\documentclass[10pt,a4paper,francais]{article}
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% tir\'e de a4wide.sty
\oddsidemargin  0.15 in     %   Left margin on odd-numbered pages.
\evensidemargin 0.35 in     %   Left margin on even-numbered pages.
\marginparwidth 1 in        %   Width of marginal notes.
\oddsidemargin 0.25 in      %   Note that \oddsidemargin = \evensidemargin
\evensidemargin 0.25 in
\marginparwidth 0.75 in
\textwidth 5.875 in 				%		Width of text line.


\renewcommand{\theenumi}{\arabic{enumi}}
\renewcommand{\labelenumi}{$\mathbf{\theenumi.}$}
\renewcommand{\theenumii}{\alph{enumii}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii)}}

\setlength{\leftmargini}{0pt}
\setlength{\leftmarginii}{1.2em}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%	Quelques macros

\renewcommand{\leq}{\leqslant}
\renewcommand{\geq}{\geqslant}

\newcommand{\dps}{\displaystyle}

\newcommand{\N}{\mathbf{N}}
\newcommand{\R}{\mathbf{R}}

\newcommand{\abs}[2][\big]{#1\lvert #2 #1\rvert}
	% valeur absolue...

\newcommand{\into}[3][\big]{\mathopen{#1]}#2,#3\mathclose{#1[}}
	% intervalle ouvert ]#2;#3[
\newcommand{\intof}[3][\big]{\mathopen{#1]}#2,#3 #1\rbrack}
	% intervalle ouvert-ferm\'e ]#2;#3]
\newcommand{\intfo}[3][\big]{#1\lbrack #2,#3 \mathclose{#1[}}
	% intervalle ferm\'e-ouvert [#2;#3[
\newcommand{\intf}[3][\big]{#1\lbrack  #2,#3 #1\rbrack}
	% intervalle ferm\'e [#2,#3] 

\newcommand{\dt}[1][t]{\mathrm{d}\mspace{-0.5mu}#1}
	%	\'el\'ement diff\'erentiel dans une int\'egrale, dtpar d\'efaut

%\def\buildrel#1_#2^#3{\mathrel{\mathop{\kern 0pt#1}\limits_{#2}^{#3}}}
	% d\'efinit une macro pour mettre #2 en dessous et #3 au dessus de #1
%\newcommand{\tend}[1][n]{\buildrel{\longrightarrow}_{#1}^{}}
	% -> avec un "n" dessous par d\'efaut
\newcommand{\tend}[1][n]{\xrightarrow[#1]{}}
	%	-> avec un "n" dessous par d\'efaut, la fl\`eche est extensible, tir\'e de AMSmath


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\theoremstyle{remark}
\newtheorem*{NB}{Remarque}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% le truc de M. Quercia

\makeatletter
\font\@upstt=cmtt10
\def\ps@ups{\let\@mkboth\@gobbletwo%
	    \let\@oddhead\@empty%
			\def\@oddfoot{\@upstt\hfil\@upstitle\ - page \thepage\ifodd\count0\hfill\fi}%
			\let\@evenhead\@empty%
			\let\@evenfoot\@oddfoot%
	}
\edef\@upstitle{\jobname.tex}      % nom du fichier
\pagestyle{ups}
\ifx\numerodepage\undefined\count0=1\else\count0=\numerodepage\fi   % num\'ero de la premi\`ere page
\makeatother


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\begin{document}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{center}
\Large
Concours \textsf{ENSAIT} \oldstylenums{2000}\\
Toutes option \\
MATH\'EMATIQUES 1\\
Dur\'ee deux heures\\[1ex]
\normalsize
%titre
\textit{Infinit\'e de z\'eros des solutions d'une \'equation diff\'erentielle}\\[1ex]
Jean-Luc Queva et Pascal Terrien	\\
\texttt{jean-luc.queva@mail.ac-lille.fr},
\texttt{pascal.terrien@ifrance.com}

\end{center}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\vspace{3ex}
\begin{center}
\hrulefill\\[2ex]
\textsf{\large Pr\'eliminaire.	Structure des solutions}\\[-1ex]
\hrulefill
\end{center}
%--------------------------------------------------

