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\begin{document}

\begin{center}
{\Large X 2000 option PC : Math2\ \bigskip}

\textbf{Premi\`{e}re\ partie\ \bigskip}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item
\begin{itemize}
\item [a)]\textit{classique} : l'existence de la borne sup\'{e}rieure
\'{e}tant \`{a} justifier avec la continuit\'{e} de $V\rightarrow XV$ sur la
sph\`{e}re unit\'{e}.\medskip\allowbreak

\item[b)] Pour tout $V\in\mathbb{R}^{n},\left\|  XYV\right\|  \leq
N(X)\left\|  YV\right\|  \leq N(X)N(Y)\left\|  V\right\|  $ . Par comparaison
d'un majorant et de la borne sup\'{e}rieure, on d\'{e}duit que $N$ est une
norme d'alg\`{e}bre.\allowbreak
\end{itemize}
\end{enumerate}

Si $n\geq2,$ consid\'{e}rons la matrice $X$ dont tous les coefficients valent
$1$ ; \allowbreak

elle v\'{e}rifie $N_{\infty}(X^{2})=n>N_{\infty}(X)^{2}=1.\allowbreak$

Si $n=1,$ $N_{\infty}$ co\"{i}ncide avec $N$ c'est-\`{a}-dire la fonction
valeur absolue. \allowbreak

Ainsi, $N_{\infty}$ est une norme d'alg\`{e}bre uniquement lorsque
$n=1.$\allowbreak\medskip\medskip

\begin{enumerate}
\item [2.]

\begin{itemize}
\item [a)]Le d\'{e}terminant s'exprimant \`{a} l'aide de sommes,
diff\'{e}rences de produits des coefficients de la matrice, l'application
$\det$ est continue sur $\mathcal{M}_{n}\left(  \mathbb{R}\right)  $ . Par
cons\'{e}quent, la suite $\left(  \det(X_{p})\right)  _{p}$ tend vers
$\det(X)\neq0$ ; il existe donc un rang \`{a} partir duquel les $\det$
$(X_{p})$ sont non nuls.\allowbreak

\item[b)] En remarquant que $X^{-1}\left(  X-X_{p}\right)  X_{p}^{-1}%
=X_{p}^{-1}-X^{-1}$ et en utilisant l'in\'{e}galit\'{e} du 1.b) , on
d\'{e}duit:
\begin{align*}
\left\|  X_{p}^{-1}V-X^{-1}V\right\|   &  =\left\|  \left(  X_{p}^{-1}%
-X^{-1}\right)  V\right\|  \leq N\left(  X^{-1}\left(  X-X_{p}\right)
\right)  \left\|  X_{p}^{-1}V\right\| \\
&  \leq N\left(  X^{-1})N\left(  X-X_{p}\right)  \right)  \left\|  X_{p}%
^{-1}V\right\|
\end{align*}
Puisque la suite $\left(  N(X-X_{p})\right)  _{p}$ tend vers $0$ , il existe
un entier $p_{0}$ tel que
\[
\forall p\geq p_{0}\quad N(X-X_{p})\leq\dfrac{1}{2N\left(  X^{-1}\right)  }.
\]
L'in\'{e}galit\'{e} de la question pr\'{e}c\'{e}dente fournit ensuite :
\begin{align*}
\forall p  &  \geq p_{0}\quad\left\|  X_{p}^{-1}V\right\|  \leq\left\|
X^{-1}V\right\|  +\left\|  X_{p}^{-1}V-X^{-1}V\right\|  \leq\left\|
X^{-1}V\right\|  +\dfrac{1}{2}\left\|  X_{p}^{-1}V\right\| \\
\text{puis,\qquad}\forall p  &  \geq p_{0}\quad\left\|  X_{p}^{-1}V\right\|
\leq2\left\|  X^{-1}V\right\|  .
\end{align*}
\textit{Remarque: }l'\'{e}nonc\'{e} aurait d\^{u} demander une constante $C$
ind\'{e}pendante de $V$ , ce qui est essentiel pour la suite.\allowbreak\allowbreak

\item[c)] La constante $C=2$ trouv\'{e}e ci-dessus \'{e}tant \textbf{ind\'{e}%
pendante de }$p$\textbf{\ et de }$V$\textbf{\ }, on a pour $p\geq p_{0}\quad$
\[
\forall V\in\mathbb{R}^{n}\quad\left\|  \left(  X_{p}^{-1}-X^{-1}\right)
V\right\|  \leq CN\left(  X^{-1}\right)  N\left(  X-X_{p}\right)  \left\|
X^{-1}V\right\|  \leq CN\left(  X^{-1}\right)  ^{2}N\left(  X-X_{p}\right)
\left\|  V\right\|  .
\]
On en d\'{e}duit, que le r\'{e}el $CN\left(  X^{-1}\right)  ^{2}N\left(
X-X_{p}\right)  $ majore l'ensemble des $\dfrac{\left\|  \left(  X_{p}%
^{-1}-X^{-1}\right)  V\right\|  }{\left\|  V\right\|  }$ o\`{u} $V\in
\mathbb{R}^{n}\backslash\left\{  0\right\}  $ ce qui livre:
\[
\forall p\geq p_{0}\quad N\left(  X_{p}^{-1}-X^{-1}\right)  \leq CN\left(
X^{-1}\right)  ^{2}N\left(  X-X_{p}\right)  \underset{p\rightarrow+\infty
}{\longrightarrow}0.
\]
D'o\`{u} le r\'{e}sultat demand\'{e}.\allowbreak\medskip
\end{itemize}

