%           ------------------------------------------
%                  CENTRALE  2002     TSI  1        
%           ------------------------------------------
%Correction r\'edig\'ee par REY louis   Lyc\'ee Branly LYON 5e
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%                  Macros Math\'ematiques.
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\centerline{\bf PARTIE\quad\uppercase\expandafter{\romannumeral\the\pno}}
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\catcode`\@=11\font\@upstt=cmtt10\footline={\@upstt\hfil\jobname.tex\ - page
\the\count0\ifodd\count0\hfill\fi}\catcode64=\active\ifx\numerodepage\undefined
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\def\rem#1{{\noindent\bf Remarque : }{\it #1}\smallskip}
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\def\question{\alno=0\advance\qno by1\medbreak
\noindent{\hskip -9truemm\bf \numpart.\tenbf\char\qno .}}
\def\alinea{\advance\alno by1
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{\tenbf\the\alno}{\sevenrm )}}
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\titre{CENTRALE\quad  2002\quad  TSI\quad  --\quad   MATHEMATIQUES\quad  1}
%
\bigskip
%
\partie\qno=64
%
\question\alinea\qquad 
On pose : $\te\ =\ \acos x$
 
Pour calculer $\cos(n\te)$ on utilise la formule de Moivre :

$$\cos(n\te)\ =\ 
\Sum_{k=0\ ,\ 2k\<=n}\cnp_n^{2k} \cos^{n-2k}(\te)\,\sin^{2k}(\te)
\ =\ \Sum_{k=0\ ,\ 2k\<=n}\cnp_n^{2k} \cos^{n-2k}(\te)\,(1-\cos^{2}(\te))^k$$
avec $\sin^2\te\ =\ 1\ -\ \cos^2\te$

$\cos(n\te)$ est un polyn\^ome de degr\'e $n$ en $\cos\te$ 
donc $f_n$ est un polyn\^ome de degr\'e $n$ en $x$
%
\alinea\qquad
De la question pr\'ec\'edente on obtient :
 
$a_n\ =\ \fr1/{2^{n-1}}\Sum_{k=0\ ,\ 2k\<=n}\cnp_n^{2k}\ =
\ \fr1/{2^{n-1}}\enc{(\fr(1+1)^n-(1-1)^n/2})\ =\ 1$
%
\alinea\qquad
$$\matrix{T_1(X)\ =&\ X\ \cr 
T_2(X)\ =&\ X^2\ -\ \fr1/2 \cr
T_3(X)\ =&\ X^3\ -\ \fr3/4X \cr
T_4(X)\ =&\ x^4\ -\ X^2\ +\ \fr1/8 \cr
}$$ 
%
\alinea\qquad
Formule de trigonom\'etrie :
$$P_{n+1}(X)\ +\ P_{n-1}(X)\ =\ \cos((n+1)\te)\ +\ \cos((n-1)\te) 
\ =\ 2\cos(n\te)\,\cos\te\ =\ 2\,X\,P_n(X)$$
%
\alinea\qquad 
Pour : $\va X\  \<=\ 1$\qquad  on pose toujours : $\te\ =\ \acos X$ 
\quad ou\quad $X\ =\ \cos\te\qquad \te\in[0,\pi]$

$P_n(X)\ =\ \cos(n\te)\ =\ 0$ donne : $\te\ =\ \fr-\pi+2k\pi/{2n}$

soit n valeurs distinctes de $X$ pour $k\ =\ 1 .. n$ 

Ce sont donc toutes les racines
de $P_n$ polyn\^ome de degr\'e $n$ et ce sont des racines simples. 
%
\alinea\qquad 
Sous la forme : $f_n(x)\ =\ T_n(x)\ =\ \fr1/{2^{n-1}}\cos(n\te)$, les extr\'ema absolu 
sont $\fr1/{2^{n-1}}$ et $\fr-1/{2^{n-1}}$ et sont atteint pour : 
$\te\ =\ \fr2k\pi/{2n}$ distinctes pour $k\ =\ 0 .. n$
%
\alinea\qquad 
Avec la formule : $P_n\ =\ -P_{n-2}\ +\ 2XP_{n-1}$ \`a partir de 
$P_1\ =\ X$ et $P_2\ =\ 2X^2\ -\ 1$

