%O99-3V.tex (V comme Vrac) 8 6 00 10h45 (version 19 juin 2000 17h30)
% BALECH quand j'enverrai pour la Bourse d'\'echange d\'epourcenter
% 58 et 287
%Version  non affich\'ee
\input liv.mac
\let\cadrejoli=\cadrefin
\input upsnum.tex
%\font \etoile=zd scaled\magstep0 % dans liv mac qui est dans texinput
%\centerline{\vbox{\hrule  depth 0pt width 80mm}} % trait partiel centr\'e
\def\titreimpair{\line{ {\fiverm d:-emtex-oral o99-3V.tex \hskip 3mm}
{\bf ORAL- 1999 Vrac \`a partir du 3 juin 2000
\hskip 3mm\Carre \hfil Mr VIDIANI Sp\'e MP1 CARNOT  \hskip 2mm\liond\ \folio}}  }

\def\titrepair{\line{\bf\folio  \hfill {\fiverm O99-2.tex  }
%Underfull hbox si  ce { m\^eme vide mais avec fonte} pas mis
                  % en fait line demande une ligne compl\`ete : il faut hfill
{\bf Oral- 99  Vrac \`a partir du trois juin 2000
\hskip 3mm\Carre Mr VIDIANI \hskip 2mm\liong}}  }
%\vskip -6mm\noindent{\fiverm (version \date\ : \heure )}   %\^U\^U\^U\^U\^U
\leavevmode
\cadrefin{\vbox to 10mm {\hsize 30mm\leftskip 0mm\noindent\fiverm nom :
\hfill\vfill\noindent sp\'e MP1 Carnot DIJON}}\hskip 1cm

%486 (version \date\ : \heure )  %XXXXXXX VERSION affich\'ee XXXXXXXXXXXXXXXXXXXX

\trait
{\it(Toute am\'elioration ou remarque constructive seront les bienvenues et
pourront \^etre communiqu\'ees \`a VIDIANI 64 rue de l'Europe 21121
Fontaine les Dijon
03 80 56 65 53 ou 03 85 45 37 08 ou 101702.425\char64compuserve.com)}

\leavevmode\danger\ \idee\ Je ne tape que les exercices ayant une
originalit\'e, apparaissant pour la premi\`ere fois \`a l'oral (dans la RMS
depuis 35 ans) sinon leur r\'ef\'erence est soit indiqu\'ee en bas, soit dans chaque
TD {\gros MP1} th\'ematique. Pour les autres, soit une solution flash est
indiqu\'ee en fin de ce fichier, soit dans la marge du listing des sujets.

{\it(Questions \`a Am\'eliorer {\prover +} :
 O-1 : 7, 25*, 35-c-d-e \`a finir = PISOT ; 60  Convexe ;     )}

{\it(\`A FAIRE {\prover 0-1 ? ? }  3*, 13*, 20 (magnin+TP) 23*, 25*,
   128 (crochet de Lie) ;   ) }

{\it(\`A FAIRE {\prover 0-2 ? ? }
213 * D'apr\`es Mordell p 106 et 293  (APM 413, Sol tex +Q10 AR8, + APM 425
dec 99 p 801 +AR 113) c'est une \'equation qui fut compl\'etement \'etudi\'ee  par
Hurtwitz, Schwartz et Muhly~;
Dans le cas particulier n=3 et a=6, Markoff montre qu'il y a une infinit\'e
de solutions
en chaine de Markoff ; ;\par
215 (Legendre) ;  225 produit vectoriel (se fait m\^eme
sans supposer la lin\'earit\'e mais plus rus\'e) ;
\par 228-229 ; maxi \'equivalent du max ; 230 prendre le log somme de Riemann ;
\par   231 demande une petite \'etude ;
\par 233 minimum local : int\'er\'essant
\par 240*  max d'int\'egrale suivant l'ensemble ; 244* \'equivalent ; 245 Wallis
  272 ker u classique  ; 273 que veut-on en toute g\'en\'eralit\'e ou
avec un endomorphisme pr\'ecis ?  ;
303 max des cofacteurs ;
 329* CE de s\'erie divergente a sommes
partielles major\'ees ; 331 suites r\'ecurrentes et s\'eries ; 338 sommes de
Riemann ; 343 m\'ethode de GAUSS classique ; 351 limites int\'egrales ;

 359 (cf Br 72) partition en classe et fonction g\'en\'eratrice ;
 380 syst\`eme AS ; 390 hyperboles ;
393 Lepez sommes de Riemann ;
451 int\'egrale ;



{\gros plus rus\'es : } 213* diophantienne ; 251* b uniforme ;
260* paire pour une \'equation non dissipative Gonnord Chambert Loir ;
266* \'equivalent du coefficient de $X^n$ dans $(1+X+X^2)^n$  ;  302
pr\'e d\'ecomposition de Cartan ? ;
305 in\'egalit\'e sur produit de matrices ;
312 exponentielles polyn\^omes  : p\'eriodique (compact... de toute suite..) ;
444* Laplace, WALLIS et Schwarz ;
) }

\cadrejoli{\grise {\prover Oral  99 RMS }} Vrac tap\'e \`a partir du 3 6 2000

{\it(Ce fichier sera joint \`a la bourse d'\'echange en \TeX\ en juin 2000)}
\traitgras
 \lettrine{{ (O 58) }} {\prover Sol Max}
\vskip 7mm
\hfill\cadrefin{\vtop{\hsize 110mm\leftskip 1mm
\rightskip 1mm \noindent \bf
(a) Soit $\bf \lambda\in]0,\frac 14[$. \'Etablir l'existence de $\bf k>0$
tel que : $\bf \forall t\in\R\ k>\lambda+\frac {(kt)^2}{1+t^2}$

(b) \'Etudier la solution maximale du probl\`eme de CAUCHY :
$\bf x'(t)=\lambda+\frac {x^2}{1+t^2}\ x(0)=0$.}}

{\it(Indications pour Girod)}

 BIB : Zuily page 366 donne des crit\`eres suffisants pour l'existence
d'une solution globale.

On d\'egrossit (voir le programme Maple ci joint) avec DEplot.

(a) On \'etudie la fonction paire  $g(t)=\lambda+\frac {(kt)^2}{1+t^2}$ ;
  $g'(t)=\frac {2k^2t}{(1+t^2)^2} $ ; sur $\R^+$
$g$ cro\^{\i}t  de $\lambda$ \`a $\lambda+k^2$.