\item[3.] \textit{Remarque pr\'{e}liminaire:} une matrice $X$ poss\'{e}dant la
propri\'{e}t\'{e} $\left(  P\right)  $, v\'{e}rifie les in\'{e}galit\'{e}s
$\left(  \ast\right)  $ suivantes:
\[
\left(  \ast\right)  \qquad\forall i\in\lbrack1..n]\quad\left|  X_{ii}\right|
=X_{ii}>-\sum_{j\neq i}X_{ij}=\sum_{j\neq i}\left|  X_{ij}\right|
\]

\begin{itemize}
\item [a)]On suppose qu'un vecteur $V\neq0$ v\'{e}rifie $XV=0$ . Alors
$\left|  v_{i_{0}}\right|  =\underset{1\leq i\leq n}{\max}\left|
v_{i}\right|  $ est \textit{strictement positif} et $\forall i\in
\lbrack1..n]\quad\sum\limits_{j=1}^{n}X_{ij}v_{j}=0.$ \allowbreak

En particulier, $X_{i_{0}i_{0}}v_{i_{0}}=-\sum\limits_{j\neq i_{0}}X_{i_{0}%
j}v_{j}$ implique $\left|  X_{i_{0}i_{0}}\right|  \left|  v_{i_{0}}\right|
\leq\left(  \sum\limits_{j\neq i_{0}}\left|  X_{i_{0}j}\right|  \right)
\left|  v_{i_{0}}\right|  $ ce qui est en contradiction avec $\left(
\ast\right)  $ . On vient ainsi de d\'{e}montrer que $X$ est de noyau nul donc
inversible ( $X$ est une matrice carr\'{e}e ).

\item[b)] On suppose que $\forall i\in\left\{  1..n\right\}  \quad
\sum\limits_{j=1}^{n}X_{ij}v_{j}\geq0$ et que $v_{i_{1}}=\underset{1\leq i\leq
n}{\min}v_{i}<0$ .\allowbreak\
\begin{align*}
\text{ Alors }X_{i_{1}i_{1}}v_{i_{1}}  &  =\sum\limits_{j=1}^{n}X_{i_{1}%
j}v_{j}+\sum\limits_{j\neq i_{1}}\left(  -X_{i_{1}j}\right)  v_{j}\geq
\sum\limits_{j\neq i_{1}}\left(  -X_{i_{1}j}\right)  v_{j}\geq\left[
\sum\limits_{j\neq i_{1}}\left(  -X_{i_{1}j}\right)  \right]  v_{i_{1}}\quad\\
\text{car}-X_{i_{1}j}  &  \geq0\text{ pour }j\neq i_{1}.\allowbreak
\end{align*}
On divise ensuite par $v_{i_{1}}<0$ et on obtient $X_{i_{1}i_{1}}\leq
\sum\limits_{j\neq i_{1}}\left(  -X_{i_{1}j}\right)  $ , qui est encore
incompatible avec $\left(  \ast\right)  .\allowbreak\medskip$
\end{itemize}

\item[4.] Soit un entier $p$ fix\'{e}. D'apr\`{e}s 3.a), la matrice $X_{p}$
est inversible.
\end{enumerate}

Posons, pour $k\in\left\{  1..n\right\}  ,$ $V_{k}=X_{p}^{-1}e_{k}$ ,o\`{u}
$\left(  e_{1},e_{2},...e_{n}\right)  $ est la base canonique de
$\mathbb{R}^{n};$ $V_{k}$ est la $k^{i\grave{e}me}$ colonne de $X_{p}^{-1}.$
Le vecteur $X_{p}V_{k}=e_{k}$ \'{e}tant \`{a} composantes positives ou nulles,
la question 3.b) d\'{e}montre que $V_{k}$ est \'{e}galement \`{a} composantes
positives ou nulles. En cons\'{e}quence, tous les coefficients de la matrice
$X_{p}^{-1}$ sont positifs ou nuls. Par ailleurs, on sait par 2.c) que
$X_{p}^{-1}\underset{p\rightarrow+\infty}{\longrightarrow}X^{-1}.\allowbreak$
Les coefficients d'une matrice \'{e}tant ses coordonn\'{e}es dans la base
canonique de $\mathcal{M}_{n}\left(  \mathbb{R}\right)  $ , on en d\'{e}duit
que $\left(  X^{-1}\right)  _{ij}=\underset{p\rightarrow+\infty}{\lim}\left(
X_{p}^{-1}\right)  _{ij}\geq0$ pour tous $i,j.\bigskip$

\begin{center}
\textbf{Deuxi\`{e}me\ partie\ \medskip\allowbreak\medskip}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item [5.]

\begin{itemize}
\item [a)]\textit{unicit\'{e} \bigskip de }$u$ : si $u^{\prime\prime
}=v^{\prime\prime}=-f$ , alors $u-v$ est affine donc nulle (car $u-v$ s'annule
en $0$ et $1$ ).\allowbreak
\end{itemize}

\textit{existence de }$u$ : si on note $F:x\longrightarrow\int_{0}^{x}f(t)dt $
la primitive de $f$ qui s'annule en $0$ , alors la fonction
\[
u:x\longrightarrow-\int_{0}^{x}F(t)dt+x\left[  \int_{0}^{1}F(t)dt\right]
\]
est $C^{4}$ sur $\left[  0,1\right]  $ et v\'{e}rifie les conditions
requises.\allowbreak\allowbreak\allowbreak

\textit{Remarque: }une int\'{e}gration par parties fournit une autre
expression de $u$ :
\[
u\left(  x\right)  =-\int_{0}^{x}f(t)\left(  x-t\right)  dt+x\left[  \int
_{0}^{1}f(t)\left(  1-t\right)  dt\right]
\]
\allowbreak

\begin{itemize}
\item [b)]Si $f\geq0$ , $u^{\prime\prime}\leq0$ donc $u$ est concave sur
$\left[  0,1\right]  .$ Son graphe est donc situ\'{e} au dessus de la corde
joignant les points d'abscisse $x=0$ et $x=1,$ c'est-\`{a}-dire au dessus de
l'axe horizontal.\allowbreak

\item[c)] Pour $f=1,$ $\widehat{u}\left(  x\right)  =\dfrac{x\left(
1-x\right)  }{2}.\medskip$
\end{itemize}

