$ : toutes les racines du polyn\^ome caract\'eristique de $A$ sont
simples.

\cadrejoli{\bf Seconde  solution, plus technique mais,
avec l'\'evolution des valeurs propres avec n }
La clef de cette question est l'id\'ee \idee MP1 , d'\'etablir une relation de
r\'ecurrence
lin\'eaire entre les $\Delta_n=\Pi_A(X)=det(X I-A)$ !

On commence ``Mollo" (faut pas pousser (R) dans les orties !
$\Delta_0=1$, $\Delta_1=|X|=X$, $\Delta_2=
\left|\matrix{ X & -1 \cr
              -1 & X\cr}\right|=X^2-1$~;
$\Delta_3=\left|\matrix{ X & -1 & 0\cr
                        -1 & X  &-2\cr
                        0  & -2 & X\cr}\right|=_{\hbox{\fiverm Par Sarrus  }}
X^3-4X-X=X(X^2-5)$ ;


On \'etablit une r\'ecurrence, en d\'eveloppant $\Delta_n$ par rapport \`a sa premi\`ere
colonne :

$\Delta_n=\left|\matrix{
X & -1 &  0 &\cdots & 0   &  0    & 0 \cr
-1&  X & -2 &\cdots & 0   &  0    & 0 \cr
0 &  -2&  X &\cdots & 0   &  0    & 0 \cr
\vdots&  \vdots & \vdots  &\ddots & \vdots  &  \vdots  & \vdots \cr
0 & 0 &  0 &\cdots  & X   &  2-n  & 0 \cr
0 & 0 &  0 &\cdots  & 2-n &  X    & 1-n \cr
0 & 0 &  0 &\cdots  & 0   &  1-n  & X   \cr}\right|
=X\Delta_{n-1}-(n-1)^2\Delta_{n-2}$ ;
On reconna\^{\i}t une relation de r\'ecurrence lin\'eaire, \`a coefficients non
constants mais polynomiaux en n :
\cadrefin{$\bf \Delta_n=X\Delta_{n-1}-(n-1)^2\Delta_{n-2}$}

Trois m\'ethodes sont \`a priori possibles : arriver \`a expliciter $\Delta_n$,
qui v\'erifie une \'equation r\'ecurrente lin\'eaire du second ordre, mais h\'elas pas \`a
coefficients constants ; Ou bien trouver l'endomorphisme $u$ associ\'e \`a la
matrice A, en l'interpr\'etant comme un endomorphisme qui op\`ere sur
$\R_{n-1}[X]$ ;
Un peu d'attention permet de voir que la j-i\`eme colonne s'interpr\`ete par
$u(X^{j-1})=D(X^{j-1})+projection_{\R_{n-1}[X]}\circ D(X^j)$, o\`u $D$ est
l'op\'erateur de d\'erivation. $P$ \'etant un polyn\^ome quelconque de $\R_{n-1}[X]$
on a \cadrefin{$\bf u(P)=D(P)+projection_{\R_{n-1}[X]}( X*D(XP))$},
et rechercher les valeurs propres revient \`a r\'esoudre l'\'equation
fonctionnelle-diff\'erentielle : $ P'+projection_{\R_{n-1}[X]}(X^2P'+XP)=
\lambda P$ ; On peut toujours pour la r\'esoudre poser $P=y+sX^{n-1}$ o\`u
$y\in \R_{n-2}[X]$, et l'\'equation s'\'ecrit :
$y'+s(n-1)X^{n-2}+X^2y'+XY=\lambda(y+sX^{n-1})$ : \'equation du premier ordre
lin\'eaire en y, qu'on peut int\'egrer par la m\'ethode usuelle de variation de la
constante et chercher $\lambda$ pour que la solution soit polynomiale...
ou bien enfin raisonner par R\'ECURRENCE, en constatant
que pour n=1, n=2, n=3, la propri\'et\'e annonc\'ee est bien v\'erifi\'ee.

C'est cette derni\`ere m\'ethode  que nous allons utiliser :

\Carre\ On constate d'abord, que la propri\'et\'e est bien vraie pour n=1..3.

