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\lhead{Concours ENSAM - ESTP - ENSAIS - ECRIN - ARCHIMEDE}
\rhead{page \thepage}
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%Macros perso
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\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{Question \arabic{enumi} : }}

\Large{Concours ENSAM - ESTP - ENSAIS - ECRIN - ARCHIMEDE}

\begin{center}
\Large{Epreuve de Math{\'e}matiques 1}

\Large{dur{\'e}e 4 heures}\normalsize
\end{center}

\huge{Notations :}
\normalsize

$n$ et $q$ sont des entiers naturels donn{\'e}s.

$\mathcal{M}(n, q)$ d{\'e}signe lÕensemble des matrices r{\'e}elles ou complexes {\`a} $n$ lignes et $q$ colonnes.

$I$ d{\'e}signe un intervalle ouvert de $\R$ et $s$ un {\'e}l{\'e}ment de $I$. Le r{\'e}el $0$ est suppos{\'e} appartenir {\`a} lÕintervalle $I$.

Une fonction matricielle de type $(n, q)$ d{\'e}finie sur $I$ est une application $M$ de $I$ vers $\mathcal{M}(n, q)$, $M = [m_{i,j}]$ ($1 {\leq} i {\leq} n$, $1 {\leq} j {\leq} q$) o{\`u}, pour tout $i$ de $1$ {\`a} $n$ et pour tout $j$ de $1$ {\`a} $q$ , $m_{i,j}$ est une application de $I$ vers $\R$ qui au r{\'e}el $t$ associe le r{\'e}el $m_{i,j}(t)$.

Soient $M = [m_{i,j}]$ ($1 {\leq} i {\leq} n$, $1 {\leq} j {\leq} q$) et $L = [l_{i,j}]$ ($1 {\leq} i {\leq} n$, $1 {\leq} j {\leq} q$) deux fonctions matricielles de type $(n, q)$ d{\'e}finies sur $I$. La notation $M = L$ signifie que pour tout $i$ de $1$ {\`a} $n$ et pour tout $j$ de $1$ {\`a} $q$, $m_{i,j} = l_{i,j}$ ({\'e}galit{\'e} entre deux applications de $I$ vers $\R$).

La fonction matricielle $M$ de type $(n, q)$ d{\'e}finie sur $I$ est continue en $s$ (respectivement d{\'e}rivable ou de classe $\mathcal{C}^{k}$ en $s$) si chaque fonction r{\'e}elle $m_{i,j}$ ($1 {\leq} i {\leq} n$, $1 {\leq} j {\leq} q$) est continue en $s$ (respectivement d{\'e}rivable ou de classe $\mathcal{C}^{k}$ en $s$) et la fonction matricielle d{\'e}riv{\'e}e est d{\'e}finie en $s$ par :
$$\dfrac{dM}{dt}(s) = \left [\dfrac{dm_{i,j}(s)}{dt}\right ], 1 {\leq} i {\leq}n, 1 {\leq} j {\leq} q$$

et de m{\^e}me pour les d{\'e}riv{\'e}es dÕordre sup{\'e}rieur si elles existent.

La fonction matricielle $M$ de type $(n, q)$ d{\'e}finie sur $I$ est continue sur $I$ (respectivement d{\'e}rivable ou de classe  $\mathcal{C}^{k}$ sur $I$) si elle est continue (respectivement d{\'e}rivable ou de classe  $\mathcal{C}^{k}$) en tout point de $I$.

LÕint{\'e}grale d{\'e}finie de la fonction matricielle $M$ continue sur $I$, entre les bornes $\alpha$ et $\beta$ de $I$ est la matrice r{\'e}elle {\`a} $n$ lignes et $q$ colonnes d{\'e}finie par :
$$\integ{\alpha}{\beta}{M(u)}{u} = \left [\integ{\alpha}{\beta}{m_{i,j}(u)}{u}\right ], 1 {\leq} i {\leq} n, 1 {\leq} j {\leq} q$$

\huge{Premi{\`e}re partie :}
\normalsize

Le produit de deux matrices $M_{l}$ et $M_{2}$ de $\mathcal{M}(n,n)$ est not{\'e} $M_{l} . M_{2}$.

\begin{enumerate}
\item $\alpha$ et $\beta$ d{\'e}signent deux {\'e}l{\'e}ments de $1$ tels que $\alpha < \beta$ et $C$ est une matrice de $\mathcal{M}(n, n)$. La fonction matricielle $M$ de type $(n, n)$ {\'e}tant suppos{\'e}e continue sur $I$, montrer que :
$$\integ{\alpha}{\beta}{(C.M)(u)}{u} = C. \integ{\alpha}{\beta}{M(u)}{u}$$

