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%----------------------------------------------------------------
% Corrig\'e r\'edig\'e par Pierre Cr\'epy
% Lyc\'ee Louis Thuillier \`a AMIENS
% @mail : phscrepy@wanadoo.fr
%----------------------------------------------------------------

\begin{document}

\title{ Centrale  PC 2002 \\
Epreuve de Math\'ematiques 1}
\author{}
\date{}

\maketitle

On d\'esigne par $C_{2\pi}$ l'espace des fonctions de $\R$ dans $\C$ qui sont  
continues et $2\pi$-p\'eriodiques.\\
Si $f\in C_{2\pi}$, ses coefficients de Fourier  sont donn\'es pour $n\in \Z$ 
par $\widehat{f}(n)=\dfrac{1}{2\pi} \dint_{-\pi}^{\pi} f(t) e^{-int} \, dt$, 
sa s\'erie de Fourier \'etant $\dsum_{n\in \Z} \widehat{f}(n)e^{int}$.


\section*{Partie I - D\'efinition de la fonction $x$}

\begin{enumerate}

\item[{\bf I.A.}] 
On suppose l'espace $\R^2$ muni de sa structure euclidienne canonique. 
On d\'efinit $T: \R^3 \mapsto \R^3$ par :

\hspace{1cm} $T(x,x,0)=(x,x,0)$,

\hspace{1cm} $T(x,y,z)=(x',y',z')$ o\`u $x'=y$ et $(y',z')$ est la projection 
orthogonale de $(y,-z)$ sur la droite passant par $(x,0)$ et $(y,z)$ si 
$(x,y,z) \neq (x,x,0)$.

\item[I.A.1)] 
On suppose $x\neq y$, $z\neq 0$ et l'on pose $A=(x,0)$, $B=(y,z)$, $C=(y,-z)$,
$A'=(x',0)$, $B'=(y',-z')$, $C'=(y',z')$ o\`u $(x',y',z')=T(x,y,z)$.\\
Les points $A'$, $B'$, $C'$ sont les pieds des hauteurs du triangle $ABC$.

\item[I.A.2)] 
Si $(x,y,z) \neq (x,x,0)$, la droite $AB$ est bien d\'efinie. 
La projection orthogonale $C'$ de $C$ sur la droite $AB$ est caract\'eris\'ee par 
les \'equations
$$
\left\{ \begin{array}{ll}
< \vct{C'C}, \vct{AB}> & =0 \\
\det(\vct{AC'}, \vct{AB})& =0
        \end{array} \right.
$$
Le calcul donne
$$
\left\{ \begin{array}{ll}
(y-x)(y-y')-z(z+z') & =0 \\
(y-x)z'-(y'-x)z& =0
        \end{array} \right.
$$
En utilisant $y=x'$,  on obtient un syst\`eme de Cramer
$$
\left\{ \begin{array}{ll}
(y-x)(x'-y')-zz' & =z^2 \\
z(x'-y')+(y-x)z' & =z(y-x)
        \end{array} \right.
$$
ayant pour solution
$$y'-x'= - \frac{2z^2(y-x)}{(y-x)^2+z^2}, \quad 
z'= z \frac{(y-x)^2-z^2}{(y-x)^2+z^2}.
$$

\medskip

\item[{\bf I.B.}]  
{\bf Pour $t\in]0,\pi[$ on pose $X_0(t)=(0,1, $cotan$t )$ et on d\'efinit par 
r\'ecurrence pour $n\in \N$ la suite  $X_n(t)=(x_n(t),y_n(t),z_n(t))$ par
$X_{n+1}(t)=T(X_n(t))$. }

\item[I.B.1)] 
Si $z_n(t)=0$, alors, en posant $z=0$ dans les \'equations de I.A.2), on obtient
$y'-x'=z'=0$, ainsi $z_{n+1}(t)=0$ et $y_{n+1}(t)-x_{n+1}(t)=0$. 


\item[a)]
On suppose que $z_n(t)\neq 0$ pour $0\le n \le N-1$ avec $N\in \N^*$.

On a
$\dfrac{y_0(t)-x_0(t)}{z_0(t)}=\tan(t)$.
Si $N=1$ alors le r\'esultat demand\'e est \'etabli.\\
Si  $N>1$ supposons que 
$$
 \frac{y_n(t)-x_n(t)}{z_n(t)}=\tan(2^n t) \quad \mbox{ pour } 0\le n< N-1,
$$ 
alors, d'apr\`es I.A.2), on obtient  
$$
\frac{y_{n+1}(t)-x_{n+1}(t)}{z_{n+1}(t)}=
\frac{-2z_{n}(t)(y_n(t)-x_{n}(t))}{(y_n(t)-x_{n}(t))^2-z_{n}(t)^2}=
\frac{2\frac{y_n(t)-x_n(t)}{z_n(t)}}{1-{\frac{y_n(t)-x_n(t)}{z_n(t)}}^2}
=\tan(2(2^nt)).$$ 
On a donc \'etabli, par r\'ecurrence sur $n$, que  
$$
\forall 0\le n \le N-1, \quad \frac{y_n(t)-x_n(t)}{z_n(t)}=\tan(2^n t).
$$ 

