\documentclass[11pt]{article}
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\begin{document}


%En-t{\^e}te et pied de page
\lhead{X 2000 MP Maths 2}
\rhead{page \thepage}
\cfoot{}


%Num{\'e}rotation
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\arabic{enumi}.} }
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\alph{enumii})} }

%Macros
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\scal}[2]{\left(#1 \vert #2 \right)}
\newcommand{\pos}[1]{#1^{+}}
\newcommand{\orth}[1]{{#1^{\bot}}}
\newcommand{\norme}[1]{\left \| #1 \right \|}
\newcommand{\somme}[3]{\sum_{#1}^{#2}\limits{#3}}
\newcommand{\set}[1]{\left \{ #1 \right \}}




\textbf{{\large {\'E}COLE POLYTECHNIQUE \hfil FILI{\`E}RE} {\Large MP}}

\bigskip
\textbf{CONCOURS D'ADMISSION 2000}

\bigskip
\begin{center}
\textbf{{\large DEUXI{\`E}ME COMPOSITION DE MATH{\'E}MATIQUES}}

(Dur{\'e}e : 4 heures)

\medskip
L'utilisation des calculatrices n'est pas autoris{\'e}e pour cette {\'e}preuve.
\end{center}

\bigskip
\begin{center}$\star$ $\star$ $\star$\end{center}

\vspace{5mm}
\textit{On attachera la plus grande importance {\`a} la clart{\'e}, {\`a} la pr{\'e}cision et {\`a} la concision de la r{\'e}daction.}

\bigskip
\begin{center}$\star$ $\star$ $\star$\end{center}




Ce probl{\`e}me a pour objet l'{\'e}tude de certains c{\^o}nes dans des espaces euclidiens.

\bigskip
On d{\'e}signe par $E$ l'espace euclidien $\R^{n}$ ($n {\geq} 1$), par $\scal{\cdot}{\cdot}$ son produit scalaire usuel, et par $\norme{\cdot}$ la norme associ{\'e}e.
Pour toute partie $X$ de $E$, on note $\orth{X}$ (resp. $\pos{X}$) l'ensemble des {\'e}l{\'e}ments $x$ de $E$ satisfaisant $\scal{x}{y} = 0$ (resp. $\scal{x}{y} {\geq} 0$) pour tout $y$ de $X$.

\medskip
Une partie $C$ de $E$ sera appel{\'e}e \textit{c{\^o}ne {\`a} faces} s'il existe une famille finie d'{\'e}l{\'e}ments $c_{1}$, {\dots}, $c_{r}$ ($r > 0$) de $E$ telle que $C$ soit l'ensemble des combinaisons lin{\'e}aires $\somme{i=1}{r}{\lambda_{i} c_{i}}$ avec $\lambda_{1}, {\dots}, \lambda_{r} {\geq} 0$.
On supposera toujours les $c_{i}$ non nuls, et on dira qu'ils \textit{engendrent} $C$.
Enfin on appelle \textit{face} de $C$ toute partie de $C$ de la forme $C \cap \orth{\set{w}}$ avec $w \in�C^{+}$.

\medskip
La premi{\`e}re partie est ind{\'e}pendante des suivantes.

\bigskip
\begin{center}\textbf{Premi{\`e}re partie}\end{center}

\begin{enumerate}
\item %Question 1
V{\'e}rifier que tout sous-espace vectoriel non nul de $E$ est un c{\^o}ne {\`a} faces.

\item %Question 2.
Supposant $n = r = 2$, d{\'e}crire (sans d{\'e}monstration mais avec des figures) les ensembles $C$, $\pos{C}$ et donner sous chaque figure la liste des faces de $C$ suivant les diverses positions relatives de $c_{1}$ et $c_{2}$.

\item %Question 3.
Supposant que $n = r = 3$ et que $(c_{1}, c_{2}, c_{3})$ est une base orthogonale de $E$, d{\'e}crire sans d{\'e}monstration $C$, $\pos{C}$ et les faces de $C$.


\begin{center}\textbf{Deuxi{\`e}me partie}\end{center}

On se propose, dans cette partie, de d{\'e}montrer que tout c{\^o}ne {\`a} faces est ferm{\'e} dans $E$.

\item %Question 4
\begin{enumerate}
\item Soit $K$ une partie compacte de $E$ ne contenant pas $0$.
Montrer que l'ensemble des {\'e}l{\'e}ments de la forme $\lambda x$, o{\`u} $\lambda \in�\R_{+}$ et $x \in�K$, est ferm{\'e} dans $E$.

