% PSI* Lakanal
% Concours 2000
%
% Contr\^{o}le pour UPS
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% Corrig\'{e}
% Source LATeX
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\def\im{{\rm i}\,}\def\e{{\bf e}}\def\diff{\,{\mathrm{d}}}
\def\Recl{\hbox{ I\hskip -0.17em R} }
%
\documentclass[a4paper]{article}
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\title{\hfil {\Huge\bf e4a}\hfil\break
\vskip 1mm
{\large ENSAM - ESTP - ENSAIS - ECRIN - ARCHIMEDE}\hfil\break
\hfil Concours 2000 \'epreuve 1 \hfil\break
Syst\`emes diff\'erentiels \`a coefficients constants}
\author{P. Delezoide}
\date{4 Mai 2000}
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\input upsnum.sty%
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\begin{document}
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%
\maketitle

L'\'enonc\'e cr\'ee un trouble en red\'efinissant de mani\`ere
particuli\`ere des notions explicitement au programme~:
continuit\'e, d\'erivabilit\'e et primitivation d'une fonction
de variable r\'eelle \`a valeurs matricielles. Il semble que
l'\'enonc\'e sous-entende que le candidat doive utiliser les
d\'efinitions donn\'ees par l'\'enonc\'e pour r\'esoudre en particulier
les questions de la premi\`ere partie. Mais c'est le programme
officiel qui fait loi; en particulier on y lit~: \lq\lq\
d\'eriv\'ee d'une application de la forme $u(f)$ o\`u $u$ est une
application lin\'eaire, d\'eriv\'ee d'une application de la forme
$B(f,g)$, o\`u
$B$ est une application bilin\'eaire\rq\rq. Il me semble clair
que les th\'eor\`emes analogues pour les primitives de fonctions
continues sur des intervalles r\'eels sont aussi du programme, et
qu'il n'est donc pas n\'ecessaire de red\'emontrer ces r\'esultats.

\section*{Premi\`ere partie}

\subsection*{Question 1}
La matrice $C$ \'etant fix\'ee, l'application $A\mapsto C\cdot A$,
est un endomorphisme du $\Recl$-espace vectoriel ${\cal
M}(n,n)$. On en d\'eduit que si $t\mapsto M(t)$ est continue sur
$I$, $t\mapsto C\cdot M(t)$ est continue sur $I$ et que pour
tout $\alpha$ et $\beta$ dans $I$, on a l'\'egalit\'e~:
\[\int_\alpha^\beta (C\cdot M)(u)\,\diff u=
C\cdot\int_\alpha^\beta M(u)\,\diff u\]

\subsection*{Question 2}
L'application $(A,B)\mapsto A\cdot B$ est la multiplication
bilin\'eaire sur $ {\cal M}(n,n)$. D'apr\`es le cours, si $t\mapsto
F(t)$ et $t\mapsto G(t)$ sont d\'erivables sur l'intervalle $I$
et \`a valeurs dans
${\cal M}(n,n)$, leur produit est d\'erivable et~:
\[ {\diff (F\cdot G)\over \diff t}=
{\diff F\over \diff t}\cdot G+F\cdot {\diff G\over \diff t}\]

\subsection*{Question 3}
L'application $u\mapsto \det H(u)$ est une
application d\'erivable sur $I$ car c'est une somme de produits
d'applications d\'erivables~:
\[\forall u\in I\quad \det H(u)=
\sum_{\sigma \in {\cal S}_n} \varepsilon(\sigma)
h_{1,\sigma(1)}(u)\ldots h_{n,\sigma(n)}(u)\]
Elle est donc continue, et comme elle ne prend
pas la valeur $0$ en $s$ il existe un voisinage $V$ de $s$ dans
$I$ sur lequel elle ne prend pas la valeur $0$; on en d\'eduit
que $H(u)$ est inversible pour tout $u\in V$. Nous supposerons
dans la suite que $V$ est un intervalle.