La condition demand\'ee par l'\'enonc\'e \'equivaut donc \`a $k>\lambda+k^2$ ;
soit $k^2-k+\lambda<0$ ; Comme le discriminant du trin\^ome en $k$
est $\Delta=1-4\lambda>0$, il faut et il suffit de prende $k$
entre les deux racines r\'eelles et positives du trin\^ome
(faire tableau et graphe) ; Les deux racines sont d'ailleurs
de m\^eme signe (produit des racines est $\lambda$) et
de m\^eme signe positif car leur signe est l'oppos\'e de celui du
coefficient de $k$ (somme des racines) ;

{\bf Tout $\bf k \in ]\frac {1-\sqrt{1-4\lambda}}2,
\frac {1+\sqrt{1-4\lambda}}2[$ convient.}

(b) Maple (Montrez le graphe DEplot fait) semble sugg\'erer que la solution est
 globale sur $\R$.
Elle est impaire car la fonction impaire construite \`a partir de x, v\'erifie
le m\^eme probl\`eme de Cauchy-Lipchitz que x (expliquer).

%XXXXXXXXXXX
 Solution r\'edig\'ee suivant l'email du premier juin 2000
 d'Alain Rondi\`ere Montpellier ; email qu'il compl\`ete le 5 en cherchant
l'asymptote ; solution aussi compl\`ete en Tex le 4 juin Par Michel Gonnord ;
le 4 juin Jean Fran\c{c}ois Guiffes signale que c'est l'exo 110 page 168-170
du cahier prepat 6 de la RMS, qui compl\`ete si $\lambda>\frac 14$ en
encadrant la borne  sup\'erieure $w$ de l'intervalle maximal ; ceci peut faire
un petit TP maple : tracer  la fonction $w(\lambda)$.
%XXXXXXXXXXX

Un tableau de variation imm\'ediat bas\'e sur le signe de la d\'eriv\'ee,
montre que $x(t)\geq 0$ sur $\R^+$.

On pose $z=kt-x(t)$, $z(0)=0,\ z'(0)=k-\lambda>0$, donc $z$
est strictement croissante dans un voisinage de l'origine.
De plus $z'=k-x'(t)>(kt-x)\frac {kt+x}{1+t^2}=z\frac {kt+x}{1+t^2}$

$z\geq 0$ (tableau) sur une voisinage \`a droite de 0.

Si $]0,a[$ est le plus grand intervalle o\`u $z>0$ (si $a$ n'existe pas
c'est que $z>0$ partout, alors $z(0)=z(a)=0$, ($z(a)=0$ sinon par continuit\'e
de $z$ en $a$, $z(a)>0$, $a$ ne serait pas le plus grand)

$z$ ne peut cro\^{\i}tre strictement \`a partir de $0$ et avoir $z(a)=0$.
Contradiction (faire un tableau de variation). Donc $z\geq 0$ sur $\R^+$
et ainsi $0\leq x(t)\leq kt$.

Or si l'intervalle maximal pour $x$ etait un intervalle born\'e $[0,b[$
avec $b$ fini, obligatoirement $x(b)=+\infty\leq kb$ : contradiction :
donc $b=+\infty$. (voir le cours :  maximale implique non prolongeable en b,
sinon on pourrait construire par continuit\'e de x et de f(x,t) uen solution
dans une voisinage de   b-, que l'on raccorderait \`a gauche de b
avec la solution d\'efinie sur $[0,b[$, on aurait une solution d\'efinie
sur $[0,b+\varepsilon]$, x ne serait pas maximale.

On constate en prime que le graphe de $x$ est plafonn\'e par la droite $kt$.

Une \'etude en Maple semble sugg\'erer que le passage de maximal sur
$\R$ \`a une solution maximale sur un intervalle born\'e, se passe
aux environs de $\lambda=0;35>\frac 14$.

\traitgras
\lettrine{{ (O 60) }} {\prover Convexe}
\vskip 7mm
\hfill\cadrefin{\vtop{\hsize 110mm\leftskip 1mm
\rightskip 1mm \noindent \bf
Soit $\bf q:\R\rightarrow\R$ continue, positive, et $\bf y$ solution de
(E) $\bf y"(x)=q(x)y(x)$ ;

(a) Montrer que $\bf y^2$ est convexe? peut-elle \^etre born\'ee ?\par
(b) On suppose que $\bf y$ n'est pas nulle.
Montrer que y et y' s'annullent au plus une fois.\par
(c) Montrer que $\bf \frac {y^2(x)}x$ a une limite finie en $\bf +\infty$.
}}

{\it (Bib sur g\'en\'eralit\'es autre que triviales sur les fonctions convexes
: Br 72 p 14 ; VGC p 20 ; Andler iB = 158 ; Flory 2 p 51 et voir le
th\`eme droite affine d'appui par ex (31*) centre 77 Schwarz et Cie et Ri III)}

(a) On pose $F=y^2$ ; $F'=2yy'$ et en tenant compte de ce que $y"=qy$
$F"=2y'^2+2qy^2\geq 0$ donc $F$ est convexe.

Si $F$ \'etait born\'ee sur $\R$ et si elle n'\'etait pas constante, il existerait
$x_0$ o\`u $F'(x_0)\not=0$, et Taylor Lagrange \`a l'ordre 2 donnerait
$F(x)-F(x_0)=(x-x_0)F'(x_0)+\frac 12(x-x_0)^2F"(c)\geq (x-x_0)F'(x_0)$
avec $c$ existe entre $x$ et $x_0$. Suivant le signe $\varepsilon $
de $F'(x_0)$ on consid\`ere la limite pour $x$ en $\varepsilon \infty$ ;
$F(x)$ minor\'e  par une fonction non born\'ee ne le serait pas : $F$
ne peut \^etre born\'ee que si elle est constante.

(b) Si $y$ avait deux z\'eros $a$ et $b$, $F$ aussi ;
Or $F'$ est croissante ($F$ convexe) donc d'une part par Rolle $F'$
aurait un z\'ero $c\in]a,b[$, d'autre part le talbleau de variation pour
$F$ donne que $F\geq 0$ est nulle sur $[a,b]$ ; Cauchy Lipchitz en $c$,
montre que $F$ serait nulle partout ;

???  Si $y'$ avait deux z\'eros $a$ et $b$ : $F'=2yy'$
\`A cause de sa monotonie $F'$ serait  nulle sur $[a,b]$,
et un tableau de variation donne un graphe cr\'edible convexe pour $F$,
plate sur $[a,b]$, o\`u $q$ serait \'egalement \`a valeurs nulles
 (ce qui n'est pas interdit par l'\'enonc\'e) sur cet intervalle ;
Pour pouvoir aboutir sans doute faut-il utiliser  le fait que $y$
est solution de l'\'equation ? J'ai des doutes sur la question, car
q nulle prtout y"=0 a pour solutiuon non nulle y=1, dont la d\'eriv\'ee
est nulle partout !