\item[6.] 

\begin{itemize}
\item [a)]$M_{4}=\underset{x\in\left[  0,1\right]  }{\sup}\left|  u^{\left(
4\right)  }\left(  x\right)  \right|  $ existe par continuit\'{e} de
$u^{\left(  4\right)  }$ sur le compact $\left[  0,1\right]  .\allowbreak$

En appliquant l'in\'{e}galit\'{e} de Taylor-Lagrange \`{a} $u$ $C^{4}$ sur
$\left[  0,1\right]  ,$ on obtient:
\[
\forall x\in\left[  0,1\right]  \quad u\left(  x\right)  =u\left(
x_{i}\right)  +\left(  x-x_{i}\right)  u^{\prime}\left(  x_{i}\right)
+\dfrac{\left(  x-x_{i}\right)  ^{2}}{2}u^{\prime\prime}\left(  x_{i}\right)
+\dfrac{\left(  x-x_{i}\right)  ^{3}}{6}u^{(3)}\left(  x_{i}\right)
+R_{4}(x)
\]
avec $\left|  R_{4}(x)\right|  \leq\dfrac{\left|  x-x_{i}\right|  ^{4}}%
{24}M_{4} $ . On \'{e}crit cette in\'{e}galit\'{e} pour $x=x_{i-1}$ (
respectivement pour $x=x_{i+1}$ ) et en additionnant, on d\'{e}duit:
\[
u\left(  x_{i+1}\right)  +u\left(  x_{i-1}\right)  =2u\left(  x_{i}\right)
+2\dfrac{\left(  h\right)  ^{2}}{2}u^{\prime\prime}\left(  x_{i}\right)
+R_{4}(x_{i+1})+R_{4}(x_{i-1})
\]
Le r\'{e}sultat demand\'{e} provient ensuite de $\left|  R_{4}(x_{i+1}%
)\right|  +\left|  R_{4}(x_{i-1})\right|  \leq2\dfrac{\left(  h\right)  ^{4}%
}{24}M_{4}$ .\allowbreak

\item[b)] Pour $f=1,$ $\widehat{u}^{\left(  4\right)  }=0$ car $\widehat{u}$
est un polyn\^{o}me de degr\'{e} 2. L'in\'{e}galit\'{e} pr\'{e}c\'{e}dente
conduit, alors, \`{a} l'annulation de tous les $\widehat{u}^{\prime\prime
}\left(  x_{i}\right)  -\dfrac{1}{h^{2}}\left(  \widehat{u}\left(
x_{i-1}\right)  -2\widehat{u}\left(  x_{i}\right)  +\widehat{u}\left(
x_{i+1}\right)  \right)  $ avec $\widehat{u}^{\prime\prime}\left(
x_{i}\right)  =-f(x_{i})=-1.$\medskip
\end{itemize}

\item[7.] 

\begin{itemize}
\item [a)]$A=\dfrac{1}{h^{2}}\left[
\begin{array}
[c]{cccccc}%
2 & -1 & 0 & . & . & 0\\
-1 & 2 & -1 & 0 & . & 0\\
0 & -1 & . & . & . & .\\
. & . & . & . & -1 & 0\\
. & . & . & -1 & 2 & -1\\
0 & . & . & 0 & -1 & 2
\end{array}
\right]  \in\mathcal{M}_{n}\left(  \mathbb{R}\right)  .\allowbreak$

\item[b)] La forme quadratique $Q$ associ\'{e}e \`{a} la matrice $A$
sym\'{e}trique r\'{e}elle s'\'{e}crit:
\[
Q(V)=\left(  AV|V\right)  =\dfrac{2}{h^{2}}\left[  \sum\limits_{i=1}^{n}%
v_{i}^{2}-\sum\limits_{i=1}^{n-1}v_{i}v_{i+1}\right]  =\dfrac{1}{h^{2}}\left[
v_{1}^{2}+\sum\limits_{i=1}^{n-1}\left(  v_{i}-v_{i+1}\right)  ^{2}+v_{n}%
^{2}\right]
\]
ce qui prouve que $Q$ est positive.\allowbreak

\item[c)] $Q$ est d\'{e}finie car $Q(V)=0$ implique l'annulation de tous les
carr\'{e}s r\'{e}els ci-dessus donc de tous les $v_{i}$. Ainsi, la matrice $A$
est d\'{e}finie positive donc inversible ( son spectre est dans $\mathbb{R}%
_{+}^{\ast}$ ).\medskip
\end{itemize}

\item[8.] 

\begin{itemize}
\item [a)]La matrice ne v\'{e}rifie pas la propri\'{e}t\'{e} $\left(
P\right)  $ car la somme des coefficients de la ligne $i$ est nulle pour
$2\leq i\leq n-1.$ En revanche, $A$ est la limite d'une suite de matrices
v\'{e}rifiant $\left(  P\right)  ,$ par exemple: $A_{p}=A+\dfrac{1}{ph^{2}%
}I_{n}$ o\`{u} $p\in\mathbb{N}^{\ast}.$ D'apr\`{e}s la question 4., $B=A^{-1}$
est \`{a} coefficients positifs ou nuls.\allowbreak

\item[b)] On a vu au 6.b) que
\[
\forall i\in\left\{  1..n\right\}  \quad\dfrac{1}{h^{2}}\left(  -\widehat
{u}\left(  x_{i-1}\right)  +2\widehat{u}\left(  x_{i}\right)  -\widehat
{u}\left(  x_{i+1}\right)  \right)  =1
\]
c'est-\`{a}-dire que, si $\widehat{U}$ d\'{e}signe le vecteur de
$\mathbb{R}^{n}$ de composantes $\widehat{u}_{i}=\widehat{u}\left(
x_{i}\right)  $ , on a $A\widehat{U}=\widehat{F}$ soit $\widehat{U}%
=B\widehat{F}.$ Cette derni\`{e}re \'{e}galit\'{e} s'\'{e}crit:
\[
\forall i\in\left\{  1..n\right\}  \quad\sum\limits_{j=1}^{n}B_{ij}%
=\widehat{u}_{i}=\dfrac{x_{i}\left(  1-x_{i}\right)  }{2}\quad
\]
Une \'{e}tude des variations de $x\rightarrow x\left(  1-x\right)  $ sur
$\left[  0,1\right]  $ conduit ensuite au r\'{e}sultat attendu:
\[
\forall i\in\left\{  1..n\right\}  \quad\widehat{u}_{i}\in\left[  0,\dfrac
{1}{8}\right]
\]
\medskip
\end{itemize}

