%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%% Corrig\'e de la seconde \'epreuve de math du concours ENSAI 2000     %%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


%% LaTeX 2.09

%%%%%%%%%% Pour voir la fiche d'\'evaluation, supprimer le premier \end{document}

\documentstyle{article}



%%%% Mise en page et fontes

\pagestyle{headings}


\textheight=230mm

\textwidth=165mm
\topmargin  -10mm
\footskip 14mm

\headheight  6mm
\headsep 7.5mm
\oddsidemargin -5mm
\evensidemargin -5mm
\voffset 0mm
\hoffset 4mm

\def\longtetep{165mm}
\def\longtetei{165mm}

\frenchspacing
\parindent=0pt

\parskip 3pt
\renewcommand{\footnoterule}{\vskip 3pt \hbox to 2.35cm{\hrulefill} \vskip 3pt}


\font\twelvesym=msbm10 at 12pt
\font\tensym=msbm10
\font\sevensym=msbm7
\font\fivesym=msbm5

\font\twelvegoth=eufb10 at 12pt
\font\tengoth=eufb10
\font\sevengoth=eufb7
\font\fivegoth=eufb5

\newfam\symfam
\textfont\symfam=\tensym
\scriptfont\symfam=\sevensym
\scriptscriptfont\symfam=\fivesym
\def\sym{\fam\symfam\tensym}

\newfam\gothfam
\textfont\gothfam=\tengoth
\scriptfont\gothfam=\sevengoth
\scriptscriptfont\gothfam=\fivegoth
\def\goth{\fam\gothfam\tengoth}
\font\tengoth=eufm10
\font\sevengoth=eufm10 at 7pt
\font\fivegoth=eufm10 at 5pt


\def\bb{\sym}
\def\A{{\sym A}}
\def\C{{\sym C}}
\def\E{{\sym E}}
\def\F{{\sym F}}
\def\H{{\sym H}}
\def\K{{\sym K}}
\def\L{{\sym L}}
\def\N{{\sym N}}
\def\Q{{\sym Q}}
\def\R{{\sym R}}
\def\U{{\sym U}}
\def\Z{{\sym Z}}

%%%% macros


\def\adots{\mathinner{\mkern2mu\raise1pt\hbox{.}
\mkern3mu\raise4pt\hbox{.}\mkern1mu\raise7pt\hbox{.}}}

\def\binomial#1#2{\left(\,\matrix{#1 \cr #2}\,\right)}

\def\sh{\mathop{\rm sh}\nolimits}
\def\exp{\mathop{\rm exp}\nolimits}
\def\ch{\mathop{\rm ch}\nolimits}
\def\th{\mathop{\rm th}\nolimits}
\def\cotan{\mathop{\rm cotan}\nolimits}
\def\arctan{\mathop{\rm Arctan}\nolimits}
\def\argth{\mathop{\rm Argth}\nolimits}
\def\argsh{\mathop{\rm Argsh}\nolimits}
\def\argch{\mathop{\rm Argch}\nolimits}
\def\arcsin{\mathop{\rm Arcsin}\nolimits}
\def\arccos{\mathop{\rm Arccos}\nolimits}
\def\eps{\varepsilon}
\def\d{\displaystyle }
\def\build#1_#2{\mathrel{\mathop{\kern 0pt#1}\limits_{#2}}}

\def\tend#1#2#3#4{\build\hbox to #1mm{\rightarrowfill}_{#3\rightarrow #4}#2}

\def\wtr#1#2{\vrule height #2mm depth #1mm width 0mm}

\def\ligne{\hbox to 165mm}

\def\titre#1{
\begin{center}
{\Large \bf #1}
\end{center}
\thispagestyle{empty}
}

\def\ques#1{\vskip .5cm \hskip -1.15cm \hbox to 1cm{\bf #1 \hfill}}
\def\Int#1{\int_0^{+\infty}#1\,{\rm d}t}

\input upsnum.sty



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{document}


\titre{Concours d'entr\'ee \`a l'ENSAI 2000}
\titre{Corrig\'e de la seconde \'epreuve de math\'ematiques}

\vskip 1cm

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\subsection*{PARTIE I}
\ques{1.}Notons $g$ l'application $\d t\longmapsto {tf(t)\over x^2+t^2}$. On a{\,}:
\begin{itemize}
\item $g$ est d\'efinie et continue sur $]0,+\infty[${\,};
\item $g(t)= O\left(tf(t)\right)$ au voisinage de 0 et $t\longmapsto tf(t)$ est int\'egrable sur $]0,1]${\,};
\item $g(t)\sim f(t)/t$ en $+\infty$ et $t\longmapsto f(t)/t$ est int\'egrable sur $[1,+\infty[$.
\end{itemize}
On en d\'eduit donc que $g$ est int\'egrable sur $]0,+\infty[$.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\ques{2.a.}Comme $f_1(t)/t$ est \'equivalent en $+\infty$ \`a $\d{1\over t\ln t}$ qui n'est pas
int\'egrable sur $[2,+\infty[$ (une primitive de $\d{1\over t\ln t}$ est $\ln\ln t$ qui tend vers
$+\infty$ quand $t$ tend vers $+\infty$), $f_1$ n'est pas \'el\'ement de $E$.


