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\newcommand{\Qu}[1]{\textbf{\ref{#1}$^\circ$)}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}

\renewcommand{\a}{\textbf{a.~}}
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\newcommand{\e}{\textbf{e)~}}

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%\newcommand{\g}{\ensuremath \,g\,}

\newcommand{\ssi}{si et seulement si~}
\newcommand{\Rq}[1]{\textit{Remarque :~~#1}}
\newcommand{\cad}{c'est-\`a-dire~}
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\newcommand{\ev}{espace vectoriel~}
\newcommand{\sev}{sous-espace vectoriel~}
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\pagestyle{ups}
\begin{document}
\centerline{MINES D'ALBI, ALES, DOUAI, NANTES 2002}
\centerline{EPREUVE SPECIFIQUE DE MATHEMATIQUES}
\vspace{1cm}

\noindent
\textbf{PROBLEME II : Calcul et irrationalit\'e de} $\,\zeta (2) = \lin \Bigl(1+\dfrac 14+\dfrac 19+\dfrac 1{16}+\cdots
+\dfrac 1{n^2}\Bigr)$\vspace{5mm}\\
Dans ce probl\`eme, pour une fonction $\,f\,$ et un entier naturel $k,\; f^{(k)}\,$ d\'esigne la d\'eriv\'ee $k$-\`eme de
la fonction $\,f\,$ avec : $\,f^{(0)}=f$.\\
Remarque : sauf s'il est pr\'ecis\'e entier naturel, un entier peut \^etre positif ou n\'egatif.\vspace{3mm}\\
\textbf{Partie A : Convergence de la suite $\,\bigl(\som k1n \dfrac 1{k^p}\bigr)_{n\geq 1}$}\vspace {1mm}\\
\noindent
Dans cette partie, $p$ et $n$ sont deux entiers naturels non nuls et on pose $\,S_n(p)=\som k1n \dfrac 1{k^p}.$
\begin{enumerate}
\item
Montrer que pour tout entier $\,k\geq 1,\quad\dfrac 1{(k+1)^p}\leq \integ k{k+1} \dfrac 1{x^p} \,dx\leq  \dfrac 1{k^p}$.
\item
Montrer que pour $\,n\geq 2,\quad S_n(p)-1\leq  \integ 1n\dfrac {1}{x^p}\,dx\leq S_{n-1}(p).$
\item
D\'emontrer, par un calcul d'int\'egrales que la fonction $\,x\longmapsto \dfrac 1{x^p} \,$ est int\'egrable sur 
$\,[1,+\infty[\,$ \ssi $\,p\geq 2$.

\item
Montrer que la suite $\,\bigl(S_n(p)\bigr)_{n\geq 1}\,$ converge \ssi $\,p\geq 2$.\vspace{3mm}\\
On note alors $\,\zeta (p) =\lin S_n(p)$.\vspace{5mm}\\

\noindent
\textbf{\hspace{-1.2cm}Partie B : Calcul de $\,\zeta (2)$.}\vspace{3mm}\\
\hspace{-1.2cm} Dans cette partie on pose, pour tout $t$ r\'eel : $\,h(t)=\dfrac{t^2}{2\pi}-t,\,$ et on d\'efinit la fonction $\varphi $
sur $\,[0,\pi]\,$ par :
$$ \varphi (0)=-1\quad \text{et}\quad \varphi (t)=\dfrac{h(t)}{2\sin \frac t2}\quad \text{pour}\;\; t\in]0,\pi].
$$
\item
Montrer que la fonction $\varphi $ est de classe $\mathcal C^1$ sur l'intervalle $\,[0,\pi].$ 
\item
Calculer, pour tout $k$ entier naturel non nul, $\integ 0\pi h(t)\cos (kt)\,dt.$
\item
Calculer, pour $\,t\in ]0,\pi],\;\, \som k1n \cos kt ,\:$  puis d\'eterminer une constante $\lambda $ telle que,
$$\forall t\in]0,\pi],\qquad \som k1n \cos kt = \dfrac {\sin \bigl((n\!+\!\frac 12)t\bigr)}{2\sin \frac t2}-\lambda .$$
\item
Montrer, \`a l'aide d'une int\'egration par parties que, pour toute fonction 
$\,\psi\,$ de classe $\mathcal C^1\,$ sur l'intervalle $\,[0,\pi],\;\,\lin \integ 0\pi \psi(t)\sin (n\!+\!\frac12)t\,dt =0$.
\item
Montrer que \fbox{$\,\zeta (2)\,= \dfrac {\pi^2}6.$}\\

