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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\usepackage{sw20balk}

%TCIDATA{TCIstyle=article/art1.lat,balk,mathart1}

%TCIDATA{Created=Wed May 13 17:52:32 1998}
%TCIDATA{LastRevised=Thu Jun 27 15:17:05 2002}

\input{tcilatex}
\begin{document}


\begin{center}
\textbf{Centrale TSI 2002 - Math\'{e}matiques 1}

$\Delta \Delta \Delta \Delta \Delta $
\end{center}

\underline{\textbf{Partie I}}

I.A.1. Posons $\theta =\arccos \left( x\right) \Leftrightarrow \left\{ 
\begin{array}{l}
x=\cos \left( \theta \right) \\ 
\theta \in \left[ 0,\pi \right]
\end{array}
\right. $

$\forall x\in \left[ -1,1\right] ,$ $f_{n}\left( x\right) =\dfrac{1}{2^{n-1}}%
\left( \func{Re}\left( \cos \left( \theta \right) +i\sin \left( \theta
\right) \right) ^{n}\right) $

$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\dfrac{1}{2^{n-1}}\func{Re}%
\left( \sum\limits_{k=0}^{n}C_{n}^{k}\cos ^{n-k}\left( \theta \right)
i^{k}\sin \left( \theta \right) ^{k}\right) $

$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\dfrac{1}{2^{n-1}}\left(
\sum\limits_{0\leq 2k\leq n}C_{n}^{2k}\cos ^{n-2k}\left( \theta \right)
\left( -1\right) ^{k}\sin \left( \theta \right) ^{2k}\right) $

$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\dfrac{1}{2^{n-1}}\left(
\sum\limits_{0\leq 2k\leq n}C_{n}^{2k}\cos ^{n-2k}\left( \theta \right)
\left( -1\right) ^{k}\left( 1-\cos ^{2}\left( \theta \right) \right)
^{k}\right) $

$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\dfrac{1}{2^{n-1}}\left(
\sum\limits_{0\leq 2k\leq n}C_{n}^{2k}x^{n-2k}\left( x^{2}-1\right)
^{k}\right) .$ Donc :

\underline{$f_{n}$ est une application polyn\^{o}miale \`{a} coefficients
r\'{e}els}. C'est une somme de termes de degr\'{e} $n$ et son coefficient
dominant est $\dfrac{\sum\limits_{0\leq 2k\leq n}C_{n}^{2k}}{2^{n-1}}\neq 0,$
donc $f_{n}$ est de degr\'{e} $n.$

\medskip

I.A.2. D'apr\`{e}s ce qui pr\'{e}c\`{e}de, $T_{n}=\dfrac{1}{2^{n-1}}\left(
\sum\limits_{0\leq 2k\leq n}C_{n}^{2k}X^{n-2k}\left( X^{2}-1\right)
^{k}\right) $ et $P_{n}=\sum\limits_{0\leq 2k\leq n}C_{n}^{2k}X^{n-2k}\left(
X^{2}-1\right) ^{k}$

Le coefficient dominant de $T_{n}$ est d'apr\`{e}s la question
pr\'{e}c\'{e}dente, $\dfrac{\sum\limits_{0\leq 2k\leq n}C_{n}^{2k}}{2^{n-1}}%
. $

Or $\left\{ 
\begin{array}{l}
\left( 1+1\right) ^{n}=\sum\limits_{k=0}^{n}C_{n}^{k} \\ 
\left( 1-1\right) ^{n}=\sum\limits_{k=0}^{n}C_{n}^{k}\left( -1\right) ^{k}
\end{array}
\right. .$ En additionnnant membre \`{a} membre, on obtient $%
\sum\limits_{0\leq 2k\leq n}C_{n}^{2k}=2^{n-1}$ et :

\[
\frame{$T_{n}=X^{n}+R_{n}$ avec $d{{}^\circ}R_{n}\leq n-1.$} 
\]

\medskip

I.A.3. $T_{1}=\sum\limits_{0\leq 2k\leq 1}C_{1}^{2k}x^{1-2k}\left(
x^{2}-1\right) ^{k}\Rightarrow $%
\[
\frame{$T_{1}=X$} 
\]

$T_{2}=\dfrac{1}{2}\left( \sum\limits_{0\leq 2k\leq
2}C_{2}^{2k}x^{2-2k}\left( x^{2}-1\right) ^{k}\right) =\dfrac{1}{2}\left(
X^{2}+X^{2}-1\right) \Rightarrow $

\[
\frame{$T_{2}=X^{2}-\dfrac{1}{2}$} 
\]

$T_{3}=\dfrac{1}{2^{2}}\left( \sum\limits_{0\leq 2k\leq
3}C_{3}^{2k}x^{3-2k}\left( x^{2}-1\right) ^{k}\right) =\dfrac{1}{4}\left(
X^{3}+3X\left( X^{2}-1\right) \right) \Rightarrow $

\[
\frame{$T_{3}=X^{3}-\dfrac{3}{4}X$} 
\]

$T_{4}=\dfrac{1}{2^{3}}\left( \sum\limits_{0\leq 2k\leq
4}C_{4}^{2k}x^{4-2k}\left( x^{2}-1\right) ^{k}\right) =\dfrac{1}{8}\left(
X^{4}+6X^{2}\left( X^{2}-1\right) +\left( X^{2}-1\right) ^{2}\right)
\Rightarrow $

\[
\frame{$T_{4}=X^{4}-X^{2}+\dfrac{1}{8}$} 
\]

\medskip

I.A.4. $\forall n\in \Bbb{N}\backslash \left\{ 0,1\right\} ,$ $\forall x\in
\left[ -1,1\right] ,$ posons $\theta =\arccos \left( x\right) .$ On a alors :

$\cos \left( \left( n+1\right) \theta \right) +\cos \left( \left( n-1\right)
\theta \right) =2\cos \left( n\theta \right) \cos \left( \theta \right)
\Rightarrow $

$2^{n}f_{n+1}\left( x\right) +2^{n-2}f_{n-1}\left( x\right)
=2^{n}f_{n}\left( x\right) x\Rightarrow $

$P_{n+1}\left( x\right) +P_{n-1}\left( x\right) -2P_{n}\left( x\right) x=0.$
D'o\`{u} le polyn\^{o}me $P_{n+1}+P_{n-1}-2XP_{n}$ poss\`{e}de une
infinit\'{e} de racines et est donc nul :

\[
\frame{$\forall n\in \Bbb{N}\backslash \left\{ 0,1\right\} ,$ $%
P_{n+1}+P_{n-1}=2XP_{n}$} 
\]

\medskip

I.A.5. R\'{e}solvons $f_{n}\left( x\right) =0.$

$f_{n}\left( x\right) =0\Leftrightarrow n\arccos \left( x\right) =\dfrac{\pi 
}{2}$ $\left[ \pi \right] $

$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\Leftrightarrow \exists k\in \Bbb{Z},\;\arccos \left(
x\right) =\dfrac{\left( 2k-1\right) \pi }{2n}$

$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\Leftrightarrow \exists k\in \Bbb{Z},\;x=\cos \left( 
\dfrac{\left( 2k-1\right) \pi }{2n}\right) $ et $\dfrac{\left( 2k-1\right)
\pi }{2n}\in \left[ 0,\pi \right] $

$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\Leftrightarrow \exists k\in \Bbb{Z},\;x=\cos \left( 
\dfrac{\left( 2k-1\right) \pi }{2n}\right) $ et $k\in \left\{
1,...,n\right\} $

La fonction $\cos \;$\'{e}tant strictement d\'{e}croissante sur $\left[
0,\pi \right] ,$ $f_{n}$ poss\`{e}de $n$ racines $2$ \`{a} 2 distinctes.

