%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% ULM-LYON 2000 ENONCE %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
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% Titre du pb.
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\grostitre{ENS Ulm-Lyon 2000}

Soit $f$ une fonction dans $\cur C^{\infty}(\R^d,\R^d)$ (d\'efinie
sur $\R^d$ et \`a valeurs dans $\R^d$). L'objet de ce probl\`eme est
l'\'etude de propri\'et\'es qualitatives du syst\`eme d'\'equations
diff\'erentielles
$$
\frac{\dx}{\dt}(t)=f(x(t))\leqno\qquad(E)
$$
o\`u $x$ est une fonction d\'efinie sur un intervalle de $\R$ \`a
valeurs dans $\R^d$. La norme euclidienne usuelle de $\R^d$ sera
not\'ee $\|.\|$ et $B(x,r)$ d\'esignera la boule ouverte de centre $x$
et de rayon $r$. On notera $\re z$ la partie r\'eelle du nombre
complexe $z$. La diff\'erentielle de $f$ en un point $x_0\in \R^d$ sera
not\'ee $\df(x_0)$. Soit $x_0 \in \R^d$ et trois r\'eels $t_1<t_0<t_2$. On
dira qu'une solution $x\in \cur C^1([t_1,t_2],\R^d)$ de $(E)$ passe
par $x_0$ \`a l'instant $t_0$ si $x(t_0)=x_0$. Une solution $x(t)$ de
$(E)$ sera aussi appel\'ee trajectoire de $(E)$. On admet le
th\'eor\`eme de Cauchy-Lipschitz (avec d\'ependance $\cur C^\infty$ en
les donn\'ees initiales), qu'on utilisera sans d\'emonstration:

\theo de Cauchy-Lipschitz.
Soit $f\in \cur C^\infty(R^d,R^d)$ et $t_0 \in \R$, $x_0 \in \R^d$. Alors il
existe $\tau>0$ et $r>0$ et une fonction $\varphi (t, y)$ de classe $\cur
C^\infty$, d\'efinie sur $]t_0 - \tau,t_0+\tau [\times B(x_0, r)$, \`a
valeurs dans $\R^d$, telle que
$$
\varphi (t_0,y)=y\qquad\hbox{et}\qquad\dpar{\varphi }t(t,y)=f(\varphi (t,y))
$$
pour tout $(t, y)\in ]t_0 - \tau,t_0+\tau [\times B(x_0,r)$.

On rappelle d'autre part qu'il existe une unique solution
maximale $x(t)$ de $(E)$ passant par $x_0$ en $t_0$. Cette solution
est d\'efinie sur un intervalle ouvert $]a,b[$ avec $a<t_0<b$ et
si $b<+\infty $ (respectivement $a>-\infty $) alors $\Sup_{t\in [t_0,b[}\|x(t)\|
=+\infty$ (respectivement $\sup_{t\in ]a,t_0]}\|x(t)\|=+\infty $).

Un point $x_0\in \R^d$ est dit point {\it critique} de $f$ si $f(x_0)
=0$.

\defi 1 (stabilit\'e d'un point critique).
Un point critique $x_0$ est dit stable s'il existe $\eta>0$ tel
que, pour tout $x_1\in B(x_0,\eta)$, il existe une solution $x(t)$ de
$(E)$
d\'efinie pour tout $t\ge 0$ v\'erifiant $x(0)=x_1$ et
$$\Lim_{t\to+\infty }\|x(t) - x_0\|=0\>.$$
Un point critique est dit instable s'il n'est pas stable.

Une solution $x(t)$ de $(E)$ est dite {\it p\'eriodique} si elle est d\'efinie pour tout
$t\in \R$ et s'il existe $T>0$ tel que $x (t+T)=x (t)$ pour
tout $t\in \R$.

Soit
$$
\cur C=\{x\in \R\ /\ \frac12\le |x|\le 1\}\>.
$$
On dit que $\cur C$ est absorbante pour $f\in \cur
C^\infty(\R^2,\R^2)$ si $f(x).x<0$ pour tout
$x\in \R^2$ tel que $|x|=1$ et si $f(x).x>0$ pour tout $x \in \R^2$
tel que $|x|=1/2$.