$E$ est l'ensemble des solutions d'une \'equation diff\'erentielle du second ordre,
lin\'eaire, scalaire, \`a coefficients continues, sans second membre et r\'esolue en
$y''$. Une cons\'equence du th\'eor\`eme de Cauchy-Lipschitz montre que $E$ est un
$\R$-espace vectoriel de dimension deux.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\vspace{3ex}
\begin{center}
\hrulefill\\[2ex]
\textsf{\large Partie I. \'Etude d'exemples
}\\[-1ex]
\hrulefill
\end{center}
%--------------------------------------------------

\begin{enumerate}
	\item 
	\begin{enumerate}
		\item $(Eq)$ est l'\'equation $y''+y=0$ dont les solutions sont les combinaisons
lin\'eaires des fonctions $\sin$ et $\cos$.
\begin{center}
	\fbox{$\dps 
		y\in E\iff \exists (C_1,C_2)\in\R^2,\
		\forall x\in\into{0}{+\infty},\ y(x)=C_1\cos x+C_2\sin x
	$}
\end{center}

		\item Soient $(C_1,C_2)\neq(0,0)$ et $C=\sqrt{C_1^2+C_2^2}>0$; il existe un unique
$\varphi\in\intfo{0}{2\pi}$ tel que $\cos\varphi=C_1/C$ et $\sin\varphi=C_2/C$.
Ainsi, pour tout $x>0$
$$
y(x)=C_1\cos x+C_2\sin x=C\cos\varphi\cos x+C\sin\varphi\sin x=C\cos(x-\varphi)
$$
La fonction $y$ est soit identiquement nulle ($C=0$), soit admet
$\varphi+\pi/2+n\pi$ pour racines, $n\in\N$.
	\end{enumerate}
	
	\item
	\begin{enumerate}
		\item La fonction $f_1$ est ind\'efiniment d\'erivable sur l'intervalle
$\into{0}{+\infty}$ et
$$f_1''(x)=
-\frac{\sin x}{x}-2\frac{\cos x}{x^2}+2\frac{\sin x}{x^3}+\cos x=
-\Big(1+\frac{2}{x^2}\Big)f_1(x)
$$

De $\dps\lim_0\frac{\sin x}{x}=1$, on tire que $\dps\lim_0 f_1(x)=0$

La fonction $\sin$ est d\'eveloppable en s\'erie enti\`ere sur $\R$ et
$$
\forall x\in\R\setminus\{0\},\ \frac{\sin x}{x}=1+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{(2n+1)!}x^{2n}
$$
$x\mapsto x^{-1}\sin x$, somme d'une s\'erie enti\`ere de rayon de convergence
infini, se prolonge en une fonction de classe infinie sur $\R$ et
$f_1$, combinaison lin\'eaire de deux fonctions de classe infinie, se prolonge en
une fonction de classe infinie sur l'intervalle $\intfo{0}{+\infty}$.

Si $n\in\N\setminus\{0\}$, $f_1(n\pi)=-(-1)^n$; le th\'eor\`eme des valeurs
interm\'ediaires montre l'existence d'une racine sur l'intervalle
$\into{n\pi}{(n+1)\pi}$, et donc d'une infinit\'e de racines sur $\into{0}{+\infty}$.

		\item	La fonction $f_2$ est ind\'efiniment d\'erivable sur $\into{0}{+\infty}$ et pour tout $x\in \into{0}{+\infty}$
$$
f_2''(x)+\Bigl(1-\frac{2}{x^2}\Bigr)f_2(x)=2(1-a)\frac{\sin x}{x}
$$
\begin{center}
	\fbox{$\dps
	f_2\in E\iff a=1
	$}
\end{center}

		\item	Les fonctions $f_1$ et $f_2$ ne sont pas proportionnelles et
appartiennent \`a $E$; elles constituent une base de $E$. Toute solution $y$ de
$(Eq)$ est une combinaison lin\'eaire de $f_1$ et $f_2$, soit :
\begin{align*}
	y(x)	&=	C_1\biggl(\frac{\sin x}{x}-\cos x\biggr)+C_2\biggl(\frac{\cos x}{x}+\sin x\biggr)\\
				&=	\frac{C_1\sin x+C_2\cos x}{x}+\Bigl(-C_1\cos x+C_2\sin x\Bigr)	\\
				&=	C\biggl\{\frac{\cos(x-\varphi)}{x}+\sin(x-\varphi)\biggr\}=C\,f_2(x-\varphi)
					=C\,f_1(x-\frac{\pi}{2}-\varphi)
\end{align*}
en posant $C=\sqrt{C_1^2+C_2^2}$ et $\varphi$ l'unique \'el\'ement de
$\intfo{0}{2\pi}$ tel que $\cos\varphi=C_2/C$ et $\sin\varphi=C_1/C$, pourvu que $C$
ne soit pas nul soit $(C_1,C_2)\neq(0,0)$.
\begin{center}
	\fbox{
		Toute solution non identiquement nulle de $(Eq)$ admet une infinit\'e de
		racines sur $\into{0}{+\infty}$
	}
\end{center}
	\end{enumerate}