Or $f_{n}\left( x\right) =0\Leftrightarrow P_{n}\left( x\right) =0.$ Donc :

\[
\frame{les racines de $P_{n}$ sont les $x_{k}=\cos \left( \dfrac{\left(
2k-1\right) \pi }{2n}\right) $ o\`{u} $k\in \left\{ 1,...,n\right\} $} 
\]

et \underline{elles sont $2$ \`{a} $2$ distinctes}.

\medskip

I.A.6. L'on a $\forall x\in \left[ -1,1\right] ,$ $\left| f_{n}\left(
x\right) \right| \leq \dfrac{1}{2^{n-1}}.$

R\'{e}solvons $\left| f_{n}\left( x\right) \right| =\dfrac{1}{2^{n-1}}%
\Leftrightarrow \left| \cos \left( n\arccos \left( x\right) \right) \right|
=1$

$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\Leftrightarrow
n\arccos \left( x\right) =0$ $\left[ \pi \right] $

$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\Leftrightarrow
\exists k\in \Bbb{Z},\;\arccos \left( x\right) =\dfrac{k\pi }{n}$

$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\Leftrightarrow
\exists k\in \Bbb{Z},\;x=\cos \left( \dfrac{k\pi }{n}\right) $ et $\dfrac{%
k\pi }{n}\in \left[ 0,\pi \right] $

$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\Leftrightarrow
\exists k\in \left\{ 0,1,...,n\right\} ,\;x=\cos \left( \dfrac{k\pi }{n}%
\right) $. Posons $x_{k}^{\prime }=\cos \left( \dfrac{k\pi }{n}\right) .$
Alors il existe $n+1$ points $x_{k}^{\prime }$ $2$ \`{a} $2$ distincts o\`{u}
la fonction $f_{n}$ atteint un extr\'{e}mum absolu. En outre $f_{n}\left(
x_{k}^{\prime }\right) =f_{n}\left( \cos \left( \dfrac{k\pi }{n}\right)
\right) =\dfrac{1}{2^{n-1}}\cos \left( n\arccos \left( \cos \left( \dfrac{%
k\pi }{n}\right) \right) \right) $

$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;%
\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\dfrac{1}{2^{n-1}}\cos \left( k\pi \right) $

$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;%
\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\dfrac{\left( -1\right) ^{k}}{2^{n-1}}$.
D'o\`{u} :

\frame{$\rightarrow $ si $k\in \left\{ 0,1,...,n\right\} $ et $k$ est pair, $%
f_{n}$ atteint un maximum absolu \'{e}gal \`{a} $\dfrac{1}{2^{n-1}}$}

\frame{$\rightarrow $ si $k\in \left\{ 0,1,...,n\right\} $ et $k$ est
impair, $f_{n}$ atteint un minimum absolu \'{e}gal \`{a} $-\dfrac{1}{2^{n-1}}
$}

\medskip

I.A.7. La proc\'{e}dure $R$ est r\'{e}cursive et $R(n)$ donne le $n-i\grave{e%
}me$ polyn\^{o}me $P_{n}.$

$>R:=proc(n)\;local\;A;$

$\;\;\;if\;n=0\;then\;A:=1\;else\;if\;n=1\;then\;A:=X\;else%
\;A:=2*X*R(n-1)-R(n-2)\;fi\;fi;$

$\;\;\;expand(A);$

$\;\;\;end;$

\medskip

Affichage des $5$ premiers polyn\^{o}mes $P_{n}$ en posant $P_{0}=1.$

\medskip

$>for\;i\;from\;0\;to\;4\;do\;P[i]=R(i)\;od;$

\begin{center}
$P[0]=1$

$P[1]=X$

$P[2]=2X^{2}-1$

$P[3]=4X^{3}-3X$

$P[4]=8X^{4}-8X^{2}+1$

\medskip
\end{center}

I.B.1. $f_{1}: 
\begin{array}[t]{l}
\left[ -1,1\right] \Bbb{\rightarrow R} \\ 
x\rightarrow x
\end{array}
.$ Sa repr\'{e}sentation est le segment $\left[ A,B\right] $ avec $A(-1,-1)$
et $B(1,1).$

$f_{2}: 
\begin{array}[t]{l}
\left[ -1,1\right] \Bbb{\rightarrow R} \\ 
x\rightarrow x^{2}-\dfrac{1}{2}
\end{array}
.$ Sa repr\'{e}sentation est une partie de parabole d'axe $(Ox)$ et de
sommet le point de coordonn\'{e}es $\left( 0,-\dfrac{1}{2}\right) .$

$f_{3}:
\begin{array}[t]{l}
\left[ -1,1\right] \Bbb{\rightarrow R} \\ 
x\rightarrow x^{3}-\dfrac{3}{4}x
\end{array}
.$ $f_{3}$ est $C^{\infty }$ sur $\left[ -1,1\right] ,$ impaire et $\forall
x\in \left[ -1,1\right] ,$

$f_{3}^{\prime }(x)=3\left( x^{2}-\dfrac{1}{4}\right) =3\left( x-\dfrac{1}{2}%
\right) \left( x+\dfrac{1}{2}\right) .$

$f_{4}:
\begin{array}[t]{l}
\left[ -1,1\right] \Bbb{\rightarrow R} \\ 
x\rightarrow x^{4}-x^{2}+\dfrac{1}{8}
\end{array}
.$ $f_{4}$ est $C^{\infty }$ sur $\left[ -1,1\right] ,$ paire et $\forall
x\in \left[ -1,1\right] ,$ 

$f_{4}^{\prime }(x)=4x^{3}-2x=4x\left( x^{2}-\dfrac{1}{2}\right) =4x\left( x-%
\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right) \left( x+\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right) $

D'o\`{u} les tableaux de variations :

\begin{tabular}{|c|c|}
\hline
$x$ & $0\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\dfrac{1}{2}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;1$ \\ \hline
$f_{3}^{\prime }(x)$ & $\;\;\;-\;\;\;\;\;0\;\;\;+\;\;\;\;\;$ \\ \hline
$f_{3}(x)$ & $0\;\;\searrow \;-\dfrac{1}{4}\;\;\;\nearrow \;\;\dfrac{1}{4}$
\\ \hline
\end{tabular}
\ \ \ \ \ \ \ 
\begin{tabular}{|c|c|}
\hline
$x$ & $0\;\;\;\;\;\;\;\;\;\dfrac{1}{\sqrt{2}}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;1$ \\ \hline
$f_{4}^{\prime }(x)$ & $0\;\;-\;\;\;\;\;0\;\;\;+\;\;\;\;\;\;$ \\ \hline
$f_{4}(x)$ & $\dfrac{1}{8}\;\searrow \;-\dfrac{1}{8}\;\;\nearrow \;\;\;%
\dfrac{1}{8}$ \\ \hline
\end{tabular}

et les courbes repr\'{e}sentatives :

%\FRAME{dtbpF}{12.1869cm}{9.0611cm}{0cm}{}{}{Figure }{\special{language
%"Scientific Word";type "GRAPHIC";maintain-aspect-ratio TRUE;display
%"USEDEF";valid_file "T";width 12.1869cm;height 9.0611cm;depth
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%"1";cropright "1";cropbottom "0";tempfilename
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\psfig{file=m02ct1fb.eps,width=12.1869cm,height=9.0611cm}

\medskip

I.B.2. L'on a vu dans I.A.6. que $\forall n\in \Bbb{N}^{*},$ $%
\sup\limits_{x\in \left[ -1,1\right] }\left| T_{n}\left( x\right) \right| =%
\dfrac{1}{2^{n-1}}.$

Soit $P$ polyn\^{o}me unitaire de degr\'{e} $n$ et $R_{n}=T_{n}-P$; alors $d{%
{}^{\circ }}R_{n}\leq n-1.$ Sous les notations de I.A.6., l'on sait que pour 
$x_{k}^{\prime }=\cos \left( \dfrac{k\pi }{n}\right) ,\;k\in \left\{
0,...,n\right\} ,$ $T_{n}$ admet $\dfrac{1}{2^{n-1}},$ maximum absolu pour $%
k $ pair et $-\dfrac{1}{2^{n-1}},$ minimum absolu pour $k$ impair.