\item[9.] 

\begin{itemize}
\item [a)]En appliquant 6.a) \`{a} la fonction $u,$on obtient, pour $1\leq
i\leq n$ :
\[
\left|  f(x_{i})+\dfrac{1}{h^{2}}\left(  u\left(  x_{i-1}\right)  -2u\left(
x_{i}\right)  +u\left(  x_{i+1}\right)  \right)  \right|  \leq\dfrac{h^{2}%
}{12}M\text{\qquad o\`{u} }M=\underset{\left[  0,1\right]  }{\sup}\left|
f^{\prime\prime}\right|
\]
soit, puisque $u_{0}=0,$ $u_{1},u_{2},...,u_{n},u_{n+1}=0$ v\'{e}rifient
$\left(  2\right)  $ avec $f_{i}=f(x_{i}),$
\[
\left(  \ast\ast\right)  \qquad\left|  \dfrac{1}{h^{2}}\left[  -\left(
u_{i-1}-u\left(  x_{i-1}\right)  \right)  +2\left(  u_{i}-u\left(
x_{i}\right)  \right)  -\left(  u_{i+1}-u\left(  x_{i+1}\right)  \right)
\right]  \right|  \leq\dfrac{h^{2}}{12}M
\]
Posons, $\left(  \Delta u\right)  _{i}=u_{i}-u(x_{i})$ pour $0\leq i\leq n+1,$
( ce qui impose $\left(  \Delta u\right)  _{0}=\left(  \Delta u\right)
_{n+1}=0$ ) et d\'{e}signons par $\Delta u$ le vecteur de $\mathbb{R}^{n}$ de
composantes $\left(  \Delta u\right)  _{i},$ $1\leq i\leq n.$ Le vecteur
$V=A\left(  \Delta u\right)  $ a comme composantes les
\[
v_{i}=\dfrac{1}{h^{2}}\left(  -\left(  \Delta u\right)  _{i-1}+2\left(  \Delta
u\right)  _{i}-\left(  \Delta u\right)  _{i+1}\right)
\]
et l'in\'{e}galit\'{e} pr\'{e}c\'{e}dente $\left(  \ast\ast\right)  $ dit que
$\left|  v_{i}\right|  \leq\dfrac{h^{2}}{12}M$ pour tout $i$ tel que $1\leq
i\leq n.$ Par ailleurs $\Delta u=BV$ conduit \`{a}
\[
\forall i\in\left\{  1..n\right\}  \quad\left(  \Delta u\right)  _{i}%
=\sum\limits_{j=1}^{n}B_{ij}v_{j}.
\]
Sachant que les coefficients $B_{ij}$ sont positifs ou nuls et que $0\leq
\sum\limits_{j=1}^{n}B_{ij}\leq\dfrac{1}{8},$ on tire:
\[
\forall i\in\left\{  1..n\right\}  \quad\left|  \left(  \Delta u\right)
_{i}\right|  \leq\sum\limits_{j=1}^{n}B_{ij}\left|  v_{j}\right|  \leq\left(
\sum\limits_{j=1}^{n}B_{ij}\right)  \dfrac{h^{2}}{12}M\leq\dfrac{h^{2}}{96}M.
\]
\allowbreak

\item[b)] Avec les notations pr\'{e}c\'{e}dentes: $N_{\infty}\left(  \Delta
u\right)  \leq\dfrac{M}{96\left(  n+1\right)  ^{2}}$ qui signifie que
$u_{1},u_{2},...,u_{n}$ fournissent une approximation des $u\left(
x_{1}\right)  ,u\left(  x_{2}\right)  ,...,u\left(  x_{n}\right)  $ telle que
$\underset{1\leq i\leq n}{\max}\left|  u\left(  x_{i}\right)  -u_{i}\right|
\leq\dfrac{M}{96\left(  n+1\right)  ^{2}}.$\allowbreak

\item[c)] La fonction $f$ est $C^{\infty}$ sur $\left[  0,1\right]  $ et
$f^{\prime\prime}\left(  x\right)  =\dfrac{150x^{2}\left(  x^{4}-5\right)
}{\left(  x^{4}+5\right)  ^{5/2}}$. Pour $x\in\left[  0,1\right]  ,$ on a
$-5\leq x^{4}-5\leq-4$ et $5\leq x^{4}+5\leq6$ , donc $\left|  f^{\prime
\prime}\left(  x\right)  \right|  =-f^{\prime\prime}\left(  x\right)
\leq\dfrac{150\times5}{5^{5/2}}=6\sqrt{5}.$ D'apr\`{e}s l'\'{e}tude
pr\'{e}c\'{e}dente, on choisit $n$ tel que $\dfrac{6\sqrt{5}}{96\left(
n+1\right)  ^{2}}\leq10^{-4}$ c'est-\`{a}-dire $n+1\geq\dfrac{\sqrt[4]{5}}%
{4}\times100=37.3837...$ soit $n\geq37.\bigskip$
\end{itemize}
\end{enumerate}

\begin{center}
\textbf{Troisi\`{e}me partie\bigskip}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item [10.]

