%M02CM1e.tex 2 mai 02 13h48   version 05 05 02 10h01
\input liv.mac     %Tap\'e par VIDIANI  CARNOT DIJON (sous Albert Carna\"u)
\voffset-15mm
\def\titreimpair{\line{
%{\fiverm zip pb02 M02CM1E.tex \hskip 3mm}
{\bf  CENTRALE 0  2002 MP
\hskip 1mm\Carre \hfill
%Mr VIDIANI Sp\'e MP1 CARNOT  \hskip 1mm
%\liond
\ \folio}} }

\def\titrepair{\line{\bf\folio  \hfill %{\fiverm zip M02CM1E.tex  }
{\bf  CENTRALE 1 2002 MP
%\hskip 3mm\Carre Mr VIDIANI \hskip 2mm\liong
}}  }
%\centerline{\vbox{\hrule  depth 0pt width 80mm}} trait partiel centr\'e

% \cadreepais{\grise \g=90 {\tenbf Th\'eor\`eme des MOMENTS }}  beau cadre gris\'e
%\centerline{\cadrefin{\tenbf PREMI\`ERE PARTIE : Matrice compagne}}

\input upsnum.tex
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%\cadrefin{\vbox to 10mm {\hsize 30mm\leftskip 0mm\noindent\fiverm nom :
%\hfill\vfill\noindent sp\'e MP1 carnot DIJON}}\hskip 1cm


\centerline {\bf CONCOURS CENTRALE- SUP\'ELEC 2 mai   2002 8h-12h :
Math\'ematiques premi\`ere \'epreuve Fili\`ere MP}



\noindent\hfill\grise \w=52mm\h=4mm {}
\hskip 1mm \cadrefin{\bf Pr\'eliminaires et objectifs du probl\`eme  }
\hskip 1mm\grise\h=4mm \w=52mm{}\hfill{}

On rappelle que $\N^*=\backslash\{0\}$ et que $\Z^*=\Z\backslash\{0\}$.

Pour tout entier $n\in\N$ on note $\C_n[X]$ le sous espace vectoriel de
$\C[X]$ constitu\'e par les polyn\^omes \`a coefficients complexes de degr\'e inf\'erieur
ou \'egal \`a $n$.

On munit l'alg\`ebre $ C([-1,1],\C)$ des fonctions \`a valeurs complexes
continues sur le segment $[-1,1]$ de la norme $||\ ||_\infty$ de la convergence
uniforme, d\'efinie par $(\forall f\in  C([-1,1],\C)),\ ||f||_\infty=
\displaystyle\sup_{x\in [-1,1]} |f(x)|$.

Tout polyn\^ome de $\C[X]$ est identifi\'e \`a la fonction polynomiale  qu'il induit
sur $[-1,1]$.

Soit $(\lambda_n)_{n\in \N}$ une suite de r\'eels positifs.

$\bullet\ $ On dit que cette suite $(\lambda_n)_{n\in \N}$ est \`a d\'ecroissance
rapide si pour tout entier $k\in\N$ elle est domin\'ee par la suite
$(n^{-k})_{n\in\N^*}$, c'est \`a dire si $(\forall k\in\N)\
(\exists M_k\in\R_+)\ (\forall n\in\N^*), \lambda_n\leq \frac {M_k}{n^k}$.

On note ${\cal F}_\infty$ l'ensemble des fonctions $f\in {\cal C}([-1,1],\C)$
pour lesquelles il existe une suite $(Q_n)_{n\in\N}$ de polyn\^omes telle que :

\hskip 20mm $\matrix{ \bullet\ \forall n\in\N,\ Q_n\in \C_n[X]\cr
    \bullet\ \hbox{ la suite } (||f-Q_n||_\infty)_{n\in \N}
\hbox{ est \`a d\'ecroissance rapide }\cr}$.

$\bullet\ $ On dit que cette suite $(\lambda_n)_{n\in \N}$ est \`a d\'ecroissance
exponentielle si, pour un certain r\'eel $r\in ]0,1[)$,\ elle est domin\'ee
par la suite g\'eom\'etrique $(r^n)_{nh\in\N}$, c'est \`a dire si
$(\exists r\in ]0,1[),\ (\exists M\in \R_+),\
(\forall n\in\N),\ \lambda_n\leq Mr^n$.