Supposons que $\sup\limits_{x\in \left[ -1,1\right] }\left| P(x)\right| <%
\dfrac{1}{2^{n-1}}.$

On a alors pour $k$ pair $R_{n}\left( x_{k}^{\prime }\right) =T_{n}\left(
x_{k}^{\prime }\right) -P\left( x_{k}^{\prime }\right) >0$ et pour $k$
impair, $R_{n}\left( x_{k}^{\prime }\right) =T_{n}\left( x_{k}^{\prime
}\right) -P\left( x_{k}^{\prime }\right) <0.$ Comme $R_{n}\;$est une
fonction continue sur $\left[ -1,1\right] ,$ $\forall k\in \left\{
0,...,n-1\right\} ,$ $\exists c_{k}\in \left] x_{k+1}^{\prime
},x_{k}^{\prime }\right[ $ tel que $R_{n}(c_{k})=0$ (th\'{e}or\`{e}me des
valeurs interm\'{e}diaires).

Les $x_{k}^{\prime }$ formant une suite strictement d\'{e}croissante de $%
\left[ -1,1\right] ,$ $R_{n}$ poss\`{e}de donc au moins $n$ racines
distinctes : $c_{0},$ ..., $c_{n-1}.$ Comme $d{{}^\circ}R_{n}<n,$ $R_{n}=0,$
ce qui prouve que $P=T_{n},$ ce qui est impossible puisque $%
\sup\limits_{x\in \left[ -1,1\right] }\left| T_{n}(x)\right| =\dfrac{1}{%
2^{n-1}}\neq \sup\limits_{x\in \left[ -1,1\right] }\left| P(x)\right| .$
Donc :

\[
\frame{Il n'existe pas de polyn\^{o}me $P$ de degr\'{e} $n,$ unitaire, tel
que $\sup\limits_{x\in \left[ -1,1\right] }\left| P(x)\right| <\dfrac{1}{%
2^{n-1}}.$} 
\]

\medskip

I.B.3. D'apr\`{e}s la question pr\'{e}c\'{e}dente, si $P$ est est un
polyn\^{o}me unitaire de degr\'{e} $n,$ $\sup\limits_{x\in \left[
-1,1\right] }\left| P(x)\right| \geq \dfrac{1}{2^{n-1}}=\sup\limits_{x\in
\left[ -1,1\right] }\left| T_{n}(x)\right| .$ Donc :

\[
\frame{$\sup\limits_{x\in \left[ -1,1\right] }\left| f_{n}(x)\right| \leq
\sup\limits_{x\in \left[ -1,1\right] }\left| P(x)\right| $} 
\]

\medskip

I.B.4. Notons $E=C\left( \left[ -1,1\right] ,\Bbb{R}\right) $ et $f\in E.$

$
\begin{array}[t]{l}
\left] -1,1\right[ \rightarrow \Bbb{R} \\ 
x\rightarrow \dfrac{f(x)}{\sqrt{1-x^{2}}}
\end{array}
$ est continue sur $\left] -1,1\right[ $

En outre, $f$ est born\'{e}e sur $\left[ -1,1\right] $ (car continue sur cet
intervalle) et $\exists M\in \Bbb{R}^{+},$ $\forall x\in \left] -1,1\right[
, $ $\left| \dfrac{f(x)}{\sqrt{1-x^{2}}}\right| \leq \dfrac{M}{\sqrt{1-x^{2}}%
}. $ Comme $\int_{-1}^{1}\dfrac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}dx$ converge (et vaut $\pi
),$

\[
\frame{$\int_{-1}^{1}\dfrac{f(x)}{\sqrt{1-x^{2}}}dx$ converge} 
\]

\medskip

I.B.5.

a) Notons $\varphi : 
\begin{array}[t]{l}
E^{2}\rightarrow \Bbb{R} \\ 
\left( f,g\right) \rightarrow \int_{-1}^{1}\dfrac{f(x)g(x)}{\sqrt{1-x^{2}}}dx
\end{array}
.$

$\varphi $ est bien d\'{e}finie d'apr\`{e}s I.B.4. appliqu\'{e}e \`{a} $fg$
qui appartient \`{a} $E.$

$\varphi $ est \'{e}videmment bilin\'{e}aire, le produit dans $\Bbb{R}$
l'\'{e}tant et l'int\'{e}grale \'{e}tant lin\'{e}aire.

$\varphi $ est \'{e}videmment sym\'{e}trique, le produit dans $\Bbb{R}$
l'\'{e}tant.

Soit $f\in E\backslash \left\{ 0\right\} $ :

$\rightarrow $ $\int_{-1}^{1}\dfrac{f(x)^{2}}{\sqrt{1-x^{2}}}dx\geq 0$
(int\'{e}grale d'une fonction positive)

$\rightarrow $ si $\int_{-1}^{1}\dfrac{f(x)^{2}}{\sqrt{1-x^{2}}}dx=0,$ comme 
$x\rightarrow \dfrac{f(x)^{2}}{\sqrt{1-x^{2}}}$ est continue sur $\left]
-1,1\right[ $ et positive, 

$\forall x\in \left] -1,1\right[ ,$ $\dfrac{f(x)^{2}}{\sqrt{1-x^{2}}}%
=0\Rightarrow $

$\forall x\in \left] -1,1\right[ ,$ $f(x)=0\Rightarrow $

$\forall x\in \left[ -1,1\right] ,$ $f(x)=0$ (car $f$ est continue sur $%
\left[ -1,1\right] $). Donc : $\int_{-1}^{1}\dfrac{f(x)^{2}}{\sqrt{1-x^{2}}}%
dx>0$

On a montr\'{e} que :

\[
\frame{$\varphi $ est un produit scalaire sur $E$} 
\]

\medskip

b) On a alors $\forall m,n\in \Bbb{N}^{*},$ $\int_{-1}^{1}\dfrac{%
P_{n}(x)P_{m}(x)}{\sqrt{1-x^{2}}}dx=\int_{-1}^{1}\dfrac{\cos \left( n\arccos
\left( x\right) \right) \cos \left( m\arccos \left( x\right) \right) }{\sqrt{%
1-x^{2}}}dx.$

Effectuons le changement de variables $t=\arccos (x)\Leftrightarrow \left\{ 
\begin{array}{l}
x=\cos \left( t\right)  \\ 
t\in \left[ 0,\pi \right] 
\end{array}
\right. ,$ ce qui est possible car $t\rightarrow \cos (t)$ est un diff\'{e}%
omorphisme de classe $C^{1}$ de $\left] 0,\pi \right[ $ sur $\left]
-1,1\right[ .$ On a alors :

$\int_{-1}^{1}\dfrac{P_{n}(x)P_{m}(x)}{\sqrt{1-x^{2}}}dx=\int_{\pi }^{0}%
\dfrac{\cos \left( nt\right) \cos \left( mt\right) }{\sin \left( t\right) }%
\left( -\sin (t)\right) dt=\int_{0}^{\pi }\cos \left( nt\right) \cos \left(
mt\right) dt$

$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\dfrac{1}{2}\left( \int_{0}^{\pi
}\cos \left( \left( m+n\right) t\right) dt+\int_{0}^{\pi }\cos \left( \left(
m-n\right) t\right) dt\right) .$ D'o\`{u} $2$ cas :

$\rightarrow $ si $m=n>0,$ $\int_{-1}^{1}\dfrac{P_{n}(x)^{2}}{\sqrt{1-x^{2}}}%
dx=\dfrac{1}{2}\left( \int_{0}^{\pi }\cos \left( 2nt\right) dt+\int_{0}^{\pi
}dt\right) =\dfrac{\pi }{2}$