\item[b)]
Si $z_N(t)= 0$ alors $(y_{N-1}(t)-x_{N-1}(t))^2 -(z_{N-1}(t))^2=0$ avec 
$z_{N-1}(t)\neq 0$ ainsi 
$$
{ \left( \frac{y_{N-1}(t)-x_{N-1}(t)}{z_{N-1}(t)} \right)}^2=1
$$ 
D'apr\`es a), on a donc $\tan^2(2^{N-1}t)=1$. Il en r\'esulte que 
$$
\cos(2^N t)= \frac{1-\tan^2(2^{N-1}t)}{1+\tan^2(2^{N-1}t)}=0.
$$

\item[I.B.2)] 
Si $t=\dfrac{\pi}{2}$, alors $z_n(t)=0$ pour tout $n\ge 0$, ainsi 
$y_{n+1}(t)-x_{n+1}(t)=0$ et la relation demand\'ee est v\'erifi\'ee.

Si $t\neq \dfrac{\pi}{2}$ et si $z_n(t)\neq0$  pour tout $n\ge 0$, alors 
la relation\\ 
$y'-x'= - \dfrac{2z^2}{(y-x)^2+z^2}(y-x)=
 - \dfrac{2}{1+\left(\frac{y-x}{z}\right)^2}(y-x)$ avec $z\neq0$ donne,
par substitution, 
$$
y_{n+1}(t)-x_{n+1}(t)= - 2\dfrac{1}{1+\tan^2(2^nt)} (y_n(t)-x_n(t))=
-2cos^2(2^nt) (y_n(t)-x_n(t)).
$$ 
Si $t\neq \dfrac{\pi}{2}$ et si $\exists N\ge 1$ tel $z_N(t)=0$, alors 
$\cos(2^N t)= 0$ et $y_{N+1}(t)-x_{N+1}(t)=0$ donc la relation est v\'erifi\'ee 
\`a l'ordre $N$.
Et pour tout $n\ge N$, on a donc $y_{n}(t)-x_{n}(t)=0$ d'apr\`es I.B.1), ainsi la relation reste 
trivialement v\'erifi\'ee.

Finalement
$$
\forall n\ge 0, \; \forall t\in ]0,\pi[, \quad 
y_{n+1}(t)-x_{n+1}(t)= -2cos^2(2^nt) (y_n(t)-x_n(t)).
$$

\item[I.B.3)] 
On en d\'eduit que :
$$
\forall n\ge 0, \; \forall t\in ]0,\pi[  \quad 
y_{n+1}(t)-x_{n+1}(t)= (-1)^{n+1} \dprod_{k=0}^n 2\cos^2 (2^k t).
$$
En multipliant par $2^{n+1}\sin^2(t)$ et en utilisant le fait que 
$2\cos u \sin u =\cos 2u$, on obtient
$$
\forall n\ge 0, \; \forall t\in ]0,\pi[  \quad 
2^{n+1}\sin^2(t)(y_{n+1}(t)-x_{n+1}(t))= (-1)^{n+1} \sin^2(2^{n+1}t).
$$
Sachant que $x'=y$, il vient
$$
x_{n+2}(t)-x_{n+1}(t))= (-1)^{n+1} \frac{\sin^2(2^{n+1}t)}{2^{n+1}\sin^2(t)}.
$$
On a $x_{1}(t)-x_{0}(t)) = 1-0$. Finalement
$$
\forall n\ge 0, \; \forall t\in ]0,\pi[  \quad 
x_{n+1}(t)-x_{n}(t))= (-1)^{n} \frac{\sin^2(2^{n}t)}{2^{n}\sin^2(t)}.
$$

\item[I.B.4)] 
On pose, pour $n\ge 0$, $u_n(t)=\sin^2(t) x_n(t)$, donc $u_0(t)=0$ et 
$$
\forall n\ge 0, \; \forall t\in ]0,\pi[  \quad 
u_{n+1}(t)-u_{n}(t))= (-1)^{n} \frac{\sin^2(2^{n}t)}{2^{n}}.
$$
On a $u_{n+1}(t)=\dsum_{k=0}^n (u_{k+1}(t)-u_{k}(t)$ et 
$\forall t\in ]0,\pi[, \quad |u_{n+1}(t)-u_{n}(t)| \le \frac{1}{2^{n}}$ 
qui est le terme g\'en\'eral d'une s\'erie g\'eom\'etrique convergente.
Ainsi la suite $(u_n)$
converge simplement sur $]0,\pi[$ vers une fonction $u$. 
De plus la s\'erie de fonctions continues $\dsum (u_{n+1}-u_{n})$ converge 
normalement sur $]0,\pi[$ ainsi $u$ est  continue sur $]0,\pi[$.  
 
Il en r\'esulte la suite $(x_n)$ converge simplement vers la fonction 
$x:t\mapsto \dfrac{u(t)}{\sin^2(t)}$, \'egalement continue sur $]0,\pi[$.
  