\Carre\ Si $t_0$ est une valeur propre r\'eelle (supposer exister, par hypoth\`ese
de r\'ecurrence : i=1..n-1) racine de $\Delta_{i}$, alors la relation de
r\'ecurrence donne  $\Delta_{i+1}(t_0)=0-i^2\Delta_{i-1}(t_0)$ ;

   Si  $\Delta_{i+1}(t_0)$ \'etait nul alors $\Delta_{i-1}(t_0)$ aussi,
de proche en proche on aurait : $\Delta_{i}(t_0)=\Delta_{i-1}(t_0)=....=
\Delta_{1}(t_0)=\Delta_{0}(t_0)=0$ ;
Or ceci est impossible car $\Delta_0(X)=1$ ; on a donc
\cadrefin{$\bf \Delta_{i+1}(t_0).\Delta_{i-1}(t_0)<0$} pour i=1..n-1.


\Carre\ Ceci \'etabli, montrons le transfert de la r\'ecurrence :
soit $i\leq n-1$ et supposons que $\Delta_{i-1}$, poss\`ede $i-1$ racines
s\'eparant celles de $\Delta_i$ ({\it(ce qui est bien vrai pour i=2 et 3)}
(hypoth\`ese de r\'ecurrence) et soient $\lambda_0<\lambda_1<...<\lambda_{i-1}$
les racines de $ \Delta_i$ ;

Par hypoth\`ese de r\'ecurrence, il existe $\mu\in]\lambda_0,\lambda_1[$,
tel que $\Delta_{i-1}(\mu)=0$, $\mu$ est un z\'ero avec changement de signe
de $\Delta_{i-1}$ car par hypoth\`ese de r\'ecurrence, $\Delta_{i-1}$
qui est de degr\'e $i-1$, poss\`ede $i-1$ racines r\'eelles distinctes.

D'apr\`es le premier \Carre\ on a

$\Delta_{i}(\lambda_0)=0$,
donc $\Delta_{i+1}(\lambda_0)\Delta_{i-1}(\lambda_0)<0$

$\Delta_{i}(\lambda_1)=0$,
donc $\Delta_{i+1}(\lambda_1)\Delta_{i-1}(\lambda_1)<0$.

Comme $\mu$ est le seul z\'ero de $\Delta_{i-1}$ sur $]\lambda_0,\lambda_1[$,
on a $\Delta_{i-1}(\lambda_0).\Delta_{i-1}(\lambda_1)<0$, donc
$\Delta_{i+1}(\lambda_0).\Delta_{i+1}(\lambda_1)<0$, donc
$\Delta_{i+1}$ poss\`ede au moins un z\'ero dans $]\lambda_0,\lambda_1[$.
Le raisonnement \'etant le m\^eme dans les intervalles suivants, on peut
assurer que $\Delta_{i+1}$ a $i-1$ racines r\'eelles distinctes,
une dans chaque intervalle $]\lambda_j,\lambda_{j+1}[$, $j=0...i-2$ ;
Il en manque deux, que nous allons prouver par r\'ecurrence dans
$]-\infty,\lambda_0[$ et $]\lambda_{i-1},+\infty[$.
Effectivement un raisonnement par r\'ecurrence, amorc\'e pour les premi\`eres
valeurs, permet de constater que $P_{i-1}$ est de signe constant
dans $]-\infty,\lambda_0]$ et $[\lambda_{i-1},+\infty[$ et que ce signe
est respectivement $(-1)^{i-1}$ et $(-1)^i$ ; Le suivi du signe et de la
relation  $\Delta_{i+1}(\lambda_0)\Delta_{i-1}(\lambda_0)<0$
(et analogue en $\lambda_{i-1})$), permet  en suivant le signe de
$\Delta_{i+1}(\pm\infty)$, et en utilsiant le th\'eor\`eme des valeurs
interm\'ediaires de conclure positivement. (faire un tableau de signe ou de
variations).


{\it BIB : Leb\oe uf 132 ; Leichtnam alg\`ebre edition 2000, p 55-57 qui
g\'en\'eralise \`a une matrice tri-diagonale sym\'etrique (et non tri-continentale...)
et fait le lien avec les polyn\^omes de STURM, pr\'eliminaires \`a sa m\'ethode
de s\'eparation des racines r\'eelles ; Voir aussi TP et cours MP1 sur les
d\'eterminants \idee MP1. ; Durand 2 pages 152, 281, 304 ;
D'apr\`es Leichtnam les polyn\^omes de Sturm permettent de localiser les
valeurs propres de matrices, d'o\`u leur int\'er\^et en analyse num\'erique et
th\'eorie de l'approximation (voir Ciarlet analyse num\'erique et Dieudonn\'e
calcul infinit\'esimal) ; De plus chaque fois qu'un syst\`eme de polyn\^omes
orthogonaux (Legendre, GegenBauer, Tchebycheff, Jacobi, Laguerre,...
voir le livre de topologie de Choquet), v\'erifie une relation de r\'ecurrence
\`a trois termes St\"urm appara\^{\i}t ; }