$\rightarrow $ si $m\neq n,$ $\int_{-1}^{1}\dfrac{P_{n}(x)P_{m}(x)}{\sqrt{%
1-x^{2}}}dx=\dfrac{1}{2}\left[ \dfrac{\sin \left( \left( m+n\right) t\right) 
}{m+n}+\dfrac{\sin \left( \left( m-n\right) t\right) }{m-n}\right] _{0}^{\pi
}=0.$

Donc, la famille $\left( P_{n}\right) _{n\geq 1}$ est orthogonale et pour le
produit scalaire $\varphi ,$ $\forall n\in \Bbb{N}^{*},$ $\left\|
P_{n}\right\| =\sqrt{\dfrac{\pi }{2}}.$ On a montr\'{e} que :

\[
\frame{la famille $\left( h_{n}\right) _{n\in \Bbb{N}^{*}}$ est orthonormale}
\]

\medskip

\underline{\textbf{Partie II}}

\medskip

II.A.1. $d$ est la restriction \`{a} $E\times E$ de $
\begin{array}[t]{l}
P^{2}\rightarrow \Bbb{R} \\ 
\left( A,B\right) \rightarrow \sqrt{\left( x_{B}-x_{A}\right) ^{2}+\left(
y_{B}-y_{A}\right) ^{2}}
\end{array}
$ (o\`{u} $P$ d\'{e}signe le plan affine euclidien). En identifiant $P^{2}$
\`{a} $\Bbb{R}^{4}$ gr\^{a}ce au rep\`{e}re orthonorm\'{e} direct $\left( O,%
\overrightarrow{i},\overrightarrow{j}\right) ,$ on obtient que \underline{$d$
est continue sur $E^{2}$} comme compos\'{e}e d'applications continues sur
leurs ensembles de d\'{e}finition.

(A noter que cette question est \textsl{hors-programme}, la notion de
continuit\'{e} n'ayant \'{e}t\'{e} abord\'{e}e en Sp\'{e} TSI qu'en un point
de l'espace vectoriel norm\'{e} $\Bbb{R}^{n}$)

\medskip

$E$ \'{e}tant ferm\'{e}, $E\times E$ est ferm\'{e} (\textsl{hors-programme}).

Donc $d$ continue sur $E\times E,$ est born\'{e}e sur $E\times E$ et atteint
ses bornes; d'o\`{u} :

\[
\frame{$d_{2}=\sup\limits_{\left( A,B\right) \in E^{2}}d\left( A,B\right) $
est bien d\'{e}finie} 
\]

\medskip

De m\^{e}me, $
\begin{array}[t]{l}
P^{3}\rightarrow \Bbb{R} \\ 
\left( A,B,C\right) \rightarrow \left( AB.AC.BC\right) ^{1/3}
\end{array}
$ est continue sur$\;P^{3}$ (\textsl{hors-programme}) et $:$

\[
\frame{$d_{3}=\sup\limits_{\left( A,B,C\right) \in E^{3}}d\left(
A,B,C\right) $ est bien d\'{e}finie} 
\]

car $E^{3}$ est un ferm\'{e} (\textsl{hors-programme})

\medskip

II.A.2. $\forall (A,B,C)\in E^{3},$ $AB.AC.BC\leq d_{2}^{3}\Rightarrow $

$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$ $\left(
AB.AC.BC\right) ^{1/3}\leq d_{2};$ d'o\`{u} :

\[
\frame{$d_{3}\leq d_{2}$} 
\]

\medskip

II.A.3. Soit $\left( A,B\right) \in E^{2};$ alors $\forall C\in E,$ $\left(
AB.AC.BC\right) ^{1/3}\leq d_{3}\Rightarrow $

$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\sup%
\limits_{C\in E}d\left( A,B,C\right) \leq d_{3}$ (d\'{e}finition de la borne
sup\'{e}rieure : plus petit des majorants)

D'o\`{u} : $\sup\limits_{\left( A,B\right) \in E^{2}}\left(
\sup\limits_{C\in E}d\left( A,B,C\right) \right) \leq d_{3}.$

Soit $\left( A,B,C\right) \in E^{3},$ alors $d(A,B,C)\leq \sup\limits_{U\in
E}d\left( A,B,U\right) \leq \sup\limits_{\left( V,W\right) \in E^{2}}\left(
\sup\limits_{U\in E}d\left( V,W,U\right) \right) $

D'o\`{u} : $d_{3}\leq \sup\limits_{\left( V,W\right) \in E^{2}}\left(
\sup\limits_{U\in E}d\left( V,W,U\right) \right) $ (d\'{e}finition de la
borne sup\'{e}rieure : plus petit des majorants). Donc :

\[
\frame{$d_{3}=\sup\limits_{\left( A,B\right) \in E^{2}}\left(
\sup\limits_{C\in E}d\left( A,B,C\right) \right) $} 
\]

\medskip

II.B. On peut supposer $A,B,C$ ordonn\'{e}s sur un axe $\left( O,%
\overrightarrow{i}\right) $ d'abscisses respectives $x,y,z$ avec $0\leq
x\leq y\leq z\leq a.$ On a alors :

$AB.AC.BC=\left( y-x\right) \left( z-x\right) \left( y-z\right) =\left(
y-x\right) \left( -z^{2}+z\left( x+y\right) -xy\right) .$

On a alors $AB.AC.BC\leq az\left( a-z\right) $ car $y-x\leq a,$ $z-x\leq z$
et $y-z\leq a-z$ et ces valeurs sont obtenues lorsque $x=0$ et $y=a.$ Il
reste \`{a} obtenir $\sup\limits_{z\in \left[ 0,a\right] }\varphi \left(
z\right) $ o\`{u} $\varphi :z\rightarrow az\left( a-z\right) .$ Or $\forall
z\in \left[ 0,a\right] ,$ $\varphi ^{\prime }\left( z\right) =a^{2}-2az$ qui
s'annule pour $z=\dfrac{a}{2},$ valeur correspondant \`{a} un maximum de $%
\varphi .$ D'o\`{u} $\sup\limits_{\left( A,B,C\right) \in E^{3}}AB.AC.BC=%
\dfrac{a^{3}}{4}$ et 
\[
\frame{$\sup\limits_{\left( A,B,C\right) \in E^{3}}d\left( A,B,C\right) =%
\dfrac{a}{\sqrt[3]{2}}$}
\]

\medskip

II.C.1. $AB=\sqrt{\left( R\cos \beta -R\cos \beta \right) ^{2}+\left( R\sin
\beta -R\sin \beta \right) ^{2}}$

$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=R\sqrt{4\sin ^{2}\dfrac{\beta +\alpha }{2}\sin ^{2}%
\dfrac{\beta -\alpha }{2}+4\cos ^{2}\dfrac{\beta +\alpha }{2}\sin ^{2}\dfrac{%
\beta -\alpha }{2}}$

$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=2R\left| \sin \dfrac{\beta -\alpha }{2}\right| \sqrt{%
\sin ^{2}\dfrac{\beta +\alpha }{2}+\cos ^{2}\dfrac{\beta +\alpha }{2}}.$
D'o\`{u}, comme $\dfrac{\beta -\alpha }{2}\in \left[ 0,\pi \right] $ :

\[
\frame{$AB=2R\sin \dfrac{\beta -\alpha }{2}$} 
\]

(On peut aussi facilement le constater sur une figure)

\medskip

II.C.2. Soit $\varsigma : 
\begin{array}[t]{l}
\left[ \alpha ,\gamma \right] \rightarrow \Bbb{R} \\ 
\beta \rightarrow \sin \dfrac{\beta -\alpha }{2}\sin \dfrac{\gamma -\beta }{2%
}
\end{array}
.$ $\varsigma $ est $C^{\infty }$ sur $\left[ \alpha ,\gamma \right] $ et :