	\item
	\begin{enumerate}
		\item	Soit $f\in\mathcal{C}^2\bigl(\into{0}{+\infty},\R\bigr)$.
$$
f\in E\iff
\forall x>0,\ f''(x)+\Bigl(1-\frac{6}{x^2}\Bigr)f(x)=0\iff
\forall x>0,\ x^2f''(x)+(x^2-6)f(x)=0
$$

		\item	On suppose $f$ d\'eveloppable en s\'erie enti\`ere sur $\into{-R}{R}$ avec
$R>0$. On a, pour $x\in \into{-R}{R}$,
$$
x^2 f(x)=x^2\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n=\sum_{n=2}^{\infty} a_{n-2} x^n
\text{ et }
x^2 f''(x)=x^2\sum_{n=2}^{\infty} n(n-1)a_n x^{n-2}=\sum_{n=2}^{\infty} n(n-1) a_n x^n
$$
ce qui donne pour tout $x\in \into{-R}{R}$
\begin{align*}
	0	&=	x^2f''(x)+(x^2-6)f(x)
			=	\sum_{n=2}^{\infty} n(n-1) a_n x^n+\sum_{n=2}^{\infty} a_{n-2}\, x^n
					-6\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n																				\\
		&=	-6a_0-6a_1+\sum_{n=2}^{\infty}\bigl\{n(n-1)a_n+a_{n-2}-6a_n\bigr\}x^n	\\
		&=	-6a_0-6a_1+\sum_{n=2}^{\infty}\bigl\{(n^2-n-6)a_n+a_{n-2}\bigr\}x^n
\end{align*}
L'unicit\'e du d\'eveloppement en s\'erie enti\`ere sur $\into{-R}{R}$ montre que :
\begin{center}
	\fbox{$\dps
		0=a_0=a_1\text{ et }
		\forall n\geq2,\ 0=(n^2-n-6)a_n+a_{n-2}=(n-3)(n+2)a_n+a_{n-2}
	$}
\end{center}

	Si $n$ est pair, $n=2p$, on obtient $(2p-3)(2p+2)a_{2p}+a_{2p-2}=0$ pour
$p\geq1$, soit
\begin{align*}
	a_{2p}
	&=	\frac{-1}{(2p-3)(2p+2)}a_{2p-2}=
				\frac{-1}{(2p-3)(2p+2)}\frac{-1}{(2p-5)(2p)}a_{2p-4}		\\
	&=	\frac{-1}{(2p-3)(2p+2)}\frac{-1}{(2p-5)(2p)}\times\cdots\times\frac{-1}{(-1)(4)}a_{0}=0
\end{align*}