\item Ce r{\'e}sultat subsiste-t-il si l'on suppose $K$ seulement ferm{\'e}, ou si $K$, compact, contient $0$ ?
\end{enumerate}

\item %Question 5.
On consid{\`e}re maintenant un c{\^o}ne {\`a} faces $C$ engendr{\'e} par des {\'e}l{\'e}ments $c_{1}$, {\dots}, $c_{r}$.
\begin{enumerate}
\item Montrer que $C$ est ferm{\'e} lorsqu'il ne contient aucune droite vectorielle. [On pourra introduire l'ensemble $K$ des {\'e}l{\'e}ments $\somme{i=1}{r}{\lambda_{i} c_{i}}$ avec $\somme{i=1}{r}{\lambda_{i}} = 1$.]

\item Soit $V$ un sous-espace vectoriel de $E$ ({\'e}ventuellement r{\'e}duit {\`a} $0$) contenu dans $C$ et distinct de $C$.
On note $P$ le projecteur orthogonal de $E$ sur $\orth{V}$.
V{\'e}rifier que $P(C)$ est un c{\^o}ne {\`a} faces contenu dans $C$.

\item Supposant que $P(C)$ contient une droite vectorielle, construire un sous-espace vectoriel de $E$ contenu dans $C$ et contenant strictement $V$.

\item Montrer que $C$ est ferm{\'e} dans $E$.
\end{enumerate}

\begin{center}\textbf{Troisi{\`e}me partie}\end{center}

\item %Question 6.
On se propose ici de d{\'e}montrer que tout c{\^o}ne {\`a} faces $C$ v{\'e}rifie $\pos{\left(\pos{C}\right)} = C$.
\begin{enumerate}
\item Soit $a$ un {\'e}l{\'e}ment de $E$. Montrer que la fonction r{\'e}elle d{\'e}finie sur $C$ par $c \mapsto \norme{c - a}$ atteint sa borne inf{\'e}rieure en un point unique de $C$. On le notera $p(a)$.

\item D{\'e}terminer le signe de $\scal{p(a) - a}{c}$ lorsque $c \in�C$, ainsi que la valeur de $\scal{p(a) - a}{p(a)}$.

\item Conclure.
\end{enumerate}

\begin{center}\textbf{Quatri{\`e}me partie}\end{center}

On souhaite maintenant d{\'e}montrer que tout c{\^o}ne {\`a} faces est l'intersection d'une famille finie de demi-espaces ferm{\'e}s (on appelle \textit{demi-espace ferm{\'e}} tout sous-ensemble de $E$ de la forme $\pos{\set{a}}$ avec $a \in E$, $a {\neq} 0$).

\item %Question 7.
D{\'e}montrer l'{\'e}quivalence des conditions suivantes relatives {\`a} un c{\^o}ne {\`a} faces $C$ :
\begin{itemize}
\item[\textbf{($\alpha$)}]  le sous-espace vectoriel de $E$ engendr{\'e} par $C$ est {\'e}gal {\`a} $E$ ;
\item[\textbf{($\beta$)}]  l'int{\'e}rieur de $C$ est non vide.
\end{itemize}

\item %Question 8.
On suppose dans cette question les conditions de la question \textbf{7.} satisfaites pour un c{\^o}ne {\`a} faces $C$.
\begin{enumerate}
\item D{\'e}montrer l'{\'e}quivalence des conditions suivantes relatives {\`a} un {\'e}l{\'e}ment $x$ de $C$ :
\begin{itemize}
\item[($\alpha'$)] $x$ est un point fronti{\`e}re de $C$ ;
\item[($\beta'$)] $x$ appartient {\`a} une face de $C$ distincte de $C$.
\end{itemize}

\item Que subsisterait-il de ce r{\'e}sultat si l'on ne supposait pas satisfaites les conditions de la question \textbf{7.} ?

\item Soit $x$ un point de $E$ n'appartenant pas {\`a} $C$. Construire une face $F$ de $C$, distincte de $C$ et ayant la propri{\'e}t{\'e} suivante : pour tout $w \in�\pos{C}$ tel que $F = C \cap \orth{\set{w}}$, on a $\scal{x}{w} < 0$.

[On pourra consid{\'e}rer le segment de droite joignant $x$ {\`a} un point $x_{0}$ de l'int{\'e}rieur de $C$].
\end{enumerate}

\item %Question 9.
\begin{enumerate}
\item Montrer que l'ensemble des faces d'un c{\^o}ne {\`a} faces est fini.
\item Montrer que tout c{\^o}ne {\`a} faces est l'intersection d'une famille finie de demi-espaces ferm{\'e}s.
\end{enumerate}

\item %Question 10.
D{\'e}duire de ce qui pr{\'e}c{\`e}de que, si $C$ est un c{\^o}ne {\`a} faces, il en est de m{\^e}me de $\pos{C}$.
\end{enumerate}

\bigskip
\begin{center}
$\star$ \,\, $\star$

$\star$
\end{center}
\end{document}