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\ques{2.b.}Par contre, $f_2$ est \'el\'ement de $E$ puisque{\,}:
\begin{itemize}
\item $f_2$ est d\'efinie et continue sur $]0,+\infty[${\,};
\item $tf_2(t)$ tend vers $0$ quand $t$ tend vers 0{\,};
\item $f_2(t)/t=O(t^{-3/2})$ au voisinage de $+\infty$, et $t\longmapsto
t^{-3/2}$ est int\'egrable sur $[1,+\infty[$.
\end{itemize}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\ques{3.a.}$f$ est clairement d\'efinie et continue sur $]0,+\infty[$. D'autre part, $tf(t)$ tend vers 1
quand $t$ tend vers 0 et $f(t)/t$ est un grand O de $1/t^3$ au voisinage de $+\infty$. $f$ est donc \'el\'ement
de $E$.

\vskip 2mm
On a ensuite, pour tout $x>0${\,}:
$$F(x)=\Int{{\arctan t\over t(x^2+t^2)}}={1\over x^2}\int_0^{+\infty}{\arctan (xu)\over u(1+u^2)}\,{\rm d}u$$
en effectuant le changement de variable $t=xu$.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\ques{3.b.}Fixons $A>0$ et notons $g$ l'application qui \`a tout couple $(x,t)$ de $D=[0,A]\times \R^*_+$ associe $\d{\arctan
(xt)\over t(1+t^2)}$. Alors{\,}:

\begin{itemize}
\item $g$ est continue sur son domaine de d\'efinition $D${\,};
\item $g$ est d\'erivable par rapport $x$ sur $D$ et l'application $(x,t)\longmapsto \d{\partial g\over \partial x}(x,t)=
{1\over((1+t^2)(1+x^2t^2)}$ est continue sur $D${\,};
\item $\forall (x,t)\in D,\ |g(x,t)|\leq \d{xt\over t(1+t^2)}\leq  {A\over 1+t^2} =\phi (t)$ et l'application
$\phi$ est continue et int\'egrable sur $]0,+\infty[${\,};
\item $\forall (x,t)\in D,\ \d|{\partial g\over \partial x}(x,t)|\leq {1\over 1+t^2}=\psi (t)$ et l'application
$\psi$ est continue et int\'egrable sur $]0,+\infty[$.
\end{itemize}

D'apr\`es le th\'eor\`eme de Leibniz, on peut affirmer que $G$ est d\'efinie et de classe $C^1$ sur chaque intervalle $[0,A]$,
donc sur $\R_+$, avec{\,}:
$$\forall x\in \R_+,\ G'(x)=\Int {{\partial g\over \partial x}(x,t)} = \Int {{1\over (1+x^2t^2)(1+t^2)}}.$$

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\ques{3.c.}Soit $x\geq 0$ avec $x\not= 1$. Comme $\d{1\over (1+x^2t^2)(1+t^2)}=
{ x^2\over x^2-1}\, {1\over 1+x^2t^2}-{ 1\over x^2-1}\, {1\over 1+t^2}$ (d\'ecomposition en \'el\'ements simples),
on obtient, en remarquant que les deux int\'egrales convergent{\,}:
\begin{eqnarray*}
G'(x)&=&{ x\over x^2-1}\,\Int{{x\over 1+x^2t^2}}-{ 1\over x^2-1}\,\Int{{1\over 1+t^2}}\\
&=&{x\over x^2-1}\left[\arctan (xt)\wtr{2}{2}\right]_0^{+\infty}-
{1\over x^2-1}\left[\arctan (t)\wtr{2}{2}\right]_0^{+\infty}\\
&=&{\pi \over 2(x+1)}.
\end{eqnarray*}
Par continuit\'e de $G$, cette \'egalit\'e est \'egalement valable pour $x=1$.


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\ques{3.d.}On en d\'eduit donc que $\d G(x)=G(0)+\int_0^x G'(y)\,{\rm d}y={\pi\over 2}\,\ln (x+1)$ pour tout
$x\geq 0$, puis que
$$F(x)={\pi\ln (x+1)\over 2x^2}$$
pour tout $x>0$.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\ques{3.e.}La fonction consid\'er\'ee est continue sur $]0,+\infty[$, a une limite finie en 0 et est un $O(1/t^2)$
au voisinage de $+\infty$. Elle est donc int\'egrable sur $]0,+\infty[$. Pour $\eps>0$ et $A\eps$, nous avons{\,}:
$$\int_{\eps}^A \left({\arctan t\over t}\right)^2\,{\rm d}t= \left[\wtr 22 -{\arctan^2t\over t}\right]_{\eps}^A+
2\int_{\eps}^A {\arctan t\over t(1+t^2)}\,{\rm d}t$$
en int\'egrant par parties. En faisant tendre $\eps$ vers 0 et $A$ vers $+\infty$, nous obtenons{\,}:
$$\Int{\left({\arctan t\over t}\right)^2}=2\Int {{\arctan t\over t(1+t^2)}}=2F(1)=\pi\ln 2.$$

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\ques{4.a.}$f$ est continue sur $]0,+\infty[$, $tf(t)$ a une limite finie en 0 et $f(t)/t$ est un $O(1/t^2)$
au voisinage de $+\infty$. L'application $f$ est donc \'el\'ement de $E$.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\ques{4.b.}Pour tout $n\geq 1$, nous avons{\,}:
$$\varphi(1/n)=\d{F(1/n)\over n}=n\Int{{\cos t\over 1+n^2t^2}} =\Int{{\cos\,(t/n)\over 1+t^2}}$$
en effectuant le changement de variable propos\'e par l'\'enonc\'e. On peut alors appliquer le th\'eor\`eme de
convergence domin\'ee{\,}:

\begin{itemize}
\item pour tout $n\geq 1$, $\psi_n{\,}: t\longmapsto \d{\cos\,(t/n)\over 1+t^2}$ est continue sur $[0,+\infty[${\,};
\item pour tout $t\geq 0$, $\psi_n(x)\tend 8{\d{1\over 1+t^2}}n{+\infty}${\,};
\item pour tout $n\geq 1$ et pour tout $t\geq 0$, $|\psi_n(t)|\leq \d{1\over 1+t^2}${\,};
\item l'application $t\longmapsto \d{1\over 1+t^2}$ est continue et int\'egrable sur $[0,+\infty[$.
\end{itemize}

On peut donc affirmer que $\varphi(1/n)$ tend vers $\d\Int{{1\over 1+t^2}}=\pi/2$ quand $n$ tend vers $+\infty$.