\item 

Soient $F = [f_{i,j}]$ ($1 {\leq} i {\leq} n, 1 {\leq} j {\leq} n$) et $G = [g_{i,j}]$ ($1 {\leq} i {\leq} n, 1 {\leq} j {\leq} n$) deux fonctions matricielles d{\'e}rivables de type $(n,n)$ d{\'e}finies sur $I$. Montrer que le produit matriciel $F . G$ d{\'e}finit une nouvelle fonction matricielle d{\'e}rivable de type $(n, n)$ sur $I$ et que
$$\dfrac{d(F.G)}{dt} = \dfrac{dF}{dt}.G + F.\dfrac{dG}{dt}$$

\item $s$ d{\'e}signe un {\'e}l{\'e}ment de $I$.

Soit $H = [h_{i,j}]$ ($1 {\leq} i {\leq} n, 1 {\leq} j {\leq} n$) une fonction matricielle d{\'e}rivable de type $(n, n)$ d{\'e}finie sur $I$ et telle que la matrice $H(s)$ soit inversible, d'inverse $H^{-1}(s)$. Montrer que la fonction matricielle $H^{-1}$ est d{\'e}finie et d{\'e}rivable sur un voisinage $V$ de $s$ et v{\'e}rifie :
$$\forall u \inÊV, \dfrac{d(H^{-1})}{dt}(u) = -H^{-1}(u).\dfrac{dH}{dt}(u).H^{-1}(u)$$
\end{enumerate}

\bigskip
\huge{Seconde Partie :}
\normalsize

$I_{n}$ d{\'e}signe la matrice identit{\'e} d'ordre $n$. Soit $A$ une matrice r{\'e}elle {\`a} $n$ lignes et $n$ colonnes admettant les valeurs propres (r{\'e}elles ou complexes) $\lambda_{1}$, $\lambda_{2}$, {\ldots}, $\lambda_{n}$, chacune apparaissant avec son ordre de multiplicit{\'e}. Les matrices $A_{0}$, $A_{1}$, {\ldots}, $A_{n}$ sont d{\'e}finies par :
$$A_{0} = I_{n}\;\mathrm{et}\;A_{k} = A_{k-1}.(A - \lambda_{k}I_{n}),\;1 {\leq} k {\leq} n$$

$r_{1}$, $r_{2}$, {\ldots}, $r_{n}$ d{\'e}signent les applications de $I$ dans $\R$ (ou $\C$) d{\'e}finies par :
$$\dfrac{dr_{1}}{dt}(t) = \lambda_{1}r_{1}(t)\;\mathrm{et}\;r_{1}(0) = 1$$
$$\dfrac{dr_{k}}{dt}(t) = \lambda_{k}r_{k}(t) + r_{k-1}(t)\;\mathrm{et}\;r_{k}(0) = 0,\; 2 {\leq} k {\leq} n$$

Soit $M$ la fonction matricielle de type $(n, n)$ d{\'e}finie sur $I$ par :
$$\forall t \in I, M(t) = \somme{j=1}{j=n}{r_{j}(t).A_{j-1}}$$

\begin{enumerate}
\item D{\'e}terminer la matrice $M$ lorsque $n = 1$.

L'entier $n$ est maintenant quelconque.

\item Expliciter la matrice $A_{n}$.

\item D{\'e}terminer la matrice $M(0)$.

\item V{\'e}rifier lÕ{\'e}galit{\'e} suivante :
$$\dfrac{dM}{dt}(t) - \lambda_{n}M(t) = \somme{j=0}{j=n-2}{r_{j+1}(t).\left [(\lambda_{j+1} - \lambda_{n}).A_{j} + A_{j+1}\right ]}$$

\item En d{\'e}duire que
$$\forall t \in I, \dfrac{dM}{dt}(t) = A.M(t)$$

\item D{\'e}terminer une fonction matricielle $\Phi_{A}$, d{\'e}rivable de type $(n,n)$ d{\'e}finie sur $I$ et v{\'e}rifiant :
$$\forall t \inÊI, \dfrac{d\Phi_{A}}{dt}(t) = A.\Phi_{A}(t)\;\mathrm{et}\;\Phi_{A}(0) = I_{n}$$

Prouver lÕunicit{\'e} de $\Phi_{A}$ et exprimer $\Phi_{A}$ en fonction de la matrice $M$.

\item Application num{\'e}rique :

D{\'e}terminer $\Phi_{A}(t)$ lorsque $A = \matrice{0 & -2 \\ 1 & 2}$.

\item $\alpha$ et $\beta$ non nul sont deux r{\'e}els et $A = \matrice{\alpha & -\beta \\ \beta & \alpha}$.

