% realise par Carine Apparicio et Pierre Charollois
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%\initvect{tpic} % pour xdvi, yap
%\initvect{textures}
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%\initvect{dviview}
%
\def\Res#1{{\rm Res}\,_{#1}}
%
\newdimen\htne
\newdimen\htse
\newdimen\dpse
\newdimen\manque
\newdimen\totallgt
\def\resultant#1#2#3#4#5#6#7#8{\setbox2=\hbox{$#2$}\setbox4=\hbox{$#4$}
\htne=\ht2\htse=\ht4 \dpse=\dp4
\setbox3=\hbox{$\underbrace{#3}_{#5}$}\ht3=\htse\dp3=\dpse
\setbox4=\hbox{$\underbrace{#4}_{#6}$}\manque=\ht4\ht4=\htse\dp4=\dpse
\advance\manque\dp4\advance\manque -1pt
\setbox13=\hbox{$\matrix{#1\\#3}$}
\totallgt=\ht13\advance\totallgt 8pt
\matrix{\left|\matrix{#1&\box2\\ \box3&\box4}\right|}
\vrule width 0pt depth \the\manque height 0pt
\matrix{\left.\vrule width 0mm depth 0pt height \the\htne\right\}#7\\
\left.\vrule width 0mm depth 0pt height \the\htse\right\}#8
}}
\def\ld#1{\Ddot{#1}.(4pt,1pt,7pt,0pt)}
\def\vd#1{\Ddot{#1}.(0pt,-2pt,0pt,-4pt)}
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\def\tvi{\vrule height 11 pt depth 4pt width 0pt}
\def\O{{\cal O}}
%
\grostitre{ENS Lyon-Cachan 2000 -- Corrig\'e}
\centerline{\bf Solution de Carine Apparicio et Pierre Charollois (adaptations R.Cabane).}
\everydisplay{\textstyle}
\nofoot

%\titrecentre{Th\`eme: la forme faible du th\'eor\`eme de Bezout.}
\vskip-5mm

\partieprelim
\question % 0.1
$A[X]$ est non vide; si $P$ et $Q$ sont deux
\'el\'ements de $A[X]$ on voit que $P-Q$ appartient \`a $A[X]$.
On en d\'eduit que $(A[X],+)$ est un sous-groupe de $(K[X],+)$.
On v\'erifie enfin que $1$ appartient \`a $A[X]$ et que $A[X]$
est stable pour la multiplication. On peut alors conclure que
$A[X]$ est un sous-anneau de $K[X]$.

\question %{0.2}
La matrice r\'esultante $M=(m_{ij})$ est \`a coefficients dans
l'anneau $A$; donc
$$
\Res K(P,Q)=\sum_{\sigma \in S_{n+m}}\varepsilon (\sigma) m_{1,\sigma (1)}\ldots m_{n+m,\sigma (n+m)}\in A
\>.$$

\question %{0.3}
Soit $P\in \C[X][Y]$ i.e. $P(X,Y)=\sum_{j\ge 0} P_j(X)Y^j$ avec $P_j(X)
\in \C[X]$, o\`u l'\'ecriture est unique. Or $P_j(X)$ s'\'ecrit de fa\c con
unique $\sum_{i\ge 0}a_{ij}X^i$. D'o\`u l'existence et l'unicit\'e de
l'\'ecriture $P(X,Y)=\sum_{i,j\ge 0}a_{i,j}X^iY^j$.
L'ensemble $\{i+j\ /\ a_{i,j}\ne  0\}$ est une partie finie non vide de
$\N$, elle a donc un plus grand \'el\'ement.

\partie[G\'en\'eralit\'es sur le r\'esultant] %I
\question %I.1
Si $P$ et $Q$ ne sont pas premiers entre eux, ils ont un facteur
commun $D$ de degr\'e $0<d\le  min(n,m)$. On a alors $P=BD$ et
$Q=AD$, puis $AP=ABD=BQ$ avec $\deg(A)<m$ et $\deg(B)<n$ pour $A$
et $B$ non nuls.