On note ${\cal F}_{exp}$ l'ensemble des fonctions $f\in  C([-1,1],\C)$
pour lesquelles il existe une suite $(Q_n)_{n\in\N}$ de polyn\^omes telle que :
\hskip 20mm $\matrix{ \bullet\ \forall n\in\N,\ Q_n\in \C_n[X]\cr
                     \bullet\ \hbox{ la suite } (||f-Q_n||_\infty)_{n\in \N}
\hbox{ est \`a d\'ecroissance exponentielle }\cr}$.                                % TTTTT 14h37

{\bf Remarque :} Une suite \`a d\'ecroissance rapide (respectivement exponentielle)
converge vers $0$ mais n'est pas forc\'ement d\'ecroissante.

L'objectif du probl\`eme est de montrer, en utilisant les propri\'et\'es des
polyn\^omes de TCHEBYCHEV \'etablies en partie I, que les fonctions de l'ensemble
${\cal F}_{\infty}$ sont exactement les fonctions de classe $\cal C^{\infty}$
sur $[-1,1]$ et de relier les fonctions $f$ de l'ensemble ${\cal F}_{exp}$
aux fonctions $f$ dont la s\'erie de TAYLOR $\displaystyle\sum_{n\geq 0}
\frac {f^{(n)}(0)}{n!} (x-a)^n$ en tout point $a\in[-1,1]$ converge vers
$f(x)$ sur un voisinage de $a$.

{\prover(a)} V\'erifier que si une suite est \`a d\'ecroissance exponentielle alors
 elle est \`a d\'ecroissance rapide.

{\prover (b)} V\'erifier que les ensembles ${\cal F}_{\infty}$ et
${\cal F}_{exp}$ sont des sous espaces vectoriels de ${\cal C}([-1,1],\C)$.
Quelle relation d'inclusion existe-t-il entre ces deux sous-espaces ?


{\prover (c-i)} Soit $f$ une fonction de classe $\cal C^{\infty}$ sur $[-1,1]$
dont toutes les d\'eriv\'ees sont born\'ees sur $[-1,1]$ par un m\^eme r\'eel $M$.
Montrer que $f\in   {\cal F}_{exp}$.

{\prover (c-ii)} Donner des exemples de fonctions de ${\cal F}_{exp}$.
\traitgras
\noindent\hfill\grise \w=50mm\h=4mm {}
\hskip 1mm \cadrefin{\bf Partie I -Polyn\^omes de TCHEBYCHEV  }
\hskip 1mm\grise\h=4mm \w=50mm{}\hfill{}

Pour tout entier $n\in\N$ on pose : $(\forall x\in [-1,1]),\
T_n(x)=\cos(n\arccos x)$.

{\prover(I-A)} {\bf Premi\`eres propri\'et\'es des $\bf T_n$}

{\prover(I-A-1)} Montrer que $T_n$ est une fonction polynomiale \`a coefficients
entiers. Le polyn\^ome associ\'e est encore not\'e $T_n$
et s'appelle le $n-$\`eme polyn\^ome de TCHEBYCHEV.
\trait
{\prover(I-A-2)} Expliciter $T_1,\ T_2,\  T_3,\ $ et $T_4$.
\trait
{\prover(I-A-3)} Montrer que pour tout $n\in\N,\ T_{n+2}(x)=2xT_{n+1}(x)
-T_n(x)$.
\trait
{\prover(I-A-4)} En d\'eduire la parit\'e, le degr\'e et le coefficient dominant de
 $T_n$.
\trait
{\prover(I-A-5)} \'Ecrire un algorithme pour calculer $T_n(X)$.

On pourra employer le langage de programmation associ\'e au logiciel de calcul
formel utilis\'e ou un langage naturel non ambigu.
\trait
{\prover(I-A-6)} Montrer que, pour tout $t\in[0,\pi]$, on a : $T_n(\cos t)=\cos
n t$.
\trait

{\prover(I-B)}{\bf Calcul des normes}

{\prover(I-B-1)} Calculer $||T_n||_\infty$.
\trait                                                                         % TTTT 15h03 T1=1h15 R16h20
{\prover(I-B-2)} Montrer que $(\forall n\in\N),\ |\sin nu|\leq n|\sin u|$.
\trait
{\prover(I-B-3)} En d\'eduire $||T'_n ||_\infty=n^2$.
\trait
{\prover(I-C)} {\bf Encadrement de $\bf T_n(x)$ sur $\bf [1,+\infty[$}

{\prover(I-C-1)} Montrer que $(\forall r\in \R^*),\ T_n(\frac {r+r^{-1}}2)=
\frac {r^n+r^{-n}}2$.
\trait
{\prover(I-C-2)} Soit un r\'eel $x\in[1,+\infty[$.

