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\begin{document}

%En-t{\^e}te
\lhead{Centrale-Sup{\'e}lec 2002 MP II}
\rhead{page \thepage}
\cfoot{}

%Macros
\newcommand{\vecteur}[1]{{\mathbf #1}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\set}[1]{\left \{ #1 \right \}}
\newcommand{\tq}{\,\mid\,}
\newcommand{\ouvdroite}[2]{\left [ #1, #2 \right [}
\newcommand{\scal}[2]{\left \langle #1 \mid  #2 \right \rangle}
\newcommand{\norme}[1]{\left \| #1 \right \|}
\newcommand{\matrice}[1]{\begin{pmatrix} #1 \end{pmatrix}}
\newcommand{\systeme}[1]{\left \{ \begin{array}{l}  #1 \end{array} \right.}




%Num{\'e}rotation des questions
\renewcommand{\labelenumi}{}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\Roman{enumi}.\Alph{enumii} - }}
\renewcommand{\labelenumiii}{\Roman{enumi}.\Alph{enumii}.\arabic{enumiii}) }
\renewcommand{\labelenumiv}{\alph{enumiv}) }



\begin{center}
{\large Concours Centrale - Sup{\'e}lec 2002}

\bigskip
{\large {\'E}preuve :} {\Large MATH{\'E}MATIQUES II} \hfil {\large Fili{\`e}re} {\Large MP}
\end{center}


$E$ d{\'e}signe l'espace vectoriel $\R^{3}$ muni de sa structure euclidienne canonique et orient{\'e} de sorte que la base canonique, not{\'e}e $(\vecteur{i}, \vecteur{j}, \vecteur{k})$, soit orthonormale directe.

On a donc pour tout $x$, $y$ et $z$ r{\'e}els : $(x, y, z) = x \vecteur{i} + y \vecteur{j} + z \vecteur{k}$.
Le produit scalaire sera not{\'e} $\scal{\cdot}{\cdot}$.

Si $\vecteur{u}$ est un vecteur non nul {\'e}l{\'e}ment de $E$, on note $D_{\vecteur{u}}$ la droite vectorielle de base $\vecteur{u}$, $P_{\vecteur{u}}$ le plan vectoriel orthogonal {\`a} $D_{\vecteur{u}}$, et $S_{\vecteur{u}}$ le demi-tour par rapport {\`a} $D_{\vecteur{u}}$ c'est-{\`a}-dire la sym{\'e}trie orthogonale par rapport {\`a} $D_{\vecteur{u}}$ ou encore la rotation vectorielle d'axe $D_{\vecteur{u}}$ et d'angle de mesure $\pi$.

Si $\theta$ est un nombre r{\'e}el, on note $R_{\theta}$ la rotation vectorielle d'axe $D_{\vecteur{k}}$ orient{\'e}e dans le sens du vecteur $\vecteur{k}$ et d'angle de mesure $\theta$.

On rappelle qu'une rotation vectorielle de $E$ ayant $-1$ comme valeur propre est un demi-tour.

On rappelle {\'e}galement l'in{\'e}galit{\'e} de Cauchy-Schwarz :
$$\forall \left(\vecteur{u}, \vecteur{v}\right), \scal{\vecteur{u}}{\vecteur{v}}^{2} {\leq} \norme{\vecteur{u}}^{2} \norme{\vecteur{v}}^{2}$$

et l'on admet que dans cette in{\'e}galit{\'e}, l'{\'e}galit{\'e} a lieu si et seulement si les deux vecteurs $\vecteur{u}$ et $\vecteur{v}$ sont colin{\'e}aires.

\begin{center}\textbf{{\large Partie I - {\'E}tude d'un cas particulier}}\end{center}

\begin{enumerate}
\item %Partie I
Pour tout $(x, y, z)$ {\'e}l{\'e}ment de $E$, on pose : $q(x, y, z) = x^{2} + y^{2} - z^{2}$ et l'on note $Q_{0}$ l'ensemble suivant : 
$Q_{0} = \set{(x, y, z) \in�E \tq q(x, y, z) = 0}$.