\begin{itemize}
\item [a)]L'\'{e}quation homog\`{e}ne $\left(  H\right)  :u^{\prime\prime
}-\dfrac{1}{p^{2}}u=0$ admet comme solutions les fonctions:
\[
x\rightarrow\lambda\ e^{\dfrac{x}{p}}+\mu\ e^{-\dfrac{x}{p}}=\alpha
ch(\dfrac{x}{p})+\beta sh(\dfrac{x}{p})
\]
On r\'{e}sout ensuite l'\'{e}quation $\left(  L\right)  :u^{\prime\prime
}-\dfrac{1}{p^{2}}u=-f$ \quad par la m\'{e}thode de variations des deux
constantes; on sait qu'il existe $\alpha\ $et $\beta$ de classe $C^{1}$ sur
$\left[  0,1\right]  $ telles que
\[
\left(
\begin{array}
[c]{c}%
u\\
u^{\prime}%
\end{array}
\right)  =\alpha\left(
\begin{array}
[c]{c}%
u_{1}\\
u_{1}^{\prime}%
\end{array}
\right)  +\beta\left(
\begin{array}
[c]{c}%
u_{2}\\
u_{2}^{\prime}%
\end{array}
\right)
\]
o\`{u} $u_{1}:x\rightarrow ch(\dfrac{x}{p})$ et $u_{2}:x\rightarrow
sh(\dfrac{x}{p})$ . On obtient le syst\`{e}me $\left\{
\begin{array}
[c]{c}%
\alpha^{\prime}u_{1}+\beta^{\prime}u_{2}=0\\
\alpha^{\prime}u_{1}^{\prime}+\beta^{\prime}u_{2}^{\prime}=-f
\end{array}
\right.  $ avec $u_{1}^{\prime}=\dfrac{1}{p}u_{2}$ et $u_{2}^{\prime}%
=\dfrac{1}{p}u_{1}$ dont les solutions sont: $\alpha^{\prime}=p\ f\ u_{2}$ et
$\beta^{\prime}=-p\ f\ u_{1}$ soit
\[
\alpha(x)=p\int_{0}^{x}\ f\ u_{2}+C\text{ \quad et\quad\ }\beta(x)=-p\int
_{0}^{x}\ f\ u_{1}+D.
\]
On ajoute les conditions $u\left(  0\right)  =\alpha\left(  0\right)  =0$ et
$u\left(  1\right)  =\alpha\left(  1\right)  ch(1/p)+\beta\left(  1\right)
sh(1/p)=0$ c'est-\`{a}-dire
\[
C=0\text{ et }Dsh(1/p)=-p\int_{0}^{1}f\ \left(  u_{2}ch\left(  1/p\right)
-u_{1}sh\left(  1/p\right)  \right)  =-p\int_{0}^{1}f\ \left(  t\right)
sh\left(  \dfrac{t-1}{p}\right)  dt
\]
et on obtient l'expression $\left(  E_{1}\right)  $ de l'unique solution du
probl\`{e}me $\left(  3\right)  :$%
\[
\frame{$\quad\left(  E_1\right)  \qquad u^{\left[  p\right]  }\left(
x\right)  =p%
%TCIMACRO{\dint _0^{x}}%
%BeginExpansion
{\displaystyle\int_0^{x}}
%EndExpansion
f\ \left(  t\right)  sh\left(  \dfrac{t-x}{p}\right)  dt-p\dfrac
{sh(x/p)}{sh(1/p)}%
%TCIMACRO{\dint _0^{1}}%
%BeginExpansion
{\displaystyle\int_0^{1}}
%EndExpansion
f\ \left(  t\right)  sh\left(  \dfrac{t-1}{p}\right)  dt\quad$}%
\]
\textit{Remarque 1: }$u^{\left[  p\right]  }$ est $C^{4}$ sur $\left[
0,1\right]  $ car de classe $C^{2}$ et $u^{\left[  p\right]  }{}^{\prime
\prime}=-f+\dfrac{1}{p^{2}}u^{\left[  p\right]  }$ est $C^{2}.\allowbreak
\allowbreak$

\textit{Remarque 2: }Avec le syst\`{e}me fondamental $u_{1}:x\rightarrow
sh(\dfrac{x}{p})$ et $u_{2}:x\rightarrow sh(\dfrac{1-x}{p})$ on trouve une
deuxi\`{e}me expression $\left(  E_{2}\right)  $ de la solution $u^{\left[
p\right]  }:$%
\[
\frame{$\quad\left(  E_2\right)  \qquad u^{\left[  p\right]  }\left(
x\right)  =\dfrac{p}{sh(1/p)}\left[  sh(\dfrac{x}{p})%
%TCIMACRO{\dint _x^{1}}%
%BeginExpansion
{\displaystyle\int_x^{1}}
%EndExpansion
f\ \left(  t\right)  sh\left(  \dfrac{1-t}{p}\right)  dt+sh(\dfrac{1-x}{p})%
%TCIMACRO{\dint _0^{x}}%
%BeginExpansion
{\displaystyle\int_0^{x}}
%EndExpansion
f\ \left(  t\right)  sh\left(  \dfrac{t}{p}\right)  dt\right]  \quad$}%
\]