{\prover(I-C-2-a)} Montrer qu'il existe $r\in\R^*$, tel que
$x=\frac {r+r^{-1}}2$.
\trait
{\prover(I-C-2-b)} En d\'eduire que $1\leq T_n(x)\leq (x+\sqrt{x^2-1})^n$.
\trait
{\prover(I-D)} {\bf \'Equation diff\'erentielle v\'erifi\'ee sur $\bf \R$ par
$\bf T_n$}


{\prover(I-D-1)} En d\'erivant l'\'egalit\'e $T_n(\cos t)=\cos nt$ valable pour tout
r\'eel $t\in[0,\pi]$, trouver une \'equation diff\'erentielle lin\'eaire homog\`ene
du second ordre v\'erifi\'ee sur $\R$ par $T_n$.
\trait
{\prover(I-D-2)} Soit $k\in\N,\ k\leq n$. D\'eduire de la question (1-D-1) que
$T_n^{(k)}(1)=\frac n{n+k}\frac {(n+k)!}{(n-k)!}\frac {2^k k!}{(2k)!}$.
Montrer que $T_n^{(k)}(-1)=(-1)^{n+k} T_n^{(k)}(1)$.
\traitgras
\noindent\hfill\grise \w=35mm\h=4mm {}
\hskip 1mm \cadrefin{\vbox{\hsize 100mm \noindent\bf Partie II -Application des
polyn\^omes de TCHEBYCHEV \`a la majoration des polyn\^omes et de leurs d\'eriv\'ees }}
\hskip 1mm\grise\h=4mm \w=35mm{}\hfill{}

On introduit la subdivision $\sigma=(a_0,a_1,...,a_n)$ du segment $[-1,1]$
d\'efinie par $\forall j\in[0,n],\ a_j=\cos\big[(1-\frac jn)\big]$.

Par ailleurs pour tout $i\in [0,n]$ on appelle $E_i=[0,n]\backslash\{i\}$
l'ensemble des entiers naturels autres que $i$ qui sont inf\'erieurs ou \'egaux \`a
$n$.

Enfin, pour tout $i\in[0,n]$ on note $L_i(X)=
\frac {\displaystyle\prod_{j\in E_i} (X-a_j)}
{\displaystyle\prod_{j\in E_i} (a_i-a_j)}$ le $i-$\`eme
polyn\^ome de LAGRANGE associ\'e \`a la subdivision $\sigma$.                        % TTTTT 16h57 TT=1h52 R17h20

{\prover(II-A)} {\bf Majoration d'un polyn\^ome sur $\bf [1,+\infty[$}

{\prover(II-A-1)} R\'esoudre sur $[-1,1]$ l'\'equation $|T_n(x)|=1$ et calculer
$T'_n(a_j)$ pour $j=n$, pour $j=0$ puis pour $j\in [1,n-1]$.
\trait
{\prover(II-A-2)} Montrer que $T_n(X)=\displaystyle\sum_{i=0}^n (-1)^{n-i}
L_i(X)$.
\trait
{\prover(II-A-3)} On suppose que $x\in[1,+\infty[$. Montrer que $T_n(x)=
\displaystyle \sum_{i=0}^n |L_i(x)|$.
\trait

{\prover(II-A-4)} Soit $P(X)$ un polyn\^ome appartenant \`a $\C_n[X]$. Montrer que
$(\forall x\in[1,+\infty[),\ $ $|P(x)|\leq ||P||_\infty (x+\sqrt{x^2+1})^n$.
\trait
{\prover(II-B)} {\bf Majoration des d\'eriv\'ees successives d'un polyn\^ome sur
$\bf [1,+\infty[$}

{\prover(II-B-1)} On suppose que $x\in[1,+\infty[$. Montrer que $(\forall k
\in [1,n],),\ T_n^{(k)}(x)= \displaystyle \sum_{i=0}^n |L_i^{(k)}(x)|$.