\item[I.B.5)] 
La fonction $u$ v\'erifie 
$$
\forall t\in ]0,\pi[  \quad u(t)=\sum_{n=0}^{+\infty}
(-1)^{n} \frac{\sin^2(2^{n}t)}{2^{n}}.
$$

Le terme de droite est une s\'erie normalement convergente sur $\R$, de fonctions
continues, paires, $2\pi$-p\'eriodiques, ainsi $u$ se prolonge sur $\R$  en une 
fonction paire et appartenant \`a $C_{2\pi}$.\\
A l'aide de la relation $\sin^2 \theta =\dfrac{1- \cos 2 \theta}{2}$, on obtient
$$
\forall t\in \R  \quad u(t)= 
\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(-1)^{n} }{2^{n+1}} +
\sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^{n+1} \frac{\cos(2^{n+1}t)}{2^{n+1}}=
\frac{1}{3} + \sum_{n=1}^{+\infty} (-1)^{n} \frac{\cos(2^{n}t)}{2^{n}}.
$$
Le terme de droite est une s\'erie trigonom\'etrique uniform\'ement convergente sur 
$\R$, c'est donc la s\'erie de Fourier de sa somme $u$.     


\item[I.B.6)] 
Si $z_0(t)=0$ alors  $z_{n}(t)=0$ pour tout $n\in \N$.\\
Si $z_0(t)\neq 0$ alors $\exists N\ge 1$ tel 
$z_n(t)\neq 0$ pour tout $0\le n \le N-1$.

D'apr\`es  I.A.2) et I.B.1)a), on a
$$
z_{n+1}(t)= z_n(t) \frac{(y_n(t)-x_{n}(t))^2-z_{n}(t)^2}
                        {(y_n(t)-x_{n}(t))^2+z_{n}(t)^2}=
z_n(t)\frac{\tan^2(2^n t)-1}{\tan^2(2^n t)+1}
= - z_n(t) \cos(2^{n+1} t).
$$
Ainsi
$$
\forall t\in ]0,\pi[  \quad 
z_{n+1}(t)= (-1)^{n+1}z_0(t) \dprod_{k=0}^n \cos(2^{k+1} t).
$$
En multipliant par $2^{n+1}\sin(2t)$ et en utilisant le fait que 
$2\cos u \sin u =\cos 2u$ et que $z_0(t)=$cotan$(t)$, on obtient
$$
z_{n+1}(t)= (-1)^{n+1} \frac{\sin(2^{n+2}t)}{2^{n+2}\sin^2(t)}.
$$
En particulier 
$z_{N}(t) = (-1)^{N} \dfrac{\sin(2^{N+1}t)}{2^{n+1}\sin^2(t)}$.\\
On a vu que si $z_{N}(t)=0$ alors $\cos(2^{N}t)=0$, ainsi 
$\sin(2^{n+1}t)=0$ pour tout $n\ge N$, la relation pr\'ec\'edente reste donc valable.

Finalement, on peut regrouper tous les cas en
$$
\forall n\ge 0, \; \forall t\in ]0,\pi[  \quad 
z_n(t)= (-1)^{n} \frac{\sin(2^{n+1}t)}{2^{n+1}\sin^2(t)}.
$$
Il en r\'esulte que $|z_n(t)| \le  \dfrac{1}{2^{n+1}\sin^2(t)}$ pour $t\in ]0,\pi[$.
Ainsi, la suite $z_n$ converge simplement vers $0$ sur $]0,\pi[$.

\end{enumerate}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section*{Partie II - Etude de quelques propri\'et\'es de la fonction $x$}


\begin{enumerate}
\item[{\bf II.A.}]  
On a \'etabli dans Partie I que 
$$
\forall t\in ]0,\pi[, \quad x(t)= 1+ \sum_{n=1}^{+\infty} (-1)^{n} 
\frac{\sin^2(2^{n}t)}{2^{n}\sin^2t}.
$$
Ainsi 
$$
x(\frac{\pi}{4}) =
1-\frac{\sin^2(\frac{\pi}{2})}{2\sin^2(\frac{\pi}{4})}=1-1=0 \quad 
\mbox{et} \quad x(\frac{\pi}{2}) =1.
$$
Si $n=2p+1$ alors 
$2^{2p+1}\frac{\pi}{3}=4^p\frac{2\pi}{3}\equiv\frac{2\pi}{3}(2\pi)$ et
si $n=2p>0$ alors 
$2^{2p}\frac{\pi}{3}=4^p\frac{\pi}{3}\equiv\frac{4\pi}{3}(2\pi)$
ainsi $\sin^2(2^{n}\frac{\pi}{3})=(\pm \frac{\sqrt{3}}{2})^2=\frac{3}{4}$.

Il en r\'esulte que 
$x(\dfrac{\pi}{3}) = 
1+\dsum_{n=1}^{+\infty} (-1)^{n} \dfrac{1}{2^n}= \dfrac{2}{3}. $

Pour $n\ge 1$, $t\in ]0,\pi[$, on a $\sin^2(2^{n}(\pi-t))=\sin^2(-2^{n}t)=
(-\sin(2^{n}t))^2=\sin^2(2^{n}(t))$, ainsi $x(\pi-t)=x(t)$ pour $t\in ]0,\pi[$. 