$\forall \beta \in \left[ \alpha ,\gamma \right] ,$ $\varsigma ^{\prime
}\left( \beta \right) =\dfrac{1}{2}\left( \cos \dfrac{\beta -\alpha }{2}\sin 
\dfrac{\gamma -\beta }{2}-\sin \dfrac{\beta -\alpha }{2}\cos \dfrac{\gamma
-\beta }{2}\right) $

$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\dfrac{1}{2}\left( \cos 
\dfrac{\beta -\alpha }{2}\sin \dfrac{\gamma -\beta }{2}-\sin \dfrac{\beta
-\alpha }{2}\cos \dfrac{\gamma -\beta }{2}\right) $

$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\dfrac{1}{2}\sin \dfrac{%
\gamma -2\beta +\alpha }{2}.$ d'o\`{u} :

$\forall \beta \in \left[ \alpha ,\gamma \right] ,$ $\varsigma ^{\prime
}\left( \beta \right) =0\Leftrightarrow \dfrac{\gamma -2\beta +\alpha }{2}=0$
$\func{mod}$ $\pi .$

Or $\dfrac{\gamma -2\beta +\alpha }{2}\in \left[ \dfrac{\alpha -\gamma }{2},%
\dfrac{\gamma -\alpha }{2}\right] \subset \left[ -\pi ,\pi \right] .$ On a
donc :

$\varsigma ^{\prime }\left( \beta \right) =0\Leftrightarrow \dfrac{\gamma
-2\beta +\alpha }{2}=0$ ou $\left( \dfrac{\gamma -2\beta +\alpha }{2}=\pi \;%
\text{et }\gamma =2\pi \;\text{et }\alpha =0\right) $ou $\left( \dfrac{%
\gamma -2\beta +\alpha }{2}=-\pi \;\text{et }\gamma =2\pi \;\text{et }\alpha
=0\right) $

$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\Leftrightarrow \beta =\dfrac{\gamma +\alpha }{2}$
ou $\left( \alpha =\beta =0\;\text{et }\gamma =2\pi \right) $ou $\left(
\alpha =0\;\text{et }\beta =\gamma =2\pi \right) $

Dans les deux derniers cas : $\varsigma \left( \beta \right) =0$ et la
valeur de $\beta $ correspond \`{a} un minimum de $\varsigma .$

Dans le premier cas, $\varsigma $ a pour tableau de variations :

\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|}
\hline
$\beta $ & $\alpha \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\dfrac{\gamma +\alpha }{2}%
\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\gamma $ \\ \hline
$\varsigma ^{\prime }\left( \beta \right) $ & $\;\;\;-\;\;\;\;\;\;\;\;\;0\;%
\;\;\;\;\;\;\;\;+\;\;\;$ \\ \hline
$\varsigma \left( \beta \right) $ & $0\;\;\;\nearrow \;\;\;\sin ^{2}\dfrac{%
\gamma -\alpha }{4}\;\;\;\searrow \;\;\;0$ \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}

Donc, \underline{$\varsigma $ admet un maximum pour $\beta =\dfrac{\alpha
+\gamma }{2}$}.

\medskip

II.C.3. $\varphi $ est continue sur $\left[ 0,1\right] \;$et $C^{\infty }$
sur $\left[ 0,1\right[ .$

$\forall t\in \left[ 0,1\right[ ,$ $\varphi ^{\prime }\left( t\right) =3t^{2}%
\sqrt{1-t^{2}}-\dfrac{t^{4}}{\sqrt{1-t^{2}}}=\dfrac{-4t^{4}+3t^{2}}{\sqrt{%
1-t^{2}}}=\dfrac{-4t^{2}\left( t-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right) \left( t+\dfrac{%
\sqrt{3}}{2}\right) }{\sqrt{1-t^{2}}}.$ D'o\`{u} le tableau de variations :

\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|}
\hline
$t$ & $0\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\dfrac{\sqrt{3}}{2}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;1$
\\ \hline
$\varphi ^{\prime }\left( t\right) $ & $\left.
0\;\;\;\;+\;\;\;\;\;\;0\;\;\;\;\;-\;\;\;\;\;\;\right\| $ \\ \hline
$\varphi \left( t\right) $ & $0\;\;\;\;\nearrow \;\;\;\dfrac{3\sqrt{3}}{16}%
\;\;\searrow \;\;\;\;0$ \\ \hline
\end{tabular}

\medskip
\end{center}

II.C.4. D'apr\`{e}s les questions II.A.3. et II.C.2., $d_{3}=\sup\limits_{%
\left( \alpha ,\gamma \right) \in \left[ 0,2\pi \right] }\left( 8R^{3}\sin
^{2}\dfrac{\gamma -\alpha }{4}\sin \dfrac{\gamma -\alpha }{2}\right) ^{1/3}$

$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\sup%
\limits_{\left( \alpha ,\gamma \right) \in \left[ 0,2\pi \right]
}2^{4/3}R\left( \sin ^{3}\dfrac{\gamma -\alpha }{4}\sqrt{1-\sin ^{2}\dfrac{%
\gamma -\alpha }{4}}\right) ^{1/3}$

$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\sup%
\limits_{t\in \left[ 0,1\right] }2^{4/3}R\left( t^{3}\sqrt{1-t^{2}}\right)
^{1/3}$ (car lorsque $\left( \alpha ,\gamma \right) $ d\'{e}crit $\left[
0,2\pi \right] $ avec $\alpha \leq \gamma $, $\sin \dfrac{\gamma -\alpha }{4}
$ d\'{e}crit $\left[ 0,1\right] $)

$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=2^{4/3}R%
\left( \dfrac{3\sqrt{3}}{16}\right) ^{1/3}=R\sqrt{3}$ obtenu pour $t=\dfrac{%
\sqrt{3}}{2},$ c'est \`{a} dire pour $\dfrac{\gamma -\alpha }{4}=\dfrac{\pi 
}{3}\Leftrightarrow \gamma =\alpha +\dfrac{4\pi }{3}.$ Donc :

\[
\frame{$d_{3}=R\sqrt{3}$ (obtenu pour $\alpha ,\beta ,\gamma \in \left[
0,2\pi \right] ,$ $\beta =\alpha +\dfrac{2\pi }{3}\;$et $\gamma =\alpha +%
\dfrac{4\pi }{3}$)} 
\]

\medskip

\underline{\textbf{Partie III}}

\medskip

III.A.1. $
\begin{array}[t]{l}
\left[ -1,1\right] ^{n+1}\stackrel{D_{n+1}}{\rightarrow }\Bbb{R} \\ 
\left( \lambda _{1},...,\lambda _{n+1}\right) \rightarrow
\prod\limits_{1\leq i<j\leq n+1}\left| \lambda _{j}-\lambda _{i}\right|
\end{array}
$ est continue sur $\left[ -1,1\right] ^{n+1}$; elle est donc born\'{e}e
(minor\'{e}e par $0$ et major\'{e}e par $2^{n\left( n-1\right) /2})$ et
atteint ses bornes. D'o\`{u} :

\[
\frame{$\exists \left( \lambda _{1},...,\lambda _{n+1}\right) \in \left[
-1,1\right] ^{n+1},$ $D_{n+1}=D\left( \lambda _{1},...,\lambda _{n+1}\right) 
$} 
\]

\medskip

IIIA.2. $D_{n+1}=\prod\limits_{1\leq i<j\leq n+1}\left| \lambda _{j}-\lambda
_{i}\right| $

$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\left| \lambda _{2}-\lambda _{1}\right| \left|
\lambda _{2}-\lambda _{1}\right| \cdot ...\cdot \left| \lambda
_{n+1}-\lambda _{1}\right| \prod\limits_{2\leq i<j\leq n+1}\left| \lambda
_{j}-\lambda _{i}\right| $