Soit $(i,j)$ deux
entiers tels que $1\le i\le n$ et $1\le j\le n$; on note
$d_{i,j}(u)$ le d\'eterminant de la matrice mineure de $M(u)$
d'indices $(i,j)$; l'application $u\mapsto d_{i,j}(u)$ est une
application d\'erivable sur $I$ car c'est une somme de produits
d'applications d\'erivables. L'application $u\mapsto C(u)$, o\`u
$C(u)$ pour $u\in I$, est la transpos\'ee de la comatrice de
$M(u)$, est donc d\'erivable sur $I$~: pour $i,j$
entiers tels que $1\le i\le n$ et $1\le j\le n$,
$C_{i,j}(u)=(-1)^{i+j}d_{j,i}(u)$.

Pour tout $u\in V$, $H(u)$ est inversible et pour tout $i,j$
entiers entre $1$ et $n$, on a l'\'egalit\'e
$H^{-1}_{i,j}(u)=C_{i,j}(u)/\det H(u)$; les applications
$u\mapsto C_{i,j}(u)/\det H(u)$ \'etant d\'efinies
et d\'erivables sur l'intervalle $V$ comme quotients de deux
fonctions d\'erivables, le d\'enominateur ne prenant pas la valeur
$0$, on en d\'eduit que $H^{-1}$ est d\'erivable sur $V$.

Pour tout $u\in V$ on a $H^{-1}(u)\cdot H(u)={\rm I}_n$,
donc en d\'erivant on en d\'eduit que pour tout $u\in V$~:
\[ {\diff H^{-1}\over \diff t}(u)\cdot H(u)+
H^{-1}(u)\cdot {\diff H\over \diff t}(u)=0\ ,\]
d'o\`u~:
\[{\diff H^{-1}\over \diff t}(u)=-H^{-1}(u)\cdot {\diff H\over
\diff t}(u)\cdot H^{-1}(u)\ .\]

\section*{Deuxi\`eme partie}

\subsection*{Question 1}
On pose ici $A=[a]$; $a$ est la seule valeur propre de $A$; et
on obtient imm\'ediatement $\forall t\in I\quad r_1(t)=\e^{at}$.
Comme $A_0=[1]$, pour tout $t\in I$ on a
$M(t)=[\e^{at}]$.

\subsection*{Question 2}
Il est clair par r\'ecurrence que pour tout $k$ entier entre $1$
et $n$ on a~:
\[A_k=\prod_{i=1}^k (A-\lambda_i\,{\rm I}_n)\]
l'ordre des facteurs du produit n'ayant pas d'importance car
ces facteurs, poly\-n\^omes en $A$, commutent entre eux. En
particulier~:
\[A_n=\prod_{i=1}^n (A-\lambda_i\,{\rm I}_n)=P(A)\ ,\]
o\`u $P=\prod_{i=1}^n(X-\lambda_i)$ est au signe pr\`es le polyn\^ome
caract\'eristique de $A$. D'apr\`es le th\'eor\`eme de Hamilton Cayley,
on en d\'eduit $A_n=P(A)=0$.

On peut remarquer ici que les matrices $A_k$ sont des polyn\^omes
en $A$, et que par cons\'equent pour tout $t\in I$, la matrice
$M(t)$ commute avec la matrice $A$.

\subsection*{Question 3}
Par d\'efinition, pour $n\ge 1$ on a~:
\[M(0)=\sum_{j=1}^n r_j(0)\cdot A_{j-1}=A_0={\rm I}_n\ .\]

\subsection*{Question 4}
Nous utiliserons les formules habituelles de d\'erivation sans
justfication parti\-culi\`ere.