{\bf maple}

{\ttty restart : n := 10 ;

f[1] := x :

f[2] := x$^2$-1 :

if n>2 then 

for k from 3 to n do

f[k] := collect(2*x*f[k-1]-f[k-2],x) ; 

od ;
fi ;

seq(f[k],k=1..n) ;}{%
}

$n := 10$

$\matrix{ x \cr \,x^{2} - 1\cr \,2\,x^{3} - 3\,x \cr 
\,4\,x^{4} - 7\,x^{2} + 1\cr\,8\,x^{5} - 16\,x^{3} + 5\,x\cr
\,16\,x^{6} - 36\,x^{4} + 17\,x^{2} - 1\cr  
 32\,x^{7} - 80\,x^{5} + 50\,x^{3} - 7\,x\cr 
\,64\,x^{8} - 176\,x^{6} + 136\,x^{4} - 31\,x^{2} + 1\cr
\, 128\,x^{9} - 384\,x^{7} + 352\,x^{5} - 112\,x^{3} + 9\,x\cr 
\,256\,x^{10} - 832\,x^{8} + 880\,x^{6} - 360\,x^{4} + 49\,x^{2} - 1\cr}$
%
\eject
\question\alinea\qquad 
\input epsf
\hskip10mm
\qquad\epsfysize=80mm  
\epsffile{m02ct1fa.eps}
\medskip
%
\alinea\qquad 
$T_n$ et $P$ \'etant unitaires $T_n\ -\ P$ est donc de degr\'e $< n $

Pour les valeurs $y_k$ des extrema de $f_n$ on constate que $(T_n-P)(y_k)$ 
est positif pour un maximum et n\'egatif pour un minimum donc $P_n$ 
poss\`ede au moins $n$ racines distinctes, ce qui est impossible. 
%
\alinea\qquad 
Fin du raisonnement par l'absurde : on d\'eduit de la question
pr\'ec\'edente : $\dst\sup_{-1\<=x\<=1}\ \va{P(x)}\ \>= \fr 1/{2^n-1}$

d'o\`u le r\'esultat.
%
\alinea\qquad 
Int\'egrale g\'en\'eralis\'ee \`a \'etudier aux bornes en distinguant si $f(1)$ et 
$f(-1)$ sont nuls ou pas.

Pour 1, Si $f(1)\not=0\ :\quad f(x)\sim\fr f(1)/{\rac2(1-x)^{1/2}}$
et l'int\'egrale converge en 1 (r\`egle de Riemann)

Si $f(1)=0,$ sur un voisinage de 1 $\va{f(x)}\ \<=\ \fr1/{\rac2(1-x)^{1/2}}$ et l'int\'egrale converge 
encore en 1.

M\^eme \'etude en -1.  
\alinea a)\qquad
On reconnait une forme bilin\'eaire sym\'etrique d\'efinie positive 

(propri\'et\'e de l'int\'egrale d'une fonction continue positive)
\advance\alno by-1 
\alinea b)\qquad  

$(h_n,h_m)=\Int_{-1}^1\fr2/{\pi}\fr P_n(x).P_m(x)\d x/{\rac{1-x^2}} =
 \Int_0^\pi\fr2/{\pi}\cos(n\te).\cos(m\te)\d\te =
 \fr1/\pi\Int_0^\pi\enc{(cos((n+m)\te) + \cos((n-m)\te)})\d\te = \de_{mn}$