R\'eciproquement, supposons que $AP=BQ$, alors $P$ et $Q$ ne
peuvent \^etre premiers entre eux car $P$ diviserait n\'ecessairement
$B$, ce qui n'est pas vu leurs degr\'es respectifs.

\questiona % I.2-a
$(1,X,\dots,X^d)$ est par nature une base de
$K[X]_d$; l'espace est donc de dimension $d+1$.

\sousquestion %I.2-b
$f$ est clairement lin\'eaire. Choisissons
$\{(1,0),(X,0),\ldots,(X^{m-1},0),(0,1),\ldots,(0,X^{n-1})\}$
comme base de l'espace de d\'epart $K[X]_{m-1}\times
K[X]_{n-1}$ (par exemple en remarquant qu'elle est libre et de
cardinal $m+n$), et $\{1,X,\ldots,X^{n+m-1}\}$
comme base de l'espace d'arriv\'ee. On v\'erifie directement que la
matrice de $f$ est alors la transpos\'ee de la matrice r\'esultante.

\question %I.3
D'apr\`es {\bf I2\hbox{$^\circ$}}, l'application $f$ est lin\'eaire entre deux espaces
vectoriels de m\^eme dimension $m+n$. Elle est donc bijective si et
seulement si son noyau est r\'eduit \`a $\{0\}$ i.e. si $P$ et $Q$
sont premiers entre eux (cf {\bf I1\hbox{$^\circ$}}). C'est pourquoi $P$ et $Q$
sont premiers si, et seulement si $\det(f)\ne 0$, d'o\`u le r\'esultat
puisqu'une matrice et sa transpos\'ee ont m\^eme d\'eterminant.

\question % I.4
Il suffit de l'\'ecrire ! $R_{\lambda }:=\Res C(\lambda^nP(\frac
X\lambda),\lambda^mQ(\frac X\lambda))$
vaut:
$$\resultant
{\matrix{
 a_0\lambda^n &a_1\lambda^{n-1}\dd8
  &\ld{10} &  &  &a_{n-1}\lambda \dd8\\
0\Ddot6.(8pt,1pt,8pt,-4pt)
  &a_0\lambda^n\dd5 &  &\ld{10}&   & \\
\vdots&   &  &  &   & \\
0\ld8 &   & 0 &a_0\lambda^n &a_1\lambda^{n-1}&a_2\lambda^{n-2}\ld6}}
{\matrix{
\>a_n\>\dd8&0\ld5\hfill&0\\
  &   &0 \\
  &   &\vdots\\
  &\>a_{n-1}\lambda &a_n }}
{\matrix{
 b_0\lambda^m &b_1\lambda^{m-1}\DD{12}\tvi
     &\ldots&b_{m-1}\lambda & b_m &0\ld9\Ddot9.(9pt,-2pt,9pt,-4pt)\\
0\vd8\Ddot{10}.(6pt,0pt,12pt,-4pt)
  &b_0\lambda^m\DD9&  &  &b_{m-1}\lambda &b_m\dD9\tvi\\
\tvi\\
\tvi\\
0\ld{17}&   &  &  &0\hfill &b_0\lambda^m\tvi
}}
{\matrix{
   & 0 &0\tvi\\
   &  &0\tvi\\
   &  &\vdots\\
   &  &0\tvi\\
b_1\lambda^{m-1}&\ldots&b_m\tvi
}}
nmmn
\>.$$
Multiplions la colonne $C_j$ par $\lambda^{j-1}$ pour $j$ entre 1 et
$m+n$. On peut alors mettre en facteur sur la ligne $L_i$:
$\lambda^{n+i-1}$ pour les $m$ premi\`eres lignes $(i=1\ldots m)$, et
$\lambda^{i-1}$ pour les $n$ suivantes $(i=m+1\ldots m+n)$.

On trouve ainsi $\Res\C(P(X),Q(X))$. Tenant compte des
op\'erations effectu\'ees, on obtient par multilin\'earit\'e du
d\'eterminant $R_\lambda=\lambda^{\alpha }\Res\C(P(X),Q(X))$ avec
$$
\alpha=\sum_{i=1}^m
(n+i-1)+\sum_{i=m+1}^{m+n} (i-1)-\sum_{j=1}^{m+n}(j-1)=mn
\qed
$$

{\sl Autre m\'ethode: } on peut utiliser un changement de base.

