\font\titre=cmr12

\let\scr=\scriptstyle

\gdef\virgule{\,\raise.7mm\hbox{,}}	%virgule remont\'ee apr\`es fraction
\gdef\dis{\displaystyle}	\gdef\dism#1{\dis\mathop{#1}}
\gdef\un{\underline}	\gdef\z{\infty}		\gdef\v{\overrightarrow}
\gdef\donc{\Longrightarrow}
\gdef\fois{\hbox{$\scriptstyle\times$}}
\gdef\priv\'ede#1|{\setminus\left\{#1\right\}}

\gdef\souligne#1|{\setbox10=\vtop{#1}\dimen10=\wd10\vtop{
    \hbox{\enoncefaible\box10\vskip1mm|}
    \nointerlineskip
    \hbox to \dimen10{\hrulefill}}}

\gdef\={\,=\,} \gdef\<{\,<\,} \gdef\>{\,>\,} \gdef\-{\,-\,} \gdef\+{\,+\,} 

\gdef\frac#1 #2|{\dis{#1\over#2}}
\gdef\ccoord#1 #2{\setbox20=\hbox{$\vcenter{\hbox{$#1$}\vskip-1mm\hbox{$#2$}}
   $}\dimen20=\ht20\advance\dimen20 by -1pt
   \,\vrule height\dimen20 depth\dp20 width.4pt\,\box20\,}
\gdef\coord#1 #2 #3{\setbox20=\hbox{$\vcenter{\hbox{$#1$}\vskip-1mm\hbox{$#2$}
   \vskip-1mm\hbox{$#3$}}$}\dimen20=\ht20\advance\dimen20 by -1pt
   \,\vrule height\dimen20 depth\dp20 width.4pt\,\box20\,}
\gdef\som#1 #2|{\dis\mathop{\Sigma}_{#1}^{#2}}	    \gdef\ser{\dism\Sigma}
\gdef\Som#1 #2|{\dis\mathop{\sum}_{#1}^{#2}}
\gdef\Int{\dis\int}

\gdef\qqs#1#2{\forall \hskip .7mm #1\!\in\! #2}
\gdef\exist#1#2{\exists\,#1\!\in{\!#2}}

\gdef\equ#1#2{\hbox{$\dis\mathop{\sim}_{#1\to #2}$}}
\gdef\neglig#1 #2|{\dis\mathop{\ll}_{#1\to#2}}

\gdef\fct#1#2#3#4{\vtop{\halign{##&##&##\cr
	\hfill$#1$\hfill&$\longrightarrow$&\hfill$#2$\hfill\cr
	\hfill$#3$\hfill&$\donne$&\hfill$#4$\hfill\cr}}}
\gdef\lim#1 #2|{\hbox{$\dis\mathop{lim}_{#1\to #2}\,$}}
\gdef\scal#1#2{<\!#1|#2\hskip-.8mm>\hskip.2mm}
\gdef\transp#1{\hskip .4mm ^t\hskip -.4mm #1}

\gdef\interventier#1#2{\hskip .2mm [\hskip -.3mm [ \hskip.3mm #1,#2
	\hskip .3mm ] \hskip -.3mm ] \hskip .2mm}
\gdef\interventierouvert#1{\hskip .2mm [\hskip -.3mm [ \hskip.3mm #1,+\z
	\hskip .3mm [ \hskip -.3mm [ \hskip .2mm}
\gdef\r#1{\hbox{$\cal#1$}}

\gdef\tvi#1#2{\vrule height#1ptdepth#2ptwidth0pt}

\gdef\tend#1#2{\setbox10=\hbox{$\ \scriptstyle#1\to#2\,$}
   \setbox11=\hbox{\rightarrowfill}
   \,\dism{\box11}_{\box10}\,}

\gdef\enoncefaible#1|{\setbox20=\vtop{#1}\dimen20=\ht20\advance\dimen20by.4mm
   \tvi00\hbox{\vrule height\dimen20 depth\dp20 width.4pt\ \box20}}