La premi\`ere partie du probl\`eme \'etablit quelques propri\'et\'es de
stabilit\'e des points critiques. La seconde partie esquisse une
classification topologique des points critiques. La troisi\`eme
partie est consacr\'ee \`a la preuve du th\'eor\`eme suivant:

\theo de Poincar\'e-Bendixson.
Soit $f\in \cur C^\infty(\R^2,\R^2)$. On suppose que $\cur C$ est
absorbante pour $f$ et que $f$ n'a pas de points critiques dans
$\cur C$. Alors il existe une solution p\'eriodique $x$ de $(E)$,
non constante, avec $x(t)\in \cur C$, pour tout $t\in \R$.

Les parties 2 et 3 sont ind\'ependantes.

\partie[Stabilit\'e de points critiques]

Soit dans cette partie $f\in \cur C^\infty (\R^d,\R^d)$ (avec $d\ge 2$) telle
que $f(0)=0$.

\question %1)
On suppose dans cette question que les parties r\'eelles des
valeurs propres de $\df(0)$ sont strictement n\'egatives. Soit $\lambda_0$ la
plus grande des parties r\'eelles des valeurs propres de $\df(0)$.

\sousquestion %1a
Montrer que pour tout $\lambda >\lambda_0$ il existe un produit scalaire
hermitien sur $\C^d$, not\'e $\<.|.>$, tel que
$$
\re\<\df(0)x|x>\le \lambda \<x|x>\>.
$$
On pourra commencer par le cas $\df(0)$ diagonalisable (dans
$\C$), avant de traiter le cas o\`u $\df(0)$ est trigonalisable.

\sousquestion %1b
Montrer
que pour tout $\lambda>\lambda_0$ il existe un produit scalaire euclidien
(toujours not\'e $\<.|.>$) et un r\'eel $\sigma>0$ tel que
$$
\<f(x)|x>\le \lambda \<x|x>\>
$$
pour tout $x$ tel que $\|x\|\le \sigma $.

\sousquestion %1c
En d\'eduire que 0 est stable. Montrer que pour tout $\lambda>\lambda_0$,
$\|x(t)\|=\cur O(\exp(\lambda t))$ quand $t\longrightarrow+\infty $. Montrer par un exemple
que l'on n'a pas n\'ecessairement $\|x(t)\|=\cur O(\exp(\lambda_0t))$
quand $t\longrightarrow+\infty $.

\question %2)
On suppose dans cette question que les parties r\'eelles des
valeurs propres de $\df(0)$ sont strictement positives. Montrer que
0 est un point critique instable.

\question %3)
Montrer par des exemples
que si les valeurs propres de $\df(0)$ sont imaginaires pures,
alors on ne peut conclure ni \`a la stabilit\'e ni \`a l'instabilit\'e de
0.

\question %4)
Soit dans toute cette question $d=2$ et $f\in \cur C^\infty (\R^2,\R^2)$
telle que sa diff\'erentielle $\df(0)$ en 0 ait une valeur propre
r\'eelle strictement positive $\lambda $ et une valeur propre r\'eelle
strictement n\'egative $\mu $.

\sousquestion %4a)
On rappelle que l'exponentielle d'une
matrice $A$ est d\'efinie par
$$
\exp(A)=\sum_{n\ge 0}\frac{A^n}{n!}\>.
$$
Soit $x_0\in \R^2$ un vecteur. V\'erifier que la d\'eriv\'ee de
$t\longmapsto \exp(tA)x_0$ est
$A\exp(tA)x_0$.

\sousquestion %4b)
Soit $e_\mu $ un vecteur propre correspondant \`a la
valeur propre $\mu $. On note $\df(0)=A$. On d\'efinit une suite de
fonctions $(u_n)_{n\in \N}$ par r\'ecurrence:
$u_0(t)=0$ et
$$
u_{n+1}(t)=\exp(tA)e_\mu -\int_t^{+\infty}\exp(A(t-\tau))(f(u_n(\tau))-Au_n(\tau)){\rm
d}\tau
\>.$$
V\'erifier que la
suite est bien d\'efinie. Montrer qu'il existe $C_0>0$ et $T_0>0$
tels que $\|u_n(t)\|\le  C_0\exp(\mu t)$ pour tout $t\ge T_0$ et pour tout
$n\ge 0$.

\sousquestion %4c)
Montrer qu'il existe $T_1\ge T_0$ tel que la suite de fonctions
$u_n(t)\exp(-\mu t)$ converge uniform\'ement pour $t\ge T_1$.

\sousquestion %4d)
En d\'eduire que pour $r$ assez petit il existe deux trajectoires
distinctes $x_1(t)$ et $x_2(t)$ de $(E)$ d\'efinies pour $t\ge 0$
telles que $\|x_1(0)\|=\|x_2(0)\|=r$ et telles que $x_1(t)\longrightarrow 0$ et
$x_2(t)\longrightarrow 0$ quand $t\longrightarrow+\infty $.