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\ques{4.c.}En posant $t=ux$, on obtient $\d\varphi(x)=\int_0^{+\infty}{\cos (ux)\over 1+u^2}\,{\rm
d}u$, puis  $\d|\varphi(x)|\leq \int_0^{+\infty}{1\over 1+u^2}\,{\rm d}u =\pi/2$ pour tout $x>0$.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\ques{4.d.}On a~\footnote
	{\ L'\'enonc\'e est correct mais maladroit, puisque l'on aura besoin de l'identit\'e (sym\'etrique)
	$${\partial^2 \over \partial x^2}\,\left({x\over x^2+t^2}\right)+{\partial^2 \over \partial t^2}\,\left({x\over x^2+t^2}\right)=0$$
	dans la suite de la question.}:
\begin{tabbing}
\=\hskip 1cm \= $\d{\partial \over \partial x}\,\left({t\over x^2+t^2}\right)=-{2tx\over (x^2+t^2)^2}$\hskip 3cm 
\= $\d{\partial^2 \over \partial x^2}\,\left({t\over x^2+t^2}\right)={8tx^2\over (x^2+t^2)^3},-{2t\over (x^2+t^2)^2}$\\
\> \> $\d{\partial \over \partial t}\,\left({t\over x^2+t^2}\right)={1\over x^2+t^2}-{2t^2\over (x^2+t^2)^2}$
\>$\d{\partial^2 \over \partial t^2}\,\left({t\over x^2+t^2}\right)={8t^3\over (x^2+t^2)^3}-{6t\over (x^2+t^2)^2}$
\end{tabbing}
d'o\`u
$$\left({\partial^2 \over \partial x^2}+{\partial^2 \over \partial t^2}\right)\left({t\over x^2+t^2}\right)
=-{8t\over (x^2+t^2)^2}+{8t^3\over (x^2+t^2)^3}+{8tx^2\over (x^2+t^2)^3}=8\,{ -t(x^2+t^2)+t^3+tx^2\over (x^2+t^2)^3}=0.$$

\vskip 2mm
Fixons $\eps>0$ et $A>\eps$. On peut appliquer deux fois le th\'eor\`eme de Leibniz \`a l'application $\varphi$ sur
l'intervalle $[\eps,A]${\,}:

\begin{itemize}
\item l'application $\psi:\, (x,t)\longmapsto \d{x\over x^2+t^2}\cos t$ est continue et deux fois
d\'erivable par rapport \`a $x$ sur $[\eps,A]\times [0,+\infty[${\,};
\item les applications $\d{\partial \psi\over \partial x}$ et $\d{\partial^2 \psi\over \partial x^2}$ sont
continues sur $[\eps,A]\times [0,+\infty[${\,};
\item $\forall (x,t)\in [\eps,A]\times [0,+\infty[$, on a les propri\'et\'es de dominations{\,}:
$$\left|{\partial \psi\over \partial x}(x,t)\right| =\left|{\cos t\over x^2+t^2}-2{x^2\cos t\over (x^2+t^2)^2}\right|
\leq {1\over \eps^2+t^2}+2{A^2\over (\eps^2+t^2)^2} =\psi_1(t)$$
$$\left|{\partial^2 \psi\over \partial x^2}(x,t)\right| =\left|-6{x\cos t\over (x^2+t^2)^2}+8{x^3\cos t\over (x^2+t^2)^3}\right|
\leq 6{A\over (\eps^2+t^2)^2}+8{A^3\over (\eps^2+t^2)^3} =\psi_2(t)$$
o\`u $\psi_1$ et $\psi_2$ sont continues et int\'egrables sur $[0,+\infty[$.
\end{itemize}

Ainsi $\varphi$ est de classe $C^2$ sur chaque intervalle $[\eps,A]$, donc sur $]0,+\infty[$, avec pour tout $x>0${\,}:
$$\phi'(x)=\Int{{\partial \over \partial x} \left( {x\over x^2+t^2}\right)\,\cos t},$$
$$\phi"(x)=\Int{{\partial^2 \over \partial x^2} \left( {x\over x^2+t^2}\right)\,\cos t}.$$
En int\'egrant deux fois par partie, nous obtenons ensuite, pour tous $A>0$ et $x>0${\,}:
\begin{eqnarray*}
\int_0^A {\partial^2 \over \partial x^2} \left( {x\over x^2+t^2}\right)\,\cos t\,{\rm d}t
&=&-\int_0^A {\partial^2 \over \partial t^2} \left( {x\over x^2+t^2}\right)\,\cos t\,{\rm d}t\\
&=&\left[-{\partial \over \partial t} \left( {x\over x^2+t^2}\right)\,\cos t\right]_0^A
-\int_0^A {\partial \over \partial t} \left( {x\over x^2+t^2}\right)\,\sin t\,{\rm d}t\\
&=&\left[-{\partial \over \partial t} \left( {x\over x^2+t^2}\right)\,\cos t  -{x\over x^2+t^2}\,\sin t \right]_0^A
+\int_0^A {x\over x^2+t^2}\,\sin t\,{\rm d}t\\
&=&\left[-2{tx\over (x^2+t^2)^2}\,\cos t  -{x\over x^2+t^2}\,\sin t \right]_0^A
+\int_0^A {x\over x^2+t^2}\,\sin t\,{\rm d}t
\end{eqnarray*}
soit $\phi"(x)=\phi(x)$ en faisant tendre $A$ vers $+\infty$. 