	Si $n$ est impair, $n=2p+1$, on obtient $(2p-2)(2p+3)a_{2p+1}+a_{2p-1}=0$ pour
$p\geq1$ ($n\geq3$), soit pour $p\geq2$
\begin{align*}
a_{2p+1}
	&=	\frac{-1}{(2p-2)(2p+3)}a_{2p-1}
				=\frac{-1}{(2p-2)(2p+3)}\frac{-1}{(2p-4)(2p+1)}a_{2p-3}		\\
	&=	\frac{-1}{(2p-2)(2p+3)}\frac{-1}{(2p-4)(2p+1)}\times\cdots\times\frac{-1}{(2)(7)}a_{3}	\\
	&=	\frac{(-1)^{p-1}}{\bigl(2\times4\times\cdots\times(2p-2)\bigr)
									\times\bigl(7\times 9\times\cdots\times(2p+3)\bigr)}a_3		\\
	&=	\frac{(-1)^{p-1}(2p)(2p+2)(3)(5)}{(2p+3)!}a_3
\end{align*}
Le crit\`ere de D'Alembert montre que la s\'erie enti\`ere obtenue a un rayon de
convergence \'egal \`a l'infini.
\begin{center}
	\fbox{$\dps
		\forall p\in\N,\ a_{2p}=0\text{ et }\forall p\geq1,\
				a_{2p+1}=(-1)^{p-1}60\frac{p(p+1)}{(2p+3)!}a_3
	$}
\end{center}
\begin{center}
	\fbox{$\dps
		\text{Les fonctions solutions sont proportionnelles \`a : }
			x\in\R\mapsto\sum_{p=1}^{\infty}(-1)^{p-1}\frac{p(p+1)}{(2p+3)!}x^{2p+1}
	$}
\end{center}
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\vspace{3ex}
\begin{center}
\hrulefill\\[2ex]
\textsf{\large Partie II. Une \'equation fonctionnelle v\'erifi\'ee par les solutions
}\\[-1ex]
\hrulefill
\end{center}
%--------------------------------------------------

\begin{enumerate}
	\item De $y(x)=\lambda(x)\cos x+\mu(x)\sin x$, on tire $y'(x)=-\lambda(x)\sin
x+\mu(x)\cos x$ puisque $\lambda'(x)\cos x+\mu'(x)\sin x$ est identiquement nul
sur $\into{0}{+\infty}$, puis
$y''(x)=-\lambda'(x)\sin x+\mu'(x)\cos x-\lambda(x)\cos x-\mu(x)\sin x$. En
reportant dans $(Eq)$, il vient
\begin{center}
	\fbox{$\dps
	y:x\mapsto \lambda(x)\cos x+\mu(x)\sin x\ \in E\iff
	\forall x>0,\ \lambda'(x)\sin x-\mu'(x)\cos x=g(x)y(x)
	$}
\end{center}

	\item	R\'esolvons le syst\`eme d'inconnues $\lambda'(x)$ et $\mu'(x)$ :
$$
\left.
\begin{array}{rcl}
	\lambda'(x)\cos x+\mu'(x)\sin x	&=	&0				\\
	\lambda'(x)\sin x-\mu'(x)\cos x	&=	&g(x)y(x)
\end{array}
\right\}
\iff
\left\{
\begin{array}{rcl}
	\lambda'(x)	&=	&g(x)y(x)\sin x			\\
	\mu'(x)			&=	&-g(x)y(x)\cos x
\end{array}
\right.
$$
ce qui donne
$$
\lambda(x)=\lambda(a)+\int_a^x g(u)\,y(u)\sin u\,\dt[u],\ \ 
\mu(x)=\mu(a)-\int_a^x g(u)\,y(u)\cos u\,\dt[u]
$$
d'o\`u l'expression de $y$ en posant $C_1=\lambda(a)$ et $C_2=\mu(a)$
\begin{align*}
	\forall x>0,\ y(x)
	&=	C_1\cos x+C_2\sin x+\cos x\int_a^x g(u)\,y(u)\sin u\,\dt[u]
				-\sin x\int_a^x g(u)\,y(u)\cos u\,\dt[u]		\\
	&=	C_1\cos x+C_2\sin x+\int_a^x g(u)\,y(u)(\sin u\cos x-\cos u\sin x)\,\dt[u]		\\
	&=	C_1\cos x+C_2\sin x+\int_a^x g(u)\,y(u)\sin(u-x)\,\dt[u]
\end{align*}