\gdef\N{\hbox{\hsize=19.4pt\vrule height6.6ptdepth0pt
	width.6pt\hskip-.625pt{\bf N}}}
\gdef\K{\hbox{\hsize=19.4pt\vrule height6.6ptdepth0pt
	width.6pt\hskip-.625pt{\bf K}}}
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	width.6pt\hskip-.625pt{\bf R}}}
\gdef\C{\hbox{\hsize=18.4pt\hskip2pt\vrule height6.4ptdepth-.2pt
	width.6pt\hskip-3.4pt{\bf C}}}
\gdef\Q{\hbox{\hsize=18.4pt\hskip1.5pt\vrule height6.5ptdepth0pt
	width.6pt\hskip-3.35pt{\bf Q}\hskip.1pt}}
\gdef\Z{\hbox{\hskip-1.2mm\vtop{\vskip-6.5pt\hbox{\hskip6pt{\petitcar /}}
		\vskip-10pt\hbox{\bf \hskip2.9ptZ}}}}

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\documentstyle[francais]{article}
\begin{document}
\input upsnum.sty

\let\sscr=\scriptscriptstyle
\gdef\moins{\hbox{-}}

%\parindent=0pt\hsize=15cm\vsize=27cm\parskip3mm

%\hoffset-3mm\voffset=-43mm     

{\titre\centerline{\hskip-6cmSP\'E TSI\qquad Corrig\'e de Centrale 2002 \ TSI
  \quad$2^{\hbox{\`eme}}$ \'epreuve}}
\leftskip-4cm
 
{\bf I.A.1)} \vtop{
  \hbox{On a :\quad$\qqs{(\alpha,\alpha')}\R^2\!,\
	\qqs{(A,A')\,=\left[\pmatrix{a&b\cr c&d},\pmatrix{a'&b'\cr c'&d'}
		\right]}{\r M_2}^{\,2}$}
  \hbox{\qquad$tr\,(\alpha A+\alpha'A')\,$\vtop{
    \hbox{$\=tr\pmatrix{\alpha a+\alpha'a'&\alpha b+\alpha'b'\cr
				\alpha c+\alpha'c'&\alpha d+\alpha'd'}
	  =\,\alpha a+\alpha'a'+\alpha d+\alpha'd'$}
    \vskip-1mm
    \hbox{$\=\alpha(a+d)+\alpha'(a'+d')
	  \=\alpha\,tr\pmatrix{a&b\cr c&d}
		+\alpha'\,tr\pmatrix{a'&b'\cr c'&d'}
	  =\,\alpha\,tr\,A+\alpha'\,tr\,A'$}}}
  \hbox{\qquad$tr\,(AA')\=tr\pmatrix{aa'+bc'&ab'+bd'\cr ca'+dc'&cb'+dd'}
	=\,aa'+bc'+cb'+dd'\=tr\,(A'A)\quad\left\{\vcenter{
    \hbox{car manifestement $(a,b,c,d)$ et}
    \hbox{$(a',b',c',d')$ jouent le m\^eme r\^ole.}}\right.$}
  \hbox{\qquad$tr\,(\transp A)\=tr\pmatrix{a&c\cr b&d}=\,a+d
	\=tr\pmatrix{a&b\cr c&d}=\,tr\,A$}
  \hbox{Donc \un{$tr$ est une forme lin\'eaire sur $\r M_2$ et :\quad
	$\qqs{(A,B)}{\r M_2}^{\,2}\quad tr\,(AB)\=tr\,(BA)$ \ et \ 
	$tr\,(\transp A)\=tr\,A$}}}