\trait
{\prover(II-B-2)} Soit $P(X)$ un polyn\^ome appartenant \`a $\C_n[X]$. Montrer que
$(\forall k\in [1,n],\ (\forall x\in[1,+\infty[),\ $
 $|P^{(k)}(x)|\leq ||P||_\infty T_n^{(k)}(x)$.
\trait

{\prover(II-C)} {\bf Majoration des d\'eriv\'ees successives d'un polyn\^ome sur
$\bf [-1,1]$}

Soit $P\in\C_n[X]$. On consid\'e\`ere un entier $k\in[1,n]$.

{\prover(II-C-1)} On pose $(\forall \lambda\in [-1,1]),\ P_\lambda(X)=P(
\frac {\lambda+\varepsilon}2X+\frac {\lambda-\varepsilon}2)$ avec $\varepsilon
=1$ si $\lambda\in [0,1]$ et $\varepsilon=-1$ si $\lambda\in [-1,0[$.
Montrer que $|P_\lambda^{(k)}(1)|=\big(\frac {|\lambda|+1}2\big)^k
|P^{(k)}(\lambda)|$.
\trait
{\prover(II-C-2)} En d\'eduire que $||P^{(k)}||_\infty\leq
2^k T_n^{(k)}(1)||P||_\infty$.
\trait
{\prover(II-C-3)} Montrer que : $||P^{(k)}||_\infty\leq 2^{2k} \frac {k!}{(2k)!}
\frac {(n+k)!}{(n-k)!} ||P||_\infty$ et que, si $k=1$, on a la majoration
plus fine $||P'||_\infty\leq 2n^2||P||_\infty$.
\traitgras
\noindent\hfill\grise \w=46mm\h=4mm {}
\hskip 1mm \cadrefin{\bf Partie III - D\'etermination de l'ensemble
${\cal F}_\infty$ } \hskip 1mm\grise\h=4mm \w=46mm{}\hfill{}

On note $C_{2\pi}$ l'alg\`ebre des fonctions $2\pi$-p\'eriodiques et continues sur
$\R$, \`a valeurs complexes. On munit $C_{2\pi}$ de deux normes, la norme
quadratique $N_2$ d\'efinie pour $\varphi\in C_{2\pi}$ par
$N_2(\varphi)=\big(\frac 1{2\pi}\int_{-\pi}^\pi
|\varphi(t)|^2dt\big)^{{1\over 2}}$ induite par le produit scalaire hermitien
$(\varphi,\psi)=\frac 1{2\pi}\int_{-\pi}^\pi\overline{\varphi(t)}\psi(t)dt$
et la norme $N_\infty$ de la convergence uniforme d\'efinie par
$\N_\infty(\varphi)=\displaystyle\sup_{t\in[-\pi,\pi]} |\varphi(t)|$.

Pour tout entier $k\in\Z$ on pose $e_k: t\mapsto e^{ikt}$. On rappelle que
la famille $(e_k)_{k_in\Z}$ est une famille orthogonale de l'espace
pr\'e-hilbertien $(X_{2\pi},N_2)$ et que pour tout $k\in \Z$
le $k-$\`eme coefficient de FOURIER d'une fonction $\varphi\in C_{2\pi}$ est
le complexe $c_k(\varphi)=(e_k|\varphi)=
\frac 1{2\pi}\int_{-\pi}^\pi\varphi(t)e^{-ikt}dt$.

Pour tout entier $n\in \N$, on note $\tau_n$ le sous espace vectoriel de
$C_{2\pi}$ engendr\'e par les fonctions $e_k$ o\`u $k\in [-n,n]$ :
$\tau_n=vect(e_{-n},...,e_0,...e_n)$ ; $dim(\tau_n)=2n+1$.

Soit $\varphi\in C_{2\pi}$. Pour tout entier $n\in\N$, on note
$S_n(\varphi)=\displaystyle\sum_{k=-n}^n c_k(\varphi) e_k$ le $n-$i\`eme
polyn\^ome trigonom\'etrique de FOURIER de $\varphi$.