$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\leq \left| \lambda _{2}-\lambda _{1}\right|
\left| \lambda _{2}-\lambda _{1}\right| \cdot ...\cdot \left| \lambda
_{n+1}-\lambda _{1}\right| \sup\limits_{2\leq i<j\leq
n+1}D(x_{2},...,x_{n+1}).$ Donc :

\[
\frame{$D_{n+1}\leq \left| \lambda _{2}-\lambda _{1}\right| \left| \lambda
_{2}-\lambda _{1}\right| \cdot ...\cdot \left| \lambda _{n+1}-\lambda
_{1}\right| \cdot D_{n}$} 
\]

\medskip

IIIA.3. On a de m\^{e}me $\forall i\in \left\{ 1,...,n+1\right\} ,$ $%
D_{n+1}\leq \prod\limits_{1\leq j\leq n+1\;\text{et }j\neq i}\left| \lambda
_{j}-\lambda _{i}\right| \cdot D_{n};$ Multiplions membre \`{a} membre ces $%
n+1$ in\'{e}galit\'{e}s de nombres positifs. On obtient :

$D_{n+1}^{n+1}\leq \prod\limits_{i=1}^{n+1}\left( \prod\limits_{j\in \left\{
1,...,n+1\right\} \backslash \left\{ i\right\} }\left| \lambda _{j}-\lambda
_{i}\right| \right) D_{n}^{n+1}.$ Or :

$\prod\limits_{i=1}^{n+1}\left( \prod\limits_{j\in \left\{ 1,...,n+1\right\}
\backslash \left\{ i\right\} }\left| \lambda _{j}-\lambda _{i}\right|
\right) =\prod\limits_{\left( i,j\right) \in \left\{ 1,...,n+1\right\} \;%
\text{et }i\neq j}\left| \lambda _{j}-\lambda _{i}\right| =\left(
\prod\limits_{1\leq i<,j<n+1}\left| \lambda _{j}-\lambda _{i}\right| \right)
^{2}$ (chaque \'{e}l\'{e}ment $\left| \lambda _{j}-\lambda _{i}\right| $
pouvant \^{e}tre consid\'{e}r\'{e} comme coefficient d'une matrice de $%
S_{n+1}(\Bbb{R)).}$ D'o\`{u} :

\[
\frame{$D_{n+1}^{n+1}\leq D_{n+1}^{2}D_{n}^{n+1}$} 
\]

Comme $D_{n+1}>0\;$car si $x_{1},...,x_{n+1}$ sont $2$ \`{a} $2$ distincts, $%
D(x_{1},...,x_{n+1})>0,$ on en d\'{e}duit :

\[
\frame{$D_{n+1}^{n-1}\leq D_{n}^{n+1}$} 
\]

\medskip

III.A.4. D'apr\`{e}s la relation pr\'{e}c\'{e}dente :

$D_{n+1}^{n-1}\leq D_{n}^{n+1}\Rightarrow $

$D_{n+1}\leq D_{n}^{\left( n+1\right) /\left( n-1\right) }\Rightarrow $

$d_{n+1}=D_{n+1}^{2/\left( n\left( n+1\right) \right) }\leq D_{n}^{2\left(
n+1\right) /\left( n\left( n-1\right) \left( n+1\right) \right) }\Rightarrow 
$

$d_{n+1}\leq D_{n}^{2/\left( n\left( n-1\right) \right) }=d_{n}.$

Donc, la suite $\left( d_{n}\right) $ est d\'{e}croissante et minor\'{e}e
par $0$ et \underline{la suite $\left( d_{n}\right) $ converge}.

\medskip

III.B1. L'on a vu en I.B.3$.$ que $\forall P\in \mathcal{P}_{n},$ $%
\sup\limits_{x\in \left[ -1,1\right] }\left| P(x)\right| \geq
\sup\limits_{x\in \left[ -1,1\right] }\left| f_{n}(x)\right|
=\sup\limits_{x\in \left[ -1,1\right] }\left| T_{n}(x)\right| =\dfrac{1}{%
2^{n-1}}.$

Donc $\mu _{n}=\mu \left( T_{n}\right) =\dfrac{1}{2^{n-1}}$ et :

\[
\frame{$m_{n}=\left( \dfrac{1}{2}\right) ^{\frac{n-1}{n}}$} 
\]

\medskip

III.B.2. $\forall n\in \Bbb{N}^{*},$ $\ln \left( m_{n}\right) =-\dfrac{n-1}{n%
}\ln (2)$ qui tend vers $-\ln \left( 2\right) $ quand $n$ tend vers $+\infty
.$ D'o\`{u} :

\[
\frame{la suite $\left( m_{n}\right) _{n\in \Bbb{N}^{*}}$ converge vers $%
\dfrac{1}{2}$} 
\]

\medskip

IIIB.3. Soit $\varepsilon >0.$ Il existe $M\in \Bbb{N}$ tel que $\forall
n\in \Bbb{N}^{*},$ $n>M\Rightarrow \left| u_{n}-l\right| <\varepsilon .$ On
a alors, pour $n>M,$

$\left| \dfrac{u_{1}+2u_{2}+...+nu_{n}}{n\left( n+1\right) }-\dfrac{l}{2}%
\right| =\dfrac{1}{2}\left| \dfrac{2}{n\left( n+1\right) }\left( \left(
u_{1}+2u_{2}+...+nu_{n}\right) -l(1+2+...+n)\right) \right| $

$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\dfrac{1}{%
n\left( n+1\right) }\left| \left( u_{1}-l\right) +2\left( u_{2}-l\right)
+...+n\left( u_{n}-l\right) \right| $

$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\leq \dfrac{1}{%
n\left( n+1\right) }\left( \left| u_{1}-l\right| +2\left| u_{2}-l\right|
+...+n\left| u_{n}-l\right| \right) $

$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\leq \dfrac{1}{%
n\left( n+1\right) }\left( \left| u_{1}-l\right| +2\left| u_{2}-l\right|
+...+M\left| u_{M}-l\right| +\left( M+1\right) \varepsilon +...+n\varepsilon
\right) $

$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\leq \dfrac{1}{%
n\left( n+1\right) }\left( \left| u_{1}-l\right| +2\left| u_{2}-l\right|
+...+M\left| u_{M}-l\right| +\dfrac{n\left( n+1\right) }{2}\varepsilon
\right) $ (car $M+...+n\leq \sum\limits_{k=1}^{n}k$)

Or $\exists N\in \Bbb{N},$ $\forall n\in \Bbb{N}^{*},$ $n>N\Rightarrow 
\dfrac{1}{n\left( n+1\right) }\left( \left| u_{1}-l\right| +2\left|
u_{2}-l\right| +...+M\left| u_{M}-l\right| \right) <\dfrac{\varepsilon }{2}$

car $\lim\limits_{n\rightarrow +\infty }\dfrac{1}{n\left( n+1\right) }\left(
\left| u_{1}-l\right| +2\left| u_{2}-l\right| +...+M\left| u_{M}-l\right|
\right) =0.$ Donc, $\forall n\in \Bbb{N}^{*},$ $n>\max (M,N)\Rightarrow
\left| \dfrac{u_{1}+2u_{2}+...+nu_{n}}{n\left( n+1\right) }-\dfrac{l}{2}%
\right| <\varepsilon .$ Cela montre :

\[
\frame{$\lim\limits_{n\rightarrow +\infty }\dfrac{u_{1}+2u_{2}+...+nu_{n}}{%
n\left( n+1\right) }=\dfrac{l}{2}$} 
\]

\medskip

III.C.1. Posons $P=X^{n}+\sum\limits_{k=0}^{n-1}a_{k}X^{k}.$ Alors :