En posant $r_0=0$, pour tout $k$ entre $1$ et $n$ on a
$r_k'=\lambda_k\,r_k+r_{k-1}$, donc~:
\begin{eqnarray*}
M'-\lambda_n\,M &=&\sum_{k=1}^n (\lambda_k
\,r_k+r_{k-1})A_{k-1}-\sum_{k=1}^n \lambda_n\,r_k\,A_{k-1}= \\
&=&\sum_{k=1}^ n
(\lambda_k-\lambda_n)\,r_k\,A_{k-1}+\sum_{k=1}^n
r_{k-1}\,A_{k-1}
\end{eqnarray*}
Dans la premi\`ere somme on supprime le terme d'indice $k=n$ et on
pose
$j=k-1$; dans la deuxi\`eme somme on supprime le terme d'indice
$k=1$ et on pose $j=k-2$; on obtient~:
\[
M'-\lambda_n\,M =\sum_{j=0}^{n-2}
(\lambda_{j+1}-\lambda_n)\,r_{j+1}\,A_{j}+\sum_{j=0}^{n-2}
r_{j+1}\,A_{j+1}\ ,\]
ce qu'il fallait prouver.

\subsection*{Question 5}
Reprenons l'\'egalit\'e ci-dessus sous la forme~:
\[
M'-\lambda_n\,M =\sum_{k=1}^{n-1}
(\lambda_{k}-\lambda_n)\,r_{k}\,A_{k-1}+\sum_{k=1}^{n-1}
r_{k}\,A_{k}\ ,\]
En remarquant que $\lambda_n-\lambda_k=0$ et que
$r_k\,A_k=0$ pour $k=n$ d'apr\`es la question 2, on obtient~:
\[
M'-\lambda_n\,M =\sum_{k=1}^{n}
(\lambda_{k}-\lambda_n)\,r_{k}\,A_{k-1}+\sum_{k=1}^{n}
r_{k}\,A_{k}\ ,\]
donc puisque $\lambda_n\,M=\sum_{k=1}^n \lambda_n
r_k\,A_{k-1}$ et que $A_k=A_{k-1}A-\lambda_k\,A_{k-1}$ pour
tout $k$ entre $1$ et $n$~:
$$M'=\sum_{k=1}^n \lambda_k\,r_k\,A_{k-1}+\sum_{k=1}^n r_k\,A_k=
\sum_{k=1}^n r_k\,(\lambda_k\,A_{k-1}+A_k)=
\sum_{k=1}^n r_k\,A_{k-1}\,A=M\,A\]
On remarque enfin comme dans la question 2 que la matrice $A$
commute avec $M(t)$ pour tout $t\in I$; donc $M'=MA=AM$.

\subsection*{Question 6} D'apr\`es les questions 3 et 4, la fonction
$t\mapsto M(t)$ est solution de
l'\'equation diff\'erentielle lin\'eaire $M'=A\,M$ avec la condition
initiale $M(0)={\rm I}_n$; d'apr\`es le cours c'est la seule
solution; l'application lin\'eaire, qui ici ne d\'epend pas de $t$,
est l'application $M\mapsto AM$, qui est un endomorphisme du
$\Recl$-espace vectoriel ${\cal M}(n,n)$. On a donc $\forall
t\in I\quad \Phi_A(t)=M(t)$.