 {\prover(III-A)} {\bf Propri\'et\'es li\'ees aux normes $\bf N_2$ et $\bf N_\infty$}

{\prover(III-A-1)} On suppose que la s\'erie $\displaystyle
\sum_{n\geq 1} (|c_n(\varphi)|+|c_{-n}(\varphi)|)$ converge.
Montrer que la suite $(S_n(\varphi))_{n\in\N}$ converge uniform\'ement sur $\R$
vers $\varphi$.                                                                %TTTT 18h07 T=2h39 R=18h12
\trait

{\prover(III-A-2)} Soit $\varphi\in C_{2\pi}$ muni de la norme quadratique
$N_2$. On rappelle que $S_n(\varphi)$ est la projection orthogonale de
$\varphi$ sur $\tau_n$. En d\'eduire que :
$(\forall \omega\in\tau_n \backslash \{ S_n(\varphi)\}),\
N_2(\varphi-\omega)>N_2(\varphi-S_n(\varphi))$.
\trait
{\prover(III-A-3)}  On suppose que la fonction $\varphi\in C_{2\pi}$ est de
classe $C^p$ sur $\R$, avec $p\geq 1$. Montrer que $(\forall k\in \Z^*),\
|c_k(\varphi)|\leq \frac {N_\infty(\varphi^{(p)}}{|k|^p}$.
\trait
 {\prover(III-B)} {\bf \'Etude d'une application lin\'eaire}

On rappelle que $C([-1,1],\C)$ est muni de la norme $||\ ||_\infty$.
On note $L$ l'application lin\'eaire qui \`a toute fonction $f$ de $C([-1,1),\C)$,
associe  la fonction $Lf$ de $C_{2\pi}$ d\'efinie par $\forall t\in\R\
 Lf(t)=f(\cos t)$.

Montrer que $L$ est injective et calculer la norme subordonn\'ee $|||L|||_\infty$
de $L$ lorsque l'on munit $C_{2\pi}$ de la norme $N_\infty$ puis la norme
subordonn\'ee $|||L|||_2$ de $L$ lorsqu'on munit $C_{2\pi}$ de la norme
$N_2$.

\trait
 {\prover(III-C)} {\bf Propri\'et\'es li\'ees aux coefficients de FOURIER d'une
fonction Lf}

Dans cette section on consid\`ere une fonction $f$ fix\'ee dans $C([-1,1],\C)$.



{\prover(III-C-1)} V\'erifier que $c_{-k}(Lf)=c_k(Lf)$.
\trait
{\prover(III-C-2)} Soit $(Q_n)_{n\in\N}$ une suite de polyn\^omes telle que
pour tout $n\in\N$ on ait $Q_n\in\C_n[X]$. Montrer que :
$(\forall k\geq 2), \ |c_k(Lf)|\leq \frac 1{\sqrt{2}} ||f-Q_{k-1}||_\infty$.
\trait
{\prover(III-C-3)} Pour tout entier $n_in\N$ on pose :
$(\forall x \in [-1,1]),\ U_n(f)(x)=S_n(Lf)(\arccos x)$. Montrer que
$U_n(f)=c_0(Lf)+2\displaystyle\sum_{k=1}^n c_k(Lf)T_k$.
\trait
{\prover(III-C-4)} On suppose que la s\'erie $\displaystyle
\sum_{k\geq 1} |c_k(Lf)|$ converge. Montrer que $||f-U_n(f)||\leq 2
\displaystyle\sum_{k=n+1}^{+\infty} |c_k(Lf)|$.
\trait
{\prover(III-D)} {\bf D\'eveloppement en s\'erie de TCHEBYCHEV d'une fonction f
de $\bf {\cal F}_\infty$}

On suppose dans cette question que $f$ est une fonction de l'ensemble
${\cal F}_\infty$.

{\prover(III-D-1)} Montrer que la suite $(|c_n(Lf)|)_{n\in\N}$ est \`a
d\'ecroissance rapide.
\trait
{\prover(III-D-2)} Montrer que $(\forall x \in [-1,1]),\ f(x)=
c_0(Lf)+2\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} c_n(Lf)T_n$ et que la s\'erie
de fonctions converge normalement sur $[-1,1]$.
\trait
{\prover(III-D-3)} En d\'eduire que  $f$ est de classe $C^\infty$ sur $[-1,1]$
et que $(\forall k\in\N), \ (\forall x\in[-1,1]),$  $f^{(k)}(x)=
2\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} c_n(Lf)T_n^{(k)}(x)$.
\trait
{\prover(III-E)} {\bf Ach\`evement de la d\'etermination de l'ensemble $
\bf {\cal F}_\infty$}.

On suppose dans cette question de $f$ est une fonction de classe $C^\infty$ sur
$[-1,1]$.