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\ques{4.e.}Il existe donc deux r\'eels $\alpha$ et $\beta$ tels que $\phi(x)=\alpha e^x+\beta e^{-x}$ pour tout
$x>0$. Comme $\phi$ est born\'ee sur $]0,+\infty[$, on en d\'eduit que $\alpha=0$. La propri\'et\'e $\phi(1/n)\rightarrow \pi/2$
donne enfin $\beta=\pi/2$, soit{\,}:
$$\phi(x)={\pi\over 2}\, e^{-x},\ F(x)={\pi\over 2x}\, e^{-x}$$
pour tout $x>0$.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\subsection*{PARTIE II}

\ques{1.}On $u_k\geq \int_{kT}^{(k+1)T} {|f(t)|\over (k+1)T}\,{\rm d}t={1\over (k+1)T}$ en appelant
$A$ la constante $\int_{kT}^{(k+1)T} |f(t)|\,{\rm d}t$. Comme $f$ est non nulle, $A$ est non nulle
et la s\'erie de terme g\'en\'erale $u_k$ est divergente, par comparaison \`a la s\'erie harmonique. 

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\ques{2.}On en d\'eduit donc que la fonction $f(t)/t$ n'est pas int\'egrable~\footnote
	{\ L'\'enonc\'e utilise la ''bonne'' d\'efinition d'int\'egrabilit\'e (i.e. celle du programme{\,}!), une fonction
	\'etant dite int\'egrable sur un intervalle quelconque si et seulement si elle est ``absolument int\'egrable''
	au sens	de l'ancien programme.}
sur $[1,+\infty[$, puisque
$$\int_1^n {|f(t)\over t}\,{\rm d}t =\sum_{k=1}^{n-1} u_k \tend{12}{+\infty}n{+\infty}.$$
$f$ n'est donc pas \'el\'ement de $E$.


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\ques{3.}Pour $y>T$, notons $k(y)$ l'unique entier $k\geq 1$ v\'erifiant
$kT\leq y<(k+1)T$. Nous avons $k(y)T\sim y$ au voisinage de $+\infty$ et
$$h(y)=\int_0^{k(y)T}f(t)\,{\rm d}t+\int_{k(y)T}^yf(t)\,{\rm d}t=k(y)\int_0^Tf(t)\,{\rm d}t+\int_{k(y)T}^yf(t)\,{\rm d}t.$$
Or $\left|\int_{k(y)T}^yf(t)\,{\rm d}t\right|\leq (y-k(y)T)\int_0^T|f(t)|\,{\rm d}t\leq T\int_0^T|f(t)|\,{\rm
d}t$ et $k(y)\int_0^Tf(t)\,{\rm d}t=k(y)Tm$ tend vers plus ou moins l'infini quand $y$ tend vers $+\infty$
($m$ est non nul). On en d\'eduit donc que $h(y)$ est \'equivalent \`a $k(y)Tm$, i.e. \`a $my$ quand $y$ tend vers $+\infty$.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\ques{4.}En int\'egrant par partie, nous obtenons pour tous $x>0$ et $A>0${\,}:
$$\int_0^A{tf(t)\over x^2+t^2}\,{\rm d}t=\left[{t\over x^2+t^2}\, h(t)\right]_0^A-\int_0^A \left({1\over
x^2+t^2}-2{t^2\over (x^2+t^2)^2}\right)h(t)\,{\rm d}t.\hskip 2cm (1)$$
Comme $h(t)\sim mt$ au voisinage de $+\infty$, le premier terme $\d\left[{t\over x^2+t^2}\, h(t)\right]_0^A$ tend
vers $m$ quand $A$ tend vers $+\infty$. D'autre part{\,}:
$$\left({1\over x^2+t^2}-2{t^2\over (x^2+t^2)^2}\right)h(t)\sim -{m\over t}$$
au voisinage de $+\infty$. Par comparaison des int\'egrales impropres de fonctions de signe constant, on en
d\'eduit que $\d\int_0^A \left({1\over x^2+t^2}-2{t^2\over (x^2+t^2)^2}\right)h(t)\,{\rm d}t$ tend vers $+\infty$
si $m<0$ et vers $-\infty$ si $m>0$. Ainsi $\d\int_0^A{tf(t)\over x^2+t^2}\,{\rm d}t$ n'a pas de limite (finie)
quand $A$ tend vers $+\infty$.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\ques{5.}Si $m=0$, le calcul fait \`a la question 3 montre que $h$ est born\'ee. On a maintenant{\,}:
$$\left({1\over x^2+t^2}-2{t^2\over (x^2+t^2)^2}\right)h(t) =O\left({1\over t^2}\right)$$
au voisinage de l'infini, et la fonction $t\longmapsto \d\left({1\over x^2+t^2}-2{t^2\over (x^2+t^2)^2}\right)h(t)$
est int\'egrable sur $[0,+\infty[$. Comme d'autre part
$\d\left[{t\over x^2+t^2}\, h(t)\right]_0^A\tend {10}0A{+\infty}$,
on en d\'eduit que la limite \'etudi\'ee existe. 