\medskip

\item[{\bf II.B.}] 

\item[II.B.1)] 
On pose pour $n\ge 0$, $t\in ]0,\pi[$,
$$
\varphi_n(t)=\sum_{k=1}^n (-1)^k 2^k \sin^2\left( \frac{t}{2^k}\right).
$$
Pour $n\ge 1$ et $t\in ]0,\pi[$ on a
$$
\forall t\in ]0,\pi[, \quad 
2^n u\left( \frac{t}{2^n}\right)= 
\sum_{k=0}^{+\infty} (-1)^k \frac{\sin^2( 2^{k-n}t)}{2^{k-n}}
   =\sum_{k=0}^{n-1} (-1)^k \frac{\sin^2( 2^{k-n}t)}{2^{k-n}}
+
\sum_{k=n}^{+\infty} (-1)^k \frac{\sin^2( 2^{k-n}t)}{2^{k-n}}
$$
Avec le changement d'indice $p=n-k$, on obtient
$$
\sum_{k=0}^{n-1} (-1)^k  \frac{\sin^2( 2^{k-n}t)}{2^{k-n}}
=(-1)^n\sum_{p=1}^{n} (-1)^{-p}  2^p \sin^2\left( \frac{t}{2^{p}}\right)
=(-1)^n \varphi_n(t).
$$
De m\^eme, avec le changement d'indice $p=k-n$, on obtient

$$
\sum_{k=n}^{+\infty} (-1)^k \frac{\sin^2( 2^{k-n}t)}{2^{k-n}}
=(-1)^n \sum_{p=0}^{+\infty} (-1)^p \frac{\sin^2(2^p t)}{2^p}
=(-1)^n u(t).
$$
Ainsi 
$$
\forall t\in ]0,\pi[, \quad 
2^n u\left( \frac{t}{2^n}\right)=(-1)^n ( u(t)+\varphi_n(t)).
$$

\item[II.B.2)] 
$\varphi_n(t)$ est une somme partielle de la s\'erie de terme g\'en\'eral 
$\psi_k(t)=(-1)^k 2^k \sin^2\left( \frac{t}{2^k}\right)$.
On a $|\psi_k(t)|\le \frac{t^2}{2^k}$ qui est le  terme g\'en\'eral d'une s\'erie 
g\'eom\'etrique convergente.
Ainsi la suite $(\varphi_n)$ converge simplement sur $]0,\pi[$ vers 
une fonction $\varphi$.

$\psi_k$ est de classe $C^1$ sur  $]0,\pi[$ avec
$\psi'_k(t)=(-1)^k \sin\left( \frac{t}{2^{k-1}}\right)$. 
 

On a $|\psi'_k(t)|\le \frac{t}{2^{k-1}} \le \frac{\pi}{2^{k-1}}$ pour tout 
$t\in ]0,\pi[$.

La s\'erie des d\'eriv\'ees $\sum_{k\ge 1} \psi'_k$ converge normalement donc 
uniform\'ement sur  $]0,\pi[$. Ainsi  $\varphi$ est de classe $C^1$  sur  
$]0,\pi[$ avec 
$\varphi'(t)= \dsum_{n=1}^{+\infty} (-1)^n \sin\left( \frac{t}{2^{n-1}}\right)$.
 
\medskip

\item[{\bf II.C.}]

\item[II.C.1)]  
On a
$$
\alpha_n =2^{-2n} x\left( \frac{\pi/4}{2^{2n}}\right)=
 \dfrac{2^{2n} u\left( \frac{\pi/4}{2^{2n}}\right)}
{2^{4n}\sin^2\left( \frac{\pi/4}{2^{2n}}\right)}=
 \dfrac{u(\pi/4)+ \varphi_{2n}(\pi/4)}
{2^{4n}\sin^2\left( \frac{\pi/4}{2^{2n}}\right)}.
$$

On a $u(\pi/4)=0$ d'apr\`es II.A.

On a  $\dfrac{1}
{2^{4n}\sin^2\left( \frac{\pi/4}{2^{2n}}\right)} 
\stackrel{n\mapsto +\infty}{\sim}  \left( \frac{4}{\pi}\right)^2$
et $\dlim_{n\mapsto +\infty}  \varphi_{2n}(\pi/4) = \varphi(\pi/4)$

Ainsi la suite $(\alpha_n)_n$ est convergente , de limite 
$\alpha=\left( \frac{4}{\pi}\right)^2 \varphi(\pi/4)$.

De m\^eme, on a
$$
\beta_n =2^{-(2n+1)} x\left( \frac{\pi/4}{2^{2n+1}}\right)=
 \dfrac{2^{2n+1} u\left( \frac{\pi/4}{2^{2n+1}}\right)}
{2^{2n+1}\sin^2\left( \frac{\pi/4}{2^{2n+1}}\right)}=
- \dfrac{u(\pi/4)+ \varphi_{2n+1}(\pi/4)}
{2^{4n+2}\sin^2\left( \frac{\pi/4}{2^{2n+1}}\right)}=
- \dfrac{\varphi_{2n+1}(\pi/4)}
{2^{4n+2}\sin^2\left( \frac{\pi/4}{2^{2n+1}}\right)}.
$$


On a  $\dfrac{1}
{2^{4n+2}\sin^2\left( \frac{\pi/4}{2^{2n+1}}\right)} 
\stackrel{n\mapsto +\infty}{\sim}  \left( \frac{4}{\pi}\right)^2$
et  $\dlim_{n\mapsto +\infty}  \varphi_{2n}(\pi/4) = \varphi(\pi/4)$

Ainsi la suite $(\beta_n)_n$ est convergente , de limite 
$\beta=-\alpha$.

