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\begin{document}


%En-t{\^e}te et pied de page
\lhead{e3a 2000 PC 2}
\rhead{page \thepage}
\cfoot{}

%Num{\'e}rotation
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\arabic{enumi}\r{}.}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{(\alph{enumii})}}

%Macros
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\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\newcommand{\ouvert}[2]{\left ] #1, #2 \right [}
\newcommand{\abs}[1]{\left | #1 \right |}
\newcommand{\binomial}[2]{C_{#1}^{#2}}
\newcommand{\somme}[3]{\sum_{#1}^{#2}\limits{#3}}
\newcommand{\integ}[4]{\displaystyle{\int_{#1}^{#2}#3 \, d#4}}



\textbf{CONCOURS ENSAM - ESTP - ECRlN - ARCHIMEDE}

\bigskip
\large
\begin{center}
\textbf{Epreuve de Math{\'e}matiques 2 PC}

\medskip
\textbf{dur{\'e}e 3 heures}
\end{center}
\normalsize

\vspace{1 cm}
\hrule

\bigskip

\begin{center}\textbf{Exercice 1}\end{center}

\bigskip
Pour tous r{\'e}el $x > 0$ et entier $n {\geq} 3$, on pose : $f_{n}(x) = x - n \ln{(x)}$, o{\`u} le symbole $\ln$ d{\'e}signe le logarithme n{\'e}p{\'e}rien.
\begin{enumerate}
\item Montrer que l'{\'e}quation $f_{n}(x) = 0$ admet une solution unique dans l'intervalle ouvert $\ouvert{0}{2}$.
On appellera d{\'e}sormais $a_{n}$ cette solution.

\item Montrer que la suite $(a_{n})$ est strictement d{\'e}croissante [on pourra comparer $f_{n}(a_{n})$ et $f_{n}(a_{n-1})$].

\item Montrer que cette suite $(a_{n})$ tend vers $1$.

\item Soit $\Phi$ la fonction telle que $\Phi(t) = \dfrac{\ln{(1+t)}}{1+t}$ avec $t$ r{\'e}el strictement sup{\'e}rieur {\`a} $-1$.

D{\'e}montrer que $\Phi$ admet, en $t=0$, un d{\'e}veloppement limit{\'e} {\`a} tout ordre $k$, soit $\Phi(t) = \somme{j=1}{k}{b_{j}t^{j}} + o(t^{k})$

\item {\'E}tudier la nature de la suite $\abs{b_{j}}$.

\item Montrer que, sur l'intervalle $\ouvert{-1}{e-1}$, la fonction $\Phi$ admet une fonction r{\'e}ciproque $\Psi$ dont on donnera le tableau de variations.

\item Montrer que $\Psi$ admet, en $u=0$, un d{\'e}veloppement limit{\'e} {\`a} tout ordre $k$, soit $t = \Psi(u) = \somme{j=1}{k}{c_{j}u^{j}}+o(u^{k})$.

\item Donner pour $a_{n}$ un d{\'e}veloppement limit{\'e} d'ordre $2$ vis-{\`a}-vis de l'infiniment petit $\dfrac{1}{n}$, soit $a_{n} = A + \dfrac{B}{n} + \dfrac{C}{n^{2}} +o\left(\dfrac{1}{n^{2}}\right)$, o{\`u} l'on pr{\'e}cisera les constantes $A$, $B$ et $C$.

\item Prouver que les coefficients $c_{j}$ sont tous strictement positifs [on pourra utiliser une {\'e}quation diff{\'e}rentielle du premier ordre reliant $\Psi(u)$ et $\dfrac{d}{du}\Psi(u)$ afin d'exprimer $c_{k}$ en fonction des $c_{j}$ d'indices $j < k$.
\end{enumerate}

\bigskip
\begin{center}\textbf{Exercice 2}\end{center}

\bigskip
Pour tout $x$ r{\'e}el dans l'intervalle ouvert $I = \ouvert{-\dfrac{\pi}{2}}{\dfrac{\pi}{2}}$, on pose : $f(x) = \dfrac{1}{\cos{(x)}}$.
La d{\'e}riv{\'e}e d'ordre $n$ de $f$ en $x$ est ici not{\'e}e $f^{(n)}(x)$, avec la convention $f^{(0)}(x) = f(x)$.

\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item Prouver l'existence et l'unicit{\'e} d'un polyn{\^o}me $P_{n}$ tel que : $f^{(n)}(x) = \dfrac{P_{n}\left(\sin{(x)}\right)}{\left(\cos{(x)}\right)^{n+1}}$.
\item Donner une relation entre $P_{n+1}$, $P_{n}$ et $P'_{n}$.
\item Pr{\'e}ciser $P_{0}$, $P_{1}$ et $P_{2}$.
\item D{\'e}terminer le mon{\^o}me de plus haut degr{\'e} de $P_{n}$.
\item Examiner la parit{\'e} du polyn{\^o}me $P_{n}$.
\end{enumerate}

\item \begin{enumerate}
\item Montrer que les coefficients du polyn{\^o}me $P_{n}$ sont des entiers positifs ou nuls.
\item Que vaut $P_{n}(1)$ ?
\end{enumerate}

\item On pose $a_{n} = \dfrac{1}{n!}f^{(n)}(0)$, $S_{n}(x) = \somme{k=0}{n}{a_{k} x^{k}}$ et $R_{n}(x) = f(x) - S_{n}(x)$.
Pour tout $x \in I$, justifier la formule :
$$f(x) = S_{n}(x) + \dfrac{x^{n+1}}{n!}\integ{0}{1}{f^{(n+1)}(x(1-u))}{u}.$$

\item Prouver que le rayon de convergence de la s{\'e}rie enti{\`e}re $\somme{}{}{a_{n}x^{n}}$ est sup{\'e}rieur ou {\'e}gal {\`a} $\dfrac{\pi}{2}$

\item \begin{enumerate}
\item Pour tous $0 {\leq} x < y < \dfrac{\pi}{2}$, prouver que : 
$0 {\leq} R_{n}(x) {\leq} \left(\dfrac{x}{y}\right)^{n+1}R_{n}(y)$.
\item Prouver {\'e}galement que : 
$0 {\leq} R_{n}(x) {\leq} \left(\dfrac{x}{y}\right)^{n+1}f(y)$.
\end{enumerate}

\item En d{\'e}duire que, pour tout $x \in�I$, on a : $f(x) = \somme{k=0}{+{\infty}}{a_{2k} x^{2k}}$.