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\subsection*{PARTIE III}

\ques{1.}On d\'ecompose la fraction en \'el\'ements simples{\,}: $\d{t\over x^2+t^2}={t\over (x-it)(x+it)}={\alpha\over x-it}+{\beta\over x+it}$ avec
$$\alpha={t\over it+it}=-{i\over 2}\quad \hbox{et}\quad \beta=\overline{\alpha}={i\over 2}.$$
On en d\'eduit que
$${\partial^k\over \partial x^k}\left({t\over x^2+t^2}\right)= \alpha\,{(-1)^kk!\over (x-it)^{k+1}}+\beta\,{(-1)^kk!\over (x+it)^{k+1}}$$
puis que
$$\left|{\partial^k\over \partial x^k}\left({t\over x^2+t^2}\right)\right|\leq {k!\over 2}\left({1\over |x-it|^{k+1}}+{1\over |x+it|^{k+1}}\right)
= {k!\over (x^2+t^2)^{{(k+1\over 2}}}$$
pour tous $(x,t)\not= (0,0)$ et $k\in \N^*$.
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\ques{2.}Nous allons montrer que $F$ est $C^{\infty}$ en appliquant par r\'ecurrence le th\'eor\`eme de Leibniz.
Toutefois, la majoration obtenue \`a la question pr\'ec\'edente ne permet pas d'\'etudier l'int\'egrale ``au voisinage
de 0'', puisque la fonction $t\longmapsto \d {k!\over (x^2+t^2)^{(k+1)/2}}\,f(t)$ n'est pas en g\'en\'eral
int\'egrable sur $]0,1]$. L'\'enonc\'e est maladroit, la fonction $\Phi$ d\'efinie au d\'ebut de la partie IV nous \'etant
tr\`es utile ici{\,}!

\vskip 2mm
a) {\'E}tude de $\Phi\,:\  x\longmapsto \d\int_1^{+\infty}{t\over x^2+t^2}\,f(t)\,{\rm d}t$.

Pour $k\in \N$, notons $H_k$ la propri\'et\'e de r\'ecurrence{\,}:
\vskip 2mm
\ligne{\hfil$\Phi$ est de classe $C^k$ sur $[0,+\infty[$ et $\d\forall   x\geq 0,\ \Phi^{(k)}(x)=\int_1^{+\infty}
{\partial^k\over \partial x^k}\left({t\over x^2+t^2}\right)\,f(t)\,{\rm d}t$ \hfil $(H_k)$\hfil}
\vskip 2mm
La propri\'et\'e $(H_0)$ est v\'erifi\'ee{\,}:
\begin{itemize}
\item l'application $\d (x,t)\longmapsto {t\over x^2+t^2}\,f(t)$ est d\'efinie et continue sur
$[0,+\infty[\times [1,+\infty[${\,};
\item $\forall (x,t)\in\, [0,+\infty[\times [1,+\infty[$, $\d\left|{t\over x^2+t^2}\,f(t)\right|\leq 
{|f(t)\over t}=\psi(t)${\,};
\item l'application $\psi$ est continue et int\'egrable sur $[1,+\infty[$.
\end{itemize}
On peut donc affirmer que $\Phi$ est continue sur $[0,+\infty[$.

\vskip 2mm
Soit maintenant $k\in\N$ et supposons que $H_k$ soit v\'erifi\'ee. On a alors{\,}:

\begin{itemize}
\item l'application $\varphi{\,}: \d (x,t)\longmapsto {\partial^k\over \partial x^k}\left({t\over x^2+t^2}\right)\,f(t)$ est d\'efinie et continue sur
$[0,+\infty[\times [1,+\infty[${\,};
\item $\d\forall (x,t)\in [0,+\infty[\times [1,+\infty[,\ \left|\varphi(x,t)\right|\leq
{k!\over (x^2+t^2)^{(k+1)/2}}\,|f(t)| \leq {k!\over t^{(k+1)}}\,|f(t)|=\psi(t)${\,};
\item l'application $\psi$ est continue et int\'egrable sur $[1,+\infty[${\,};
\item $\varphi$ est d\'erivable par rapport \`a $x$ et $\d{\partial \varphi\over \partial x}$ est
continue sur $[0,+\infty[\times [1,+\infty[${\,};
\item $\d\forall (x,t)\in [0,+\infty[\times [1,+\infty[,\ \left|{\partial \phi\over \partial x}(x,t)\right|\leq
{k!\over (x^2+t^2)^{(k+2)/2}}\,|f(t)| \leq {k!\over t^{(k+2)}}\,|f(t)|=\psi_1(t)${\,};
\item l'application $\psi_1$ est continue et int\'egrable sur $[1,+\infty[$.
\end{itemize}

On peut donc appliquer le th\'eor\`eme de d\'erivation sous le signe int\'egral{\,}: la propri\'et\'e $(H_{k+1})$ est v\'erifi\'ee.

\vskip 2mm
Nous avons ainsi montr\'e par r\'ecurrence que $\Phi$ est de classe $C^{\infty}$ sur $[0,+\infty[$, avec
$$\Phi^{(k)}(x)=\int_1^{+\infty}{\partial^k\over \partial x^k}\left({t\over x^2+t^2}\right)\,f(t)\,{\rm d}t$$
pour tout $(k,x)\in\N\times\R_+^*$.

\vskip 2mm
b) {\'E}tude de $\Psi\,:\  x\longmapsto \d\int_0^{1}{t\over x^2+t^2}\,f(t)\,{\rm d}t$.