\begin{enumerate}
\item %Question I.A
\textbf{Une {\'e}tude de $Q_{0}$.}
\begin{enumerate}
\item D{\'e}terminer quelques {\'e}l{\'e}ments de sym{\'e}trie de $Q_{0}$.
\item D{\'e}terminer et dessiner l'intersection de $Q_{0}$ avec le plan $P_{\vecteur{j}}$.
\item \begin{enumerate}
\item D{\'e}montrer que pour tout $\theta$ r{\'e}el : $R_{\theta}\left(Q_{0}\right) \subset Q_{0}$.
\item En d{\'e}duire que, pour tout $\theta$ r{\'e}el, $Q_{0}$ est invariant par $R_{\theta}$, c'est-{\`a}-dire : $R_{\theta}\left(Q_{0}\right) = Q_{0}$.
\end{enumerate}
\item Donner la nature g{\'e}om{\'e}trique de $Q_{0}$.
\end{enumerate}

\item %Question I.B
\textbf{Automorphismes orthogonaux laissant $D_{\vecteur{u}}$ invariant}

On note $K$ l'ensemble des automorphismes orthogonaux de $E$ qui laissent globalement invariant $D_{\vecteur{k}}$, c'est-{\`a}-dire : $K = \set{q \in O(E) \tq q(D_{\vecteur{k}}) = D_{\vecteur{k}}}$.
\begin{enumerate}
\item Donner quelques {\'e}l{\'e}ments de $K$.
\item Soit $q$ un {\'e}l{\'e}ment quelconque de $K$.
\begin{enumerate}
\item D{\'e}montrer que $\vecteur{k}$ est un vecteur propre de $q$.
\item D{\'e}montrer : $q(\vecteur{k}) \in \set{-\vecteur{k}, \vecteur{k}}$.
\item D{\'e}terminer l'ensemble $K^{+}$ des rotations vectorielles {\'e}l{\'e}ments de $K$.
\end{enumerate}
\item On pose $K^{-} = \set{-r ; r \in�K^{+}}$. D{\'e}montrer que $K = K^{+} \cup K^{-}$.
\end{enumerate}

\item %Question I.C
\textbf{Automorphismes orthogonaux laissant $Q_{0}$ invariant}

On note $K_{0}$ l'ensemble des automorphismes orthogonaux de $E$ qui laissent globalement invariant $Q_{0}$, c'est-{\`a}-dire : $K_{0} = \set{q \in�O(E) \tq q\left(Q_{0}\right) = Q_{0}}$.
\begin{enumerate}
\item D{\'e}montrer que $K_{0}$ est un sous-groupe de $O(E)$.
\item \begin{enumerate}
\item Reconna{\^i}tre, pour tout $\theta$ r{\'e}el, l'endomorphisme $R_{\theta} \circ S_{\vecteur{i}}$.
\item D{\'e}montrer : $K^{+} \subset K_{0}$.
\item D{\'e}montrer : $K \subset K_{0}$.
\end{enumerate}