\subsection*{Question 7}

Le polyn\^ome caract\'eristique est $P(X)=X^2-2X+2=(X-1)^2+1$; ses
z\'eros sont
$\lambda_1=1+{\bf i}$ et $\lambda_2=1-{\bf i}$ (distincts). On
trouve facilement $r_1(t)=\e^{\lambda_1 t}$ pour tout $t\in I$;
$r_2$ v\'erifie
$r'_2=\lambda_2\,r_2+\e^{\lambda_1 t}$ et
$r_2(0)=0$. Posons $r_2(t)=\e^{\lambda_2 t} s_2(t)$ pour tout
$t\in I$; la fonction $r_2$ v\'erifie les conditions si, et
seulement si, $s_2$ v\'erifie
$s'_2(t)=\e^{(\lambda_1-\lambda_2)t}$ pour tout $t\in I$.
Compte tenu de la valeur initiale, on en d\'eduit que pour tout
$t\in I$ on a~:
\[r_2(t)=\e^{\lambda_2
t}\left(\e^{(\lambda_1-\lambda_2)t}-1\over
\lambda_1-\lambda_2\right)={\e^{\lambda_1t}-\e^{\lambda_2t}\over
\lambda_1-\lambda_2}\]
On a donc pour tout $t\in I$ l'\'egalit\'e~:
\[M(t)=\e^{\lambda_1t}\,{\rm I_2}
+{\e^{\lambda_1t}-\e^{\lambda_2t}\over
\lambda_1-\lambda_2}\left(
A-\lambda_1{\rm I}_2\right)=
{\e^{\lambda_1t}-\e^{\lambda_2t}\over
\lambda_1-\lambda_2}\,A-{\lambda_2\,\e^{\lambda_1t}-
\lambda_1\e^{\lambda_2 t}\over \lambda_1-\lambda_2}\,{\rm I}_2\]
Appliquons cette formule, qui est toujours vraie si le polyn\^ome
caract\'eristique a bien $2$ z\'eros, dans le cas particulier. On a
ici $\lambda_1-\lambda_2=2{\bf i}$ donc~:
\[M(t)=\e^t\,\sin t\,A-\e^t\,{(1-{\bf i})\e^{{\bf i}t}-
(1+{\bf i})\e^{-{\bf i}t}\over 2{\bf i}}=
\e^t\,\sin t\,A+\e^t(\cos t-\sin t)\,{\rm I}_2\ .\]
En rempla\c cant $A$ et ${\rm I}_2$ par leurs valeurs on trouve
finalement~:
\[ \forall t\in I\quad M(t)=\e^t\,\left\lbrack\matrix{\cos
t-\sin t&-2\,\sin t\cr
\sin t&\cos t+\sin t}\right\rbrack\ .\]

\subsection*{Question 8}

Le polyn\^ome caract\'eristique est ici~:
\[P(X)=X-2\alpha\,X+\alpha^2+\beta^2=(X-(\alpha+{\bf i}\beta))
(X-(\alpha-{\bf i}\beta))\ ,\]
dont les z\'eros sont $\lambda_1=\alpha+{\bf i}\beta$ et
$\lambda_2=\alpha-{\bf i}\beta$.

Si $\beta=0$, il est clair que la fonction
$t\mapsto \e^{\alpha t} {\rm I}_2$ v\'erifie les conditions de la
question 6, donc par unicit\'e $\forall t\in
I\quad\Phi_A(t)=\e^{\alpha t} {\rm I}_2$; pour $t\in
I$, $\Phi_A(t)$ est la matrice de l'homoth\'etie vectorielle de
rapport $\e^{\alpha\,t}$.
Si $\beta\not=0$, nous pouvons appliquer la formule trouv\'ee
dans la question 7; on obtient~:
$$\forall t\in I\quad
\e^{\alpha t}{\sin\beta t\over \beta}\,A+\e^{\alpha t}\,
{\beta\,\cos\beta t-\alpha\,\sin\beta t\over \beta}\,{\rm I_2}\]
En rempla\c cant $A$ et ${\rm I}_2$ par leurs valeurs on obtient~:
\[\forall t\in I\quad
\Phi_A(t)=\e^{\alpha t}\left\lbrack\matrix{
\cos\beta t&-\sin\beta t\cr \sin\beta t&\cos\beta
t}\right\rbrack\]
On remarque que ceci est vrai aussi si $\beta=0$. Pour $t\in I$
donn\'e, $\Phi_A(t)$ est la matrice de la similitude directe de
rapport complexe $\e^{(\alpha+{\bf i}\beta)t}$.


\section*{Troisi\`eme partie}
Dans ce qui suit l'intervalle $I$ doit \^etre stable par
l'addition (question 1), stable par $u\mapsto -u$ (question
2) et doit contenir $0$ (pr\'eliminaire); $I$ est donc
n\'ecessairement un sous-groupe ouvert (cf. pr\'eliminaire) de
$\Recl$ ; ce ne peut \^etre que $\Recl$.

