%  Enonc\'e du probl\`eme de Maths 	I pos\'e en 2000 \`a l'ENSAI
%  Fili\`ere MP

% par Daniel GENOUD - Lyc\'ee La Martini\`ere-Monplaisir - LYON
% email : Daniel.Genoud@ac-lyon.fr

% LaTeX 2.09


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% Num\'erotation ups

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% Macros utilis\'ees

\def\num#1{\bigskip \hskip-9mm{\bf#1}}
\def\R{I\!\!R}
\def\dfrac#1#2{\displaystyle \frac{#1}{#2}}

\begin{document}

\centerline{{\large \bf ~ENSAI - Session 2000 }}
\bigskip


\centerline{{\large \bf ~EPREUVE DE MATHEMATIQUE I -  (4 H)}}
\bigskip
\bigskip



\centerline{{\it L'usage des calculatrices est interdit}}
\bigskip


\centerline{{\it L'\'enonc\'e original contient quelques erreurs
 qui ont \'et\'e corrig\'ees ici.}}
\bigskip

\def\N{{\bf N}}
\def\C{{\bf C}}
\def\Z{{\bf Z}}
\def\Q{{\bf Q}}
\def\im{{\rm Im}}
\def\ker{{\rm Ker}}
\def\Sum{\displaystyle\sum}



\bigskip
\bigskip

Soit $E$ un $\C$-espace vectoriel de dimension finie $n\ge1$.
On note ${\cal L}(E)$ l'ensembles des endomorphismes de $E$ et $GL(E)$
le groupe des endomorphismes bijectifs de $E$.

\smallskip
 Pour $f\in{\cal L}(E)$, une partie $A$ de $E$ est dite stable
par $f$ si $\,f(A)\subset A$.
\smallskip

Un polyn\^ome non nul de $\C[X]$ est dit unitaire si son coefficient dominant
vaut $1$.

On note $\Pi_f$ le polyn\^ome minimal de $f$ et $P_f(X)=\det(X\,id-f)$
son polyn\^ome caract\'eristique.

\smallskip
Un endomorphisme $f\in{\cal L}(E)$ est dit {\sl cyclique}
s'il existe un entier naturel non nul $p$
et un vecteur $a\in E$ tels que :
$$C_a^p=\{a,f(a),\ldots,f^{p-1}(a)\}$$
soit une partie g\'en\'eratrice de $E$ de cardinal $p$, stable par $f$,
c'est \`a dire :

$$\cases{C_a^p\hbox{ poss\`ede }p\hbox{ \'el\'ements deux \`a deux distincts,}&\cr
f(C_a^p)\subset C_a^p.&\cr}$$
Une telle partie $C_a^p$ est nomm\'ee cycle de $f$ et on dit alors que
$f$ est {\sl cyclique d'ordre} $p$.
\bigskip
\bigskip

\centerline{{\large\bf PARTIE I}}
\bigskip

\num{1.~~} Pour quel(s) entier(s) $n$ un projecteur $h$ peut-il \^etre cyclique ?
Comment s'\'ecrit alors un cycle de $h$ ?

\num{2.~~} On consid\`ere ${\cal B}=(e_1,\ldots,e_n)$ la base canonique de $\C^n$.

\num{~~a.} Soit $f$ l'endomorphisme de $\C^n$
dont la matrice dans la base canonique est :
$$A=\pmatrix{
       0 & \ldots   & 0   & 0   & 0   \cr
       1 &  \ddots   & \vdots   &\vdots    & 0   \cr
       0 & \ddots   & 0   & \vdots   & \vdots   \cr
      \vdots  &\ddots    &  1  &  0  &  0  \cr
      0  & \ldots   &  0  &  1  &  1  \cr}.$$

Montrer que $f$ est cyclique et expliciter un cycle de $f$.

D\'eterminer le rang de $f$.
~L'endomorphisme $f$ est-il diagonalisable ?