\item \begin{enumerate}
\item D{\'e}montrer que la suite $(a_{2k})$ tend vers $0$.
\item Pour tout $\varepsilon \in \ouvert{0}{\dfrac{\pi}{2}}$, montrer l'existence d'une constante $M_{\varepsilon} > 0$ telle que : 
$$0 {\leq} a_{2k} {\leq} M_{\varepsilon} \left(\dfrac{\pi}{2} \varepsilon\right)^{-2k}.$$
\item Montrer que la suite $(a_{2k} 2^{k})$ est born{\'e}e.
\item On donne la formule suivante : $a_{2k} = \dfrac{2^{2k+2}}{\pi^{2k+1}}\somme{n=0}{+{\infty}}{\dfrac{(-1)^{n}}{(2n+1)^{2k+1}}}$.
D{\'e}montrer les relations $\dfrac{1}{3^{k}} {\leq} a_{2k} {\leq} \dfrac{1}{2^{k}}$ [on pourra {\'e}ventuellement s'aider dune calculatrice].
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip
\begin{center}\textbf{Exercice 3}\end{center}

\bigskip
On note $\R[X]$ l'ensemble des polyn{\^o}mes {\`a} coefficients r{\'e}els, et $\R_{k}[X]$ le sous-ensemble de $\R[X]$ constitu{\'e} des polyn{\^o}mes nuls ou dont le degr{\'e} est inf{\'e}rieur ou {\'e}gal {\`a} $k$.
Le coefficient bin{\^o}mial $\dfrac{n!}{k! (n-k)!}$ sera not{\'e} $\binom{n}{k}$, ou bien $\binomial{n}{k}$, au choix. On suppose $n$ entier sup{\'e}rieur ou {\'e}gal {\`a} $1$ dans toute la suite.
\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item Montrer l'existence de polyn{\^o}mes $f_{n}$ et $g_{n}$ dans $\R_{n-1}[X]$, tels que :
$$(1-X)^{n}f_{n}(X) + X^{n}g_{n}(X) = 1,$$
ceci par d{\'e}veloppement de $\left((1-X)+X\right)^{2n-1}$, ou autrement [NB : on ne demande pas de calculer leurs coefficients].

\item Pr{\'e}ciser les polyn{\^o}mes $f_{1}$, $f_{2}$ et $f_{3}$.
\end{enumerate}

\item D{\'e}terminer en fonction de $f_{n}$ et de $g_{n}$ tous les couples $(A, B)$ de polyn{\^o}mes de $\R[X]$ tels que $(1-X)^{n}A(X) + X^{n}B(X) = 1$.
D{\'e}montrer l'unicit{\'e} de $f_{n}$ et de $g_{n}$.

\item \begin{enumerate}
\item Montrer que $f_{n}(1-X) = g_{n}(X)$.
\item Calculer $f_{n}(0)$, $f_{n}(1)$ et $f_{n}\left(\dfrac{1}{2}\right)$.
\end{enumerate}

\item \begin{enumerate}
\item Dans tout ce qui suit, $x$ d{\'e}signe une variable r{\'e}elle. Pour $x$ tendant vers $0$, d{\'e}montrer la formule asymptotique suivante : $f_{n}(x) = (1-x)^{-n} + o(x^{n-1})$.
\item En d{\'e}duire les coefficients du polyn{\^o}me $f_{n}$.
\item L'{\'e}quation $f_{n}(x) = 0$ peut-elle avoir une racine positive ou nulle ?
\end{enumerate}

\item \begin{enumerate}
\item {\'E}tablir, pour tout $x$ r{\'e}el, la relation $n f_{n}(x) - (1-x)f'_{n}(x) = n \binom{2n-1}{n} x^{n-1}$.
\item En d{\'e}duire que l'{\'e}quation $f_{n}(x) = 0$ ne peut pas avoir deux racines r{\'e}elles strictement n{\'e}gatives.
\end{enumerate}

\item Pour tout $x$ r{\'e}el, on pose : $h_{n}(x) = \integ{0}{x}{t^{n-1}(1-t)^{n-1}}{t}$. Suivant la parit{\'e} de $n$, donner le tableau des variations de la fonction $h_{n}$.

\item \begin{enumerate}
\item D{\'e}montrer que, pour tout $x {\neq}�1$, on a : $f_{n}(x) = \dfrac{1 - n \binom{2n-1}{n} h_{n}(x)}{(1-x)^{n}}$.
\item Ce r{\'e}sultat est-il en accord avec la valeur de $f_{n}(1)$ trouv{\'e}e plus haut ?
\end{enumerate}

\item Discuter selon $n$ le nombre de racines de l'{\'e}quation $f_{n}(x) = 0$ sur l'intervalle $\ouvert{-{\infty}}{0}$.

\item Prouver que les racines de $f_{n}(z) = 0$, $z \in \C$, sont de modules strictement inf{\'e}rieurs {\`a} $1$.
\end{enumerate}
\end{document}