Comme $\alpha$ est la somme d'une s\'erie, on calcule une valeur approch\'ee 
 \`a $10^{-3}$ pr\`es, \`a 
l'aide d'une somme partielle, en majorant un reste par  $10^{-3}$.

On a $\alpha=\left( \frac{4}{\pi}\right)^2 \dsum_{k=1}^{+\infty} (-2)^k
\sin^2\left( \dfrac{\pi}{4\times 2^k}\right)$ donc
$\left| \left( \frac{4}{\pi}\right)^2 \dsum_{k=n+1}^{+\infty} (-2)^k
\sin^2\left( \dfrac{\pi}{4\times 2^k}\right)\right| \le
\dsum_{k=n+1}^{+\infty} \dfrac{1}{ 2^k} = \dfrac{1}{ 2^n}$.

Il suffit de choisir $n=10$ pour obtenir, avec 
$\left( \frac{4}{\pi}\right)^2 \dsum_{k=1}^{10} (-2)^k
\sin^2\left( \dfrac{\pi}{4\times 2^k}\right)$ une valeur approch\'ee 
 \`a $10^{-3}$ pr\`es.
Le calcul machine donne $\alpha \simeq -0,311$.  

\item[II.C.2)] 
On a $x\left( \dfrac{\pi}{2^{2n}}\right)=\alpha_{n-1}2^{2n-2}$ avec 
$\dlim_{n\mapsto +\infty} \alpha_n =\alpha<0$ et 
$x\left( \dfrac{\pi}{2^{2n+1}}\right)=\beta_{n-1}2^{2n-1}$ avec 
$\dlim_{n\mapsto +\infty} \beta_n =\beta>0$. Il en 
r\'esulte que 
$\dlim_{n\mapsto +\infty} x\left( \frac{\pi}{2^{2n}}\right)=-\infty$ et 
 $\dlim_{n\mapsto +\infty} x\left( \frac{\pi}{2^{2n+1}}\right)=+\infty$.

Il existe donc un entier $n_0$, tel que  
$x\left( \frac{\pi}{2^{2n}}\right)<0$ et $x\left( \frac{\pi}{2^{2n+1}}\right)>0$
pour tout $n\ge n_0$.

La fonction est continue sur $]0,\pi[$, il existe donc, d'apr\`es le th\'eor\`eme des valeurs 
interm\'ediaires, $t_n\in]\dfrac{\pi}{2^{2n+1}},\dfrac{\pi}{2^{2n}}[$ tel que 
$x(t_n)=0$ pour tout $n\ge n_0$. 
 
Il existe donc une suite de nombres $t_n\in]0,\pi[$ convergeant vers $0$ telle 
que $x(t_n)=0$. 

\end{enumerate}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section*{Partie III:- S\'eries de Fourier lacunaires}

\begin{enumerate}
\item[{\bf III.A.}] 

\item[III.A.1)]
Pour $t\in ]-\pi,\pi[ \backslash \{0\}$, un calcul de somme g\'eom\'etrique donne
$$
D_N(t) = \dsum_{k=-N}^N e^{ikt}=e^{-iNt}\dsum_{k=0}^{2N} e^{ikt}=
e^{-iNt}\frac{1-e^{i(2N+1)t}}{1-e^{it}}=
\dfrac{\sin\left( N+\frac{1}{2}\right)t}
               {\sin\left( \frac{t}{2}\right)}.
$$      


\item[III.A.2)] 
La fonction $\dfrac{\sin\left( N+\frac{1}{2}\right)t}
               {\sin\left( \frac{t}{2}\right)}$ \'etant prolongeable par continuit\'e 
en $0$, on peut \'ecrire
$$
I_N = \dfrac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} D_N(t)^4  \, dt=
\dfrac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} \dfrac{\sin^4\left( N+\frac{1}{2}\right)t}
               {\sin^4\left( \frac{t}{2}\right)}\, dt.
$$ 
En utilisant l'in\'egalit\'e  $|\sin\left( \frac{t}{2}\right)| \le |\frac{t}{2}|$,
on obtient l'in\'egalit\'e demand\'ee
$$
I_N \ge \frac{8}{\pi} 
\int_{-\pi}^{\pi} \frac{\sin^4\left( N+\frac{1}{2}\right)t}{t^4} \, dt.
$$

Le changement de variable $\theta=\left( N+\frac{1}{2}\right)t$ donne
$$
I_N \ge \dfrac{8}{\pi} 
\dfrac{\left( N+\frac{1}{2}\right)^4}{N}
\dint_{-\left( N+\frac{1}{2}\right)\pi}^{\left( N+\frac{1}{2}\right)\pi} 
\dfrac{\sin^4\theta}{\theta^4} \, d\theta
\ge  \dfrac{8}{\pi}  N^3
\dint_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}
\dfrac{\sin^4\theta}{\theta^4} \, d\theta.
$$

En posant $C=\dfrac{8}{\pi} \dint_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}
\dfrac{\sin^4\theta}{\theta^4} \, d\theta$, on obtient une constante $C>0$ 
 telle que  $\forall N\ge 0, \; I_N \ge C N^3$.\\ 
On a $C>0$ car la fonction $\theta \mapsto \dfrac{\sin^4\theta}{\theta^4}$ 
est positive continue, non identiquement nulle sur $[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]$. 