\subsection*{Question 1} Pour $v\in \Recl$ fix\'e, consid\'erons
l'application $u\mapsto M(u)=\Phi_A(u+v)$; elle est d\'erivable,
et pour tout $u\in \Recl$,
$M'(u)=\Phi'_A(u+v)=A\,\Phi_A(u+v)=A\,M(u)$; on a
$M(0)=\Phi_A(v)$. L'application $u\mapsto N(u)=\Phi_A(u)\cdot
\Phi_A(v)$ est aussi d\'erivable; pour tout $u\in\Recl$, on a
$N'(u)=\Phi'_A(u)\cdot\Phi_A(v)=A\cdot\Phi_A(u)\cdot
\Phi_A(v)=A\cdot N(t)$; on a aussi $N(0)=\Phi_A(v)$. Les
fonctions $t\mapsto M(t)$ et $t\mapsto N(t)$ (\`a valeurs dans
${\cal M}(n,n)$) sont solutions de la m\^eme \'equation
diff\'erentielle lin\'eaire, et v\'erifient la m\^eme condition
initiale; elles sont donc identiques. On a donc d\'emontr\'e~:
\[\forall (u,v)\in \Recl^2\quad
\Phi_A(u+v)=\Phi_A(u)\cdot\Phi_A(v)\ .\]

\subsection*{Question 2}

D'apr\`es la question 1 on v\'erifie imm\'ediatement que pour tout
$u\in \Recl$, $\Phi_A(-u)$ est l'inverse de $\Phi_A(u)$.

\subsection*{Question 3}

On a~:
\[A\cdot B=\left\lbrack\matrix{1&0\cr 0&0}\right\rbrack\quad
{\rm et}\quad
B\cdot A=\left\lbrack\matrix{0&0\cr 0&1}\right\rbrack\]
donc $A\cdot B\not=B\cdot A$.

Posons ici
$M(t)=\left\lbrack\matrix{a(t)&b(t)\cr c(t)&d(t)}\right\rbrack$
pour tout $t\in\Recl$, et r\'esolvons
le syst\`eme diff\'erentiel qui caract\'erise la fonction
$\Phi_A$. Les conditions sont~:
\[ \left\lbrack\matrix{0&1\cr 0&0}\right\rbrack\,
\left\lbrack\matrix{a&b\cr c&d}\right\rbrack=
\left\lbrack\matrix{a'&b'\cr c'&d'}\right\rbrack
\quad{\rm et}\quad
\left\lbrack\matrix{a(0)&b(0)\cr c(0)&d(0)}\right\rbrack=
\left\lbrack\matrix{1&0\cr 0&1}\right\rbrack\]
ce qui s'\'ecrit~:
\[c=a'\ ,\ d=b'\ ,\ 0=c'\ ,\ 0 = d'\quad\quad
a(0)=1\ ,\ b(0)=0\ ,\ c(0)=0\ ,\ d(0)=1\ .\]
On en d\'eduit facilement~:
\[\forall t\in\Recl\quad\Phi_A(t)=\left\lbrack\matrix{1&t \cr
0&1}\right\rbrack\ .\]
De mani\`ere analogue on trouve~:
\[\forall t\in\Recl\quad\Phi_B(t)= \left\lbrack\matrix{1&0 \cr
t&1}\right\rbrack\ .\]
On en d\'eduit~:
\[\forall t\in\Recl\quad
\Phi_A(t)\cdot\Phi_B(t)=
\left\lbrack\matrix{1&t \cr 0&1}\right\rbrack\cdot
\left\lbrack\matrix{1&0 \cr t&1}\right\rbrack=
\left\lbrack\matrix{1+t^2&t \cr t&1}\right\rbrack\ .\]
La matrice $A+B=\left\lbrack\matrix{0&1\cr 1&0}\right\rbrack$ a
pour valeurs propres $\lambda_1=1$ et $\lambda_2=-1$. On peut
donc appliquer la formule trouv\'ee dans la question 7 de la
partie II. On obtient~:
\[
\forall t\in\Recl\quad
\Phi_{A+B}(t)=
{\rm sh}(t)\,A+{\rm ch}(t)\,{\rm I}_2=
\left\lbrack\matrix{
{\rm ch}t&{\rm sh}t\cr {\rm sh}t&{\rm ch}t}\right\rbrack
\]
Les matrices $\Phi_A(t)\cdot \Phi_B(t)$ et $\Phi_{A+B}(t)$ ne
sont jamais identiques, sauf si $t=0$ (cf. coefficient $(2,2)$)