\trait
\num{(2} {\bf Lien entre $\bf \Pi_u$ et $P_n$ : }

La formule annonc\'ee est bien v\'erifi\'ee pour n=1 et n=2, supposons la vraie
jusqu'\`a l'ordre n-1 : alors
$\Delta_n=X\Delta_{n-1}-(n-1)^2\Delta_{n-2}
=X\big[(n-2)!\big(XP_{n-1}(X)-(n-2)P_{n-2}(X)\big)\big]-(n-1)^2
(n-3)!\big(XP_{n-2}(X)-(n-3)P_{n-3}(X)\big)
=(n-1)!\Big(X(XP_{n-1}\frac 1{n-1}-\frac {n-2}{n-1}P_{n-2})
-(n-1)(XP_{n-2}\frac 1{n-2}-\frac {n-3}{n-2}P_{n-3}\Big)=
(n-1)!(XP_n-(n-1)P_{n-1})$. Il y a bien transfert de r\'ecurrence.
\trait
\num{(3} {\bf Calculer det(A) :  }
Posons pour simplifier $D_n=det(A)=(-1)^n\Pi_u(0)$ ;
Or $\Pi_u(0)=-(n-1)(n-1)!P_{n-1}(0)$ ;
Par cons\'equent $D_n=(-1)^{n+1}(n-1)(n-1)!P_{n-1}(0)$
et $P_{n-1}(0)=-\frac {n-3}{n-2}P_{n-3}(0)$
donc $D_n=-(n-1)^2D_{n-2}$ : pour n impair on trouve $D_n=0$,
et pour n=2p $\cases{D_{2p}=-(2p-1)^2 D_{2p-2}\cr
                .............................\cr
                      D_2=- (1)^2D_0=-1\cr}$ ce qui donne :

\cadrefin{$\bf D_{2p}=(-1)^p (1.3...(2p-1))^2=(-1)^p \big(\frac {1.2.3...2p}
{2.4...2p}\big)^2=(-1)^p\frac 1{2^{2p}} \frac {(2p!)^2}{(p!)^2}$}
\trait
\num{(4.a} {\bf $\bf Co(A)$ commutant de A, est un espace vectoriel : }
Non vide (I et 0 y appartiennent), il est stable car si S et T
sont deux  matrices de $Co(A)$ alors pour tout r\'eel x
$(S+xT)A=SA+xTA=AS+xAT=A(S+xT)$, donc $S+xT\in Co(A)$.
\trait
\num{(4.b} {\bf Dimension de Co(A) : }  {\it(BIB : TP VP ou br 73)}

Comme A est diagonalisable sur $\R$, puisqu'elle a n valeurs propres
r\'eelles distinctes $t_1,...,t_n$, il faut et il suffit (imm\'ediat) de trouver
les matrices M', qui commutent avec $D=diag(t_1,...,t_n)$.

Or (cours) quand deux endomorphismes commutent tout espace propre de l'un
est stable par l'autre. $e_1,...e_n$ \'etant la base propre associ\'ee,
v l'endomorphisme associ\'e \`a M, on a en effet $uv(e_j)=v(u(e_j))=v(t_je_j)=
t_jv(e_j)$. $v(e_j)$ est donc $t_j-propre$ pour u. ; comme chaque espace
propre de u est de dimension 1, on a $v(t_j)=k_je_j$, la base $e_j$ est
propre aussi pour v  : Donc u et v sont co diagolisables :
Comme on peut faire intervenir le lagrangien tel que $k_j=L(t_j)$
on a v=L(u) polyn\^ome en u ; et de plus toute matrice diagonalis\'ee sur la m\^eme
base que u fait partie du commutant de u ; donc \cadrefin{\bf Dim(Co(A))=n }
\traitgras
\hfill\cadrejoli{\bf Partie  II : S\'erie de C\'esaro }\hfill{}
\num{(1} {\bf D\'ecomposition en carr\'es de la forme quadratique q : }