\sousquestion %4e)
Montrer de m\^eme que pour $r$ assez petit il existe deux solutions distinctes
$x_3(t)$ et $x_4(t)$ de $(E)$ d\'efinies pour $t\le 0$ telles que $\|x_3(0)\|=
\|x_4(0)\|=r$ et telles que $x_3(t)\longrightarrow 0$ et $x_4(t)\longrightarrow 0$ quand
$t\longrightarrow -\infty $.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% PARTIE II %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\partie[Stabilit\'e topologique]

Soient $f$ et $g$ deux fonctions $\cur C^\infty (\R^d,\R^d)$ admettant 0
pour point critique. On d\'esigne par $\varphi $ et $\psi $ les solutions
respectives des \'equations
$$
\matrix{
\varphi (0,x_0)=x_0\,,&\frac{{\rm d}\varphi (t,x_0)}{\dt}=f(\varphi (t,x_0))\\
\psi (0,x_0)=x_0\,,&\frac{{\rm d}\psi (t,x_0)}{\dt}=g(\psi (t,x_0))\>.}
$$
On dit que $f$ et $g$ sont topologiquement \'equivalentes (sous
entendu: au voisinage du point critique 0) s'il existe un
hom\'eomorphisme $T$ (bijection continue d'inverse continue) d'un
ouvert de $\R^d$ contenant 0 dans un ouvert de $\R^d$ contenant
0, envoyant 0 sur 0, et $\varepsilon>0$ et $\tau >0$, tels que l'\'egalit\'e suivante
ait un sens et ait lieu pour $\|x\|<\varepsilon $ et $|t|<\tau $:
$$
T(\varphi (t,x))=\psi (t,T(x))\>.
$$
On dit que $f$ et $g$ sont lin\'eairement \'equivalentes si $f$ et
$g$ sont deux applications lin\'eaires et s'il existe une
application lin\'eaire et inversible $T$ telle que $T(\varphi (t,x))=
\psi (t,T(x))$ pour tous $t\in \R$ et $x\in \R^d$.

\question %1)
Soient $A$ et $B$ deux matrices $d\times d$ et $f$, $g$ d\'efinies
sus $\R^d$ par $f(x)=Ax$ et $g(x)=Bx$ pour tout $x\in \R^d$.
Montrer que $f$ et $g$ sont lin\'eairement \'equivalentes si et seulement
si $A$ et $B$ sont deux matrices semblables.

\question %2)
Soient $f$ et $g$ d\'efinies comme dans la question pr\'ec\'edente.

\sousquestion %2a)
On suppose que les parties r\'eelles de toutes les valeurs propres
de $A$ sont strictement n\'egatives et qu'il existe une valeur propre
de $B$ r\'eelle strictement positive. Montrer que $f$ et $g$ ne sont pas
topologiquement \'equivalentes.

\sousquestion %2b)
On suppose que $A$ et $B$ n'ont que des valeurs propres de partie
r\'eelle nulle. $f$ et $g$ sont elles toujours topologiquement
\'equivalentes ?

\sousquestion %2c)
On suppose que les parties r\'eelles des valeurs propres de $A$ et $B$
sont strictement n\'egatives. Montrer que $f$ et $g$ sont
topologiquement \'equivalentes. Peut-on toujours choisir $T$ de
classe $\cur C^1$ ainsi que son inverse?

\question %3)
Soit $f\in \cur C^\infty (\R^d,\R^d)$ telle que sa diff\'erentielle $\df(0)$
en 0 n'ait que des valeurs propres de partie r\'eelle strictement
n\'egative. Montrer que les fonctions $f$ et $x\longmapsto \df(0).x$ sont
topologiquement \'equivalentes.

\question %4)
Montrer que pour tout entier $N\ge 2$ il existe $f\in \cur
C^\infty(\R^2,\R^2)$ telle qu'il existe exactement $N$ solutions
maximales distinctes de $(E)$ tendant vers 0 quand $t$ tend vers $+\infty $,
et exactement $N$ solutions maximales distinctes tendant vers 0
quand $t$ tend vers $-\infty $. On pourra se contenter d'un dessin pr\'ecis
donnant l'allure des orbites. En d\'eduire qu'il existe un nombre
infini de classes d'\'equivalence pour la relation \og \^etre
topologiquement \'equivalent \`a\fg.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% PARTIE III %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\partie[Existence d'une solution p\'eriodique]

On se place dans cette partie en dimension $d=2$. On dit qu'un
segment $[a, b]$ de $\R^2$ est {\it transverse} pour $f$ si
$f(x)\ne 0$ sur ce segment et si $f(x)$ n'est jamais colin\'eaire au
vecteur $\overrightarrow{ab}$ quand $x\in [a, b]$. Le candidat est
invit\'e \`a s'aider de dessins dans la recherche des solutions aux
questions, en particulier pour les questions 1d et 1e, et pourra
utiliser sans d\'emonstration le th\'eor\`eme de Jordan, \'enonc\'e
ci-apr\`es.