	\item	Voir ci-dessus.
	\item	D\'erivons la fonction $y$ pour $x>0$ :
\begin{align*}
	y(x)	&=	C_1\cos x+C_2\sin x+\cos x\int_a^x g(u)\,y(u)\sin u\,\dt[u]
								-\sin x\int_a^x g(u)\,y(u)\cos u\,\dt[u]											\\
	y'(x)	&=	-C_1\sin x+C_2\cos x-\sin x\int_a^x g(u)\,y(u)\sin u\,\dt[u]
							+\cos x\,g(x)\,y(x)\sin x																			\\
				&\qquad\qquad	-\cos x\int_a^x g(u)\,y(u)\cos u\,\dt[u]
							-\sin x\,g(x)\,y(x)\cos x																			\\
				&=	-C_1\sin x+C_2\cos x-\sin x\int_a^x g(u)\,y(u)\sin u\,\dt[u]
							-\cos x\int_a^x g(u)\,y(u)\cos u\,\dt[u]												\\
	y''(x)	&=	-C_1\cos x-C_2\sin x-\cos x\int_a^x g(u)\,y(u)\sin u\,\dt[u]
								+\sin x\int_a^x g(u)\,y(u)\cos u\,\dt[u]-g(x)\,y(x)						\\
					&=	-y(x)-g(x)\,y(x)
\end{align*}
On constate que la fonction $y$ v\'erifie $(Eq)$.
\begin{NB}
	Cette question est inutile. En effet, \`a toute fonction $y$ de classe
$\mathcal{C}^2$ sur $\into{0}{+\infty}$, on peut associer un unique couple $(\lambda,\mu)$ de
fonctions de classe $\mathcal{C}^2$ sur $\into{0}{+\infty}$ v\'erifiant
$$
\forall x>0,\ 
y(x)	=	\lambda(x)\cos x+\mu(x)\sin x\quad\text{ et }\quad		0	=	\lambda'(x)\cos x+\mu'(x)\sin x
$$
C'est un r\'esultat du cours : les
fonctions $\sin$ et $\cos$ constituent un syst\`eme fondamental de solutions de
l'\'equation diff\'erentielle $z''+z=0$ sur l'intervalle $\into{0}{+\infty}$. Ce r\'esultat est ici
facile \`a retrouver; en effet
$$
\begin{array}{crl}
				&	\forall x>0	&
\left\{
\begin{array}{rcl}
 y(x)	&=	&\lambda(x)\cos x+\mu(x)\sin x		\\
		0	&=	&\lambda'(x)\cos x+\mu'(x)\sin x
\end{array}
\right.
\\[2ex]
\iff		&	\forall x>0	&
\left\{
\begin{array}{rcl}
y(x)	&=	&\lambda(x)\cos x+\mu(x)\sin x		\\
y'(x)	&=	&-\lambda(x)\sin x+\mu(x)\cos x	
\end{array}
\right.
\\[2ex]
\iff		&	\forall x>0	&
\left\{
\begin{array}{rcl}
\lambda(x)	&=	&y(x)\cos x-y'(x)\sin x		\\
		\mu(x)	&=	&y(x)\sin x+y'(x)\cos x
\end{array}
\right.
\end{array}
$$
\end{NB}
\end{enumerate}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\vspace{3ex}
\begin{center}
\hrulefill\\[2ex]
\textsf{\large Partie III. \'Etude des solutions
}\\[-1ex]
\hrulefill
\end{center}
%--------------------------------------------------

\begin{enumerate}
	\item La fonction $g$ est int\'egrable sur $\intfo{1}{+\infty}$, donc
$\dps \lim_{x\to +\infty}\int_x^{+\infty}\abs{g(t)}\,\dt=0$. Ainsi,
\begin{center}
	\fbox{$\dps
		\exists a\geq1,\ \int_a^{+\infty}\abs{g(t)}\,\dt\leq\frac12
	$}
\end{center}
	\item
	\begin{enumerate}
		\item La fonction $\abs{y}$ r\'eelle et continue sur $\into{0}{+\infty}$ est born\'ee et atteint
ses bornes sur tout segment de $\into{0}{+\infty}$, en particulier sur le segment $\intf{a}{b}$.