\partie[Une courbe unicursale] %II

Soit ${\cal C}$ la courbe param\'etr\'ee par $t$; $(x,y)\in {\cal C}$ si
et seulement si les polyn\^omes $P_x(T)=T^2+T-x$ et
$Q_y(T)=T^3+2T^2-y$ ont une racine commune $t_0\in \R$.

Si c'est le cas, alors $P_x$ et $Q_y$ ne sont pas premiers entre
eux, donc par {\bf I.3} $\Res \C(P_x,Q_y)$=0 o\`u ce d\'eterminant est de
taille $5\times 5$ car $P_x$ est de degr\'e 2 pour tout $x$, et $Q_y$ de
degr\'e 3. On a alors \'elimin\'e $t$ et obtenu une \'equation non triviale
pour $x$ et $y$: tous calculs faits, on obtient
$$-x^3+y^2+2x^2-xy-y=0\>.$$

\coteacote{
R\'eciproquement, supposons que $(x,y)$ v\'erifie l'\'equation
cart\'esienne ci-dessus. D'apr\`es {\bf I.3}, $P_x(T)$ et $Q_y(T)$ ne sont
pas premiers entre eux dans $\C[T]$ car leur r\'esultant est nul.
Ils ont donc un pgcd $D(T)\in \C[T]$, en fait dans $\R[T]$ puisque
$P_x$ et $Q_y$ sont r\'eels, de degr\'e 1 ou 2. D'o\`u:

\indent {\bf Cas 1.} $D(T)=T-t_0$, la racine (r\'eelle !) $t_0$ de D est
commune \`a $P_x$ et $Q_y$, et $(x,y)\in {\cal C}$.

\indent {\bf Cas 2.} $D(T)$ est de degr\'e 2, i.e. $P_x(T)$ divise
$Q_y(T)$, et le calcul m\`ene \`a $x=1,y=1$.
Mais alors $P_1$ et $Q_1$ ont deux racines communes, celles de $P_1$,
valant $(-1\pm \sqrt5)/2$ donc r\'eelles. D'o\`u $(1,1)\in {\cal C}$, c'est
m\^eme l'unique point double de ${\cal C}$.

{\sl Remarques: } ce n'est pas la seule m\'ethode pour cette
question, les degr\'es \'etant ici petits les calculs exprimant $t$
en fonction de $x$ puis reportant ceci dans $y$ pouvaient \^etre
men\'es \`a la main. La calculatrice r\'esoud aussi cette question !
Mais elle ne fait rien d'autre que de calculer $\Res\C(P_x,Q_y)$\dots
}{
\dessin{m00um-fa}{0.4mm}
}

\partie[L'anneau des entiers alg\'ebriques] %3
\question %{ 3.1}
$P_1(X-Y)=R_0(X)+R_1(X)Y+\cdots+R_{n_1}(X)Y^{n_1}$ avec $R_i \in \Z[X]$,
$\deg(R_i)\le n_1-i$, $R_0$ unitaire et $R_{n_1}(X)=(-1)^{n_1}$.

$P_2(X)=b_0+b_1X+\ldots+b_{n_2}X^{n_2}$ avec $b_{n_2}=1$.

On, calcule alors $S(X)=\Res{\Q(X)}(P_1(X-Y),P_2(Y))$ qui vaut:
$$
\resultant
{\matrix{
R_0 & R_1 &\ldots& \ldots\ldots&.&R_{n_1-1}\\
0 & R_0 & \ldots&.&.&.\\
.&.&.&.&.&.\\
0 & \ldots & 0 &R_0&R_1 & R_2
}}
{\matrix{
R_{n_1}&0& \ldots\\
.&.&0 \\
.&.&.\\
. & R_{n_1-1} &R_{n_1}
}}
{\matrix{
b_0 & b_1 &\ldots & \ldots\ldots&b_{n_2} & 0 \\
0 & b_0 & \ldots&.&.&b_{n_2}\\
.&.&.&.&.&.\\
0 & \ldots & 0 &0&0 & b_0
}}
{\matrix{
\ldots\ldots &0 &\ldots \ldots\\
0 & \ldots \ldots&0\\
.&.&.\\
b_1 & \ldots &b_{n_2}
}}
{n_1}{n_2}{n_2}{n_1}
$$
\vskip5mm