\item[b)] Soit $x\in\left[  0,1\right]  $ fix\'{e}. On remarque que $\forall
u\leq0$ $\ sh(u)\leq u$ et, en cons\'{e}quence,
\[
\forall t\in\left[  0,x\right]  \quad psh\left(  \dfrac{t-x}{p}\right)
-\left(  t-x\right)  \leq0.
\]
Ainsi,
\begin{align*}
\left|  \int_{0}^{x}f\ \left(  t\right)  psh\left(  \dfrac{t-x}{p}\right)
dt-\int_{0}^{x}f\ \left(  t\right)  \left(  t-x\right)  dt\right|   &
=\left|  \int_{0}^{x}f\ \left(  t\right)  \left[  psh\left(  \dfrac{t-x}%
{p}\right)  -\left(  t-x\right)  \right]  dt\right| \\
&  \leq\left\|  f\right\|  _{\infty}\int_{0}^{x}\left[  \left(  t-x\right)
-\ psh\left(  \dfrac{t-x}{p}\right)  \right]  dt.
\end{align*}
Or, $p^{2}\left(  ch(\dfrac{x}{p})-1\right)  \underset{p\rightarrow+\infty
}{\sim}\dfrac{x^{2}}{2}$ livre:
\[
\int_{0}^{x}\left[  \left(  t-x\right)  -\ psh\left(  \dfrac{t-x}{p}\right)
\right]  dt=\left[  \dfrac{\left(  t-x\right)  ^{2}}{2}+p^{2}ch\left(
\dfrac{t-x}{p}\right)  \right]  _{0}^{x}=-\dfrac{x^{2}}{2}+p^{2}\left(
1-ch\left(  \dfrac{x}{p}\right)  \right)  \underset{p\rightarrow+\infty
}{\longrightarrow}0
\]
et en cons\'{e}quence $%
%TCIMACRO{\dint _{0}^{x}}%
%BeginExpansion
{\displaystyle\int_{0}^{x}}
%EndExpansion
f\ \left(  t\right)  p\ sh\left(  \dfrac{t-x}{p}\right)  dt\underset
{p\bar{\rightarrow}+\infty}{\longrightarrow}%
%TCIMACRO{\dint _{0}^{x}}%
%BeginExpansion
{\displaystyle\int_{0}^{x}}
%EndExpansion
f\ \left(  t\right)  \ \left(  t-x\right)  dt.$ \allowbreak

Cette derni\`{e}re limite \'{e}crite en $x=1,$ et $\dfrac{sh(x/p)}%
{sh(1/p)}\underset{p\bar{\rightarrow}+\infty}{\longrightarrow}x$ conduisent
finalement \`{a}:
\[
u^{\left[  p\right]  }\left(  x\right)  \underset{p\bar{\rightarrow}+\infty
}{\longrightarrow}\int_{0}^{x}f\ \left(  t\right)  \ \left(  t-x\right)
dt-x\int_{0}^{1}f\ \left(  t\right)  \ \left(  t-1\right)  dt=u(x)
\]
On reconna\^{i}t une des expressions vues au 5.a) pour la fonction $u$
solution du probl\`{e}me $\left(  1\right)  .\medskip\allowbreak$

\textit{N.B: }il est possible de d\'{e}montrer plus simplement ce r\'{e}sultat
\`{a} l'aide de l'expression $\left(  E_{2}\right)  $ en utilisant le
th\'{e}or\`{e}me de convergence domin\'{e}e ( $0\leq sh(t/p)\leq sh(1/p)$ pour
tout $t\in\left[  0,1\right]  $) et $psh(x/p)\longrightarrow x$ ) .
\end{itemize}

\item[11.] $\widehat{f}=1$

\begin{itemize}
\item [a)]On a d\'{e}j\`{a} calcul\'{e}, \`{a} la question pr\'{e}c\'{e}dente
l'\'{e}galit\'{e}
\[
\int_{0}^{x}psh\left(  \dfrac{t-x}{p}\right)  dt=p^{2}\left(  1-ch\left(
\dfrac{x}{p}\right)  \right)  =-2p^{2}sh^{2}\left(  \dfrac{x}{2p}\right)
\]
qui livre: $\widehat{u}^{\left[  p\right]  }\left(  x\right)  =-2p^{2}%
sh^{2}\left(  \dfrac{x}{2p}\right)  -\dfrac{sh(x/p)}{sh(1/p)}\left[
-2p^{2}sh^{2}\left(  \dfrac{1}{2p}\right)  \right]  .$ A l'aide de
$sh(a)=2sh(\dfrac{a}{2})ch(\dfrac{a}{2})$, on obtient la simplification:
\[
\frame{$\quad\widehat{u}^{\left[  p\right]  }\left(  x\right)  $=$%
\dfrac{2p^{2}sh\left(  \dfrac{x}{2p}\right)  sh\left(  \dfrac{1-x}{2p}\right)
}{ch\left(  \dfrac{1}{2p}\right)  }=\dfrac{p^{2}}{ch\left(  \dfrac{1}%
{2p}\right)  }\left[  ch\left(  \dfrac{1}{2p}\right)  -ch\left(  \dfrac
{2x-1}{2p}\right)  \right]  \quad$}%
\]
\textit{Remarque: }on retrouve bien que $\widehat{u}^{\left[  p\right]
}\left(  x\right)  \underset{p\rightarrow+\infty}{\sim}2p^{2}\left(  \dfrac
{x}{2p}\right)  \left(  \dfrac{1-x}{2p}\right)  =\dfrac{x(1-x)}{2}=\widehat
{u}\left(  x\right)  $ .\allowbreak

\item[b)] $\widehat{u}^{\left[  p\right]  }\left(  1-x\right)  =\widehat
{u}^{\left[  p\right]  }\left(  x\right)  $ donc il y a sym\'{e}trie du graphe
de $\widehat{u}^{\left[  p\right]  }$ par rapport \`{a} $x=1/2.$ De plus les
variations de $x\rightarrow ch(\dfrac{2x-1}{2p})$ prouvent que $\widehat
{u}^{\left[  p\right]  }$ cro\^{i}t sur $\left[  0,1/2\right]  $ de $0$ \`{a}
$\widehat{u}^{\left[  p\right]  }(1/2)$ puis d\'{e}cro\^{i}t jusqu'\`{a}
$0.\allowbreak$