\item[{\bf III.B.}]  

\item[III.B.1)]
Pour $n\ge 0$, $t\in \R$ on pose $v_n(t)=2a_n \cos 2^nt$ avec $a=(a_n)_{n\ge 0}$ 
une suite complexe telle que $\dsum_{n\ge 0} |a_n| <+\infty$.

Il en r\'esulte que  $\dsum_{n\ge 0} v_n$ est une s\'erie trigonom\'etrique convergeant 
normalement (donc 
simplement) sur $\R$ vers 
une  fonction $v \in C_{2\pi}$. C'est donc la s\'erie de Fourier de sa somme $v$. 


\item[III.B.2)]
On suppose d\'esormais que $v$ est d\'erivable en $t_0$. 

Soit $H_{n_0}(t)=e^{-i2^{n_0}(t+t_0)}[v(t+t_0)-v(t_0) \cos t - v'(t_0) \sin t]$.
pour $n_0 \ge 1$.

$H_{n_0} \in C_{2\pi}$ comme somme et produit de fonctions de  $C_{2\pi}$.

Un calcul imm\'ediat donne $H_{n_0}(0)=e^{-i2^{n_0}t_0}[v(t_0)-v(t_0)]=0$

Pour $t\neq 0$, on a 
$\dfrac{H_{n_0}(t)-H_{n_0}(0)}{t}=
e^{-i2^{n_0}(t+t_0)}[\dfrac{v(t+t_0)-v(t_0)}{t} +
v(t_0)\dfrac{1-\cos t}{t} - v'(t_0) \dfrac{\sin t}{t}]$.

En utilisant les r\'esultats   
$\dlim_{t\mapsto 0}\dfrac{v(t+t_0)-v(t_0)}{t}=v'(t_0)$,
$\dlim_{t\mapsto 0}\dfrac{1-\cos t}{t}=0$ et 
$\dlim_{t\mapsto 0}\dfrac{\sin t}{t}=1$, on obtient
$\dlim_{t\mapsto 0}\dfrac{H_{n_0}(t)-H_{n_0}(0)}{t}=
e^{-i2^{n_0}t_0}[v'(t_0)+0- v'(t_0)]=0$.

Ainsi  $H_{n_0}$ est d\'erivable en $0$ et $H'_{n_0}(0)=0$.

\item[III.B.3)]
Pour simplifier les calculs, on note 
$$H_{n_0}(t)= W(t)-Z(t)$$ 
o\`u $W(t)= v(t+t_0) e^{-i2^{n_0}(t+t_0)}$ 
et $Z(t)= (v(t_0) \cos t + v'(t_0) \sin t)e^{-i2^{n_0}(t+t_0)}$.

Par lin\'earit\'e, on a $\widehat{H_{n_0}}(k)=\widehat{W}(k)-\widehat{Z}(k)$  
pour tout $k\in \Z$.

$Z$ est le polyn\^ome trigonom\'etrique 
$$Z(t)= \left(\dfrac{v(t_0)}{2}+\dfrac{v'(t_0)}{2i}\right)e^{-i2^{n_0}t_0}
e^{i(1-2^{n_0})t}+
\left(\dfrac{v(t_0)}{2}-\dfrac{v'(t_0)}{2i}\right)e^{-i2^{n_0}t_0}
e^{-i(1+2^{n_0})t}$$
 ainsi   
$\widehat{Z}(1-2^{n_0})= 
\left(\dfrac{v(t_0)}{2}+ \dfrac{v'(t_0)}{2i}\right)e^{-i2^{n_0}t_0}$,
$\widehat{Z}(-1-2^{n_0})= 
\left(\dfrac{v(t_0)}{2}-\dfrac{v'(t_0)}{2i}\right)e^{-i2^{n_0}t_0}$
et les autres $\widehat{Z}(k)$ sont nuls, en particulier $\widehat{Z}(0)=0$.

\medskip
On a $\widehat{W}(0)=
\dfrac{1}{2\pi} \dint_{-\pi}^{\pi} v(t+t_0) e^{-i2^{n_0}(t+t_0)} \, dt$.

Le changement de variable $\theta=t+t_0$ et la $2\pi$-p\'eriodicit\'e donnent
successivement
\begin{eqnarray*}
\widehat{W}(0) & = &
\dfrac{1}{2\pi} \dint_{-\pi+t_0}^{\pi+t_0} v(\theta) e^{-i2^{n_0}\theta} \, d\theta \\
    & = &
 \dfrac{1}{2\pi} \dint_{-\pi}^{\pi} v(\theta) e^{-i2^{n_0}\theta} \, d\theta \\
  & = & \widehat{v}(2^{n_0}) = a_{n_0}
\end{eqnarray*}

Ainsi $\widehat{H_{n_0}}(0)=a_{n_0}$.