Donner une interpr{\'e}tation g{\'e}om{\'e}trique de lÕapplication lin{\'e}aire de $\R^{2}$ dans $\R^{2}$ repr{\'e}sent{\'e}e par la matrice $\Phi_{A}(t)$ dans une base orthonorm{\'e}e $\set{\vec{i}, \vec{j}}$ de  $\R^{2}$.
\end{enumerate}

\bigskip
\huge{Troisi{\`e}me partie :}
\normalsize

Dans cette partie, les preuves seront fond{\'e}es sur la d{\'e}finition de la matrice $\Phi_{A}$ donn{\'e}e en deuxi{\`e}me partie. LÕentier $n$ est quelconque, $A$ et $B$ sont deux matrices r{\'e}elles {\`a} $n$ lignes et $n$ colonnes . $u$ et $v$ sont deux {\'e}l{\'e}ments de lÕintervalle $I$.

\begin{enumerate}
\item Prouver que $\Phi_{A}(u+v) = \Phi_{A}(u).\Phi_{A}(v)$.

\item Montrer que $\Phi_{A}(u)$ est inversible et donner son inverse.

\item $A = \matrice{0 & 1 \\ 0 & 0}$ et $B = \matrice{0 & 0 \\ 1 & 0}$. Comparer $A . B$ et $B . A$.

Calculer et comparer $\Phi_{A+B}(u)$ et $\Phi_{A}(u).\Phi_{B}(u)$.

\item 

Dans le cas o{\`u} les matrices $A$ et $B$ sont permutables ( cÕest {\`a} dire $A . B = B . A$ ) , prouver que $\Phi_{A+B}(u) = \Phi_{A}(u).\Phi_{B}(u)$.
\end{enumerate}

\bigskip
\huge{Quatri{\`e}me partie :}
\normalsize

$\alpha$ est un {\'e}l{\'e}ment de $I$. $A$ est une matrice donn{\'e}e dans $\mathcal{M}(n, n)$.

\begin{enumerate}
\item 

Dans cette question, pour tout $i$ de $1$ {\`a} $n$, et tout $j$ de $1$ {\`a} $n$, $q_{i,j}$ est une application de classe $\mathcal{C}^{1}$ de $I^{2}$ vers $\R$ (qui associe au couple $(t , s)$ de $I^{2}$ le r{\'e}el $q_{i,j}(t, s)$). Soit $Q$ la fonction matricielle r{\'e}elle {\`a} deux variables de type $(n, n)$ d{\'e}finie sur $I^{2}$ par
$$Q =[q_{i,j}] (1 {\leq} i {\leq} n, 1 {\leq} j {\leq}n)$$

Montrer l'{\'e}galit{\'e} matricielle :
$$\dfrac{\partial}{\partial t}\left [\integ{\alpha}{t}{Q(t,s)}{s}\right ] = Q(t, t) + \integ{\alpha}{t}{\dfrac{\partial Q}{\partial t}(t,s)}{s}$$

Il sera opportun d'introduire $L$, fonction matricielle r{\'e}elle {\`a} deux variables de type $(n, n)$ d{\'e}finie sur $I^{2}$ par
$$\forall (t,s) \in I^{2}, R(t,s) = \Phi_{A}(t).(\Phi_{A})^{-1}(s)$$

\item 

Soit, une fonction matricielle continue $B$, de type $(n, 1)$ d{\'e}finie sur $I$ et une matrice $D$ unicolonne {\`a} $n$ lignes.

La fonction matricielle $R$ {\`a} deux variables, de type $(n, n)$ d{\'e}finie sur $I^{2}$ est donn{\'e}e par
$$\forall (t,s) \in I^{2}, R(t,s) = \Phi_{A}(t).(\Phi_{A})^{-1}(s)$$

Montrer que la fonction matricielle $Y$ de type $(n, 1)$ d{\'e}finie sur $I$, solution du syst{\`e}me diff{\'e}rentiel
$$\systeme{\dfrac{dY}{dt} = A.Y(t) + B \\ Y(0) = D}$$

est unique et qu'elle est donn{\'e}e par :
$$\forall t \in I, Y(t) = R(t, 0).D + \integ{0}{t}{R(t,s).B(s)}{s}$$

\item Application lorsque $A = \matrice{-1 & 1 & 2 \\ -4 & 3 & 3 \\ -3 & 1 & 4}$, $B(t) = \matrice{e^{-t} \\0 \\0}$ et $D = \matrice{1 \\ 1 \\ 0}$.

D{\'e}terminer la fonction matricielle $\Phi_{A}$ et donner la solution du syst{\`e}me diff{\'e}rentiel
$$\systeme{\dfrac{dY}{dt} = A.Y(t) + B \\ Y(0) = D}$$
\end{enumerate}
\end{document}