		\item Pour tout $u\in\intf{a}{b}$,
$\abs{g(u)\,y(u)\sin(u-x)} \leq\abs{g(u)}\abs{y(u)} \leq M_b\abs{g(u)}$; ce qui
donne :
\begin{align*}
	\abs[\Big]{\int_a^b g(u)\,y(u)\sin(u-x)\,\dt[u]}
	&\leq	\int_a^b\abs{g(u)\,y(u)\sin(u-x)}\,\dt[u]	\leq
				\int_a^b M_b\abs{g(u)}\,\dt[u]					\\
	&\leq	M_b\int_a^{+\infty}\abs{g(u)}\,\dt[u]	\leq\frac{1}{2}M_b
\end{align*}
Reprenons l'expression de $y(x)$ et majorons la pour $x\in\intf{a}{b}$
\begin{align*}
	\abs{y(x)}
	&=	\abs[\Big]{C_1\cos x+C_2\sin x+\int_a^x g(u)\,y(u)\sin(u-x)\,\dt[u]}		\\
	&\leq	\abs{C_1\cos x}+\abs{C_2\sin x}+\abs[\Big]{\int_a^x g(u)\,y(u)\sin(u-x)\,\dt[u]}		\\
	&\leq	\abs{C_1}+\abs{C_2}+\int_a^x\abs{g(u)\,y(u)\sin(u-x)}\,\dt[u]		\\
	&\leq	\abs{C_1}+\abs{C_2}+\int_a^b\abs{g(u)\,y(u)\sin(u-x)}\,\dt[u]		\\
	&\leq	\abs{C_1}+\abs{C_2}+\frac{1}{2}M_b
\end{align*}
	L'in\'egalit\'e $\dps \abs{y(x)}\leq\abs{C_1}+\abs{C_2}+\frac{1}{2}M_b$ est vraie pour tout
$x\in\intf{a}{b}$. Ainsi, $\dps \max_{x\intf{a}{b}}\abs{y(x)}=M_b
\leq\abs{C_1}+\abs{C_2}+\frac{1}{2}M_b$, ce qui montre que
\begin{center}
	\fbox{$\dps M_b\leq 2(\abs{C_1}+\abs{C_2})$}
\end{center}
 
		\item L'in\'egalit\'e $\abs{y(x)}\leq M_b\leq2(\abs{C_1}+\abs{C_2})$ est vraie
pour tout $x\in\intf{a}{b}$ et ceci pour tout $b>a$; l'in\'egalit\'e est donc vraie
pour tout $x\geq a$ et
\begin{center}
	\fbox{$\dps
	M=\sup\{\abs{y(x)},\ x\in\intfo{a}{+\infty}\}\leq 2(\abs{C_1}+\abs{C_2})
	$}
\end{center}

	La fonction $y$ est born\'ee sur tous les segments inclus dans
$\into{0}{+\infty}$ puisque continue

	La fonction $y$ peut ne pas \^etre born\'ee sur $\into{0}{+\infty}$; par exemple, $\dps f_2 : x\mapsto
\frac{\cos x}{x}+\sin x$ n'est pas born\'ee sur $\into{0}{+\infty}$ car $\dps \lim_{x\to 0}f_2(x)=+\infty$.
	\end{enumerate}
	
	\item	L'in\'egalit\'e $\abs{g_x(u)}=\abs[\big]{g(u)} \abs[\big]{y(u)} \abs[\big]{\sin(u-x)}
\leq M\abs[\big]{g(u)}$ vraie pour tout $u\geq a$, montre l'int\'egrabilit\'e de
$g_x$ sur l'intervalle $\intfo{a}{+\infty}$, et aussi sur tout intervalle
$\intfo{\alpha}{+\infty}$ ($\alpha>0)$ vue la continuit\'e de $g_x$, donc en
particulier sur l'intervalle $\intfo{x}{+\infty}$.

	\item	On utilise les \'egalit\'es suivantes :
\begin{align*}
	\int_a^x g(u)\,y(u)\sin(u-x)\,\dt[u]
	&=	\int_a^{+\infty} g(u)\,y(u)\sin(u-x)\,\dt[u]
				- \int_x^{+\infty}g(u)\,y(u)\sin(u-x)\,\dt[u] 							\\
	&=	\cos x\,\int_a^{+\infty} g(u)\,y(u)\sin u\,\dt[u]
				-\sin x\,\int_a^{+\infty} g(u)\,y(u)\sin u\,\dt[u]					\\
	&\qquad\qquad\qquad	-\int_x^{+\infty}g(u)\,y(u)\sin(u-x)\,\dt[u]
\end{align*}
ce qui donne pour tout $x>0$
\begin{align*}
	y(x)
	&=	C_1\cos x+C_2\sin x+\int_a^x g(u)\,y(u)\sin(u-x)\,\dt[u]							\\
	&=	\biggl(C_1+\int_a^{+\infty} g(u)\,y(u)\sin u\,\dt[u]\biggr)\cos x
				+\biggl(C_2-\int_a^{+\infty} g(u)\,y(u)\cos u\,\dt[u]\biggr)\sin x	\\
	&\qquad\qquad\qquad	-\int_x^{+\infty}g(u)\,y(u)\sin(u-x)\,\dt[u]
\end{align*}
En posant $\dps C_3=C_1+\int_a^{+\infty} g(u)\,y(u)\sin u\,\dt[u]$ et
$\dps C_4=C_2-\int_a^{+\infty} g(u)\,y(u)\cos u\,\dt[u]$, on obtient
\begin{center}
	\fbox{$\dps
	\exists(C_3,C_4)\in\R^2,\ \forall x\in \into{0}{+\infty},\
	y(x)=C_3\cos x+C_4\sin x-\int_x^{+\infty}g(u)\,y(u)\sin(u-x)\,\dt[u]
	$}
\end{center}