\item[c)] D'apr\`{e}s la question pr\'{e}c\'{e}dente, il suffit de
v\'{e}rifier que $\widehat{u}^{\left[  p\right]  }(1/2)=p^{2}\left(
1-\dfrac{1}{ch(\dfrac{1}{2p})}\right)  <1/8$ . Pour cela, on \'{e}tudie les
variations sur $\left[  0,1\right]  $ de la fonction $\varphi:x\rightarrow
\left(  1-\dfrac{x^{2}}{2}\right)  ch(x)$ de d\'{e}riv\'{e}es $\varphi
^{\prime}(x)=-xch(x)+\left(  1-\dfrac{x^{2}}{2}\right)  sh(x)$ et
$\varphi^{\prime\prime}(x)=-\dfrac{x^{2}}{2}ch(x)-2xsh(x)<0$ sur $\left]
0,1\right[  .$ Ainsi $\varphi^{\prime}$ est strictement d\'{e}croissante,
nulle en $x=0$ donc strictement n\'{e}gative sur $\left]  0,1\right[  $. Par
cons\'{e}quent, $\varphi$ est strictement d\'{e}croissante donc $\varphi
\left(  \dfrac{1}{2p}\right)  <$ $\varphi\left(  0\right)  =1$ qui livre le
r\'{e}sultat.\medskip
\end{itemize}

\item[12.] 

\begin{itemize}
\item [a)]La matrice $A_{p}=\left(  A+\dfrac{1}{p^{2}}\right)  I_{n}$ est
inversible car v\'{e}rifie la propri\'{e}t\'{e} $\left(  P\right)  $ de la
premi\`{e}re partie ( cf 3.a) ). Il est clair que la suite $\left(
A_{p}\right)  _{p}$ converge vers $A$ et que, d'apr\`{e}s 2.c), $\left(
A_{p}^{-1}\right)  _{p}$ converge vers $A^{-1}.$ Ainsi, le probl\`{e}me
$\left(  4\right)  $ admet une solution unique $U^{\left[  p\right]  }=$
$A_{p}^{-1}F$ qui, par continuit\'{e} du produit matriciel, converge vers $U=$
$A^{-1}F$ , la solution du syst\`{e}me lin\'{e}aire $\left(  2\right)
.\allowbreak$

\item[b)] $U^{\left[  p\right]  }=$ $B_{p}F$ o\`{u} $B_{p}=A_{p}^{-1}$
\'{e}tant \`{a} coefficients positifs d'apr\`{e}s la question 4, on peut
reprendre la m\'{e}thode utilis\'{e}e au 9.a).\allowbreak

La fonction $u^{\left[  p\right]  }$ est $C^{4}$ sur $\left[  0,1\right]  $ et
v\'{e}rifie l'in\'{e}galit\'{e} de 6.a), pour $1\leq i\leq n$ :
\[
\left|  f(x_{i})-\dfrac{u^{\left[  p\right]  }\left(  x_{i}\right)  }{p^{2}%
}+\dfrac{1}{h^{2}}\left(  u^{\left[  p\right]  }\left(  x_{i-1}\right)
-2u^{\left[  p\right]  }\left(  x_{i}\right)  +u^{\left[  p\right]  }\left(
x_{i+1}\right)  \right)  \right|  \leq\dfrac{h^{2}}{12}M_{p}\text{\qquad
o\`{u} }M_{p}=\underset{\left[  0,1\right]  }{\sup}\left|  u^{\left[
p\right]  (4)}\right|
\]
avec,cette fois, $-u^{\left[  p\right]  \prime\prime}=f-\dfrac{u^{\left[
p\right]  }}{p^{2}}$ . \allowbreak

L'in\'{e}galit\'{e} $\left(  \ast\ast\right)  $ devient alors:
\[
\left|  \dfrac{u_{i}^{\left[  p\right]  }-u^{\left[  p\right]  }\left(
x_{i}\right)  }{p^{2}}+\dfrac{1}{h^{2}}\left[  -\left(  u_{i-1}^{\left[
p\right]  }-u^{\left[  p\right]  }\left(  x_{i-1}\right)  \right)  +2\left(
u_{i}^{\left[  p\right]  }-u^{\left[  p\right]  }\left(  x_{i}\right)
\right)  -\left(  u_{i+1}^{\left[  p\right]  }-u^{\left[  p\right]  }\left(
x_{i+1}\right)  \right)  \right]  \right|  \leq\dfrac{h^{2}}{12}M_{p}%
\]
Posons, de la m\^{e}me mani\`{e}re, $\left(  \Delta u\right)  _{i}^{\left[
p\right]  }=u_{i}^{\left[  p\right]  }-u^{\left[  p\right]  }(x_{i})$ pour
$0\leq i\leq n+1,$ ( o\`{u} $\left(  \Delta u\right)  _{0}^{\left[  p\right]
}=\left(  \Delta u\right)  _{n+1}^{\left[  p\right]  }=\nolinebreak 0$ ) et
d\'{e}signons par $\Delta u^{\left[  p\right]  }$ le vecteur de $\mathbb{R}%
^{n}$ de composantes $\left(  \Delta u\right)  _{i}^{\left[  p\right]  },$
$1\leq i\leq n.$ \allowbreak

Le vecteur $V^{\left[  p\right]  }=A_{p}\left(  \Delta u^{\left[  p\right]
}\right)  $ v\'{e}rifie, $\left|  v_{i}^{\left[  p\right]  }\right|
\leq\dfrac{h^{2}}{12}M_{p}$ pour tout $i$ tel que $1\leq i\leq n,$ gr\^{a}ce
\`{a} l'in\'{e}galit\'{e} $\left(  \ast\ast\right)  .$ Par ailleurs $\Delta
u^{\left[  p\right]  }=B_{p}V^{\left[  p\right]  }$ conduit \'{e}galement
\`{a}
\[
\forall i\in\left\{  1..n\right\}  \quad\left|  \left(  \Delta u^{\left[
p\right]  }\right)  _{i}\right|  \leq\sum\limits_{j=1}^{n}\left(
B_{p}\right)  _{ij}\left|  v_{j}^{\left[  p\right]  }\right|  \leq\left(
\sum\limits_{j=1}^{n}\left(  B_{p}\right)  _{ij}\right)  \dfrac{h^{2}}%
{12}M_{p}.
\]
\allowbreak

\begin{itemize}
\item \textit{majoration de} $M_{p}:\allowbreak$
\end{itemize}

L'\'{e}quation diff\'{e}rentielle v\'{e}rifi\'{e}e par $u^{\left[  p\right]
}$ fournit $-u^{\left[  p\right]  (4)}=f^{\prime\prime}-\dfrac{u^{\left[
p\right]  \prime\prime}}{p^{2}}=f^{\prime\prime}+\dfrac{f}{p^{2}}%
-\dfrac{u^{\left[  p\right]  }}{p^{4}}$ et, en cons\'{e}quence, $M_{p}%
\leq\left\|  f^{\prime\prime}\right\|  _{\infty}+\dfrac{\left\|  f\right\|
_{\infty}}{p^{2}}+\dfrac{\left\|  u^{\left[  p\right]  }\right\|  _{\infty}%
}{p^{4}}.$ \allowbreak