%
\partie\qno=64
%
\question\alinea\qquad

$d(A,B)\ =\ \rac{(x_B -x_A)^2\ +\ (y_B-y_A)^2}$ est continue sur $E\times E$ 

$E$ est inclus dans un rectangle de $\R^2$, la longueur de la diagonale de 
ce rectangle est un majorant de $d(A,B)$ et de $d(A,B,C)$ donc $d_2$ 
et $d_3$ existent. 
\alinea\qquad 
quelque soit $A,B,C\qquad d(A,B,C)$ est major\'e par $d_2$ donc $d_3\ \<=\ d_3$
comme plus petit des majorants.
%
\alinea\qquad 
$\dst d_3\ \<=\ \sup_{(A,B)\,\in\,E^2}\enc{(\sup_{C\,\in\,E}d(A,B,C)})$
 
$d$ \'etant une fonction continue sur $E$ ferm\'e et born\'e $d$ atteint ses bornes.

Donc  :$\dst\ \exists C_{A,B}\  /\ \sup_{c\,\in\, E}d(A,B,C)\ =\ d(A,B,C_{A,B})
\ \<=d_3$

%
\question\qquad
Pour $C$ fix\'e le $\sup$ est atteint pour $A$ et $B$ aux bornes de l'intervalle.

$x$ \'etant l'abscisse de $C$ : $d(A,B,C)\ =\ [a.(x-x_a)(a-x+x_a)]^{1/3}$

l'\'etude de la fonction donne : $d_3\ =\ \enc{(\fr a^3/4})^{1/3}$
%
\question\alinea\qquad 
Etude d'un triangle isoc\`ele : $AB\ =\ 2R\sin\fr\g-\be/2$.
%
\alinea\qquad 
Soit $\psi(\be)\ =\ \sin\fr\be-\a/2\sin\fr\g-\be/2$
$$\psi'(\be)\ =\ \fr1/4\enc{(\cos\fr\be-\a/2\sin\fr\g-\be/2-\sin\fr\be-\a/2\cos\fr\g-\be/2})
\ =\ \fr1/4\sin\enc{(\fr2\be-\a-\g/2})$$
d'o\`u un maximun pour : $\be\ =\ \fr\a+\g/2$ sur $[\a,\g]$. 
%
\alinea\qquad 
Il reste \`a \'etudier l'extr\'emum de 
$g(\a,\g)\ =\ \sin\fr\g-\a/2\sin^2\fr\g-\a/4\ =
\ 2\cos\fr\g-\a/4\sin^3\fr\g-\a/4$ 

on obtient $2\phy(t)$ en posant $t\ =\sin\fr\g-\a/4$
$$\phy'(t)\ =\ \fr t^2(3-4t^2)/{\rac{1-t^2}}$$
donne un maximum pour : $t\ =\ \fr\rac3/2$ 
\alinea\qquad 
$$d_3\ =\ \enc{(16R^3\phy\enc{(\fr\rac3/2})})\ =\ \rac3.R$$
%
\partie\qno=64
%
\question\alinea\qquad 
$D$ est une fonction continue de $E^{n+1}$ ferm\'e born\'e $\fld \R$  donc elle 
atteint ses bornes.

\rem{question hors programme} 
%
\alinea\qquad 
Pour les valeurs de la question pr\'ec\'edente :
$$D_{n+1}\ =\ \prod_{1\<=i<j\<=n+1}\va{x_j-x_i}\ =\ 
\enc{(\prod_{2\<=j\<=n+1}\va{x_j-x_1}})
\enc{(\prod_{2\<=i<j\<=n+1}\va{x_j-x_i}})\ \<=\ 
\enc{(\prod_{2\<=j\<=n+1}\va{x_j-x_1}})\,D_{n}$$
%
\alinea\qquad
Cette formule \'ecrite pour $i=1$ peut se g\'en\'eraliser pour chaque valeur de $i$.
En faisant le produit de ces formules, on obtient :
$$D_{n+1}^{n+1}\ \<=\ 
\enc{(\prod_{1\<=i\<=n+1}\enc{(\prod_{{1\<=j\<=n+1}\above0pt{i\not=j}}\va{x_j-x_i}})})\,D_n^{n+1}\ \<=\ 
D_{n}^{n+1}\,D_{n+1}^2$$
puique dans le produit figure deux fois les facteurs de $D_{n+1}$.