\medskip
Pr\'ecisons les autres coefficients de Fourier de la fonction $W:t\mapsto  e^{-i2^{n_0}(t+t_0)}v(t+t_0)$.

Ils apparaissent dans l'\'ecriture suivante
$$
W(t)= 
e^{-i2^{n_0}(t+t_0)}\dsum_{n\ge 0} a_n e^{i2^n(t+t_0)}+  a_n e^{-i2^n(t+t_0)}
=\dsum_{n\ge 0} a_n e^{i(2^n-2^{n_0})(t+t_0)}+
 \dsum_{n\ge 0} a_n e^{-i(2^n+2^{n_0})(t+t_0)} .
$$ 

Le plus petit $k>0$ tel que $\widehat{W}(k)$ puisse \^etre non nul provient de 
$n={n_0}+1$ dans la premi\`ere somme, c'est donc $k=2^{{n_0}+1}-2^{n_0} = 2^{n_0}$.

Le plus grand $k<0$ tel que $\widehat{Wk}(k)$ puisse \^etre non nul provient de 
$n={n_0}-1$ dans la premi\`ere somme (tous les $k$ de la seconde somme sont des 
n\'egatifs plus petits que ceux de la premi\`ere somme), c'est donc 
$k=2^{{n_0}-1}-2^{n_0} = -2^{n_0-1}$.

Ainsi $\widehat{W}(k)=0$ pour 
$k \in \Z^* \bigcap [-2^{n_0-1}+1,2^{n_0}-1]$.

Comme $\widehat{Z}(k)$ ne peut \^etre non nul que pour les entiers $k=1-2^{n_0}$ et 
$k=-1-2^{n_0}$, ext\'erieurs \`a l'intervalle $[-2^{n_0-1}+1,2^{n_0}-1]$,  il en 
r\'esulte que $\widehat{H_{n_0}}(k)=0$ pour 
$k \in \Z^* \bigcap [-2^{n_0-1}+1,2^{n_0}-1]$.

\medskip

\item[{\bf III.C.}]
On suppose d\'esormais $n_0\ge 6$. Soit $N=2^{n_0-4}$ et 
$g_N(t)=I_N^{-1}D_N(t)^4$.

\item[III.C.1)] 
On a $D_N(t) = \dsum_{j=-N}^N e^{ijt}$ donc le calcul de la puissance $4$ donne

$g_N(t)=\dsum_{j=-4N}^{4N} \alpha_j e^{ijt}$ o\`u $\alpha_j\in \C$ pour  
$j \in [-4N,4N]$.

En particulier $\alpha_0 = \dfrac{1}{2\pi} \dint_{-\pi}^{\pi} g_N(t)  \, dt
= \dfrac{1}{2\pi I_N} \dint_{-\pi}^{\pi} D_N(t)^4  \, dt= \dfrac{I_N}{I_N}=1$.

\item[III.C.2)] 
Le calcul donne
$$\dint_{-\pi}^{\pi} H_{n_0}(t) g_N(t) \, dt=
 \dsum_{j=-N}^N  \dint_{-\pi}^{\pi} \alpha_j H_{n_0}(t) e^{ijt} \, dt =
\dsum_{j=-N}^N  \alpha_j  2 \pi \widehat{H_{n_0}}(-j).$$ 

Pour $n_0\ge 6$, on a $4N=2^{n_0-2} \le 2^{n_0}-1$ et
$-4N=-2^{n_0-2} \ge -2^{n_0-1}+1$. 
Il en r\'esulte, d'apr\`es III.B.3),    
$$
\dint_{-\pi}^{\pi} H_{n_0}(t) g_N(t) \, dt =  
\alpha_0  2 \pi \widehat{H_{n_0}}(0) = 2 \pi a_{n_0}.
$$

\medskip

\item[{\bf III.D.}]  
On pose $K(t)=\left| \dfrac{ H_{n_0}(t)}{t} \right|$ si 
$t\in[-\pi,\pi] \backslash \{0\}$, $K(t)=0$ si $t=0$ ou $|t|>\pi$.\\
Comme $|H_{n_0}(t)|=|v(t+t_0)-v(t_0) \cos t - v'(t_0)|$, on constate que la 
fonction $K$ ne d\'epend pas de $n_0$.

\item[III.D.1)]
$\dfrac{ H_{n_0}(t)}{t}$ est une fonction continue sur  $[-\pi,\pi] \backslash \{0\}$ 
et  $K(t)=\left| \dfrac{ H_{n_0}(t)- H_{n_0}(0)}{t} \right| \rightarrow
\left| H'_{n_0}(0) \right| =0$ lorsque $t$ tend vers $0$.Ainsi
$$
\lim_{t\mapsto 0}K(t)=0.
$$
$K$ se prolonge donc par continuit\'e sur $[-\pi,\pi]$, elle donc born\'ee sur 
$[-\pi,\pi]$,  et donc sur $\R$ (puisque nulle \`a l'ext\'erieur de $[-\pi,\pi]$). 