\num{~~b.} M\^emes questions avec l'endorphisme $g$ de $\C^n$ de matrice :
$$B=\pmatrix{
       0 & \ldots   & 0   & 0   & -1   \cr
       1 &  \ddots   & \vdots   &\vdots    & -1   \cr
       0 & \ddots   & 0   & \vdots   & \vdots   \cr
      \vdots  &\ddots    &  1  &  0  &  -1 \cr
      0  & \ldots   &  0  &  1  &  -1  \cr}.$$

\num{3.~~} Soit $f\in{\cal L}(E)$ cyclique d'ordre $p$.

\num{~~a.} Justifier que $p\ge n$.

\num{~~b.} Montrer que $f$ est au moins de rang $n-1$.

\num{4.~~} Soit $f\in{\cal L}(E)$ un endomorphisme cyclique et $C_a^p$
un cycle de $f$.

Soit $m$ le plus grand  entier tel que la famille $~{\cal F}=
\big(a,f(a),\ldots,f^{m-1}(a)\big)$~ soit libre.

\num{~~a.} Prouver que $~\forall\,k\ge m,~f^k(a)\in\hbox{Vect}({\cal F})$.

\num{~~b.} En d\'eduire que la famille $~\big(a,f(a),\ldots,f^{n-1}(a)\big)$~
est une base de $E$.

\num{~~c.} Montrer que $~\Pi_f=P_f$.

\num{5.~~} Montrer que si $f$ est bijectif et si $C_a^p$ est un cycle de $f$,
alors ~$f^p(a)=a$.

\num{6.~~} Soit $(a,b)\in\C^2$ et $f$ l'endomorphisme de $\C^2$
de matrice dans la base canonique :

$$A=\pmatrix{0&a\cr 1 &b\cr}.$$

On suppose que $1$ n'est pas valeur propre de $f$.

D\'eterminer les valeurs (si elles existent) de $a$ et $b$
pour que $f$ soit cyclique d'ordre $2$.

\num{7.~~} Soit $\theta\in\R\setminus\pi\Z$.
~Soit $g$ l'endomorphisme de $\C^2$
de matrice dans la base canonique :

$$B=\pmatrix{\cos\theta &-\sin\theta\cr\sin\theta &~~\cos\theta\cr}.$$

Montrer que $r$ est cyclique si et seulement si $\,\theta\in2\pi\Q$.


\bigskip
\bigskip

\centerline{{\large\bf PARTIE II}}
\bigskip

Dans cette partie on se propose de caract\'eriser les endomorphismes
cycliques inversibles.

\bigskip
\num{1.~~} Soit $f\in GL(E)$ un endomrphisme cyclique et $C_a^p$
un cycle de $f$.

\num{~~a.} Montrer que $\,f^p=id\,$ et en d\'eduire que $f$ est diagonalisable.

\num{~~b.} Montrer que le polyn\^ome $P_f(=\Pi_f$ d'apr\`es I.4c.) divise
$X^p-1$ et que $p$ est le plus petit  entier $k$ non nul tel
que $P_f$ divise $X^k-1$.

\smallskip
\num{2.~~} R\'eciproquement, on consid\`ere un endomorphisme bijectif 
$f\in GL(E)$ tel que $P_f$ divise $X^p-1$ et  $p$ soit le plus petit  entier $k$ non nul tel
que $P_f$ divise $X^k-1$.

\num{~~a.} Montrer que $\Pi_f=P_f$.
(On pourra utiliser la d\'ecomposition en facteurs irr\'eductibles de $\Pi_f$ et $P_f$.)

\num{~~b.} Montrer que $f$ est diagonalisable.

\num{~~c.} Soit ${\cal V}=(v_1,\ldots,v_n)$ une base de vecteurs propres de $f$
et $x=\Sum_{i=1}^nx_i\,v_i$ un vecteur de $E$
tel que $~\forall\,i,~x_i\ne 0$.