(c) On utilise les tableaux pr\'ec\'edents ; au besoin en changeant y et -y
toujours solution on peut supposer $y(x)\geq 0$ pour $x>\geq A$ ;
On pose $z=\frac Fx$, $z'=\frac {F'x-F}{x^2}=\frac N{x^2}$ ; Comme
$N'=F"x\geq 0$ on a des tableaux de variation faciles ;
$z$ est croissante pour $x>B$ ; Donc a une limite finie ou infinie ;
(l'\'enonc\'e a sans doute une erreur car pour q=1, $y"=y$ a pour
solution par exemple $y=e^x$ et $\frac {y^2}x=\frac {e^{2x}}x\rightarrow
+\infty$.

On peut remarquer aussi que si l'on pose $G_a(x)=\frac {F(x)-F(a)}{x-a}$,
la convexit\'e de $F$ prouve qu'elle est croissante ; puis que
$\frac {F(x)}x=(1-\frac ax)G_a(x)+\frac {F(a)}x$, qui tend vers la m\^eme limite
que $G_a$.
\traitgras
\leavevmode
 \lettrine{{ (O 86 X PC ) }} {\prover Noyau } $\tenbf \Delta^n$
\vskip 7mm
\hfill\cadrefin{\vtop{\hsize 110mm\leftskip 1mm
\rightskip 1mm \noindent \bf
Soit E l'ensemble des applications  de $\bf \R$  dans $\R$.
On d\'efinit une application H de E dans E, en posant
(op\'erateur diff\'erence)  en posant H(f)(x)=f(x+1)-f(x).
Soit $\bf n\in\N^*$, caract\'eriser les applications f telles que $H^n(f)=0$.
}}

{\it(A Pascal me dit que cette question est intervenue dans un probl\`eme
d'agr\'egation interne (89 dans bulletin vert ups 91), Esperet rectifie la forme
 trop rapide que j'avais donn\'ee par e-mail, avant de r\'ediger l'exercice)}

Il devrait \^etre possible grace aux op\'erateurs de composition et la formule
de Gr\'egory, qui relie $\Delta$ et $D$, de citer un morphisme
(celui qui le fait me le signale), qui remplace l'\'equation par $D^n(g)=0$
on revient en arri\`ere en rempla\c{c}ant les constantes, par ce qui en
tient compte pour l'op\'erateur H : les fonctions 1-p\'eriodiques !

On fait une amorce de r\'ecurrence : n=1 $f(x+1)-f(x)=0$ \'equivaut
\`a $f$ 1-p\'eriodique.

$\bullet \ $ $n=2$ $H^2(f)=0\longleftrightarrow H(H(f))=0
\longleftrightarrow H(f)=\varphi$, avec $\varphi$ arbitraire
1-p\'eriodique ;

On pose (comme pour les op\'erateurs it\'er\'es) $f=u\varphi$
$f(x+1)=u(x+1)\varphi(x+1)=u(x+1)\varphi(x)$ et donc
$H(u\varphi)(x)=\varphi(x)H(u)$ (ce qui revient \`a remplacer
$u$ par $H(u)$.  Une r\'ecurrence imm\'ediate donne
\cadrefin{$H^{p}(u\varphi)(x)=H^p(u)\varphi(x)$} pour
$\varphi$ 1-p\'eriodique.

On est ramen\'e pour le cas n=2 \`a $H(u)=1$ dont une solution imm\'ediate est
le polyn\^ome X ; comme la solution de l'\'equation homog\`ene associ\'ee est
$h=\varphi_1$ 1-p\'eriodique arbitraire, on a $u=X+\varphi_1$
et $H^2(f)=0$ a pour solution $f(x)=x\varphi(x)+\varphi(x)\varphi_1(x)=
x\varphi(x)+\varphi_2(x)$ avec des notations \'evidentes.

L'hypoth\`ese de r\'ecurrence naturelle pour $p\leq n-1$ est donc
que le noyau de $H^p$ est constitu\'e des fonctions de la forme
$\displaystyle f(x)=\sum_{i=0}^{p-1}u_i(x)x^i$ o\`u les $u_i$
sont des fonctions   1-p\'eriodiques arbitraires.

Le tranfert de r\'ecurrence se fait par $H^n(f)=0
\longleftrightarrow H(H^{n-1})(f)=0
\longleftrightarrow H^{n-1}(f)(x)=\varphi(x)$ avec $\varphi$
1-p\'eriodique ; On pose $f=u\varphi$ (r\'efl\'echir en cas de valeurs nulles)
et on est ramen\'e comme plus haut \`a $H^{n-1}(u)=1$ ; une solution
\'evidente est $P_n=\frac 1{n!}X^n$ (le coefficient n'importe pas, en multipliant
la fonction p\'eriodique arbitraire par $\frac 1{n!}$) ;
Par structure des solutions $u=P_n+K$ o\`u $K$ est la solution g\'en\'erale de l'\'equation
homog\`ene associ\'ee, dont par hypoth\`ese de r\'ecurrence, nous connaissons
la forme ; en multipliant par $\varphi$ on trouve la forme de $f$
qui est bien celle indiqu\'ee par l'hypoth\`ese de r\'ecurrence, dont il y a bien
transfert. La r\'eciproque est triviale ;

La forme trouv\'ee, incite \`a trouver une m\'ethode par morphisme
permettant de passer de $D$ $H$.



\traitgras
\leavevmode
 \lettrine{{ (O 87 X PC ) }} \vskip 7mm \hfill {\prover E.F. Putnam}

\hfill\cadrefin{\vtop{\hsize 110mm\leftskip 1mm
\rightskip 1mm \noindent \bf
D\'eterminer les applications continues f de $\bf \R$ dans $\bf \R$
v\'erifiant l'\'equation fonctionnelle
$\bf \forall (x,y)\in\R^2\ f(\sqrt{x^2+y^2})=f(x)f(y)$
}}

{it(Cet exercice d'apr\`es le bulletin d'APM 390 septembre 93 p495-496, a \'et\'e
propos\'e par Cuculi\`ere mais remplac\'e par $f(\sqrt{x^2+xy+y^2})=f(x)f(y)$)}

{\it(Le concours am\'ericain Putnam (que l'on voit citer dans Americain Math
Monthly) date de 1938 ; un recueil existe : Gleason, Greenwood, Kelly,
the William Lowell Putnam Mathematical Competition, Problems and Solutions,
1938-1964, the MAA, 1980 ; En recherchant "Putnam Competition" sous Altavista
on a 800 sites, et les r\'esultats r\'ecents;)}

Nous allons appliquer la m\'ethode Sherlock Holmes, qui consiste \`a rassembler
le plus possible d'indices pour confondre les coupables, ce qui signifie
en l'occurrence : identifier les applications $f$ qui satisfont \`a cette
\'equation fonctionnelle.