Il suffit de d\'evelopper le second membre donn\'e, et de regrouper tous les
termes semblables, on retrouve exactement tous les coefficients de la forme
associ\'es \`a $B$. (Rappellons que le coefficient $b_{i,i}$
est celui de $x_i^2$ tandis que $b_{i,j}\ i\not=j$ est le demi coefficient
de $x_ix_j$)
\trait
\num{(2} {\bf Rang et signature : } Les formes lin\'eaires intervenant par
leur carr\'e, dans (1) sont \'echelonn\'ees dont ind\'ependantes, et tous
les coefficients devant ces formes carr\'ees sont $>0$, par cons\'equent
\cadrefin{\bf rang(q)=n ; signature(q)=(n,0)}
\trait
\num{(3.a} {\bf Majoration \`a \'etablir : } Le fait que $ q$ soit d\'efinie positive
et le ``2" font que ``\c{c}a sent l'in\'egalit\'e de CAUCHY-SCHWARZ" !

{\it( BIB : Tissier Agreg Br\'eal p 200 ; Leb\oe uf p 94)}

\leavevmode\vache\
On remarque que (cela est une s\'erie des diff\'erences)
$u_n=nU_n-(n-1)U_{n-1}$\par
Donc en multipliant les deux membres par $U_n$ on a :
$nU_n^2-(n-1)U_{n-1}U_n=u_nU_n$\par
On multiplie par 2, pour avoir un double produit :
$2nU_n^2=2(n-1)U_{n-1}U_n+2u_nU_n\leq (n-1)[U_n^2+U_{n-1}^2]+2u_nU_n$
(car $2xy\leq x^2+y^2 \Longleftrightarrow 0\leq (x-y)^2$).

Ainsi $(n+1)U_n^2-(n-1)U_{n-1}^2\leq 2u_nU_n$\par

On pose pour simplifier $A_N=\displaystyle\sum_{k=1}^N u_k^2$ et
$B_N=\displaystyle\sum_{k=1}^N U_k^2$ ;
la relation pr\'ecedente donne :

$B_N+\displaystyle\sum_{k=1}^N(kU_k^2-(k-1)U_{k-1}^2)\leq
2\sum_{k=1}^N u_kU_k$ (*) C.q.f.d.
\trait
\num{(3.c} \danger\ {\it(Tiens il manque le (3.b) ;}

Reprenant la question pr\'ec\'edente exactement \`a (*) on a :

  $\leq_{\hbox{\fiverm (Par l'in\'egalit\'e de Cauchy-Schwarz discr\`ete)}}
2\sqrt{A_N}\sqrt{B_N}$\par

Soit $B_N+nU_N^2\leq 2\sqrt{A_N}\sqrt{B_N}$ :

\`A fortiori   $B_N+\leq 2\sqrt{A_N}\sqrt{B_N}$,
et en \'elevant au carr\'e et r\'eduisant par $B_N>0$ on a
\cadrefin{$\bf B_N\leq 4A_N\leq 4A$}, et la s\'erie $\sum U_n^2$
(\`a termes positifs !) ayant ses sommes partielles major\'ees est convergente.
\traitgras

\hfill\cadrejoli{\bf Partie  III : In\'egalit\'e style Hadamard }\hfill{}
\num{(1} {\bf D\'ecomposition de  $\bf S$ en produit de triangulaires : }

\leavevmode
\vache\ Cette question est classique, mais un embryon de suggestion
pour guider le candidat n'aurait pas \'et\'e superflu~!

{\it(BIB : Leichtnam 204 ; spm 2 p 69, 81 ; br 79 p 90 ; Andler p 132 ;}
$S$ peut \^etre consid\'er\'ee comme la matrice d'un produit scalaire
euclidien dans la base canonique.
Or par le proc\'ed\'e de GRAM-SCHMIDT, il existe une base orthognorm\'ee unique
pour ce produit scalaire constuire de mani\`ere \'echelonn\'ee  telle que $(f_i|e_i)>0$.
Dans cette nouvelle base le produit scalaire aura pour matrice $I$.