Montrer que la famille $\big(x,f(x),\ldots,f^{n-1}(x)\big)$ est libre.

\num{~~d.} Montrer que $f$ est cyclique et que $C_x^p$ est un cycle.


\num{3.~~} Soit $f$ l'endomorphisme de $\C^3$ canoniquement associ\'e \`a la matrice :

$$A=\pmatrix{0&1&1\cr 1&0&1\cr 1&1&0\cr}.$$

\num{~~a.} Trouver un polyn\^ome anulateur de degr\'e $2$ de $f$.

\num{~b.} $f$ est-il cyclique ?



\bigskip
\bigskip

\centerline{{\large\bf PARTIE III}}
\bigskip


Dans cette partie on se propose de caract\'eriser les endomorphismes
cycliques non  inversibles.

\bigskip

\num{1.~~} Soit $f$ cyclique d'ordre $p$ non inversible et $C_a^p$ un cycle de $f$.

\num{~~a.} V\'erifier que $~\dim\ker f=1$.

\num{~~b.} Montrer que $f^p(a)\ne a$.
\smallskip

Soit $j\in[\![1;p-1]\!]$ tel que $f^p(a)=f^j(a)$.

\num{~~c.} Montrer que $\,f^p=f^j$.

\num{~~d.} Montrer que $P_f(=\Pi_f$ d'apr\`es I.4.c.)
est de la forme $X^j\,Q(X)\,$
o\`u $Q$ est un polyn\^ome qui divise $X^{p-j}-1$.

\bigskip


\hskip-6mm
R\'eciproquement, soit $f$ un endomorphisme de $E$ et $j$ un entier non nul tel que :

$$\Pi_f=P_f=X^j\,Q$$

o\`u $Q$ est un polyn\^ome qui divise $X^q-1$ et aucun des polyn\^omes $X^k-1$
pour $1\le k<q$.

\num{2.~~} Montrer que si $Q$ est un polyn\^ome constant, alors
$f$ est cyclique.
\smallskip

\hskip-6mm
On suppose d\'esormais que degr\'e $Q\ge1$.

\num{3.a.} Montrer que $~E=\ker(f^j)\oplus\ker(f^q-id)$.

\num{~~b.} Justifier que les sous-espaces $E_1=\ker(f^j)$ et 
$E_2=\ker(f^q-id)$ sont stables par $f$.

\smallskip
\hskip-6mm
On note $f_1$ et $f_2$ les endomorphismes induits par $f$ sur
 $E_1$ et $E_2$.

\num{4.a.} Prouver que $f_2$ est cyclique d'ordre $q$. 
~Soit $C_{a_2}^q$ un cycle de $f_2$.

\num{~~b.} Prouver que $\{f^j(a_2),\ldots,f^{j+q-1}(a_2)\}$ engendre $E_2$.

\num{5.a.} Montrer que $\,P_f=P_{f_1}\,P_{f_2}$ et en d\'eduire que $~\dim E_1=j$.

\num{~~b.} Montrer que $\,f_1^{j-1}\ne0$.

\num{~~c.} En d\'eduire qu'il existe $a_1\in E_1$ tel que $\big( a_1,
f(a_1),\ldots,f^{j-1}(a)\big)$ est une base de $E_1$.

\num{6.~~} Soit $\,a=a_1+a_2$;
montrer que $\,C_a^{j+q-1}\,$ est un cycle de $f$.

\num{7.~~} Soit $f$ l'endomorphisme de $\C^3$ canoniquement
associ\'e \`a la matrice :

$$A=\pmatrix{ ~~1&~~1&0\cr -1 &-1 &0\cr ~~1&~~1&j\cr}$$

o\`u $j=\exp \displaystyle{2i\pi\over 3}$.
 ~Montrer que $f$ est cyclique et d\'eterminer un cycle.
\bigskip
\bigskip

$$*+*+*+*+*+*+*$$



\end{document}