\subsection*{Question 4}

Posons $M(u)=\Phi_A(u)\cdot\Phi_B(u)$
pour tout $u\in\Recl$. On obtient pour tout $u\in\Recl$~:
\[M'(u)=\Phi'_A(u)\cdot \Phi_B(u)+\Phi_A(u)\cdot\Phi'_B(u)=
A\cdot\Phi_A(u)\cdot \Phi_B(u)+\Phi_A(u)\cdot B\cdot \Phi_B(u)\]
On a remarqu\'e dans la question 2 de la partie II que
$\Phi_A(u)$ est pour tout $u\in\Recl$ un polyn\^ome en $A$; donc
si $B$ commute avec $A$, alors $B$ commute avec $\Phi_A(u)$; on
en d\'eduit~:
\[\forall u\in\Recl\quad
M'(u)=A\cdot\Phi_A(u)\cdot \Phi_B(u)+
B\cdot \Phi_A(u)\cdot \Phi_B(u)=(A+B)\,M(u)\]
De plus $M(0)={\rm I}_n$. D'apr\`es la question 5 de la partie
II, on en d\'eduit que pour tout $u\in\Recl$,
$\Phi_{A+B}(u)=\Phi_A(u)\cdot\Phi_B(u)$.

\section*{Quatri\`eme partie}

\subsection*{Question 1}

La fonction $Q$ \'etant continue, pour $u\in I$ fix\'e, d'apr\`es le
th\'eor\`eme de d\'erivation des int\'egrales sur un segment d\'ependant
d'un param\`etre, la fonction $L$ est partiellement d\'erivable par
rapport \`a $v$, et pour tout $(u,v)\in I^2$~:
\[{\partial L\over \partial v}(u,v)=\int_\alpha^u {\partial
Q\over \partial v}(v,s)\diff s\ .\]
Pour $v$ fix\'e, comme la fonction $s\mapsto Q(v,s)$ est
continue, on voit que la fonction $L$ est partiellement
d\'erivable par rapport \`a $u$, et que pour tout $(u,v)\in I^2$~:
\[{\partial L\over \partial u}(u,v)=Q(v,u)\]
La fonction ${\partial L\over \partial u}$ est \'evidemment
continue sur $I^2$. Montrons qu'il en est de m\^eme pour la
fonction ${\partial L\over \partial v}$; pour $u\not=\alpha$, on
peut poser dans l'int\'egrale $s=\alpha+(u-\alpha)\,t$ et on
obtient~:
\[{\partial L\over\partial v}(u,v)=\int_0^1 {\partial Q\over
\partial v}(v,\alpha+(u-\alpha)t)(u-\alpha)\,\diff t\]
ce qui est vrai aussi dans le cas o\`u $\alpha=u$.
Comme $Q$ est de classe ${\cal C}^1$,
l'application $((u,v),t)\mapsto {\partial Q\over
\partial v}(v,\alpha+(u-\alpha)t)(u-\alpha)$ est continue sur
$I^2\times [0,1]$; d'apr\`es le th\'eor\`eme de continuit\'e d'une
int\'egrale sur un segment d\'ependant d'un param\`etre, nous pouvons
en d\'eduire que ${\partial L\over\partial v}$ est bien continue
sur $I^2$.