L'affectation $x=y=0$ donne $f(0)=f(0)^2$ donc
$f(0)\in\{0,1\}$.

Si $f(0)=0$, l'affectation $y=0$ donne
$f(|y|)=0$, $f$ est nulle sur $\R_+$.

Si $x=y<0$, $0=f(|x|\sqrt{2})=f(x)^2$, et donc $f$ est nulle
sur $\R$.

Si $f$ n'est pas la fonction nulle \cadrefin{$f(0)=1$}

$y=0$ donne $f(x)=f(|x|)$ : $f$ est donc PAIRE.

$x=y$ donne $f(|x|\sqrt{2})=f(x)^2\geq 0$,
donc en posant $t=x\sqrt{2}$ $f(t)=[f(\frac t{\sqrt{2}})]^2$ et $f$ est
\`a valeurs dans $\R^+$.

Si $f(x_0)=0$, alors $f(\sqrt{y^2+x_0^2})=0$
et $f$ est nulle sur $[|x_0|,+\infty[$.

D'apr\`es pr\'ecedemment, si $f(t)=0$
alors   $[f(\frac t{\sqrt{2}})]^2=0$  et en r\'eit\'erant
$f(\frac {x_0}{(\sqrt{2})^n})=0$ et par continuit\'e $f(0)=0$
ce qui a \'et\'e \'ecart\'e : donc si $f(0)=1$, $f$  est \`a valeurs dans
$\R^*_+$  et on peut consid\'erer la fonction continue $g$ d\'efinie par
$g(x)=\ln(f(x))$.

Mais en int\'egrant les deux membres de la relation
par rapport \`a $y$ dans l'intervalle $[a,b]$, ``\`a choisir" on a
$f(x)={\int_a^b  {\sqrt{x^2+t^2}} dt
\over \int_a^b f(t)dt} $ ;
Dans l'int\'egrale du num\'erateur on fait le changement de variable
$u=\sqrt{x^2+t^2}$ ; on prend $0<a<b$, donc $0<t=\sqrt{u^2-x^2}$,
dont le radical ne s'annule pas (donc est d\'erivable) puisque $0<a\leq t\leq b$.
et ainsi $f(x)={\int_{\sqrt{x^2+a^2}}^{\sqrt{x^2+b^2}}
f(u)\frac 1{\sqrt{u^2-x^2}}du\over \int_a^b f(t)dt}$.

D'apr\`es les propri\'et\'es des int\'egrales d\'ependant d'un param\`etre, $f$ est
$C^1$ et   par transfert imm\'ediat $\C^\infty$. Ainsi que $g$ ;

En prenant le logarithme des deux membres
de la relation  $f(x\sqrt{2})=f(x)^2$, on a
$g(x\sqrt{2})=2g(t)$, et en d\'erivant deux fois
$g"(t)=g"(t\sqrt{2})$ ; posant $x=t\sqrt{2}$, on a
$g"(x)=g"({x\over \sqrt{2}})=...=g"({x\over (\sqrt{2})^n})= g"(0)=\lambda$
par continuit\'e ;

En int\'egrant $g'(x)=\lambda x+\mu$ ; comme $g$ est paire,
$g'$ est impaire et $\mu=0$ et $g(x)=\lambda {x^2\over 2}+\ln(|C|)$ ;
Mais comme $g(0)=\ln(f(0))=\ln 1=0$, on a $\ln |C|=0 $ et
$g(x)=  \lambda {x^2\over 2}$  et enfin \cadrefin{$\bf f(x)=
e^{\lambda {x^2\over 2}}$}.

Un v\'erification est imm\'ediate :  cette fonction est bien solution non
nulle de l'\'equation fonctionnelle.





\traitgras
\leavevmode
 \lettrine{{ (O 89 X PC ) }}
\vskip 7mm
\hfill {\prover EF Olymp 83}\danger
%\vskip 7mm
\hfill\cadrefin{\vtop{\hsize 110mm\leftskip 1mm
\rightskip 1mm \noindent \bf

D\'eterminer les applications f de $\bf \R_+^*$ dans $\bf \R_+^*$
v\'erifiant l'\'equation fonctionnelle : $\bf \forall(x,y)\in (\R_+^*)^2
\ \ f(xf(y))=yf(x)$ et tendant vers 0 quand x tend vers plus l'infini.}}

Il faut une certaine dose de mauvaise foi ou d'inconscience, pour
oser proposer \`a l'oral (en X-PC) cet exercice qui est le premier
(propos\'e par la Grande Bretagne) des Olympiades internationales PARIS
mercredi 6 juillet 1983, ou alors avec un minimum d'indications ou de guide ?


Soit $f$ une telle fonction.

Pour $y=x$, l'\'equation fonctionnelle donne $f(xf(x))=xf(x)$,
et donc $a=xf(x)$ est invariant (POINT FIXE) par $f$ $(a\not=0)$.

Soit $a$ un invariant par $f$ : $a=f(a)$. Pour $n\geq 1$,$f(a^n)=f(a^{n-1}
f(a))=af(a^{n-1})=....=a^n$.

$a=f(a)=f(1a)=af(1)$  et donc \cadrefin{$f(1)=1$}.

Pour $n<0,\ af(\frac 1a)=f(\frac 1af(a))=f(1)=1$ donc $f(\frac 1a)=\frac 1a$.

En conclusion $f(a^n)=a^n$, pour tout $n$ entier relatif.

La seconde condition de l'\'enonc\'e, ``de limite nulle en plus l'infini",
implique que $\{a^n=f(a^n) | n\in\Z\}$ est born\'e, et comme $a>0$, $a=1$.

Pour tout $x$ strictement positif, $xf(x)=1$, soit
\cadrefin{$\bf f(x)=\frac 1x$}.