$\left| 
\begin{array}{ccccc}
1 & . & . & . & 1 \\ 
x_{1} &  &  &  & x_{n+1} \\ 
. &  &  &  & . \\ 
x_{1}^{n-1} &  &  &  & x_{n+1}^{n-1} \\ 
P\left( x_{1}\right) & . & . & . & P\left( x_{n+1}\right)
\end{array}
\right| =\left| 
\begin{array}{ccccc}
1 & . & . & . & 1 \\ 
x_{1} &  &  &  & x_{n+1} \\ 
. &  &  &  & . \\ 
x_{1}^{n-1} &  &  &  & x_{n+1}^{n-1} \\ 
x_{1}^{n}+\sum\limits_{k=0}^{n-1}a_{k}x_{1}^{k} & . & . & . & 
x_{n+1}^{n}+\sum\limits_{k=0}^{n-1}a_{k}x_{n+1}^{k}
\end{array}
\right| $

En ajoutant \`{a} la derni\`{e}re ligne la combinaison lin\'{e}aire -$%
\sum\limits_{k=1}^{n}a_{k-1}L_{k}$ o\`{u} $L_{k}$ d\'{e}signe la $k-i\grave{e%
}me$ ligne, on obtient :

$\left| 
\begin{array}{ccccc}
1 & . & . & . & 1 \\ 
x_{1} &  &  &  & x_{n+1} \\ 
. &  &  &  & . \\ 
x_{1}^{n-1} &  &  &  & x_{n+1}^{n-1} \\ 
P\left( x_{1}\right) & . & . & . & P\left( x_{n+1}\right)
\end{array}
\right| =\left| 
\begin{array}{ccccc}
1 & . & . & . & 1 \\ 
x_{1} &  &  &  & x_{n+1} \\ 
. &  &  &  & . \\ 
x_{1}^{n-1} &  &  &  & x_{n+1}^{n-1} \\ 
x_{1}^{n} & . & . & . & x_{n+1}^{n}
\end{array}
\right| =V\left( x_{1},...,x_{n+1}\right) .$ Donc :

\[
\frame{$\left| 
\begin{array}{ccccc}
1 & . & . & . & 1 \\ 
x_{1} &  &  &  & x_{n+1} \\ 
. &  &  &  & . \\ 
x_{1}^{n-1} &  &  &  & x_{n+1}^{n-1} \\ 
P\left( x_{1}\right) & . & . & . & P\left( x_{n+1}\right)
\end{array}
\right| =\prod\limits_{1\leq i<j\leq n+1}\left( x_{j}-x_{i}\right) $} 
\]

\medskip

III.C.2. Pour calculer $d_{n+1,}\;$on peut supposer $\lambda _{1}<\lambda
_{2}<...<\lambda _{n+1}.$ Donc :

$D_{n+1}=\prod\limits_{1\leq i<j\leq n+1}\left( \lambda _{j}-\lambda
_{i}\right) =\left| 
\begin{array}{ccccc}
1 & . & . & . & 1 \\ 
\lambda _{1} &  &  &  & \lambda _{n+1} \\ 
. &  &  &  & . \\ 
\lambda _{1}^{n-1} &  &  &  & \lambda _{n+1}^{n-1} \\ 
P\left( \lambda _{1}\right) & . & . & . & P\left( \lambda _{n+1}\right)
\end{array}
\right| .$ Or :

$\left| 
\begin{array}{ccccc}
1 & . & . & . & 1 \\ 
\lambda _{1} &  &  &  & \lambda _{n+1} \\ 
. &  &  &  & . \\ 
\lambda _{1}^{n-1} &  &  &  & \lambda _{n+1}^{n-1} \\ 
P\left( \lambda _{1}\right) & . & . & . & P\left( \lambda _{n+1}\right)
\end{array}
\right| =\sum\limits_{j=1}^{n+1}P\left( \lambda _{j}\right) \left( -1\right)
^{n+1+j}\left| 
\begin{array}{cccccc}
1 & . & 1 & 1 & . & 1 \\ 
\lambda _{1} & . & \lambda _{j-1} & \lambda _{j+1} & . & \lambda _{n+1} \\ 
. & . & . & . & . & . \\ 
. & . & . & . & . & . \\ 
. & . & . & . & . & . \\ 
\lambda _{1}^{n-1} & . & \lambda _{j-1}^{n-1} & \lambda _{j+1}^{n-1} & . & 
\lambda _{n+1}^{n-1}
\end{array}
\right| \Rightarrow $

En particulier, pour $P=T_{n}\;$et en utilisant que :

$\left| 
\begin{array}{cccccc}
1 & . & 1 & 1 & . & 1 \\ 
\lambda _{1} & . & \lambda _{j-1} & \lambda _{j+1} & . & \lambda _{n+1} \\ 
. & . & . & . & . & . \\ 
. & . & . & . & . & . \\ 
. & . & . & . & . & . \\ 
\lambda _{1}^{n-1} & . & \lambda _{j-1}^{n-1} & \lambda _{j+1}^{n-1} & . & 
\lambda _{n+1}^{n-1}
\end{array}
\right| =V(\lambda _{1},..,\lambda _{j-1},\lambda _{j+1},..,\lambda
_{n+1})\leq D_{n},$ on a :

$D_{n+1}\leq \sum\limits_{j=1}^{n+1}T_{n}\left( \lambda _{j}\right)
D_{n}\Rightarrow $

$D_{n+1}\leq \sum\limits_{j=1}^{n+1}\dfrac{1}{2^{n-1}}D_{n}\Leftrightarrow $

$D_{n+1}\leq \dfrac{\left( n+1\right) D_{n}}{2^{n-1}}$ et comme $%
D_{n}=d_{n}^{\dfrac{n\left( n-1\right) }{2}}$ et $m_{n}=\left( \dfrac{1}{2}%
\right) ^{\dfrac{n-1}{n}},$ on obtient :

\[
\frame{$d_{n+1}^{\frac{n\left( n+1\right) }{2}}\leq \left( n+1\right) d_{n}^{%
\frac{n\left( n-1\right) }{2}}m_{n}^{n}$} 
\]

\medskip

II.C.3. Soient $x_{1},...,x_{n+1}\in \left[ -1,1\right] $ avec $%
x_{1}<...<x_{n+1}$

$D\left( x_{1},...,x_{n+1}\right) =\prod\limits_{1\leq i<j\leq n+1}\left(
x_{j}-x_{i}\right) =\left| 
\begin{array}{ccccc}
1 & . & . & . & 1 \\ 
x_{1} &  &  &  & x_{n+1} \\ 
. &  &  &  & . \\ 
x_{1}^{n-1} &  &  &  & x_{n+1}^{n-1} \\ 
P\left( x_{1}\right) & . & . & . & P\left( x_{n+1}\right)
\end{array}
\right| $ pour tout polyn\^{o}me $P$ unitaire de degr\'{e} $n.$

Pour $P=\left( X-x_{1}\right) ...\left( X-x_{n}\right) ,$ on obtient :

$D\left( x_{1},...,x_{n+1}\right) =\left| 
\begin{array}{ccccc}
1 & . & . & . & 1 \\ 
x_{1} &  &  &  & x_{n+1} \\ 
. &  &  &  & . \\ 
x_{1}^{n-1} &  &  &  & x_{n+1}^{n-1} \\ 
0 & . & . & 0. & P\left( x_{n+1}\right)
\end{array}
\right| =P\left( x_{n+1}\right) D(x_{1},..,x_{n})\Rightarrow $

$P\left( x_{n+1}\right) D(x_{1},..,x_{n})\leq D_{n+1}\Rightarrow $

$D(x_{1},..,x_{n})\leq \dfrac{D_{n+1}}{P\left( x_{n+1}\right) }.$ Cela
\'{e}tant vrai pour tous $x_{1},...,x_{n}\in \left[ -1,1\right] $ avec $%
x_{1}<...<x_{n},$ on a alors :