De ce qui pr\'ec\`ede, on d\'eduit que l'application $L$ est de
classe ${\cal C}^1$ sur $I^2$; en appliquant le th\'eor\`eme de
composition des fonctions de classe ${\cal C}^1$ (ou th\'eor\`eme
de la cha\^\i ne), on en d\'eduit que l'application $t\mapsto
L(t,t)=\int_\alpha^t Q(t,s)\,\diff s$ est de classe ${\cal C}^1$
sur $I$, et que pour tout $t\in I$ on a~:
\[{\partial \over\partial t}\left\lbrack \int_\alpha^t
Q(t,s)\,\diff s\right\rbrack=
{\partial L\over \partial u}(t,t)+{\partial L\over\partial
v}(t,t)=Q(t,t)+\int_\alpha^t {\partial Q\over\partial
t}(t,s)\,\diff s\ .\]

\subsection*{Question 2}

A la fonction matricielle $Y$ de type $(n,1)$ on peut faire
correspondre la fonction matricielle $Z\ \colon\ t\mapsto
\Phi_A(-t)\,Y(t)$, et inversement, pour tout $t\in I$,
$Y(t)=\Phi_A(t)\,Z(t)$. La fonction $Y$ est de classe ${\cal
C}^1$ si, et seulement si, la fonction $Z$ l'est, et $Y$ est
solution du syst\`eme diff\'erentiel de l'\'enonc\'e, avec condition
initiale si, et seulement si, la fonction $Z$ v\'erifie les
conditions~:
\[\Phi_A'\cdot Z+\Phi_A\cdot Z'=A\cdot\Phi_A\cdot Z+B\quad{\rm
et}\quad \Phi_A(0)\cdot Z(0)=D\ .\]
Comme $\Phi'_A=A\cdot \Phi_A$ et $\Phi_A(0)={\rm I}_n$, ces
conditions deviennent~:
\[\forall t\in I\quad
Z'(t)=\Phi_A(-t)\,B(t)\quad{\rm et}\quad Z(0)=D\ ,\]
ce qui \'equivaut \`a~:
\[\forall t\in I\quad Z(t)=D+\int_0^t \Phi_A(-s)\cdot
B(s)\,\diff s\ .\]
On en d\'eduit par cons\'equent qu'il y a une unique solution pour
la fonction $Y$ et que~:
\begin{eqnarray*}
\forall t\in I\quad
Y(t)&=&\Phi_A(t)\cdot D+\Phi_A(t)\int_0^t \Phi_A(-s)\cdot
B(s)\,\diff s= \\
&=&R(t,0)\cdot D+\int_0^t\Phi_A(t)\cdot \Phi_A(-s)\cdot
B(s)\,\diff s=\\
&=&R(t,0)\cdot D+\int_0^t R(t,s)\cdot B(s)\,\diff s
\end{eqnarray*}
N.B. On pourrait utiliser la question 1 pour v\'erifier que la
fonction propos\'ee est bien solution, mais c'est bien lourd. De
plus dans le cas pr\'esent le param\`etre $t$ sort visiblement de
sous l'int\'egrale puisque~:
\[\int_0^t \Phi_A(t)\cdot\Phi_A(-s)\cdot B(s)\,\diff s=
\Phi_A(t)\cdot \int_0^t \Phi_A(-s)\cdot B(s)\,\diff s\ ,\]
ce qui rend bien inutiles les difficult\'es de la question 1.