\item Soit $q$ un {\'e}l{\'e}ment quelconque de $K_{0}$.
\begin{enumerate}
\item D{\'e}montrer que pour tout vecteur $\vecteur{v}$ {\'e}l{\'e}ment de $Q_{0}$ tel que : $\norme{\vecteur{v}} = \sqrt{2}$, l'on a : $\scal{\vecteur{v}}{\vecteur{k}}^{2} = 1$.
\item On note $\vecteur{u}$ un vecteur quelconque unitaire {\'e}l{\'e}ment de $P_{\vecteur{k}}$.
\begin{itemize}
\item[i)] Observer que $\vecteur{u} + \vecteur{k} \in Q_{0}$, puis d{\'e}montrer : $\scal{q\left(\vecteur{u}+\vecteur{k}\right)}{\vecteur{k}}^{2} = 1$.
\item[ii)] En faisant intervenir le vecteur $\vecteur{u} - \vecteur{k}$, en d{\'e}duire : $\scal{q\left(\vecteur{u}\right)}{\vecteur{k}} \scal{q\left(\vecteur{k}\right)}{\vecteur{k}} = 0$.
\item[iii)] On suppose $\scal{q\left(\vecteur{k}\right)}{\vecteur{k}} = 0$ ; d{\'e}montrer qu'alors $q\left(\vecteur{u}\right)$ est colin{\'e}aire {\`a} $\vecteur{k}$.
Est-ce coh{\'e}rent ?
\item[iv)] En d{\'e}duire : $q\left(P_{\vecteur{k}}\right) = P_{\vecteur{k}}$.
\end{itemize}
\end{enumerate}

\item %Question I.C.4)
D{\'e}montrer que $K_{0} = K$.
\end{enumerate}

\item %Question I.D
\textbf{Composition et invariance}

On pose : $C = \set{\varphi \in�O(E) \tq q \circ \varphi = q}$.
\begin{enumerate}
\item D{\'e}montrer $C = K$.
\item \begin{enumerate}
\item Justifier que $q$ est une forme quadratique sur $E$ et donner sa matrice $M$ dans la base $\left(\vecteur{i}, \vecteur{j}, \vecteur{k}\right)$.
\item Reconna{\^i}tre l'endomorphisme $\sigma$ de matrice $M$ dans la base $\left(\vecteur{i}, \vecteur{j}, \vecteur{k}\right)$.
\end{enumerate}
\item D{\'e}montrer que tout {\'e}l{\'e}ment $\varphi$ de $C$ commute avec $\sigma$ , c'est-{\`a}-dire v{\'e}rifie $\varphi \circ \sigma = \sigma \circ \varphi$.
\item Soit $\varphi$ un {\'e}l{\'e}ment de $O(E)$ qui commute avec $\sigma$. D{\'e}montrer que $\vecteur{k}$ est un vecteur propre de $\varphi$.
\item En d{\'e}duire que $C = \set{\varphi \in�O(E) \tq \sigma \circ \varphi = \varphi \circ \sigma}$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\begin{center}\textbf{{\large Partie II - Une g{\'e}n{\'e}ralisation}}\end{center}

\item %Partie II
On note $U$ un endomorphisme sym{\'e}trique de $E$ et l'on pose pour tout vecteur $\vecteur{X}$ de $E$ : $f\left(\vecteur{X}\right) = \scal{\vecteur{X}}{U\left(\vecteur{X}\right)}$.
Pour tout $a$ r{\'e}el, on pose : $F_{a} = \set{\vecteur{X} \in�E \tq f\left(\vecteur{X}\right) = a}$.

On veut d{\'e}terminer les endomorphismes $U$ tels que toutes les surfaces $F_{a}$ soient de r{\'e}volution d'axe $D_{\vecteur{k}}$, c'est-{\`a}-dire tels que :

\centerline{$\forall a \in�\R, \forall \theta \in \R, R_{\theta}\left(F_{a}\right) = F_{a}$ \hspace{1cm} (*)}

\begin{enumerate}
\item %Question II.A
D{\'e}montrer que (*) est {\'e}quivalente {\`a} $\forall \theta \in�\R, f \circ R_{\theta} = f$.
\item %Question II.B
On suppose ici : $\forall \theta \in \R, U \circ R_{\theta} = R_{\theta} \circ U$.
D{\'e}montrer qu'alors (*) est v{\'e}rifi{\'e}e.
\item %Question II.C
On suppose maintenant que (*) est v{\'e}rifi{\'e}e et l'on veut d{\'e}montrer :
$\forall \theta \in \R, U \circ R_{\theta} = R_{\theta} \circ U$.
\begin{enumerate}
\item D{\'e}terminer les endomorphismes sym{\'e}triques $V$ de $E$ tels que :
$$\forall \vecteur{X} \in E, \scal{\vecteur{X}}{V\left(\vecteur{X}\right)} = 0.$$
\item D{\'e}montrer que si $V$ et $V'$ sont des endomorphismes sym{\'e}triques de $E$, il en est de m{\^e}me de $V - V'$.
\item D{\'e}montrer que pour tout r{\'e}el $\theta$ l'endomorphisme $R_{\theta}^{-1} \circ U \circ R_{\theta}$ est sym{\'e}trique.
\item Conclure.
\end{enumerate}