Inversement on v\'erifie imm\'ediatement que cette fonction v\'erifie l'\'equation
fonctionnelle et la condition de limite nulle en plus l'infini.

BIB : O99 93 (X-PC) ; Analogues Quadrature 34 p 47 Olympiade 98 ;
Olympiade 1994 ;
\traitgras


 \lettrine{{ (O 93 X PC ) }} {\tenbf Terme initial d'une suite r\'ecurrente ?}
\vskip 7mm
\hfill\cadrefin{\vtop{\hsize 110mm\leftskip 1mm
\rightskip 1mm \noindent \bf
On d\'efinit $\bf (x_n)$ par $\bf x_1$, puis $\bf x_{n+1}
=x_n(x_n+\frac 1n)$. Montrer qu'il existe un unique $\bf x_1$ tel que
$\bf \forall b, 0<x_n<x_{n+1}<1$.}}

? Option PC ???

{\it(Solution Carpentier 16 6  2000)} On suppose $x_1>0$, alors pour tout $n$
$x_n>0$. Posons $\theta_n: t\mapsto t(t+\frac 1n)$, et
$\varphi_n=\theta_{n-1}\circ \theta_{n-2}...\circ\theta_1$ ; on a
$x_n=\varphi_n(x_1)$.

La condition $x_n<x_{n+1} $ \'equivaut \`a $x_n+\frac 1n>1$.

Finalement, on veut avoir  $1-\frac 1n<x_n<1$.

Les $x_1$ qui conviennent sont donc ceux de
$\displaystyle\bigcap_{n\geq 2} \varphi_{n}^{-1}(]1-\frac 1n,1[)$.

On a $\theta_n(1-\frac 1n)=1-\frac 1-n$ et $\theta_n(1)=1+\frac 1n$.
Donc  $\theta_n(]1-\frac 1n,1[)\supseteq ]1-\frac 1{n+1},1[$
et   $\varphi_{n+1}^{-1}(]1-\frac 1{n+1},1[)\subseteq
\varphi_{n}^{-1}(]1-\frac 1n,1[)$, et ainsi les intervalles
$\varphi_{n}^{-1}(]1-\frac 1n,1[)$ sont EMBOIT\'ES (d\'ecroissants).

Notons les $]\alpha_n,\beta_n[$, on a $\alpha_n<\alpha_{n+1}<\beta_{n+1}<
\beta_n$ : donc $\bigcap ]\alpha_n,\beta_n[=\bigcap [\alpha_n,\beta_n]$.

Enfin $\theta'_n(t)=2t+_frac 1n $ ; sur $]1-\frac 1n,1[$ ;
$\theta'_n(t)\geq 2(1-\frac 1n)+\frac 1n=2-\frac 1n\geq \frac 32$
d\`es que $n\geq 2$.

Par suite $longueur \ \theta_n^{-1}(]1-\frac 1{n-1},1[
\leq \frac 23 longueur (]1-\frac 1n,1[)\leq \frac 23\frac 1{n-1}$.

On en d\'eduit imm\'ediatement par r\'ecurrence descendante que $\ell(I_n)
\rightarrow  0$. D'o\`u le r\'esultat ;

Question de Vidiani : un test en Maple permet de situer $x_1$, vers $0.45$ ;
Peut-on trouver la valeur exacte ? Cet exercice m\^eme \`a l'X est-il du niveau
PC ?


\traitgras
 \lettrine{{ (O 285) }} {\tenbf limite de matrice}
\vskip 7mm
\hfill\cadrefin{\vtop{\hsize 110mm\leftskip 1mm
\rightskip 1mm \noindent \bf
Pour $\bf z\in\C $, on pose $\bf M_z=\pmatrix{ 0 & 0 & z\cr
                                               1 & 0 & 0\cr
                                               1 & 1 & 0\cr}\in M_3(\C)$.
\par (a) Trouvrer une CNS sur z pour que $\bf M_z$ soit diagonalisable.
\par (b) Monteer que si $\bf |z|$ est assez petit, on a $\bf
\displaystyle \lim_{n\rightarrow+\infty} M_z^n=0$.
}}

{\it(3 juin 2000 indications pour l'\'el\`eve Leach)}

(a) L'\'equation caract\'eristique de $M_z$ est
$\left|\matrix{ -t & 0 & z\cr  1 & -t & 0\cr     1 & 1 & -t\cr}\right|$
que l'on d\'eveloppe par SARRUS, ce qui donne $-(t^3-tz-z)=0$.

Une condition suffisante (cours) est que le PC scind\'e (automatiquement ici
car $\C$ est alg\'ebriquement clos) n'admette que des racines simples :
or pour un polyn\^ome du troisi\`eme degr\'e ($X^3+pX+q$) cette condition
(au besoin le red\'emontrer pour les camarades faiblards comme des moules)
est $4p^3+27q^2=z^2(4z-27)\not=0$.

Cette condition est aussi n\'ec\'essaire car si $z=0$ ou si $z=\frac {27}4$,
le rang du bloc de $A-tI$ est \`a cause du bloc en bas \`a gauche qui est de rang
2, aussi de rang 2, donc la dimension de l'espace propre associ\'e \`a t
est d'apr\`es la formule du rang $3-2=1$ ce qui est inf\'erieur \`a la multiplicit\'e
de t qui est $\geq 2$ (3 pour z=0, 2 pour $z=\frac {27}4$). La matrice n'est
alors pas diagonalisable puisque la dimension de l'espace propre associ\'e
\`a $t$ n'est pas \'egale \`a sa multiplicit\'e dans l'\'equation caract\'eristique.

(b) Si z=0, A est triangulaire de diagonale nulle donc $A^3=0$.... (CAYLEY
ou v\'erifier) ;

$\bullet\ $ Si $0<|z|<\frac {27}4$, A n'ayant que des valeurs propres
simples est diagonalisable

D'apr\`es HADAMARD (rappeler) $|-t|\leq\cases{|z|\cr 1\cr 2\cr}$,
donc $|t|\leq Max(|z|,1,2)$ est born\'e par 2 pour $|z|\leq 2$.
 or $|t^3|\leq |z|\times 3$, par cons\'equent les trois valeurs
propres tendent vers z\'ero, et comme $A$ est alors diagonalisable (trois VP
simples) sur une base o\`u elle est diagonalis\'ee $A'^n=diag(t_1^n,t_2^n,t_3^n)
\rightarrow 0$ ; $A^n=P^{-1}A'^nP\rightarrow 0$. cqfd (P bien s\^ur matrice de
passage de la base initiale \`a la base de diagonalisation).