$\sup\limits_{-1\leq x_{1}<..<x_{n}\leq 1}D(x_{1},..,x_{n})\leq \dfrac{%
D_{n+1}}{P\left( x_{n+1}\right) }\Leftrightarrow $

$D_{n}\leq \dfrac{D_{n+1}}{P\left( x_{n+1}\right) }\Leftrightarrow $

$P\left( x_{n+1}\right) \leq \dfrac{D_{n+1}}{D_{n}}.$ Cela \'{e}tant vrai
pour tout $x_{n+1}\in \left[ -1,1\right] $, on a alors :

$\sup\limits_{x_{n+1}\in \left[ -1,1\right] }P\left( x_{n+1}\right) \leq 
\dfrac{D_{n+1}}{D_{n}}.$ Or $\sup\limits_{x_{n+1}\in \left[ -1,1\right]
}P\left( x_{n+1}\right) \geq \dfrac{1}{2^{n-1}}=m_{n}^{n}.$ D'o\`{u} :

$m_{n}^{n}D_{n}\leq D_{n+1}\Leftrightarrow $

\[
\frame{$m_{n}^{n}\cdot d_{n}^{\frac{n\left( n-1\right) }{2}}\leq d_{n+1}^{%
\frac{n\left( n+1\right) }{2}}$} 
\]

\medskip

III.C.4. L'on sait que $\left( d_{n}\right) $ est d\'{e}croissante. D'o\`{u}
, si $n\in \Bbb{N}^{*},$

$m_{n}^{n}\cdot d_{n+1}^{\frac{n\left( n-1\right) }{2}}\leq m_{n}^{n}\cdot
d_{n}^{\frac{n\left( n-1\right) }{2}}\leq d_{n+1}^{\frac{n\left( n+1\right) 
}{2}}$ car $u\rightarrow u^{\frac{n\left( n-1\right) }{2}}$ est croissante
sur $\Bbb{R}^{+*}.$ D'o\`{u} :

$m_{n}^{n}\cdot d_{n+1}^{\frac{n\left( n-1\right) }{2}}\leq d_{n+1}^{\frac{%
n\left( n+1\right) }{2}}$

En divisant les $2$ membres par $d_{n+1}^{\frac{n\left( n-1\right) }{2}}>0,$
on obtient :

$m_{n}^{n}\leq d_{n+1}^{n}\Rightarrow $

\[
\frame{$m_{n}\leq d_{n+1}$} 
\]

\medskip

III.C.5. La question pr\'{e}c\'{e}dente montre, en faisant tendre $n$ vers $%
+\infty ,$ que $m\leq d$ et que $d>0.$

La question III.C.2. montre $\forall n\in \Bbb{N}^{*},\;d_{n+1}^{\frac{%
n\left( n+1\right) }{2}}\leq \left( n+1\right) d_{n}^{\frac{n\left(
n-1\right) }{2}}m_{n}^{n}.$

D'o\`{u} $\forall n\in \Bbb{N}^{*},\;\dfrac{n\left( n+1\right) }{2}\ln
d_{n+1}\leq \ln \left( n+1\right) +\dfrac{n\left( n-1\right) }{2}\ln
d_{n}-\left( n-1\right) \ln 2\Rightarrow $

$\forall n\in \Bbb{N}^{*},\;\left( n+1\right) \ln d_{n+1}\leq \dfrac{2\ln
\left( n+1\right) }{n}+\left( n-1\right) \ln d_{n}-\dfrac{2\left( n-1\right) 
}{n}\ln 2\Rightarrow $

$\forall n\in \Bbb{N}^{*},\;\sum\limits_{k=1}^{n}\left( k+1\right) \ln
d_{k+1}\leq \sum\limits_{k=1}^{n}\dfrac{2\ln \left( k+1\right) }{k}%
+\sum\limits_{k=1}^{n}k\ln d_{k}-\sum\limits_{k=1}^{n}\ln
d_{k}-\sum\limits_{k=1}^{n}\dfrac{2\left( k-1\right) }{k}\ln 2\Rightarrow $

$\forall n\in \Bbb{N}^{*},\;\sum\limits_{k=2}^{n+1}k\ln d_{k}\leq
\sum\limits_{k=1}^{n}\dfrac{2\ln \left( k+1\right) }{k}+\sum%
\limits_{k=1}^{n}k\ln d_{k}-\sum\limits_{k=1}^{n}\ln
d_{k}-\sum\limits_{k=1}^{n}\dfrac{2\left( k-1\right) }{k}\ln 2\Rightarrow $

$\forall n\in \Bbb{N}^{*},\;\left( n+1\right) \ln d_{n+1}-\ln d_{1}\leq
\sum\limits_{k=1}^{n}\dfrac{2\ln \left( k+1\right) }{k}-\sum%
\limits_{k=1}^{n}\ln d_{k}-2n\ln 2+\ln 2\sum\limits_{k=1}^{n}\dfrac{2}{k}%
\Rightarrow $

$\forall n\in \Bbb{N}^{*},\;\dfrac{\left( n+1\right) \ln d_{n+1}-\ln d_{1}}{n%
}\leq \dfrac{\sum\limits_{k=1}^{n}\dfrac{2\ln \left( k+1\right) }{k}%
-\sum\limits_{k=1}^{n}\ln d_{k}-2n\ln 2+\ln 2\sum\limits_{k=1}^{n}\dfrac{2}{k%
}}{n}.$

Or $\lim\limits_{n\rightarrow +\infty }\dfrac{\left( n+1\right) \ln
d_{n+1}-\ln d_{1}}{n}=\ln d,$ $0\leq \dfrac{1}{n}\sum\limits_{k=1}^{n}\dfrac{%
2\ln \left( k+1\right) }{k}\leq \dfrac{2\ln \left( n+1\right) }{n}%
\sum\limits_{k=1}^{n}\dfrac{1}{k}\stackunder{n\rightarrow +\infty }{\sim }%
\dfrac{2\ln ^{2}n}{n}$ et $\lim\limits_{n\rightarrow +\infty }\dfrac{1}{n}%
\sum\limits_{k=1}^{n}\dfrac{2\ln \left( k+1\right) }{k}=0.$

En outre, comme $\lim\limits_{n\rightarrow +\infty }\ln d_{n}=\ln d,$ $%
\lim\limits_{n\rightarrow +\infty }\dfrac{\sum\limits_{k=1}^{n}\ln d_{k}}{n}%
=\ln d$ (convergence au sens de C\'{e}saro de $\left( \ln d_{n}\right) )$ et
enfin $\ln 2\sum\limits_{k=1}^{n}\dfrac{2}{k}\stackunder{n\rightarrow
+\infty }{\sim }\dfrac{2\ln 2}{\ln n}$ qui tend vers $0$ quand $n$ tend vers 
$+\infty .$ D'o\`{u}, on obtient :

$\ln d\leq -\ln d-2\ln 2\Leftrightarrow \ln d\leq -\ln 2$

$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\Leftrightarrow d\leq \dfrac{1}{2}%
=m.$ On a montr\'{e} :

\[
\frame{$d=m=\dfrac{1}{2}$} 
\]

Remarque: je n'ai pas utilis\'{e} III.B.3.

\begin{center}
$\infty \infty \infty \infty \infty \infty \infty \infty \infty \infty
\infty \infty \infty $
\end{center}

R\'{e}dig\'{e} par

\[
\begin{array}{l}
Pierre\;Bron,\;professeur\;de\;Sp\acute{e}ciales\;TSI \\ 
Lyc\acute{e}e\;Chaptal,\;6,\;all\acute{e}e\;Chaptal,\;22000\;St\;Brieuc \\ 
Tel.\;0296639414 \\ 
Adresse\;\acute{e}lectronique:BRON.Pierre@wanadoo.fr
\end{array}
\]

\`{a} l'aide de Scientific Workplace

\end{document}