Commen\c{c}ons par remarquer que pour tout $k\in\N$, on peut \'ecrire
$${\partial^k\over \partial x^k}\left({1\over x^2+t^2}\right)={P_k(x,t)\over (x^2+t^2)^{k+1}}$$
o\`u $P_k$ est un polyn\^ome \`a deux variables. En notant $Q_k$ le polyn\^ome obtenu en rempla\c{c}ant tous les
coefficients de $P_k$ par leur valeur absolue, nous avons donc{\,}:
$$\left|{\partial^k\over \partial x^k}\left({t\over x^2+t^2}\right)\right|\leq {Q_k(x,t)\over (x^2+t^2)^{k+1}}\,t$$
pour tout $(x,t)\in (\R_+^*)^2$, o\`u $Q_k$ est un polyn\^ome \`a coefficients positifs.

\vskip 2mm
Fixons $\eps>0$ et $A>\eps$. Pour $k\in \N$, notons $H'_k$ la propri\'et\'e de r\'ecurrence{\,}:
\vskip 2mm
\ligne{\hfil$\Psi$ est de classe $C^k$ sur $[\eps,A]$ et $\d\forall   x\in [\eps,A],\ \Psi^{(k)}(x)=\int_0^{1}
{\partial^k\over \partial x^k}\left({t\over x^2+t^2}\right)\,f(t)\,{\rm d}t$ \hfil $(H'_k)$.\hfil}
\vskip 2mm
La propri\'et\'e $(H'_0)$ est v\'erifi\'ee{\,}:
\begin{itemize}
\item l'application $\d (x,t)\longmapsto {t\over x^2+t^2}\,f(t)$ est d\'efinie et continue sur
$[\eps,A]\times ]0,1]${\,};
\item $\forall (x,t)\in\, [\eps,A]\times [1,+\infty[$, $\d\left|{t\over x^2+t^2}\,f(t)\right|\leq 
{t\over \eps^2+t^2}\,|f(t)|=\psi(t)${\,};
\item l'application $\psi$ est continue et int\'egrable sur $]0,1]$.
\end{itemize}
On peut donc affirmer que $\Psi$ est continue sur $[\eps,A]$.

\vskip 2mm
Soit maintenant $k\in\N$ et supposons que $H'_k$ soit v\'erifi\'ee. On a alors{\,}:

\begin{itemize}
\item l'application $\varphi{\,}: \d (x,t)\longmapsto {\partial^k\over \partial x^k}\left({t\over x^2+t^2}\right)\,f(t)$ est d\'efinie et continue sur
$[\eps,A]\times [1,+\infty[${\,};
\item $\d\forall (x,t)\in\, [\eps,A]\times [1,+\infty[,\ \left|\varphi(x,t)\right|\leq
{Q_k(x,t)\over (x^2+t^2)^{k+1}}\,|tf(t)| \leq {Q_k(A,t)\over (\eps^2+t^2)^{k+1}}\,|tf(t)|=\psi(t)${\,};
\item l'application $\psi$ est continue et int\'egrable sur $]0,1]$, puisque $\psi(t)=O(tf(t))$ au voisinage de $0${\,};
\item $\varphi$ est d\'erivable par rapport \`a $x$ et $\d{\partial \varphi\over \partial x}$ est
continue sur $[\eps,A]\times ]0,1]${\,};
\item $\d\forall (x,t)\in\, [\eps,A]\times ]0,1],\ \left|{\partial \phi\over \partial x}(x,t)\right|
\leq {Q_{k+1}(A,t)\over (\eps^2+t^2)^{k+2}}\,|f(t)|=\psi_1(t)${\,};
\item l'application $\psi_1$ est continue et int\'egrable sur $]0,1]$ (m\^eme raison que pour $\psi$).
\end{itemize}

Le th\'eor\`eme de Leibniz s'applique donc une nouvelle fois{\,}: la propri\'et\'e $(H_{k+1})$ est v\'erifi\'ee.

\vskip 2mm
Nous avons ainsi montr\'e que $\Psi$ est de classe $C^{\infty}$ sur chaque intervalle $[\eps,A]$, donc sur
$]0,+\infty[$, avec
$$\Psi^{(k)}(x)=\int_0^1{\partial^k\over \partial x^k}\left({t\over x^2+t^2}\right)\,f(t)\,{\rm d}t$$
pour tout $(k,x)\in\N\times\R_+^*$, ce qui ach\`eve la d\'emonstration.



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\subsection*{PARTIE IV}

\ques{1.}Voir la question pr\'ec\'edente.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\ques{2.}On a $F(x)=\d\int_0^1{tf(t)\over x^2+t^2}\,{\rm d}t+\Phi(x)=
\left[{1\over 2}\ln (x^2+t^2)f(t)\right]_0^1-{1\over 2}\int_0^1\ln (x^2+t^2)f'(t)\,{\rm d}t+\Phi(x)$.

\vskip 2mm
Montrons que la fonction $\d x\longmapsto -{1\over 2}\int_0^1\ln (x^2+t^2)f'(t)\,{\rm d}t$ est d\'efinie
et continue sur $[0,1/2]$. Pour appliquer le th\'eor\`eme de continuit\'e, nous allons couper l'int\'egrale en
deux morceaux, afin de dominer plus facilement la fonction int\'egr\'ee.