\subsection*{Question 3} On remarque que la somme de chacune des lignes de
$A$ vaut $2$; autrement dit~:
\[ A\cdot\left\lbrack\matrix{1\cr 1\cr 1}\right\rbrack=
2\,\left\lbrack\matrix{1\cr 1\cr 1}\right\rbrack\ .\]
Cela prouve que $2$ est valeur propre de $A$, et que le
vecteur $\varepsilon_1+\varepsilon_2+\varepsilon_3$, o\`u
$\varepsilon_1,\varepsilon_2,\varepsilon_3$ est la base
canonique de ${\cal M}(3,1)$, est un vecteur propre pour la
valeur propre $2$. Posons $e_1=\varepsilon_1$,
$e_2=\varepsilon_2$ et
$e_3=\varepsilon_1+\varepsilon_2+\varepsilon_3$, et notons $f$
l'application lin\'eaire de matrice $A$ dans la base canonique. On
a~:
\[f(e_1)=f(\varepsilon_1)=-\varepsilon_1-4\varepsilon_2
-3\varepsilon_3=2 e_1-e_2-3 e_3\]
et~:
\[f(e_2)=f(\varepsilon_2)=\varepsilon_1+3\varepsilon_2+
\varepsilon_3=2e_2+e_3\ .\]
La matrice de $f$ dans la base $(e_1,e_2,e_3)$ est donc~:
\[A'=\left\lbrack\matrix{2&0&0\cr -1&2&0\cr
-3&1&2}\right\rbrack\ .\]
Notons maintenant $x,y,z$ les coordonn\'ees de la fonction
inconnue $Y$ dans la base $(e_1,e_2,e_3)$; comme
$B(t)=\e^t\,\varepsilon_1=\e^t\,e_1$ et
$D=\varepsilon_1+\varepsilon_2=e_1+e_2$, les conditions sur les
fonctions
$(x,y,z)$ sont~:
\[\left\lbrack\matrix{x'\cr y'\cr z'}\right\rbrack=
\left\lbrack\matrix{2&0&0\cr -1&2&0\cr
-3&1&2}\right\rbrack\cdot
\left\lbrack\matrix{x\cr y\cr z}\right\rbrack+
\left\lbrack\matrix{\e^t\cr 0\cr 0}\right\rbrack\quad{\rm
et}\quad
\left\lbrack\matrix{x(0)\cr y(0)\cr z(0)}\right\rbrack=
\left\lbrack\matrix{1\cr 1\cr 0}\right\rbrack\]
Posons $x=\e^{2t}u$, $y=\e^{2t}v$, $z=\e^{2t}w$; les conditions
sur les fonctions $(u,v,w)$ sont~:
\[\left\lbrack\matrix{u'\cr v'\cr w'}\right\rbrack=
\left\lbrack\matrix{0&0&0\cr -1&0&0\cr
-3&1&0}\right\rbrack\cdot
\left\lbrack\matrix{u\cr v\cr w}\right\rbrack+
\left\lbrack\matrix{\e^{-t}\cr 0\cr 0}\right\rbrack\quad{\rm
et}\quad
\left\lbrack\matrix{u(0)\cr v(0)\cr w(0)}\right\rbrack=
\left\lbrack\matrix{1\cr 1\cr 0}\right\rbrack\]
ce qui \'equivaut au syst\`eme diff\'erentiel
triangulaire
\[\begin{array}{lr}
u'=\e^{-t}&u(0)=1\\
v'=-u &v(0)=1\\
w'=-3 u+v &w(0)=0
\end{array}\]
On trouve successivement~:
\[\begin{array}{ll}
u=2-\e^{-t}&x=2\e^{2t}-\e^t\\
v=(2-2t)-e^{-t} &y=(2-2t)\,\e^{2t}-e^t\\
w=(2-4t-t^2)-2\,\e^{-t} &z=(2-4t-t^2)\,\e^{2t}-2\,\e^t
\end{array}\]
On en d\'eduit~:
\[Y=\big(2\e^{2t}-\e^t\big)
\left\lbrack\matrix{1\cr 0\cr 0}\right\rbrack+
\big((2-2t)\,\e^{2t}-e^t\big)
\left\lbrack\matrix{0\cr 1\cr 0}\right\rbrack+
\big((2-4t-t^2)\,\e^{2t}-2\,\e^t\big)
\left\lbrack\matrix{1\cr 1\cr 1}\right\rbrack\]
soit finalement~:
\[Y=\e^{2t}\left\lbrack\matrix{4-4t-t^2\cr
4-6t-t^2\cr 2-4t-t^2}\right\rbrack-\e^t\left\lbrack\matrix{3\cr
3\cr 2}\right\rbrack\ .\]
On pouvait \'evidemment utiliser la m\'ethode de l'\'enonc\'e, ou une
bonne calculatrice.
\end{document}