Soit $T$ la matrice de passage (triangulaire \`a \'el\'ement diagonaux $>0$)
associ\'ee \`a ce changement de base : $I=^tTST$~; Ainsi
$S=(^T)^{-1} T^{-1}=^H H$ en posant $H=T^{-1}$.  ($H$ est \'egalement
triangulaire \`a \'el\'ements diagonaux strictement positifs)
\trait
\num{(2} {Majorer det(S) : (in\'egalit\'e ``voisine" de celle d'HADAMARD) }
Posant $H=(h_{i,j})$ on a par le produit ligne-colonne
$S=^tH H$ :
$s_{i,i}=\displaystyle\sum_{j=1}^i h_{i,j}^2$, d'o\`u
$0<det(S)=(det(H))^2=\prod h_{i,i}^2\leq \prod (s_{i,i})$.

Remarquons qu'on n'avait pas besoin de la question pr\'ec\'edente pour conclure :
En effet $S$ \'etant sym\'etrique r\'eelle est ortho-diagonalisable. Ses  valeurs
propres sont en outre $>0$. Il existe donc une matrice sym\'etrique positive
telle que $A^2=S$ mais $s_{i,j}=(S(e_i)|e_j)=(A^2(e_i)|e_j)=
(A(e_i)|A(e_j))$ ; D'apr\`es l'in\'egalit\'e usuelle d'Hadamard :
$det(S)=(det(A))^2\leq \displaystyle\prod_{i=1}^n (A(e_i)|A(e_i))
=\prod_{i=1}^n(S(e_1)|e_i)=\prod_{i=1}^n s_{i,i}$.
\traitgras
\hfill\cadrejoli{\bf Partie  IV : S\'erie de Matrices sym\'etriques }\hfill{}
\num{(1.a} {\bf Convergence vers une matrice positive : }
D'apr\`es le pr\'eambule $U$ positive est automatiquement sym\'etrique
donc orthodiagonalisable sur $\R$, \`a valeurs propres r\'eelles $>0$.

Comme la convergence de la s\'erie donn\'ee, ne d\'epend pas de la base
(comme on le v\'erifie en multipliant \`a droite par $P$ et \`a gauche par
$P^{-1}$), la s\'erie $\sum b_kU'^k=diag(\sum b_k\alpha_1^k,...,
\sum b_k\alpha_n^k)=diag(g(\alpha_1),...,g(\alpha_n)$,
qui ayant ses \'el\'ements diagonaux strictement positifs, est associ\'ee
\`a une forme quadratique $>0$.

On a imm\'ediatement
\cadrefin{$\bf g(U)=P\ diag(g(\alpha_1),...,g(\alpha_n)\ ^tP$}
\trait
\num{(1.b} {\bf Majorer $\bf deg(g(U))$ : }

Quel est l'int\'er\^et de la question, puisqu'on a la valeur exacte ?
On peut dire $det(g(u))\leq [g(max(\alpha_i))]^n$.
\trait
\num{(2.a} {\bf Existence de V : }
$U$ \'etant ortho-diagonalisable, il existe une matrice orthogonale
$P$ telle que $\Delta=^tP U P$ soit $U=P\Delta ^tP$ ; en faisant le produit
ligne par colonne la matrice $V=P$ r\'epond \`a la question.
\trait
\num{(2.b} {$\bf 0<u_{i,i}< R\ : $ }   En effet c'est un barycentre \`a
coefficients $\geq 0$ mais pas tous nuls (car la somme des carr\'es dans
une colonne est 1, puisque $V$ est orthogonale), des $\alpha_i$
qui sont dans $]0,R[$, par hypoth\`ese.
\trait
\num{(2.c} {\bf Minoration : }

Comme $\ln\circ g$ est convexe :
$\sum_i \ln(g(u_{i,i}))\leq \sum_i\sum_k (v_{i,k}^2\ln(g(\alpha_k))=
\sum_k \ln(g(\alpha_k)) =\ln\prod_k g(\alpha_k)=\ln (detg(U))$

Le log \'etant croissant on a bien l'in\'egalit\'e demand\'ee.
\trait
\num{(2.d}  {\bf Retrouver (III.d) : }\idee\
Il suffit de trouver une fonction $g$ avec $\ln\circ g$ concave, pour que
l'in\'egalit\'e soit dans le sens inverse. Les in\'egalit\'es seront en sens inverse ;
 de plus l'hypoth\`ese de $b_k>0$ est inutile, l'in\'egalit\'e pouvant \^etre large.
$g(x)=x$ avec $R=+\infty$, donne le r\'esultat.
\traitgras

\hfill\cadrejoli{\bf Partie  V : Exemples }\hfill{}
\num{(1} {\bf Spectre de U : }