\vskip 2mm
a) l'application $\d x\longmapsto -{1\over 2}\int_{1/2}^1\ln (x^2+t^2)f'(t)\,{\rm d}t$ est d\'efinie et continue
sur $[0,1/2]$ car l'application $(x,t)\longmapsto  -{1\over 2}\ln (x^2+t^2)f'(t)$ est d\'efinie et continue
sur $[0,1/2]\times [1/2,1]$.

\vskip 2mm
b) l'application $\d x\longmapsto -{1\over 2}\int_{0}^{1/2}\ln (x^2+t^2)f'(t)\,{\rm d}t$ est d\'efinie et continue
sur $[0,1/2]$ car{\,}:
\begin{itemize}
\item l'application $(x,t)\longmapsto  -{1\over 2}\ln (x^2+t^2)f'(t)$ est d\'efinie et continue
sur $[0,1/2]\times ]0,1/2]${\,};
\item $\forall (x,t)\in [0,1/2]\times ]0,1/2]$, $\d\left|-{1\over 2}\ln (x^2+t^2)f'(t)\right|
= -{1\over 2}\ln (x^2+t^2)|f'(t)|\leq -\ln t\,|f'(t)| =\psi(t)${\,};
\item $\psi$ est continue et int\'egrable sur $]0,1]$, puisque $\psi(t)=O(\ln t)$ au voisinage de 0.
\end{itemize}

\vskip 2mm
Nous obtenons donc le d\'eveloppement asymptotique au voisinage de 0{\,}:
$$F(x)=-f(0)\ln x+\Phi(0)-\int_0^1 \ln t\,f'(t)\,{\rm d}t +o(1),$$
et donc $F(x)\sim -f(0)\ln x$ au voisinage de 0 (car $f(0)$ est non nul). 


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\ques{3.a.}Pour $x>0$, on obtient par le changement de variable $t=ux${\,}:
$$\int_0^1{x\over x^2+t^2}\,{\rm d}t=\int_0^{1/x}{1\over 1+u^2}\,{\rm d}u=\arctan (1/x).$$

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\ques{3.b.}Pour tout $x>0$, on a
$\d xF(x)=x\,\Phi(x)+\int_0^1{x\over x^2+t^2}\,(tf(t)-1)\,{\rm d}t+\int_0^1{x\over x^2+t^2}\,{\rm d}t$. Comme
$\Phi$ est continue en 0, $\d x\,\Phi(x)+\int_0^1{x\over x^2+t^2}\,{\rm d}t=x\Phi(x)+\arctan (1/x)$ tend vers $\pi/2$ quand $x$ tend vers 0.
Il reste donc \`a montrer que $\d R(x)=\int_0^1{x\over x^2+t^2}\,(tf(t)-1)\,{\rm d}t$ tend vers $0$ quand $x$
tend vers 0, ce qui se fait par une preuve ``de type Cesaro''.

\vskip 2mm
Soit $\eps >0$ et fixons $\eta\in\,]0,1[$ tel que $|tf(t)-1|\leq \eps$ d\`es que $0<t\leq\eta$. On a donc{\,}:
\begin{eqnarray*}
|R(x)|&\leq& \left| \int_0^{\eta} {x\over x^2+t^2}\,(tf(t)-1)\,{\rm d}t\right|+
\left| \int_{\eta}^1 {x\over x^2+t^2}\,(tf(t)-1)\,{\rm d}t\right|\\
&\leq&\eps\,\int_0^{\eta} {x\over x^2+t^2}\,{\rm d}t+\left| \int_{\eta}^1 {x\over x^2+t^2}\,(tf(t)-1)\,{\rm d}t\right|\\
&\leq&\eps\,\int_0^1{x\over x^2+t^2}\,{\rm d}t+\left| \int_{\eta}^1 {x\over x^2+t^2}\,(tf(t)-1)\,{\rm d}t\right|\\
&\leq&\eps \arctan (1/x)+\left| \int_{\eta}^1 {x\over x^2+t^2}\,(tf(t)-1)\,{\rm d}t\right|\\
&\leq&{\pi\over 2}\,\eps +\left| \int_{\eta}^1 {x\over x^2+t^2}\,(tf(t)-1)\,{\rm d}t\right|\\
\end{eqnarray*}

\vskip 2mm
Enfin, $\d(x,t)\longmapsto {x\over x^2+t^2}\,(tf(t)-1)$ \'etant continue sur
$[0,+\infty[\times [\eta,1]$, $x\longmapsto \d\int_{\eta}^1 {x\over x^2+t^2}\,(tf(t)-1)\,{\rm d}t$ est continue sur
$[0,+\infty[$. Nous en d\'eduisons que $\d\int_{\eta}^1 {x\over x^2+t^2}\,(tf(t)-1)\,{\rm d}t$
tend vers 0 quand $x$ tend vers 0. Il existe donc $a>0$ tel que $\d\left|\int_{\eta}^1 {x\over x^2+t^2}\,(tf(t)-1){\rm
d}t\right|\leq \eps$ pour tout $x\in\,]0,a]$. Nous obtenons donc{\,}:
$$|R(x)|\leq \left({\pi\over 2}+1\right)\,\eps$$
pour tout $x\in\,]0,a]$, ce qui traduit la convergence de $R(x)$ vers 0 quand $x$ tend vers 0.

%\end{document}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\vfill
\eject
\thispagestyle{empty}
\titre{FICHE D'{\'E}VALUATION DES SUJETS DE CONCOURS}
\vskip .5cm
Libell\'e complet de l'\'epreuve{\,}: {\bf ENSAI option MP, deuxi\`eme \'epreuve de Math\'ematiques}

\vskip 2mm
Nom{\,}: LEGROS St\'ephane, professeur de la MP du lyc\'ee Pierre CORNEILLE de Rouen\par
Adresse{\,}: 5, rue de la Briqueterie 76 130 Mt St Aignan\par
Tel{\,}: 02 35 74 91 63\par

\vskip 2mm
Titre propos\'e pour l'\'epreuve{\,}: Autour de la transformation $\d\Int{{tf(t)\over x^2+t^2}}$.