\traitgras
 \lettrine{{ (O 287) }} {\prover RESTES}
\vskip 7mm
\hfill\cadrefin{\vtop{\hsize 110mm\leftskip 1mm
\rightskip 1mm \noindent \bf

Soit $\bf (A,B)\in \R[X]^2, \ B$ de degr\'e n+1.
Soit u l'application qui associe \`a $\bf P\in \R_n[x]$
le reste de la division de AP par B.

(a) Montrer que u est un endomorphisme de $\bf \R_n[X]$.
\par (b) Avec Maple sur un exemple, \'ecrire la matrice de u dans la base
canonique.\par
(c) Toujours avec Maple sur un exemple, donner les valeurs propres.
\par (d) Condition n\'ec\'essaire et suffisante pour que u soit
diagonalisable.}}

{\fiverm zip 100 sauvegarde (version \date\ : \heure )}

BIB  : GC Lepez 110, Br 74 p 38 et Br 77 p 55 ; ensi p77 (pb 98-99) pour
Lagrangien g\'en\'eralis\'e
(voir aussi Gantmacher) ;

Tout le reste est classique et les TP maple ont \'et\'e cit\'es dans O2 ;
Seul (d) est original.

Une condition suffisante est que B soit scind\'e et n'admette que des
racines simples : les fonctions propres sont les Lagrangiens associ\'es
(expos\'e rapide ou r\'ef\'erences de la Bib).

%XXXXXXXXXXX Sera d\'epourcent\'e quand la r\'edaction satisfera RC.
 Solution r\'edig\'ee suivant l'email du 2 juin 2000
 de Robert Cabane.
%XXXXXXXXXXX

Notations : $B$ a les racines $b_i$ distinctes deux \`a deux, $i=1..q$ de
multiplicit\'e $m_i$.
On pose pour simplifier les notations $B_i=(X-b_i)^{m_i}$ ; ainsi
$B=B_1...B_q=B_1T_1$ ; Par condition de degr\'e $n+1=m_1+...+m_q$.

On va d\'emontrer que la CNS est $D^j(A)(b_i)=0$ pour $0<j<m_i$ (il y a
absence
de condition pour les racines simples).

Solution : on \'ecrit la matrice de u dans la base form\'ee par les $n+1$
polyn\^omes
$P_{k,\ell}=(X-b_k)^\ell \displaystyle \prod_{i\neq k} B_i=(X-b_k)^\ell
T_k$,
avec $0\leq \ell<m_k$.

On v\'erifie bien que c'est une base de $\R_n$, par la m\'ethode des valeurs
particuli\`eres, et d\'erivations successives du premier membre de la relation
de d\'ependance.

{\it(Pour le Lagrangien g\'en\'eralis\'e voir
Gantmacher Th\'eorie des matrices tome 1 Dunod 1965 p 103,
plagi\'e par Ensi P 77 (corrig\'e dans RMS d\'ecembre 77), qu'IGO=Bigbrothert a
mis 9h \`a faire (On soup\c{c}onne cette ann\'ee
l\`a une interversion du sujet M outrageusement facile  et du sujet P.
Relook\'e esim appli 95)). Pour les impatients curieux, le polyn\^ome de
Lagrange
Sylvester associ\'e aux $b_k$ et de multiplicit\'e $m_k$ est :

\hfill
\cadrefin{
$\bf L(f,B)=\displaystyle\sum_{k=1}^q
\sum_{\rho=0}^{m_k-1}\frac 1{(m_k-\rho-1)!}
\Big\{\frac {d^{m_k-\rho-1}}{dX^{m_k-\rho-1}}\frac
{f(X)}{T_k(X)}\Big\}_{X=b_k}
\frac B{(X-b_k)^{\rho+1}}$}
}

Pour faire agir $A$ sur les $P_{k,\ell}$ ($k$ fix\'e, $k=1..q$), on d\'ecompose
$A$ par la formule de TAYLOR
en $b_k$.

$A=a_{1,0}+a_{1,1}(X-b_1)+......a_{1,j}(X-b_1)^j+...+
   a_{1,n+1}(X-b_1)^{n+1}$, o\`u par TAYLOR : $a_{1,j}=\frac
{A^{(j)}(b_1)}{j!}$


$AP_{1,\ell}=A(X-b_1)^\ell T_1=
\Big(a_{1,0}(X-b_1)^\ell+a_{1,1}(X-b_1)^{\ell+1}+.....a_{1,m_1-1}
(X-b_1)^{\ell+m_1-1}\Big)
T_1+ BV$.

Les termes qui sont dans la grande parenth\`ese donnent des multiples de
$B$ d\`es que l'indice $\ell+j\geq m_1$, soit \`a partir de $j=m_1-\ell$
(n'existe pas pour $\ell=0$).

La matrice de $u$ est sur la base des $P_{k,\ell}$ est diagonale de blocs
(il y a q blocs) ; le premier bloc est
$U_1=\pmatrix{a_{1,0}    & 0         &  0        & ....  & 0\cr
              a_{1,1}    & a_{1,0}   &  0        & ....  & 0\cr
              \vdots     &\vdots     &  \vdots   &a_{1,0}& 0\cr
              a_{1,m_1-1}&a_{1,m_1-2}&a_{1,m_1-3}& ....  &a_{1,0}\cr}$.

\vskip 5mm
Pour que la matrice de $u$ soit diagonalisable, il faut et il suffit que
chaque
bloc $U_k$ le soit : Or par exemple le bloc $U_1$, n'a que la valeur
propre $a_{1,0}=A(b_1)$, s'il \'etait diagonalisable, il serait scalaire
$a_{1,0}I_{m_1}$, or une matrice scalaire sur une base le reste sur
toute autre base ($P^{-1} rIP=rI$), et ceci ne peut se passer que si
(et alors est r\'ealis\'e) $a_{1,1}=a_{1,2}=...=a_{1,m_1-1}=0$,
c'est \`a dire
: $A=a_{1,0}+a_{1,m_1}(X-b_1)^{m_1}+....+a_{1,n+1}(X-b_1)^{n+1}$, c'est \`a
dire si $A-A(b_1)$ a $b_1$  comme
racine avec une multiplicit\'e au moins \'egale \`a celle ($m_1$) de $b_1$ dans
$B$.