On a $U=(a-b)I+bK$, o\`u la matrice K n'a que des $1$ et est de rang 1.
donc $(a-b)$ est valeur propre de $U$ ; comme la dimension
de l'espace propre associ\'e est (si b non nul cas trivia) $n-rang(U-(a-b)I)
=n-1$, la multiplicit\'e de $(a-b) $ est au moins $n-1$ : il ne reste qu'une
valeur propre $t'$ que l'on va obtenir par la trace :
$na=(n-1)(a-b)+t'$ donc $t'=a+(n-1)b$  ;

Le spectre de $U$  est donc \cadrefin{$\bf t=(a-b)$ \bf de multiplicit\'e
au moins n-1 et  $\bf t'=a+(n-1)b$}.
Elles sont distinctes puisque $0<b<a$.
\trait
\num{2} {\bf Hypoth\`eses \`a v\'erifier : }
$U$ est sym\'etrique r\'eelle \`a valeurs propres $>0$, compte tenu de
$0<b<a$ ; enfin $g(x))=2+\displaystyle\sum_{1}^{+\infty} \frac {x^n}{n!}$
a bien tous ses coefficients positifs strictement. Le rayon $R$ est infini,
comme pour $e^x$ ; Si l'on pose $F=\ln\circ\ g$ on a $F'(x)=\frac {e^x+1-1}
{1+e^x}$ qui est bien croissante, donc $F $  est bien convexe.
\trait
\num{(3} {\bf Polyn\^ome annulateur : }
Comme $U$ sym\'etrique est diagonalisable, son polyn\^ome minimal
est puisque $t\not=t'$ (sinon il serait de degr\'e 1, U serait scalaire cela se
 verrait !) \cadrefin{$(X-a+b)(X-a-(n-1)b)$}
\trait
\num{(4} {\bf Calculer $\bf U^k$ : }

On peut utiliser  le polyn\^ome annulateur pr\'ec\'edent
et la m\'ethode de division : mis il est plus simple comme $U$
est diagonalisable de remarquer que (voir cours)
 $U^k= t^k V+t'^k W$ o\`u $V$ et $W$ sont
des matrices constantes qu'on d\'etermine avec $k=0..1$ ;
$I=V+W$ et $U=Vt+Wt'$, et comme $t'-t=nb$ les formules de Cramer
ou la m\'ethode des transformations \'el\'ementaires donnent
$V=\frac 1{nb} t'I-U$ et $ W=\frac 1{nb} U-tI$ et ainsi
\cadrefin{$\bf U^k=\frac 1{nb}[ t^k(t'I-U)+t'^k(U-tI)$}

On peut regrouper si l'on veut !

On peut aussi proc\'eder en remarquant que :
Par une r\'ecurrence triviale $K^p=n^{p-1}K$ ; $p\geq 1$ ; Comme $K$ et $I$
commutent, la formule du bin\^ome est applicable et donne (le v\'erifier) le m\^eme
r\'esultat.


En voyant que cette formule contient le cas $k=0$,
on a aussi \cadrefin{$\bf exp(U)=e^t(t'I-U)+e^{t'}(U-tI)$}
\trait
\num{(5} {\bf Encadrer det(I+exp(U)) : }
Quel int\'er\^et puisqu'on a la valeur exacte
$(1+e^t)^{n-1}(1+e^{t'})$.
\trait
\num{6} {\bf Quadrique : } Elle a pour \'equation, sur une base orthonorm\'ee
propre :
$(a-b)(x^2+y^2)+(a+2b)z^2=1$. La signature du premier membre \'etant
$(3,0)$ c'est un ellipsoide de r\'evolution autour de $Oz$, qui n'est jamais une
sph\`ere, puisque $a-b\not=a+2b$.

L'axe est $Oz$ car $(a-b)$ est double, ou encore parce que l'\'equation s'\'ecrit
$(a-b)(x^2+y^2+z^2)+(3b)z^2=1$ qui a bien la forme $\Phi$(Sph\`ere,plan)=0.




\traitgras
\vfill
\leavevmode\hfill\transforme*{3 0 -5 3,70}{\bf E3A MP 3 2000}
\transforme{3 0 0 3}{\bf E3A MP 3 2000}

\fondpage={\ps{lion,\hsize,\vsize,-1 0 0 1,90}}
\vfill\eject
\bye