\theo de Jordan. On appelle courbe de Jordan l'image d'une
application continue $c: [0,1]\longrightarrow \R^2$ telle que $c(0)=c(1)$ et
$c(t)\ne c(s)$ pour $0\le t<s<1$. Le compl\'ementaire d'une courbe de
Jordan a deux composantes connexes (\og l'int\'erieur\fg\ et \og
l'ext\'erieur\fg) dont une seule est non born\'ee.

\question %1)
Montrer que:                  

\sousquestion %1a)
Pour tout $x\in \R^2$ tel que $f(x)\ne  0$, il existe $a$ et $b\in \R^2$, avec
$a \ne  b$ et $x\in ]a, b[$, tel que le segment $[a, b]$ soit transverse
pour $f$.

\sousquestion %1b)
Soit $[a, b]$ un segment transverse. Toutes les courbes $x (t)$
solutions de $(E)$ qui le traversent le traversent dans le m\^eme
sens.

\sousquestion %1c)
Soit $[a,b]$ un segment transverse. Pour tout $x_0\in [a,b]$ et pour
tout $\varepsilon >0$, il existe $\tau >0$ v\'erifiant la propri\'et\'e suivante:
pour toute solution $x(t)$ de $(E)$ passant \`a l'instant 0 en un
point de $B(x_0,r)$, il existe $t$ tel que $0<t<\varepsilon $ et
$x(t)\notin B(x_0,r)$.

\sousquestion %1d)
Une solution p\'eriodique $x (t)$ de $(E)$ coupe un segment
transverse en au plus un point.

\sousquestion %1e)
Supposons qu'une solution $x (t)$ ($0\le t\le T$) non ferm\'ee coupe un
segment transverse en un nombre fini de points $x_i$ aux temps
respectifs $t_i$ avec $0\le t_1 \le t_2<\dots<t_N<T$. Alors les
$x_i$ sont ordonn\'es sur le segment $[a, b]$.

\question %2)
Soit $x(t)$ une solution de $(E)$ d\'efinie pour tout $t\ge 0$ et soit
$C^+$ la courbe
$$C^+=\{ x (t), t\ge  0 \}\>.$$
On suppose de plus que $C^+\subset B(0,1)$. On d\'efinit
$$
L(C^+)=\{y\in \R^2\ /\ \exists (t_n)_{n\in\N},\ \Lim_{n\to+\infty }t_n=+\infty,\
\Lim_{n\to+\infty }x(t_n)=y\}\>.
$$
Montrer que $L(C^+)$ est ferm\'e et invariant (c'est-\`a-dire
que si $x_0\in L(C^+)$, toute solution $x(t)$ de $(E)$ avec
$x(0)=x_0$ d\'efinie sur un intervalle $[0,T]$ v\'erifie
$x(t)\in L(C^+)$ pour tout $0\le t \le  T)$.

\question %3)
Si $C^+$ et $L(C^+)$ ont un point commun $y$ non singulier,
montrer que $x(t)$ est une solution p\'eriodique. On pourra
consid\'erer un segment transverse passant par $y$ et utiliser les
propri\'et\'es d\'emontr\'ees en 1.

\question %4)
Montrer que $L(C^+)$ est le graphe d'une solution p\'eriodique
de $(E)$.

\question %5)
En d\'eduire le th\'eor\`eme de Poincar\'e-Bendixson.

\question %6)
Montrer que le th\'eor\`eme de Poincar\'e-Bendixson est faux si on
remplace \og$f$ n'a pas de points critiques dans $\cur C$\fg\ par
\og tous les points critiques de $f$ dans $\cur C$ sont
instables\fg\ (le candidat pourra se contenter de dessiner
soigneusement un contre-exemple et ne v\'erifiera pas que $f\in \cur
C^\infty $). Trouver une bonne condition sur les points critiques pour
que le th\'eor\`eme soit encore vrai.

\bye