\vfill
\cadrefin{\vbox{\hsize 180mm
\bf Une CNS pour que $\bf u$ soit diagonalisable est que, pour tout $\bf
k=1..q$
$\bf A-A(b_k)$ ait $\bf b_k$  comme
racine avec une multiplicit\'e au moins \'egale \`a celle ($\bf m_k$) de $\bf b_k$
dans $\bf B$.}}

\traitgras
\lettrine{{ (O 320) }} {\prover DA : }
\vskip 7mm
\hfill\cadrefin{\vtop{\hsize 110mm\leftskip 1mm
\rightskip 1mm \noindent \bf
Calculer $\bf\displaystyle \lim_{x\rightarrow+\infty}
\big[[(\frac{\ln (x+1)}{\ln x})^x-1]\ln x-1\big]\ln x$.}}

{\it(Indications pour Lecolle)}

Posons $f$ la fonction dont on veut la limite.
On d\'egrossit avec maple (voir le programme ci joint) ; il est rapide de voir
que asympt(f(x),x,3); ni series
ne marchent pas.
On utilise la librairie implant\'ee :
readshare(gdev,calculus) ; g(dev(f(x),x=infinity,3): montre qu'en fait ll
faut rechercher un d\'eveloppement asymtpotique suivant l'\'echelle
$x^a(\ln x)^b$ (et non un DL).

On fait readshare(glimit,calculus); limit(f(x),x=infinity); l r\'eponse en 0.272
seconde(s) est $\frac 12$.

Commencement du calcul th\'eorique que poursuivra  Lecolle avec son aisance
habituelle.

$\frac{\ln (x+1)}{\ln x}=\frac{\ln x(1+\frac 1x)}{\ln x}
=1+\frac{\ln (1+\frac 1x)}{\ln x}=1+\frac 1{\ln x}(\frac 1x-\frac 1{2x^2}
+\frac 1{3x^3}+o(\frac 1{x^3})=
1+\frac 1{x\ln x}-\frac 1{2x^2\ln x}
+\frac 1{3x^3\ln x}+o(\frac 1{x^3\ln x}=1+u$ ;

Puis alors on d\'eveloppe $(1+u)^x=e^{\ln(1+u)}
=exp(x(u-\frac {u^2}2+\frac {u^3}3+o(u^3))$.

On remplace u par son expression, on tronque, et regroupe...et
on trouve la limite indiqu\'ee trouv\'ee par Maple.

Attention tout l'exercice repose sur les fautes de troncature et d'ordre
que le candidat risque de faire.


\traitgras
 \lettrine{{ (O 450) }} {\tenbf Sommable : }
\vskip 7mm
\hfill\cadrefin{\vtop{\hsize 110mm\leftskip 1mm
\rightskip 1mm \noindent \bf
Montrer que toute fonction f, d\'efinie sur $\bf [a,+\infty[$, contin\^ument
d\'erivable et telle que f' et $\bf f^2$ sont sommables, tend vers 0 en
$\bf +\infty$.}}

{\it(Aide pour $\frac 52$ Conseil)}
$f'$ sommable implique $\int_a^{+\infty} |f'-t)|dt$  existe ; or l'absolue
convergence implique la convergence $\int_a^{+\infty} f'(t)dt$ existe ;
Or $f(x)=f(a)+\int_a^{x} f'(t)dt\rightarrow f(a)+\int_a^{+\infty} f'(t)dt=L$.

Par cons\'equent $f(x)\rightarrow L$ et $f^2(x)\rightarrow L^2$,
quand $x$ tend vers plus l'infini.

Raisonnons par l'absurde (ceci a \'et\'e fait en cours), si $L^2\not=0$,
On prend $\varepsilon=\frac {L^2}2$, et il existe $A>0$  tel que
pour tout $t\geq A$, on ait $|f^2(t)-L^2|<\varepsilon$.

Et alors $\int_A^X f^2(t)dt=_{\hbox{\fiverm ``j'ai rien chang\'e" ! dit Conseil}}
\int_A^X(f^2-L^2+L^2)dt=\int_A^X(f-L^2)+L^2(X-A)\geq \int_A^X-\frac {L^2}2dt
+L^2(X-A)=\frac {L^2}2(X-A)\rightarrow +\infty$ avec $X$, il y aurait
contradiction avec le fait que $f^2$ est sommable sur $[A,+\infty[$.

Par cons\'equent $L=0$  cqfd.
\traitgras




% Mod\`ele exo * RMS \lettrine{{\%\ (O 241 )\ \%}} {\prover DA } \vskip 7mm

\traitgras
\leavevmode{\gros VRAC-flash}  \chameau\vache\ {\it : Les indications
sont br\`eves et ne constituent pas une r\'edaction mais une id\'ee de la m\'ethode ;
aussi c'est \`a vous de r\'ediger et de tout expliquer et justifier
quand vous passez au tableau~: Il ne faudra vous en prendre qu'\`a vous m\^eme
de ne pas avoir assez approfondi : on pourra alors vous reprocher d'\^etre
une vraie moule...}

{\bf (65) } : D'apr\`es un exellent ron\'eo (r\'eduction) la suite des noyaus
it\'er\'es est croissante et si deux noyaus sont \'egaux tous les suivants le sont ;
la suite se stabilise ;
Si Ker(u)=E, u=0 c'est fait ; si $Ker(u)\not=E$, alors par hypoth\`ese
$Ker u= Ker u^2= Ker u^3=....$ et on a choisi p=1 minimal ici tel que
$Ker u^p= Ker u^{p+1}$ ;

Montrons que $Ker u \cap Im(u)=\{0\}$ ; Soit $x\in Ker u \cap Im(u)$ ;
$\exists y$ tel que $x=u(y)$ ; $u^2(y)=u(u(y))=u(x)=0$, car
$x\in Ker (u)$, donc $y\in Ker(u)^2=Ker (u)$ et $x=u(y)=0
\Longrightarrow Ker u \cap Im(u)=\{0\}$.

Comme d'apr\`es la formule du rang $dim(Im(u))+dim(Ker(u))=n=dim(E)$,
la somme est directe et \par\hfill \cadrefin{$\bf Ker (u) \oplus Im(u)=E$}


{\bf (94) } :  On proc\`ede par encadrement
$u_p=n $ pour $p\in [\frac {n(n+1)}2,\frac {(n+1)(n+2)}2|$ ;
on trouve $u_p=E\big(\sqrt{2p+\frac 14}\big)-\frac 12$.