\vskip1mm
{\bf I.A.2)} \vtop{
  \hbox{$\bullet$ Tout d'abord $<\,|\,>$ est manifestement une application de
	$\r M_2^{\,2}$ vers \R.}
  \vskip.5mm
  \hbox{$\bullet$ \vtop{
    \hbox{La lin\'earit\'e de la trace \'etablie en 1) et la structure de
	  \R-alg\`ebre de $\r M_2$ permettent d'affirmer que $<\,|\,>$ est}
    \hbox{lin\'eaire \`a gauche.}}}
  \vskip.5mm
  \hbox{$\bullet$ $\qqs{(A,B)}\r M_2^{\,2}\quad\scal AB\=tr\,(A\transp B)
	\=tr\left[{\tvi80}^t(A\transp B)\right]\=tr\,(B\transp A)
	\=\scal BA$}
  \vskip.5mm
  \hbox{$\bullet$ $\qqs{A\,=\pmatrix{a&b\cr c&d}}\r M_2\quad$\vtop{
    \hbox{$\scal AA\,$\vtop{
      \hbox{$\=tr\,(A\transp A)
	    \=tr\left[\pmatrix{a&b\cr c&d}\pmatrix{a&c\cr b&d}\right]
	    =\,tr\pmatrix{a^2+b^2&ac+bd\cr ac+bd&c^2+d^2}$}
      \hbox{$\=\,a^2+b^2+c^2+d^2\ge0$\tvi90}}}
    \vskip1.5mm
    \hbox{$\scal AA\=0\iff a^2+b^2+c^2+d^2=\,0\iff a=b=c=d=0
	  \iff A\=0_{\r M_2}$}}}
  \vskip1mm
  \hbox{Donc $<\,|\,>$ est une forme bilin\'eaire sym\`etrique d\'efinie positive
	sur $\r M_2$.}
  \vskip1mm
  \hbox{Donc \un{$<\,|\,>$ est bien un produit scalaire sur $\r M_2$.}}}

\vskip1mm
{\bf I.B} \vtop{
  \hbox{$\bullet$ \vtop{
    \hbox{On a :\quad\vtop{
      \hbox{$\qqs i\{1,2\}\quad\scal{E_i}{E_i}\=tr\,(E_i\transp E_i)
	    \=tr\,(E_i^2)\=tr\,E_i\=1$}
      \hbox{$\scal{E_3}{E_3}\=tr\,(E_3\transp E_3)\=tr\,(E_3^2)
	    \=tr\left[\frac 1 2|\pmatrix{1&0\cr0&1}\right]=\,1$}
      \hbox{$\scal{E_4}{E_4}\=tr\,(E_4\transp E_4)\=tr\,(-E_4^2)
	    \=-tr\left[\frac 1 2|\pmatrix{-1&0\cr0&-1}\right]=\,1$}
      \hbox{$\scal{E_1}{E_2}\=tr\,(E_1\transp E_2)\=tr\,(E_1E_2)
	    \=tr\,0_{\r M_2}\=0$}
      \hbox{$\scal{E_1}{E_3}\=tr\,(E_1\transp E_3)\=tr\,(E_1E_3)
	    \=tr\left[\frac 1 \sqrt2|\pmatrix{0&1\cr0&0}\right]=\,0$}
      \hbox{$\scal{E_1}{E_4}\=tr\,(E_1\transp E_4)\=tr\,(-E_1E_4)
	    \=-tr\left[\frac 1 \sqrt2|\pmatrix{0&1\cr0&0}\right]=\,0$}
      \hbox{$\scal{E_2}{E_3}\=tr\,(E_2\transp E_3)\=tr\,(E_2E_3)
	    \=tr\left[\frac 1 \sqrt2|\pmatrix{0&0\cr1&0}\right]=\,0$}
      \hbox{$\scal{E_2}{E_4}\=tr\,(E_2\transp E_4)\=tr\,(-E_2E_4)
	    \=-tr\left[\frac 1 \sqrt2|\pmatrix{0&0\cr-1&0}\right]=\,0$}
      \hbox{$\scal{E_3}{E_4}\=tr\,(E_3\transp E_4)\=tr\,(-E_3E_4)
	    \=-tr\left[\frac 1 2|\pmatrix{-1&0\cr0&1}\right]=\,0$}}}
    \vskip1.5mm
    \hbox{Donc \un{${\bf B}_0$ est une base orthonormale de $\r M_2$ pour ce
	  produit scalaire.}}}}
  \vskip1.5mm
  \hbox{$\bullet$ \vtop{
    \hbox{Manifestement $E_4$ appartient \`a $\r M_2\setminus\r S_2$ donc
	  :\quad$dim\,\r S_2\le dim\,\r M_2-1\=3$}
    \hbox{Or $E_1,\ E_2$ et $E_3$ sont sym\`etriques, donc $(E_1,E_2,E_3)$ est
	  une famille orthonormale de $S_2$, donc une famille libre de
	  $\r S_2$}
    \hbox{qui est de dimension au plus 3.}
    \vskip1mm
    \hbox{Donc \un{$(E_1,E_2,E_3)$ est une base orthonormale de $\r S_2$.}}}}}