Pour majorer la fonction $\left|  u^{\left[  p\right]  }\right|  ,$ on utilise
la deuxi\`{e}me expression $\left(  E_{2}\right)  $ de cette fonction
trouv\'{e}e en 10.a), car $\left(  E_{2}\right)  $ ne fait intervenir que des
noyaux positifs: $sh\left(  \dfrac{x}{p}\right)  ,sh\left(  \dfrac{t}%
{p}\right)  ,sh\left(  \dfrac{1-x}{p}\right)  ,sh\left(  \dfrac{1-t}%
{p}\right)  $ et les bornes des int\'{e}grales sont dans le ''bon sens''.
Donc:
\[
\left|  u^{\left[  p\right]  }\left(  x\right)  \right|  \leq\dfrac
{p}{sh\left(  1/p\right)  }\left\|  f\right\|  _{\infty}\left[  sh(\dfrac
{x}{p})\int_{x}^{1}sh\left(  \dfrac{1-t}{p}\right)  dt+sh(\dfrac{1-x}{p}%
)\int_{0}^{x}sh\left(  \dfrac{t}{p}\right)  dt\right]  =\left\|  f\right\|
_{\infty}\widehat{u}^{\left[  p\right]  }\left(  x\right)
\]
o\`{u} $\widehat{u}^{\left[  p\right]  }$ est la fonction \'{e}tudi\'{e}e
\`{a} la question 11.\allowbreak

L'encadrement du 11.c) ( \textit{il faut bien qu'il serve \`{a} quelque
chose!}) conduit ensuite \`{a}
\[
\left\|  u^{\left[  p\right]  }\right\|  _{\infty}\leq\dfrac{\left\|
f\right\|  _{\infty}}{8}\quad\text{ et \quad}M_{p}\leq\left\|  f^{\prime
\prime}\right\|  _{\infty}+\left\|  f\right\|  _{\infty}\left(  \dfrac
{1}{p^{2}}+\dfrac{1}{8p^{4}}\right)
\]
\allowbreak

\begin{itemize}
\item \textit{majoration des} $\sum\limits_{j=1}^{n}\left(  B_{p}\right)
_{ij}:$
\end{itemize}

Consid\'{e}rons la solution $\widehat{U}^{\left[  p\right]  }$ du syst\`{e}me
$\left(  4\right)  \allowbreak$ correspondant au vecteur $\widehat{F}$ dont
toutes les composantes valent $1;$ on peut \'{e}crire: $A_{p}\widehat
{U}^{\left[  p\right]  }=\widehat{F}$ soit $\widehat{U}^{\left[  p\right]
}=B_{p}\widehat{F}$ ou encore:
\[
\forall i\in\left\{  1..n\right\}  \quad\widehat{u_{i}}^{\left[  p\right]
}=\sum\limits_{j=1}^{n}\left(  B_{p}\right)  _{ij}\geq0
\]
Reprenons, de plus, le vecteur $\widehat{U}=A^{-1}\widehat{F}$ $=B\widehat{F}
$ introduit en 8.b). Les \'{e}galit\'{e}s $A\widehat{U}=\widehat{F}$ et
$\left(  A+\dfrac{1}{p^{2}}I_{n}\right)  \widehat{U}^{\left[  p\right]
}=\widehat{F}$ m\`{e}nent \`{a} $A\left(  \widehat{U}^{\left[  p\right]
}-\widehat{U}\right)  =-\dfrac{1}{p^{2}}\widehat{U}^{\left[  p\right]  }$
c'est-\`{a}-dire :
\[
\widehat{U}^{\left[  p\right]  }-\widehat{U}=-\dfrac{1}{p^{2}}B\widehat
{U}^{\left[  p\right]  }.
\]
Nous avons vu au 8.b) que la matrice $B$ est \`{a} coefficients positifs et
que, pour tout $i,$ $\widehat{u}_{i}=\nolinebreak \sum\limits_{j=1}^{n}%
B_{ij}\leq\nolinebreak \dfrac{1}{8}$ ; il en r\'{e}sulte que les composantes
du vecteur $\widehat{U}^{\left[  p\right]  }-\widehat{U}$ sont n\'{e}gatives
et que:
\[
\forall i\in\left\{  1..n\right\}  \quad0\leq\widehat{u_{i}}^{\left[
p\right]  }\leq\widehat{u}_{i}\leq\dfrac{1}{8}%
\]
Conclusion: $\forall i\in\left\{  1..n\right\}  \qquad\left|  u_{i}^{\left[
p\right]  }-u^{\left[  p\right]  }(x_{i})\right|  \leq\dfrac{h^{2}}{96}%
M_{p}\leq\dfrac{h^{2}}{96}\left(  \left\|  f^{\prime\prime}\right\|  _{\infty
}+\left\|  f\right\|  _{\infty}\left(  \dfrac{1}{p^{2}}+\dfrac{1}{8p^{4}%
}\right)  \right)  .\bigskip$
\end{itemize}
\end{enumerate}

\begin{center}
\rule[0.05cm]{5cm}{0.03cm}
\end{center}
\end{document}