	\item	L'in\'egalit\'e $\abs[\big]{g(u)\,y(u)\sin(u-x)}= \abs[\big]{g(u)}
\abs[\big]{y(u)} \abs[\big]{\sin(u-x)}\leq\abs[\big]{g(u)}M$ est valable pour
tout $u\geq a$, ce qui donne pour tout $x\geq a$
\begin{align*}
	\abs[\big]{y(x)-C_3\cos x-C_4\sin x}
	&=	\abs[\bigg]{-\int_x^{+\infty} g(u)\,y(u)\sin(u-x)\,\dt[u]}		\\
	&\leq	\int_x^{+\infty} M\,\abs{g(u)}\,\dt[u]\tend[x\to+\infty] 0
\end{align*}
\begin{center}
	\fbox{$\dps
	\lim_{x\to +\infty}\bigl(y(x)-C_3\cos x-C_4\sin x\bigr)=0
	$}
\end{center}

	\item	Soient $C=\sqrt{C_1^2+C_2^2}>0$ et $\varphi\in\intfo{0}{2\pi}$ tel que
$C_3\cos x+C_4\sin x=C\cos(x-\varphi)$. Il existe $A\in \into{0}{+\infty}$ tel que
$$
\forall x\geq A,\ \abs{y(x)-C_3\cos x-C_4\sin x}=\abs{y(x)-C\cos(x-\varphi)}\leq\frac C2
$$
Pour $n\in\N$ sup\'erieur \`a $A/\pi$, $y(n\pi+\varphi)=(-1)^n C+\varepsilon_n$ avec
$\abs{\varepsilon_n}\leq C/2$. La fonction $y$ est donc du signe de $(-1)^n$ au point
$n\pi+\varphi$, ce qui  assure l'existence d'une racine pour $y$ sur l'intervalle
ouvert $\into{n\pi}{(n+1)\pi}$, ceci pour une infinit\'e de $n$.
\begin{center}
	\fbox{Pour $(C_3,C_4)\neq(0,0)$, la fonction $y$ admet une infinit\'e de racines
			sur $\into{0}{+\infty}$
	}
\end{center}

	\item	Dans ce cas, $\dps y(x)=-\int_x^{+\infty} g(u)\,y(u)\sin(u-x)\,\dt[u]$. Pour
$u\geq a$, on a $\abs{g(u)\,y(u)\sin(u-x)}\leq\abs{g(u)}M$ o\`u
$M=\sup\{\abs{y(u)},\ u\geq a\}$. Pour $x\geq a$, il vient
\begin{align*}
	\abs{y(x)}
	&=\abs[\bigg]{-\int_x^{+\infty} g(u)\,y(u)\sin(u-x)\,\dt[u]}		\\
	&\leq	\int_x^{+\infty}\abs{g(u)\,y(u)\sin(u-x)}\,\dt[u]					\\
	&\leq	\int_x^{+\infty}\abs{g(u)}M\,\dt[u]
			\leq M\int_a^{+\infty}\abs{g(u)}\,\dt[u] \leq\frac M2
\end{align*}
En passant \`a la borne sup\'erieure sur $x\in \intfo{a}{+\infty}$, on trouve $M\leq M/2$, soit
$M=0$. La fonction $y$ est donc (identiquement) nulle sur l'intervalle $\intfo{a}{+\infty}$;
ainsi $y(a)=y'(a)=0$ et l'unicit\'e de la solution de $(Eq)$ sur $\into{0}{+\infty}$ montre que
$y$ est la fonction nulle.
\begin{center}
	\fbox{Si $C_3=C_4=0$, $y$ est la fonction nulle sur $\into{0}{+\infty}$}
\end{center}
\end{enumerate}


\end{document}