Apr\`es simplification : $D_{n+1}^{n-1}\ \<=\ D_n^{n+1}$
%
\alinea\qquad 
$d_n$ est une suite positive, calculons 
$$\fr d_{n+1}/{d_n}\ =\ \fr D_{n+1}^{\fr2/{n(n+1)}}/{D_n^{\fr2/{n(n-1}}}
\ =\ \enc{(\fr D_{n+1}^{n-1}/{D_n^{n+1}}})^{\fr2/{n(n-1)(n+1)}}\ \<=\ 1$$
La suite est d\'ecroissante minor\'ee, elle est donc convergente.
%
\question\alinea\qquad 
$\mu(P)\ \>=\ \fr1/{2^{n-1}}$ valeur atteinte pour $T_n$
donc $\mu_n\ =\ \fr1/{2^{n-1}}$ et $m_n\ =\ \fr1/{2^{\fr n-1/n}}\ =\ \fr1/22^{\fr1/n}$
%
\alinea\qquad
$\dst\lim_{n\fld\pinf}2^{\fr1/n}\ =\ \lim_{n\fld\pinf}e^{\fr1/n\ln2}\ =\ 1$

Donc : $m\ =\ \fr1/2$
% 
\alinea\qquad 

$\bullet$\qquad cas $l\ =\ 0$\qquad
En \'ecrivant la d\'efinition de la limite : 
$\qqs\e\ \exists n_o\,/\,\qqs\ n>n_o\ \va{u_n}<\e$

$\fr u_1\ \dots\ n\,u_n/{n(n+1)}\ =
\ \fr u_1\ \dots\ n_o\,u_{n_o}/{n(n+1)}\ +
\ \fr (n_o+1)u_{n_o+1}\ \dots\ n\,u_n/{n(n+1)}$

avec : $\va{\fr (n_o+1)u_{n_o+1}\ \dots\ n\,u_n/{n(n+1)}}
\ \<=\ \va{\fr 1+\dots n_o+(n_o+1)\ \dots\ n/{n(n+1)}}\e
\ \<=\ \fr\e/2$

$\bullet$\qquad cas $l\ \not=\ 0$\qquad On pose : $v_n\ =\ u_n\ -\ l$

$\fr u_1\ \dots\ n\,u_n/{n(n+1)}\ =\ \fr v_1\ \dots\ n\,v_n/{n(n+1)}
\ +\ \fr l/2$ converge vers $\fr l/2$
%
\question\alinea\qquad 
Propri\'et\'es des d\'eterminants :
D\'eveloppement par rapport \`a une ligne puis antisym\'etrie.
%
\alinea\qquad 
A partir de {\bf III.A.2)} et par d\'eveloppement du d\'eterminant par rapport 
\`a la derni\`ere ligne, pour tout $P\in{\cal P}_n$ et pour les coefficient 
 de {\bf III.A.1)}