\item %Question II.D
On suppose que $U$ commute avec toutes les rotations $R_{\theta}$.
\begin{enumerate}
\item D{\'e}montrer que $\vecteur{k}$ est un vecteur propre de $U$. 
En d{\'e}duire : $U\left(P_{\vecteur{k}}\right) \subset P_{\vecteur{k}}$.
\item D{\'e}montrer que la matrice $M$ de $U$ dans la base $\left(\vecteur{i}, \vecteur{j}, \vecteur{k}\right)$ est du type :
$$M = \matrice{a & b & 0 \\ b & c & 0 \\ 0 & 0 & \lambda}.$$
\item En d{\'e}duire que (*) est v{\'e}rifi{\'e}e si et seulement si $M$ s'{\'e}crit :
$M = \matrice{\mu & 0 & 0 \\ 0 & \mu & 0 \\ 0 & 0 & \lambda}$.
Que vaut alors $f(x, y, z)$ pour tout $(x, y, z)$ {\'e}l{\'e}ment de $E$ ?
\end{enumerate}

\item %Question II.E
\textbf{Un r{\'e}sultat plus fort}

On suppose dans cette section que $F_{1}$ est non vide et de r{\'e}volution d'axe $D_{\vecteur{k}}$ c'est-{\`a}-dire que $U$ est tel que :

\centerline{$\systeme{F_{1} {\neq} \emptyset \\
\forall \theta \in \R, R_{\theta}\left(F_{1}\right) = F_{1}}$ \hfil (1)}

et on d{\'e}signe par $\vecteur{X}$ un vecteur quelconque de $E$.
\begin{enumerate}
\item On suppose $f\left(\vecteur{X}\right) > 0$ : d{\'e}montrer : $\forall \theta \in \R, f \circ R_{\theta}\left(\vecteur{X}\right) = f\left(\vecteur{X}\right)$.
\item On suppose $f\left(\vecteur{X}\right) {\leq} 0$. On consid{\`e}re alors un vecteur $\vecteur{X_{1}}$ {\'e}l{\'e}ment de $F_{1}$ et pour tout r{\'e}el $t$, on pose $g(t) = f\left(\vecteur{X} + t\vecteur{X_{1}}\right)$.
\begin{enumerate}
\item D{\'e}montrer que $g$ est une fonction polynomiale de degr{\'e} $2$ que l'on pr{\'e}cisera.

En d{\'e}duire qu'il existe un r{\'e}el $t_{0}$ tel que :
$$\forall t \in \ouvdroite{t_{0}}{+{\infty}}, g(t) > 0.$$

\item D{\'e}montrer pour tout r{\'e}el $\theta$ :
$$\forall t \in \ouvdroite{t_{0}}{+{\infty}}, f\left(\vecteur{X} + t\vecteur{X_{1}}\right) = f \circ R_{\theta}\left(\vecteur{X} + t \vecteur{X_{1}}\right).$$

En d{\'e}duire que :
$$\forall \theta \in \R, f\left(\vecteur{X}\right) = f \circ R_{\theta}\left(\vecteur{X}\right).$$
\end{enumerate}
\item En d{\'e}duire quels sont les endomorphismes sym{\'e}triques $U$ satisfaisant aux conditions (1) et reconna{\^i}tre toutes les surfaces $F_{1}$ associ{\'e}es.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{document}