Or, $S$ est un polyn\^ome \`a coefficients dans $\Z$ et si on note
$(U_{i,j}(X))$ les coefficients de la matrice r\'esultante on a
$$
S(X)=\sum_{\sigma \in S_{n_1+n_2}}\varepsilon (\sigma)U(\sigma)
\hbox{ o\`u }
U(\sigma)=U_{1,\sigma (1)}\ldots U_{n_1+n_2,\sigma (n_1+n_2)}.
$$

Calculons (ou majorons) le degr\'e des polyn\^omes $U(\sigma)$:

$\deg(U_{i,\sigma (i)})\le n_1$ pour $1\le i \le n_2$ et il y a \'egalit\'e si et
seulement si $\sigma (i)=i$ car les $n_2$ premi\`eres lignes ne font
intervenir que des termes de degr\'e au plus $n_1$, le degr\'e $n_1$
\'etant obtenu si le terme se trouve sur la diagonale.

$\deg(U_{i,\sigma (i)})\le 0$ pour $i\ge n_2+1$. D'o\`u $\deg(U(\sigma))\le n_1n_2.$ Ainsi
le degr\'e de S est inf\'erieur ou \'egal a $n_1n_2$ comme somme de
polyn\^omes de degr\'es inf\'erieurs ou \'egaux \`a $n_1n_2$.

La permutation identit\'e donne le terme $U(id)=R_0(X)^{n_2}$
polyn\^ome unitaire de degr\'e $n_1n_2$. Soit $\sigma (i)=i$ pour $i=1\ldots
n_2$ et $\sigma \ne  id$; $U(\sigma)$ comporte un terme nul provenant de la
sous-matrice triangulaire inf\'erieure est de taille $(n_1,n_2)$ de la
matrice r\'esultante; donc $U(\sigma)=0$. De sorte que $S$ est unitaire
de degr\'e $n_1n_2$. Enfin $S(z_1+z_2)=0$ vu que $P_2(Y)$ et
$P_1(z_1+z_2-Y)$ admettent $z_2$ comme racine commune.

\question %{ 3.2
V\'erifions que le produit de deux \'el\'ements de $\O$ est un
\'el\'ement de $\O$.

Soit $z_1,z_2$ dans $\O$
annulant les polyn\^omes unitaires $P_1$ et $P_2$ de degr\'es
respectifs $n_1$ et $n_2$. Comme $P_1$ est un polyn\^ome de $\Z[X]$ de
degr\'e $n_1$, $Y^{n_1}P_1(\frac XY)$ appartient \`a $\Z[X,Y]$.
Posons $\Pi(X)=\Res{\Q(X)}(Y^{n_1}P_1(\frac XY),P_2(Y))$; en
\'ecrivant la matrice r\'esultante et en adaptant le raisonnement
pr\'ec\'edent, on obtient que $\Pi$ est un polyn\^ome \`a coefficients
entiers unitaire de degr\'e $n_1n_2$. De plus $\Pi(z_1z_2)=0$ car
$Y^{n_1}P_1(\frac{z_1z_2}{Y})$ et $P_2(Y)$ ont $z_2$ comme racine
commune.

\partie[Un peu de g\'eom\'etrie alg\'ebrique dans le plan] %IV
\question %4.1
D\'ecomposons $P_1$ et $Q_1$ dans
$\C(X)[Y]$ en facteurs irr\'eductibles.

$P_1(X,Y)=X(Y-i)(Y+i)$ et $Q_1(X,Y)=(XY)^2(Y+\frac1X)$. Ils n'ont
pas de facteur commun, ils v\'erifient donc $(C_1)$. De plus, X
divise $P_1$ et $Q_1$ dans $\C[X][Y]$, donc $P_1,Q_1$ ne v\'erifient
pas $(C_2)$. On a $\deg(P_1)=3, \deg(Q_1)=5$.