{\bf (388)} :  \cadrefin{\bf Deux ellipses homoth\'etiques : }

On peut, soit faire un calcul analytique (possible mais p\'enible) ; soit
utiliser sans doute les th\'eor\`emes de Poncelet et Graves ;
Mais il y a mieux (MP1) : On suppose leur axe focal commun port\'e par Ox ;
L'une a pour axes (a,b), l'autre (2a,2b) ; on fait l'affinit\'e
(conserve le contact) d'axe Ox de rapport $\frac ab$ : elle transforme
les deux ellipses en deux cercles concentriques, l'un ayant un rayon
double de l'autre (faire une figure) L'angle inscrit de sommet $M'$
a (figure) comme sinus de sa moiti\'e  $\frac 12$, donc vaut
$\frac \pi 6$ ; le triangle $M'P'Q'$ est isoc\`ele (cordes \'egales issues de M')
et ayant un angle de $\frac \pi 3$  est \'EQUILAT\'ERAL.
Comme le cercle transform\'e de $E_1$ est de rayon a et centr\'e en G
\`a distance 2a de M', son centre est le centre de gravit\'e et centre du cercle
inscrit   au triangle (M'P'Q') : P'Q' est bien tangent au troisi\`eme cont\'e ;
L'affinit\'e inverse donne le r\'esultat attendu ;

{\bf (405)} : {\it (Bib : br 76 p 77 avec hypoth\`ese un produit nul
au lieu de commutent)} \cadrefin{\bf Projecteurs : } (a) et d\'ebut de (b) sont
classiques ;
On a d'abord facilement $Im(q)\subseteq Im(p_1)+Im(p_2)$ ;
puis r\'eciproquement si $y\in Im(p_1)$, il existe $x$ de $E$ tel que  $y=p_1(x)$
$y=p_1(x)=_{\hbox{\fiverm ``j'ai rien chang\'e"}} p_1^2(x)=p_1(p_1(x)+p_2(x))
-p_1p_2(x)=p_1(p_1(x)+p_2(x))-p_1^2p_2(x)=q(p_1(x))$. Donc $Im(P_1)\subseteq
Im(q)$.

Pour $Im(p_2)$ on fait la m\^eme chose mais en utilisant $p_1p_2=p_2p_1$
au milieu ; Donc \cadrefin{$\bf Im(q)=Im(p_1)+Im(p_2)$}

De m\^eme $Ker(P_1)\cap Ker(p_2)\subseteq Ker(q)$ est trivial ; r\'eciproquement
si $x\in Ker(q)$, $q(x)=0$ donc $0=p_1(q(x))=p_1^2(x)+p_1p_2(x)-p_1^2p_2(x)
=p_1(x)$ soit $Ker(q)\subseteq Ker(p_1)$ etc.

{\bf (410)} :  \cadrefin{\bf Projecteurs : }
Le d\'ebut est classique ; pour diagonalisable on remarque que
$u=I-3u_3$, et comme $u_3$ est diagonalisable de Vp 0 ou 1,
$u$ aussi de VP 1 et -2 : on peut aussi chercher la dimension de chaque espace
propre de u, en teant compte de $u_3$ diagonalisable ; ou remarquer que
les $u_i$ sont diagonalisables et commutent, donc on une base propre
commune (voir le cours), qui constitue une base propre pour $u$.

{\bf (423)} : {\prover ADJOINT ? }
(a) est  de v\'erification triviale ;
(b) $(1+X)P$ a pour coefficients $a_0,a_0+a_1,.........,a_p-1+a_p,.....$
Le produit scalaire $(U(A),B)=a_0b_0+(a_0+a_1)b_1+...=
a_0(b_0+b_1)+a_1(b_1+b_2)+...$ ; donc $V(B)=b_0+b_1+(b_1+b_2)X+....
=B+\frac 1X (B-B(0))$ ;  Et l'adjoint existe et est d\'etermin\'e par cette formule ;

(c) Par contre dans ce cas on aurait en appliquant la formule suppos\'ee de
l'adjoint \`a $A=X^n$ et $B=1$ polyn\^ome constant :
$((X+1)^n,1)=(X^n,V(1)$ ; le premier membre est 1, et le second membre 0
en prenant n sup\'erieur strictement au degr\'e suppos\'e de $V(1)$ ;
Pour cet produit scalaire, il n'y a pas d'adjoint pour l'op\'erateur de TRANSLATION.
Pour m\'emoire vois d'autres exemples de non existence de l'adjoint dans
Chambadal tensoriel et ROD 2 ;
\traitgras





\leavevmode
\fondpage={\vbox to \vsize{\vskip 5mm
\hfil\ps{carnot,,0.4\vsize,-1 0 0 1,90}\hfil\ps{lion,,0.4\vsize,-1 0 0 1,90}
\hfil
\vskip 10mm
\hfil\ps{lion,,0.4\vsize,-1 0 0 -1,90}\hfil
\ps{carnot,,0.4\vsize,1 0 0 -1,90}\hfil
\vfill}}
\vfill\eject
\bye




%essai PROVER : {\prover \$ *-@\% \char"7B \char"23 \char\# \char"7C \char"A9}


% FOND PAGE  MULTIPLE DANS travbo96 96esim1.tex \`a la fin
%\vskip 10mm
%\leavevmode\hfill\transforme*{4 0 -4 6,70}{\bf Vidiani MP1 Carnot}
%\transforme{4 0 0 4}{\bf Vidiani MP1 Carnot}
%\trait
%\leavevmode
%\fondpage={\vbox to \vsize{\vskip 20mm\hskip 20mm
%\ps{carnot,,0.4\vsize,,90}\hfil\vfill}}

\leavevmode
\fondpage={\vbox to \vsize{\vskip 5mm
\hfil\ps{carnot,,0.4\vsize,-1 0 0 1,90}\hfil\ps{lion,,0.4\vsize,-1 0 0 1,90}
\hfil
\vskip 10mm
\hfil\ps{lion,,0.4\vsize,-1 0 0 -1,90}\hfil
\ps{carnot,,0.4\vsize,1 0 0 -1,90}\hfil
\vfill}}
\vfill\eject
\bye

% macro de disposition de solutions DSE d'\'equa diff 95esim1 95 ivpm
$\left\{\matrix{-x     &| &y\ =a_0+a_1x+...\hskip 42mm +a_nx^n+......\hfill\cr
               (1-x^2)&| &y' =a_1+2a_2x+...\hskip 41mm+na_nx^{n-1}....\hfill\cr
                \noalign{\hrule}
                       &|&\bf 1\ = a_1+(2a_2-a_0)x+(3a_3-2a_1)x^2+....
                       +((n+1)a_{n+1}-(n-1+1)a_{n-1})x^n+...
                       \cr}\right.$