{\bf I.C.1)} On a :\quad$\un{det\,M\,=\tvi03}
  \,\left|\matrix{x_1&{1\over\sqrt2}(x_3+x_4)\cr{1\over\sqrt2}(x_3-x_4)&x_2}
	\right|
  =\,x_1x_2-\frac 1 2|(x_3^2-x_4^2)\,
  \un{=x_1x_2-\frac x_3^2 2|+\frac x_4^2 2|}$

\vskip1mm
{\bf I.C.2)} \vtop{
  \hbox{On a :\quad$\qqs{(a,b,c,d)}\R^4\quad det\circ\psi\,(a,b,c,d)
	\,=\left|\matrix{a&b\cr c&d}\right|=\,ad-bc$}
  \hbox{Ceci suffit pour affirmer que \un{$det\circ\psi$ est une forme
	quadratique} sur $\R^4\!.$}
  \hbox{De plus :\quad$\qqs{(x_1,x_2,x_3,x_4)}\R^4\quad
	det\circ\psi\left(\som i=1 4|x_ie_i\right)
	\=det\left(\som i=1 4|x_i\psi(e_i)\right)
	\=det\left(\som i=1 4|x_iE_i\right)
	=\,x_1x_2-\frac x_3^2 2|+\frac x_4^2 2|$}
  \hbox{Donc :\quad\un{$Mat_{\tvi90b}(det\circ\psi)
	\=\frac 1 2|\pmatrix{0&1&0&0\cr1&0&0&0\cr0&0&-1&0\cr0&0&0&1}$}}}

%\vfill\eject
%				FIN DE LA PAGE 1
%\parindent=0pt\hsize=15cm\vsize=27cm\parskip3mm

\leftskip-4cm
{\bf II.A} \vtop{
  \hbox{D'apr\`es {\bf I.C}, $det\circ\psi$ est une forme quadratique sur
	$\R^4\!$.}
  \hbox{De plus \ $det\circ\psi\,(1,0,0,1)\=det\,I\=1$ \ et \
	$\qqs{(M,N)}\r M_2^{\,2}\ \ det\,(MN)\=det\,M\fois det\,N.$}
  \vskip1mm
  \hbox{Donc \un{$det$ est un exemple d'application $q$ solution du probl\`eme
	expos\'e au d\'ebut de {\bf II}.}}}

\vskip1mm
{\bf II.B} \vtop{
  \hbox{On a :\quad\un{$q\big(0_{\r M_2}\big)\=q\big[\psi(0,0,0,0)\big]
	\=(q\!\circ\!\psi)\left(0_{\R^4}\right)=\,0$} \ car $q\!\circ\!\psi$
	est une forme quadratique sur $\R^4$.}
  \vskip1mm
  \hbox{$q$ n'est pas la forme quadratique nulle, soit donc $M$, \'el\'ement de
	$\r M_2$, tel que :\quad$q(M)\ne0$}
  \vskip.5mm
  \hbox{On a :\quad$q(M)\=q(IM)\=q(I)\fois q(M)$ \ donc en divisant les	deux
	membres par $q(M)$ :\quad\un{$q(I)\=1$}}}

\vskip1mm
{\bf II.C} \vtop{
  \hbox{Soit $M$ une matrice de $\r M_2$ de rang 2.}
  \hbox{Alors $M$ est inversible donc :\quad$1\=q(I)\=q\big(MM^{-1}\big)
	\=q(M)\fois q\big(M^{-1}\big)$ \ donc \ $q(M)\ne0$.}
  \vskip1mm
  \hbox{Donc, \un{si $M$ une matrice de $\r M_2$ de rang 2, alors :\quad
	$q(M)\ne0$.}}}