Dans le deuxi\`eme exemple, ni $Y$ ni $Y-\frac1X$ ne divisent
$P_2$. Ainsi, $P_2$ et $Q_2$ n'ont pas de facteur commun dans
$\C(X)[Y]$, ils v\'erifient $(C_1)$. De plus, les coefficients de $P_2$
sont $X$ et $X+1$, aucun polyn\^ome en $X$ non constant ne peut les
diviser simultan\'ement, donc $P_2$, $Q_2$ v\'erifient $(C_2)$; enfin, $\deg(P_2)=3$.

$Q_3(X,Y)=P_3(X,Y)(X-Y)$. $P_3$ et $Q_3$ v\'erifient $(C_2)$, pas
$(C_1)$, et leur degr\'e respectif est 1 et 2.

\questiona %{ 4.2-a}
Puisque $P$ et $Q$
v\'erifient $(C_1)$, on peut \'ecrire une relation de Bezout: $\widetilde{A}P+
\widetilde{B}Q=1$ avec
$\widetilde{A}$ et $\widetilde{B}$ dans $\C(X)[Y]$. En chassant
les d\'enominateurs il vient $AP+BQ=C$ avec $A$ et $B$ dans
$\C[X][Y]$ et $C\in \C[X]$, tous non nuls.

\sousquestion %{ 4.2-b} \
Supposons d'abord que $P$ et $Q$ v\'erifient $(C_1)$ et $(C_2)$. Prenons
$(x_0,y_0)$ solution du syst\`eme associ\'e. D'apr\`es {\bf IV.2-a} on doit avoir
$C(x_0)=0$. D'o\`u un nombre fini de $x_0$ possibles.

$(C_2)$ permet d'\'ecrire une relation de Bezout $1=\sum
A_i(X)P_i(X)+B_j(X)Q_j(X)$. Evaluant ceci en $x_0$, on obtient en
particulier qu'au moins un des polyn\^omes
$P(x_0,Y)=\sum_{i=0}^nP_i(x_0)Y^i$ et
$Q(x_0,Y)=\sum_{j=0}^mQ_j(x_0)Y^j$ n'est pas nul.
Or $y_0$ doit \^etre racine de ce polyn\^ome non nul, d'o\`u un nombre fini
de possibilit\'es pour $y_0$ \`a $x_0$ fix\'e. Au final le syst\`eme a un
nombre fini de solutions.

R\'eciproquement, si $P$ et $Q$ ne v\'erifient pas $(C_2)$, soit $D(X)
\in \C[X]$ un diviseur commun non constant des $P_i(X),Q_j(X)$, et
soit $x_0\in \C$ une racine de $D$. Alors tout $(x_0,y),y\in \C$ est
solution du syst\`eme.

Enfin, si $P$ et $Q$ ne v\'erifient pas $(C_1)$, ils ont un facteur
commun $\widetilde{F}(X,Y)\in \C(X)[Y]$ qui n'est pas dans $\C(X)$.
Apr\`es avoir chass\'e les d\'enominateurs on obtient des relations
dans $\C[X][Y]$: $F(X,Y)R(X,Y)=P(X,Y)S(X)$ et $F(X,Y)T(X,Y)=
Q(X,Y)U(X)$ avec $S$ et $U$ dans $\C[X]$ non nuls.

$F(X,Y)=\sum_{k=0}^f P_k(X)Y^k$ avec $P_f(X)$ non nul, $ f\ge 1$. Alors
pour tout $x_1\in \C$ n'annulant ni $S$ ni $U$ ni $P_f$ (il y en a
une infinit\'e !), le polyn\^ome $F(x_1,Y)$ est non constant, et il a
une racine $y_1\in \C$. Ainsi le syst\`eme a une infinit\'e de solutions
$(x_1,y_1) $.

\question %{ 4.3}
Ecrivons $P(X,Y)=\sum_{k=0}^{\deg(P)}H_k(X,Y)$ en regroupant dans
$H_k(X,Y)$ tous les termes de degr\'e total $k$ de $P$. $H_k$ est la
composante homog\`ene de degr\'e $k$ de $P$. On \'ecrit
$H_{\deg(P)}=\sum_{i+j=\deg(P)}a_{ij}X^iY^j$ o\`u un des $a_{ij}$ est non nul
par (0.3).