\item[III.D.2)]
D'apr\`es III.C.2), on a  
$$
2^{n_0}|a_{n_0}|= \frac{8N}{\pi} 
\left| \int_{-\pi}^{\pi} H_{n_0}(t) g_N(t) \, dt \right|.
$$
En exprimant $g_N(t)$, on obtient
$$
2^{n_0}|a_{n_0}| \le  \frac{8N}{\pi I_N} 
\int_{-\pi}^{\pi} \left| H_{n_0}(t)\right| D_N^4(t) \, dt.
$$
$$
2^{n_0}|a_{n_0}| \le  \frac{8N}{\pi I_N} 
\int_{-\pi}^{\pi} K(t)  |t| \dfrac{\sin^4\left( N+\frac{1}{2}\right)t}
               {\sin^4\left( \frac{t}{2}\right)} \, dt.
$$
Par convexit\'e, on a $|\sin \theta| \ge \frac{2}{\pi} |\theta|$ pour 
$\theta \in [-\pi/2,\pi/2]$, ainsi   
$$
2^{n_0}|a_{n_0}| \le  \frac{8N \pi^3}{I_N} 
\int_{-\pi}^{\pi} K(t)  \dfrac{\sin^4\left( N+\frac{1}{2}\right)t}
               {|t|^3} \, dt.
$$
On effectue le changement de variable $\theta=\left( N+\frac{1}{2}\right)t$
$$
2^{n_0}|a_{n_0}| \le  \frac{8N \pi^3 \left( N+\frac{1}{2}\right)^2}{I_N} 
\int_{-\pi\left( N+\frac{1}{2}\right)}^{\pi\left( N+\frac{1}{2}\right)} 
K\left( \frac{\theta}{N+\frac{1}{2}}\right)  \dfrac{\sin^4\theta}
               {|\theta|^3} \, d\theta.
$$
Finalement, on minore $I_N$ d'apr\`es III.A.2)  
$$
2^{n_0}|a_{n_0}| \le  \frac{8 \pi^3 \left( N+\frac{1}{2}\right)^2}{CN^2} 
\int_{-\pi\left( N+\frac{1}{2}\right)}^{\pi\left( N+\frac{1}{2}\right)} 
K\left( \frac{\theta}{N+\frac{1}{2}}\right)  \dfrac{\sin^4\theta}
                 {|\theta|^3} \, d\theta.
$$
Notons $f_{n_0}$ la fonction positive d\'efinie sur $\R$ par 
$f_{n_0}(t)=K\left( \dfrac{t}{N+\frac{1}{2}}\right)  \dfrac{\sin^4t}{|t|^3}$.
La fonction $\Psi:t \mapsto \dsup_{\theta\in \R^+}|K(\theta)|\dfrac{\sin^4t}{|t|^3}$
est int\'egrable sur  $\R$ et domine chacune des fonctions  $f_{n_0}$.
Ainsi 
$$
2^{n_0}|a_{n_0}| \le  \frac{8 \pi^3 \left( N+\frac{1}{2}\right)^2}{CN^2} 
\int_{-\infty}^{\infty} 
K\left( \frac{\theta}{N+\frac{1}{2}}\right)  \dfrac{\sin^4\theta}
                 {|\theta|^3} \, d\theta.
$$

D'apr\`es le choix des $n_0$, on a $\left( 1+\frac{1}{N}\right)^2 \le \dfrac{25}{16}$ .
Il suffit alors de consid\'erer $C'= \frac{25 \pi^3}{2C}>0$, pour obtenir 
$$
2^{n_0}|a_{n_0}| \le C' \int_{-\infty}^{+\infty} 
K\left( \frac{t}{N+\frac{1}{2}}\right)  \frac{\sin^4t}{|t|^3} \, dt.
$$

\item[III.D.3)]
D'apr\`es III.D.1), on a $\dlim_{n_0 \rightarrow +\infty}K\left( \frac{t}{N+\frac{1}{2}}\right)= 
0$. Ainsi la suite de fonctions $f_{n_0}$ converge simplement sur $\R$ vers 
la fonction $0$.\\   
La majoration de la suite de fonctions  $(f_{n_0})$, permet d'utiliser le 
th\'eor\`eme de convergence domin\'ee. Il en r\'esulte que  
$\dlim_{n_0 \rightarrow +\infty} 2^{n_0}a_{n_0}=0$.
\end{enumerate}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section*{Partie IV -}
Si la fonction $x$ est d\'erivable en un point $t_0\in]0,\pi[$, alors $u$ est 
\'egalement d\'erivable en $t_0$.\\
On a, d'apr\`es I.B.5), 
$u(t)=\dfrac{1}{3} + \dsum_{n=1}^{+\infty} (-1)^{n} \dfrac{\cos(2^{n}t)}{2^{n}}$.\\
$u$ est donc une s\'erie de Fourier lacunaire avec 
$a_0=\dfrac{1}{6}$ et $a_n=\dfrac{(-1)^{n}}{2^{n+1}}$ pour $n\ge 1$.\\
$2^na_n=\frac{(-1)^{n}}{2}$ n'est pas le terme d'une suite convergente, ce qui 
contredit le r\'esultat [III.D.3).\\
Ainsi la fonction $x$ n'est d\'erivable en aucun point de $]0,\pi[$.

\bigskip
\bigskip
\centerline{-------------- FIN -----------------}
\end{document}