\noindent
\textbf{\hspace{-1.2cm} Partie C : $\,\zeta (2)\,$ est irrationnel.}\\
\hspace{-1.2cm} Dans cette partie, pour $n$ entier naturel non nul et $x$ r\'eel, on pose $\,f_n(x)=\dfrac{x^n(1-x)^n}{n!}.$
\item
Dans cette question, $n$ est un entier naturel non nul.\\
\a Montrer qu'il existe $n+1$ entiers $\,e_n,e_{n+1},\ldots,e_{2n}\,$ tels que 
$f_n(x)=\dfrac 1{n!} \som in{2n} e_ix^i.$\\
\b 
Montrer que, pour tout entier naturel $k,\;\,  f_n^{(k)}(0)\:$ et $\,f_n^{(k)}(1)\,$
sont des entiers.\\
(On pourra remarquer que $\,f_n(x)=f_n(1-x))$.\vspace{5mm}

\fbox{\begin{minipage}{17cm}On veut montrer que $\pi^2$ est irrationnel, et on va \textbf{raisonner par l'absurde} : on suppose que
$\,\pi^2=\dfrac ab,\:$ o\`u $a$ et $b$ sont deux entiers naturels non nuls.\end{minipage}}\vspace{5mm}

\item
On pose, pour $n$ entier naturel non nul et $x$ r\'eel :
$$F_n(x)=b^n(\pi^{2n}f_n(x)-\pi^{2n-2}f_n^{(2)}(x)+\pi^{2n-4}f_n^{(4)}(x)-\cdots+(-1)^nf_n^{(2n)}(x)).$$

\a 
Montrer que $F_n(0)$ et $F_n(1)$ sont des entiers.\\
\b
On pose, pour $n$ entier naturel non nul et $x$ r\'eel :$\;g_n(x)=F_n'(x)\sin (\pi x) -\pi F_n(x)\cos (\pi x),\;$
et $\,A_n=\pi \integ 01 a^nf_n(x)\sin (\pi x)\,dx.$\\
Montrer que, pour $n$ entier naturel non nul et $x$ r\'eel : $\; g_n'(x)\,=\,\pi^2a^nf_n(x)\sin (\pi x),\;$
et montrer que $\,A_n\,$ est un entier.
\item
On pose, toujours pour le m\^eme entier $a,\; u_n=\dfrac {a^n}{n!}.$\\
\a 
En consid\'erant le quotient $\,\dfrac {u_{n+1}}{u_n},\,$
montrer que  $\,\lin u_n=0.$\\
\b 
Montrer qu'il existe un entier naturel 
$\, n_0\,$ tel que pour tout entier $n\geq n_0,\;\;  \dfrac {a^n}{n!}<\dfrac12$.\\
\c 
Montrer que, pour tout r\'eel $\,x\in[0,1],\;\; 0\leq f_n(x)\leq \dfrac 1{n!}.$\\
\d 
Montrer alors que, pour tout entier $n\geq n_0,\;\, A_n\in]0,1[,\;$
et conclure que $\,\pi^2\,$ est irrationnel.\\
\e
Comment peut-on en d\'eduire que $\,\pi\,$ est irrationnel?\vspace{3mm}
\end{enumerate}
\noindent
\textbf{Pour information}\\
Il a \'et\'e prouv\'e depuis le $18^{\text{\`eme}}$ si\`ecle que $\,\zeta (p)\,$ est irrationnel pour tout entier pair $\,p\geq 2;\,$ 
r\'ecemment (1979) il vient d'\^etre d\'ecouvert que $\,\zeta (3)\,$ est irrationnel et le myst\`ere demeure encore quant \`a 
l'irrationalit\'e des $\,\zeta (p)\,$ pour les entiers impairs $\,p\geq 3\,\ldots$



\end{document}