Remarquons que $(X+\alpha Y)^iY^j=\alpha^iY^{i+j}+r_{ij}(X,Y)$ o\`u $r_{ij}(X,Y)$
est encore homog\`ene de degr\'e $i+j$, avec un degr\'e partiel en
$Y<i+j$, d'apr\`es la formule du bin\^ome. Ainsi
$H_{\deg(P)}(X+\alpha Y,Y)=Y^{\deg(P)}\sum_{i+j=\deg(P)}a_{ij}\alpha^i+r(X,Y)$ o\`u ce
reste $r$ a un degr\'e partiel en $Y$ inf\'erieur \`a $\deg(P)$.

De plus on a
$\deg(H_k(X+\alpha Y,Y))<\deg(P)$ d\`es que $k<\deg(P)$.

Finalement, il suffit de
choisir $\alpha $ hors de l'ensemble fini des racines du polyn\^ome non
nul $\sum_{i+j=\deg(P)}a_{ij}Z^i$ pour s'assurer que $n=\deg(P)$. De m\^eme
pour $Q$.

\question %{ 4.4} $\: $
On multiplie lignes et colonnes du d\'eterminant exactement de la
m\^eme mani\`ere qu'en {\bf I.4}: la colonne $C_j$ par $z^{j-1}$ pour $j$
entre 1 et $m+n$. On obtient $R(z)=$
$$
\resultant
{\matrix{ P_0 & P_1z &\ldots &\ldots\ldots& \ldots\ldots&P_{n-1}z^{n-1}\\
 0 & P_0z & \ldots&\ldots&.&\ldots\ldots\\
 \ldots&\ldots&\ldots&\ldots&\ldots&\ldots\\
 0 & \ldots\ldots & 0 &P_oz^{m-1}& P_1z^m & \ldots
}}
{\matrix{
 P_nz^n&0& \ldots\\
 \ldots&.&0 \\
 \ldots&.&.\\
 \ldots & P_{n-1}z^{n+m-2} &P_nz^{n+m-1}
}}
{\matrix{
Q_0 & Q_1z & \ldots\ldots & Q_{m-1}z^{m-1} & Q_mz^m &0\\
0 & Q_0z & \ldots & \ldots& \ldots\ldots & \ldots\ldots\\
\ldots&\ldots&\ldots&\ldots&\ldots&\ldots\ldots\\
 0 & \ldots & 0 & 0& 0 & Q_0z^{n-1}
}}
{\matrix{
 \ldots\ldots\ldots &0 & \ldots\ldots\\
 0 & \ldots\ldots &0\\
\ldots\ldots&.&\ldots\ldots\\
 Q_1z^n & \ldots\ldots &Q_mz^{m+n-1}\\
} }
{n}{m}{m}{n}$$
\vskip4mm

$P_k(X)$ est de degr\'e au plus $n-k$, $Q_l(X)$ au plus $m-l$. On
met en facteur sur les m premi\`eres lignes $ z^{n+i-1}$ (avec
$i=1\ldots m$). Les coefficients de ces lignes sont alors nuls ou
du type $\frac{P_k(z)}{z^{n-k}}$, donc born\'es quand $|z|\to \infty $.

On met en facteur sur les $n$ lignes suivantes $z^{i-1}$
$(i=m+1\ldots n+m)$, les coefficients deviennent des
$\frac{Q_l(z)}{z^{m-l}}$ born\'es quand $|z|\to \infty $, ou
restent nuls.

Finalement, puisqu'un d\'eterminant est polyn\^omial en ses
coefficients, on a obtenu que $R(z)/z^\alpha $ \'etait born\'e quand
$|z|\to \infty $, o\`u $ \alpha $ vaut:

$\alpha=\sum_{i=1}^m (n+i-1)+\sum_{i=m+1}^{m+n} (i-1)-\sum_{j=1}^{m+n}(j-1)
=mn$. $R(X)$ \'etant un polyn\^ome, $\frac{R(z)}{z^{mn}}$ born\'e
converge vers 0 ou vers le coefficient dominant de $R$ quand $|z|\to \infty $.