$$D_{n+1}\ =\ \va{V(\l_1\ \dots\ \l_{n+1}}\ \<=\ 
\Sum_{i=1}^{n+1}\va{P(\l_i)}.
\va{V_{i_j\not=i}(\l_{i_1},\ \dots\ ,\l{i_j},\ \dots\ ,\l_{i_n})}$$
$$D_{n+1}\ =\ (n+1)\,\mu(P)\,D_n$$
En prenant : $P\ =\ T_n$ on retrouve : $\mu(T_n)\ =\ \mu_n$ donc :
$$D_{n+1}\ =\ (n+1)\,\mu_n\,D_n$$
$$\hbox{\rm Soit\ avec\ les\ d\'efinitions\ :\qquad}
d_{n+1}^{\fr n(n+1)/2}\ \<=\ (n+1)\ d_n^{\fr n(n-1)/2}\,m_n^{\ n}$$
%
\alinea\qquad 
Avec ce polyn\^ome, dans le d\'eterminant de {\bf III.C.1)} : 
$P(x_1)\ =\ \dots\ =\ P(x_n)\ =\ 0$ et son d\'eveloppement par 
rapport \`a la derni\`ere ligne se r\'eduit \`a : 
$V(x_1,\dots,x_n,x)\ =\ P(x)\,V(x_1,\dots,x_n)$\ sioit :
$$\qqs(x_1,\dots,x_n)\ \in\ E^n\qquad x_n+1\hbox{\rm\ \'etant\ tel\ que\ :\ }
\mu(P)\ =\ P(x_{n+1})   \qquad
D_{n+1}\ >=\ \va{V(x_1,\dots,x_{n+1})}\ =\mu(P).\va{V(x_1,\dots,x_n)}$$
$$D_{n+1}\ >=\ \mu_n.\va{V(x_1,\dots,x_n)}$$
$${\rm Donc\qquad} D_{n+1}\ >=\ \mu_n.D_n$$
$$\hbox{\rm Soit\ avec\ les\ d\'efinitions\ :\qquad}
d_{n+1}^{\fr n(n+1)/2}\ \>=\ \ d_n^{\fr n(n-1)/2}\,m_n^{\ n}$$
%
\alinea\qquad 
On d\'eduit du r\'esultat pr\'ec\'edent (relation entre nombres positifs):
$$m_n\ \<=\ d_{n+1}.\enc{(\fr d_{n+1}/{d_n}})^{\fr n-1/2}$$
On a d\'emontr\'e que la suite $(d_n)$ est d\'ecroissante d'o\`u le r\'esultat.

Par passage \`a la limite : $\ m\ \<=\ d$
%
\alinea\qquad 
on a :\qquad $d_2\ =\ 2$

Ecrivons le logarithme de {\bf III.C.2)} pour un indice $p\qquad 2\<=p\<=n$
$$\fr p(p+1)/2\ln(d_{p+1})\ \<=\ \fr p(p-1)/2\ln(d_p)\ +\ p\ln (m_p)
\ +\ \ln(p+1)$$
soit en sommant :
$$\Sum_2^n\fr p(p+1)/2\ln(d_{p+1})\ =\ \Sum_3^{n+1}\fr p(p-1)/2\ln(d_p)\  
<=\ \Sum_2^n\fr p(p-1)/2\ln(d_p)\ +\ \Sum_2^np\ln (m_p)
\ +\ \Sum_2^n\ln(p+1)$$
$$\fr n(n+1)/2\ln(d_{n+1}) \ \<=\ \ln(d_2)\ +\ \Sum_2^n p\ln (m_p)
\ +\ \Sum_2^n\ln(p+1)$$
$$)\fr1/2\ln(d_{n+1})\ \<=\ \fr\ln(2)/{n(n+1)}\ +\ \fr1/{n(n+1)}\Sum_2^n p\ln (m_p)
\ +\ \fr1/{n(n+1)}\Sum_2^n\ln(p+1)$$
On utilise  {\bf III.B.3)} et on v\'erifie :
$ 0\ \<=\ \fr1/{n(n+1)}\Sum_2^n\ln(p+1)\ \<=\ \fr\ln(n+1)/{n+1}$
pour faire le passage \`a la limite :
$$\fr1/2\ln(d)\ \<=\ \fr1/2\ln(m)_ +\ 0$$
$${\rm soit}\qquad d\ \<=\ m$$
Les deux in\'egalit\'es prouve : $m\ =\ d\ =\ \fr1/2$
%\
\Trait
\end