\vskip .5cm
{\bf {\'E}VALUATION}

{\bf I. Erreurs d'\'enonc\'e - influence des calculatrices}

Il n'y a pas d'erreurs d'\'enonc\'e \`a proprement parler, mais on trouve deux grosses maladresses{\,}:

\begin{enumerate}
\item {\`A} la question I.4.d., on demande de montrer que la fonction $\d(t,x)\longmapsto {t\over x^2+t^2}$ est harmonique,
alors qu'il faut utiliser ensuite la fonction $\d(t,x)\longmapsto {x\over x^2+t^2}$. C'est
d'autant plus ennuyeux qu'il est possible de faire appara\^{\i}tre $\d{t\over x^2+t^2}$, et de se lancer dans une
mauvaise voie.

\item {\`A} la question III.2., on veut montrer que l'application $\d x\longmapsto \Int{{tf(t)\over x^2+t^2}}$ est
de classe $C^{\infty}$ sur $]0,+\infty[$. La majoration demand\'ee \`a la question 1) ne permet que de traiter,
via le th\'eor\`eme de d\'erivation de Leibniz, l'application $\d x\longmapsto \int_1^{+\infty}{{tf(t)\over
x^2+t^2}}\,{\rm d}t$, qui n'est pourtant d\'efinie qu'au d\'ebut de la partie IV. Cela a sans doute pos\'e des
probl\`emes aux \'el\`eves, d'autant que jusque l\`a, l'\'enonc\'e donnait toutes les indications avec pr\'ecision.
\end{enumerate}

\vskip 2mm
Les calculatrices \'etaient interdites.

\vskip 3mm
{\bf II. Conformit\'e au programme}

Aucune question n'est hors programme. Il est m\^eme int\'eressant de remarquer que l'\'enonc\'e utilise la d\'efinition
correcte (au sens du nouveau programme) de l'int\'egrabilit\'e sur un intervalle quelconque (fonction sommable).

\vskip 2mm
L'esprit du programme est \'egalement respect\'e, les m\'ethodes ``classiques'' \'etant m\^eme explicit\'ees par l'\'enonc\'e.
Une bonne connaissance du cours permettait de traiter sans probl\`eme les parties I et II.

\vskip 2mm
Par contre, le cours d'analyse n'est que partiellement couvert{\,}: int\'egrabilit\'e sur $]0,+\infty[$,
fonction d\'ependant d'un param\`etre (th. de continuit\'e et de d\'erivation), th. de convergence domin\'ee,
int\'egrations par parties et changements de variables.

\vskip 2mm
Qualit\'es qui me semblent le plus test\'ees{\,}:

\begin{itemize}
\item les quelques th. cit\'es ci-dessus doivent \^etre parfaitement connus{\,};
\item le pb est assez technique, mais l'\'enonc\'e explicite toujours (au moins dans les 3/4 du sujet) la marche \`a
suivre{\,};
\item pas de difficult\'e de mod\'elisation, d'imagination ou de choix de m\'ethode.
\end{itemize}

\vskip 2mm
Originalit\'e du sujet{\,}: aucune{\,}; on a plut\^ot l'impression de r\'esoudre une suite d'exercices d'oral
``classiques''.
 
\vskip 2mm
Int\'er\^et math\'ematique du sujet{\,}: bonne r\'evision du cours sur les int\'egrales d\'ependant d'un param\`etre, mais
on n'apprend rien de g\'en\'eral dans ce probl\`eme.

\eject
{\bf III. Tri, Niveau de difficult\'e}

Longueur du sujet{\,}: les parties I et II sont un peu longues et laissent peu de temps pour attaquer les
questions plus d\'elicates (III.2., IV.2. et IV.3.).

\vskip 2mm
Difficult\'e et caract\`ere progressif{\,}: les deux premi\`eres parties sont faciles mais un peu laborieuses. La
premi\`ere question d\'elicate est tr\`es mal introduite par l'in\'egalit\'e III.1., ce qui a sans doute g\^en\'e les \'el\`eves.

\vskip 2mm
Notes significatives{\,}: oui pour le premier et le deuxi\`eme tiers. Parmi les tr\`es bons candidats, seuls les
tr\`es rapides \'el\`eves auront eu le temps de d\'emontrer leurs qualit\'es.

\vskip .5cm
{\bf IV. Parties du programmes utilis\'ees}

3. Int\'egration sur un segment{\,};\par
7. Int\'egration sur un intervalle quelconque{\,};\par
8. Int\'egrales \`a param\`etres{\,};\par

\vskip 2mm
On croise l'\'equation diff\'erentielle $y"=y$ et on calcule le laplacien de la fonction $\d{x\over t^2+x^2}$,
mais cela ne permet pas, \`a mon avis, de mettre les paragraphes 9. et 10. dans la liste.

\vskip 2mm
La partie II traite de convergence de s\'erie et de l'existence de $\d\lim_{A\rightarrow +\infty} \int_0^A
{t\,f(t)\over x^2+t^2}\,{\rm d}t$ quand $f$ est p\'eriodique. Elle peut \^etre trait\'ee en premi\`ere ann\'ee.
\thispagestyle{empty}



\end{document}