\question %{ 4.5}
Notons $\{(x_1,y_1),(x_2,y_2),\ldots,(x_N,y_N)\}$ les solutions du syst\`eme.

Effectuons de nouveau le changement lin\'eaire bijectif
d\'ej\`a utilis\'e en {\bf IV.3} $(x,y)\to  (x+\alpha y,y)$ pour que tous
ces points aient des abscisses diff\'erentes \underbar{et} que $n=\deg(P)$,
$m=\deg(Q)$ (cette seconde condition aura son importance\dots).

Il suffit pour la premi\`ere condition de choisir $\alpha $ tel que $x_i+\alpha
y_i\ne  x_j+\alpha y_j$, pour $i\ne  j$ soit au plus $N$ valeurs \`a \'eviter pour
$\alpha $; Il reste alors \`a compter les $x_i$ pour majorer $N$ (cf figure
1 ci-dessous).

Pour r\'ealiser en m\^eme temps la seconde
condition, on a vu en {\bf IV.3} qu'il suffisait que $\alpha $ \'evite en plus
un nombre fini de valeurs.

Fixons d\'esormais un tel $\alpha_0$. On remarque que le syst\`eme modifi\'e
a aussi $N$ solutions, donc par {\bf IV.2-b}, les polyn\^omes modifi\'es
v\'erifient encore $(C_1)$ et $(C_2)$. On les notera encore $P$ et
$Q$ dans la suite.

\hfil
\dessin{m00um-fb}{0.7mm}
\hfil
\dessin{m00um-fc}{0.7mm}

Projetons le probl\`eme sur l'axe
des abscisses (cf. figure 2) \`a l'aide du r\'esultant:

Si $(x_i,y_i)$ est solution du syst\`eme alors $P(x_i,Y)$ et
$Q(x_i,Y)$ ont une racine commune $y_i$, i.e. ne sont pas premiers
entre eux.
D'o\`u $0=\Res\C(P(x_i,Y),Q(x_i,Y))$.

Attention, d'apr\`es les d\'efinitions, ce d\'eterminant {\sl ne
vaut pas toujours $R(x_i)$} ! Il est a priori de taille
$\deg(P(x_i,Y))+\deg(Q(x_i,Y))$ inf\'erieure \`a
$\deg(P)+\deg(Q)$. Heureusement on a pris la pr\'ecaution de
suivre {\bf IV3\hbox{$^\circ$}}, et on est assur\'e que m\^eme apr\`es
\'evaluation en $x_i$, $P(x_i,Y)$ reste de degr\'e $\deg(P)$ et
de m\^eme $\deg(Q(x_i,Y))=\deg(Q)$. De sorte que
$\Res\C(P(x_i,Y),Q(x_i,Y))$ est de taille $\deg(P)+\deg(Q)$, il
vaut bel et bien $R(x_i)$.

Ainsi $R(x_i)=0$. Or d'apr\`es {\bf IV4\hbox{$^\circ$}}, $R(X)\in \C[X]$ est de
degr\'e $\le \deg(P)\deg(Q)$.

De plus, puisque $P$ et $Q$ v\'erifient
$(C_1)$, on v\'erifie gr\^ace \`a {\bf I3\hbox{$^\circ$}} que $R$ n'est pas un polyn\^ome nul.

Finalement, $R$ ayant au plus $\deg(P)\deg(Q)$ racines, on
obtient $N\le \deg(P)\deg(Q)$.

\question %{4.6}
Il n'y a pas toujours \'egalit\'e. Choisissons
$P_1(X,Y)=X-Y$ et $Q_1(X,Y)=X-Y+1$. Ils v\'erifient $(C_1)$ et
$(C_2)$ mais le syst\`eme associ\'e n'a pas de solution.
G\'eom\'etriquement, il s'agit de deux droites parall\`eles qui
ne se coupent qu'\`a l'infini.