{\prover(III-E-1)} Montrer que la suite $(|c_n(Lf)|)_{n\in\N}$ est \`a
d\'ecroissance rapide.
\trait
{\prover(III-E-2)} En d\'eduire que $f\in {\cal F}_\infty$.
\traitgras

\noindent\hfill\grise \w=55mm\h=4mm {}
\hskip 1mm \cadrefin{\bf Partie IV \'Etude de l'ensemble
${\cal F}_{exp}$ } \hskip 1mm\grise\h=4mm \w=55mm{}\hfill{}

{\prover(IV-A)} {\bf Caract\'erisation des \'el\'ements de l'ensemble
$\bf {\cal F}_{exp}$}

{\prover(IV-A-1)} Soit $f$ une fonction de $C([-1,1],\C)$. Montrer que
les assertions suivantes sont \'equivalentes :
(a) $f\in  {\cal F}_{exp}$  (b) La suite
$(|c_n(Lf)|)_{n\in\N}$ est \`a d\'ecroissance exponentielle.
\trait
{\prover(IV-B)} {\bf D\'eveloppement en s\'erie de TCHEBYCHEV d'une fonction f
de    $\bf {\cal F}_{exp}$}

On suppose dans cette question que $f$ est une fonction de l'ensemble
$ {\cal F}_{exp}$. Il existe alors un r\'eel $r\in]0,1[$ tel que :
$(\exists M\in \R_+), \ (\forall n\in\N),\ |c_n(Lf)|\leq Mr^n$.

{\prover(IV-B-1)} Justifier le fait que :
$(\forall x\in[-1,1], f(x)=
c_0(Lf)+2\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} c_n(Lf)T_n$,
que la s\'erie de fonctions converge normalement sur $[-1,1]$,
que $f$ est de classe $C^\infty$ sur $[-1,1]$ et que
$(\forall k\in\N), \ (\forall x\in[-1,1]),\ f^{(k)}(x)=
2\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} c_n(Lf)T_n^{(k)}(x)$.
\trait
{\prover(IV-B-2)} En d\'eduire que $(\forall k\in \N),\ ||f^{(k)}||_\infty
\leq \frac {2M}{1-r}. \frac {k!}{[\lambda(r)]^k}$, avec $\lambda(r)=
\frac {(1-r)^2}{4r}$.
\trait
{\prover(IV-C)} {\bf D\'eveloppement en s\'erie de TAYLOR au voisinage de
tout point $\bf a\in[-1,1]$ d'une fonction f de    $\bf {\cal F}_{exp}$}

On conserve les m\^emes hypoth\`eses qu'\`a la question pr\'ec\'edente pour $f$.
Soit un point $a\in[-1,1]$.

Montrer que la s\'erie de TAYLOR $\displaystyle \sum_{n\geq 0} \frac {f^{(n)}(a)}
{n!} (x-a)^n$ de $f$ au point $a $ converge vers $f(x)$
sur le voisinage $[-1,1]\cap]a-\lambda(r),a+\lambda(r)[$ du point $a$.
\trait
{\prover(IV-D)} {\bf Inclusion stricte entre $\bf {\cal F}_{exp}$ et
$\bf {\cal F}_{\infty}$}

Montrer que la fonction $f$ d\'efinie par $(\forall x\in [-1,1]\backslash
\{ 0\},\ f(x)=exp(-\frac 1{x^2})$ et $f(0)=0$ appartient \`a
${\cal F}_{\infty}$ mais n'appartient pas \`a ${\cal F}_{exp}$.
\trait
{\prover(IV-E)} {\bf R\'eciproque partielle concernant la
d\'etermination de l'ensemble $\bf {\cal F}_{exp}$}

Soit $f$ une fonction \`a valeurs r\'eelles ou complexes d\'eveloppable en
s\'erie enti\`ere   sur un intervalle ouvert $]-\rho,+\rho[$, avec $\rho>1$.
Montrer que la restriction de $f$ au segment $[-1,1]$ appartient \`a
${\cal F}_{exp}$.\hfill \cadrefin{\bf FIN DU PROBL\`EME}

                                                                               %TTT 19h25 T=3h52




%\carre\  \cadreepais{\grise \g=90 {\tenbf G\'en\'eralit\'es }}

\vfill

%\leavevmode\hfill\transforme*{4 0 -4 6,70}{\bf Vidiani MP1 Carnot}
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\bye