Prenons maintenant $P_2(X,Y)=X^2$ et $Q_2(X,Y)=Y$. Ils
v\'erifient aussi $(C_1)$ et $(C_2)$. Le syst\`eme associ\'e n'a
qu'une solution (0,0), alors que $\deg(P)\deg(Q)=2$.

Cependant, on peut montrer (cf D.Perrin, G\'eom\'etrie
Alg\'ebrique) que si l'on se place dans le cadre projectif, et en
tenant compte des multiplicit\'es, le nombre de solutions du
syt\`eme est bien $\deg(P)\deg(Q)$ (Th\'eor\`eme de Bezout).

\bye

% David - Mis une boite et du texte en smallcaps
\fbox{\rule[-4 pt]{0 pt}{16 pt} ~\textsc{Compl\'ement: } {\bf Le
th\'eor\`eme de Pascal}.~}\\

{\bf Th\'eor\`eme} (Hexagone mystique de Pascal): \\ Soit ${\cal C}$ une conique non d\'eg\'en\'er\'ee, et 6 points distincts $\{M_1, M_2,M_3,M_4,M_5,M_6\}$ sur cette conique. Alors
 les droites qui portent les c\^ot\'es oppos\'es de l'hexagone construit sur
 $(M_1,M_2,M_3,M_4,M_5,M_6)$ se coupent en 3 points align\'es. \\

% Bidouille sale de chez sale, mais qui a le merite de marcher

~\hspace{-3 cm} {\parbox{16 cm}{
\begin{center}
\includegraphics[angle=0,width=16 cm, height=7.5 cm]{hexagone.eps}
\smallskip
{\sc Fig.} -- Hexagone de Pascal
\end{center}}

\underline{Preuve: } Le seul cas non trivial est celui o\`u les trois
points d'intersection $\{A_1,A_2,A_3\}$ sont dans le plan affine.
Choisissons $P$ dans $\C[X][Y]$ un polyn\^ome quadratique associ\'e \`a ${\cal C}$ et $\{(f_i,g_i), i=1,2,3\}$ des paires de polyn\^omes lin\'eaires associ\'es \`a des c\^ot\'es oppos\'es 2 \`a 2 de l'hexagone: \\
les trois premiers c\^ot\'es, construits sur $(M_1M_2),(M_2M_3),(M_3M_4)$
sont associ\'es respectivement \`a $f_1=0,f_2=0,f_3=0$ et les trois suivants
\`a $g_i=0$, o\`u $i=1,2,3$. On a $f_i(A_i)=g_i(A_i)=0$ pour $i=1,2,3$.\\ \
Soit $Q_\alpha :=g_1g_2g_3+\alpha f_1f_2f_3$ o\`u $\alpha \in \C$ est \`a choisir. $Q$ est de degr\'e au plus 3. Soit $\mathcal{B_\alpha }$ la cubique $\{(x,y) | Q_\alpha (x,y)=0\}$. ${\cal C}$ et $\mathcal{B_\alpha }$ ont au moins 6 points en commun: les $M_i$.
Choisissons alors $\alpha $ pour qu'ils en aient un septi\`eme. C'est possible,
car ${\cal C}$ \'etant non d\'eg\'en\'er\'ee, elle ne contient pas de droites $f_i$.
$\alpha_0$ \'etant ainsi choisi, d'apr\`es la forme faible du th\'eor\`eme de Bezout (4.5), $P$ et $Q_{\alpha_0}$ ne
 v\'erifient pas $((C_1) ~et~ (C_2))$.\\
${\cal C}$ \'etant non d\'eg\'en\'er\'ee, $P$ est irr\'eductible dans $\C[X][Y]$.
D'apr\`es le lemme de Gauss pour les contenus,
 ne reste que la possibilit\'e o\`u $P$ divise $Q_{\alpha_0}$ dans $\C(X)[Y]$ et m\^eme dans
$\C[X][Y]$.
 Cela s'\'ecrit $Q_{\alpha_0}=DP$ o\`u D est lin\'eaire.\\
Mais alors les $A_i$, qui annulent $Q_{\alpha_0}$ et pas $P$,
doivent annuler D. Ils sont donc align\'es.

\bye