\vskip1mm
{\bf II.D.1)} \vtop{
  \hbox{On a :\quad$dim\,Ker\,f\=dim\,\R^2-rg\,f\=2-rg\,M\=1$.}
  \hbox{Soit donc $v$ un vecteur non nul de $Ker\,f$ et $u$ un vecteur de
	 $\R^2$ non colin\'eaire \`a $v$.}
  \hbox{Alors : \ \vtop{
    \hbox{$\bullet\ Ker\,f\=Vect\,v$}
    \hbox{$\bullet\ (u,v)$, famille libre \`a deux \'el\'ements de $\R^2\!$, est une
	  base de $\R^2\!$.}}}
  \vskip.5mm
  \hbox{De plus $u$ est non colin\'eaire \`a $v$ et $Ker\,f\=Vect\,v$, donc $u$
	n'appartient pas \`a $Ker\,f$, donc $f(u)\ne0_{\R^2}$,}
  \vskip-.5mm
  \hbox{soit donc $w$ un vecteur de $\R^2$ non colin\'eaire \`a $f(u)$.}
  \hbox{Alors $\big(w,f(u)\big)$ est une famille libre \`a deux \'el\'ements de
	$\R^2$ donc $\big(w,f(u)\big)$ est une base de $\R^2\!$.}
  \vskip.5mm
  \hbox{\un{On a donc pu trouver $(u,v,w)$ dans $\left(\R^2\right)^{\!3}$
	tels que $(u,v)$ et $\big(w,f(u)\big)$ soient deux bases de $\R^2\!$
	\ et \ $Ker\,f\=Vect\,v$}}
  \vskip1.5mm
  \hbox{Soit $P$ la matrice de passage de $(\varepsilon_1,\varepsilon_2)$ \`a
	$(u,v)$ et $Q$ la matrice de passage de
	$(\varepsilon_1,\varepsilon_2)$ \`a $\big(w,f(u)\big)$.}
  \hbox{Alors :\quad$Q^{-1}\!MP
	\=Mat_{\hskip-6mm\big((u,v),(w,f(u))\big)\tvi{12}0}\hskip-4mmf
	\,=\pmatrix{0&0\cr1&0}$}
  \hbox{Donc :\quad\un{$\exist{(P,Q)}{\big(GL_2(\R)\big)}^2\,\Big/\ PMQ
	\,=\pmatrix{0&0\cr1&0}$}}}

\vskip1mm
{\bf II.D.2)} \vtop{
  \hbox{Soient $P$ et $Q$ deux matrices telles que celles dont on vient de
	prouver l'existence.}
  \hbox{Alors :\quad$q(PMQ)\=q(P)\fois q(M)\fois q(Q)$}
  \hbox{Or, d'apr\`es {\bf II.C} :\quad$q(P)\ne0\ne q(Q)$ \ donc \
	$q(M)\=\frac q(PMQ) q(P)\fois q(Q)|$}
  \hbox{De plus :\quad$(PMQ)^2=\,0_{\r M_2}$ \ donc \ 
	$\big[q(PMQ)\big]^2=\,q\big[(PMQ)^2\big]\=q\big(0_{\r M_2}\big)\=0$
	\ donc \ $q(M)\=0$.}
  \vskip1mm
  \hbox{Donc, \un{si $M$ est une matrice de $\r M_2$ de rang 1 alors :\quad
	$q(M)\=0$.}}}

\vskip1mm
{\bf II.E} \vtop{
  \hbox{On a:\quad$\qqs M\r M_2\quad$\vtop{
    \hbox{$rg\,M\=2\donc q(M)\ne0$\quad cf. {\bf II.C}}
    \hbox{$rg\,M\=1\donc q(M)\=0$\quad cf. {\bf II.D}}
    \hbox{$rg\,M\=0\donc M\=0_{\r M_2}\donc q(M)\=0$\quad cf. {\bf II.B}}}}
  \hbox{Donc :\quad$\qqs M\r M_2\quad q(M)\ne0\iff rg\,M=2$}
  \hbox{Or :\quad$\qqs M\r M_2\quad rg\,M=2\iff\big(M$ est inversible\big)
	\qquad Donc :\quad\un{$\qqs M\r M_2\quad \big(M$ est inversible\big)$
	\iff q(M)\ne0$}}}

\vskip1mm
{\bf II.F.1)} \vtop{
  \hbox{Posons :\quad$M\,=\pmatrix{a&b\cr c&d}\quad$alors :\quad
	$\qqs\lambda\R\quad f(\lambda)
	\,=\left|\matrix{a-\lambda&b\cr c&d-\lambda}\right|
	=\,(a-\lambda)(d-\lambda)-bc\=\lambda^2-(a+d)\lambda+ad-bc$}
  \vskip1mm
  \hbox{Donc : \ \souligne
    \hbox{$f$ est une fonction polynomiale de degr\'e 2 dont le coefficient
	  dominant est 1 ;}
    \hbox{les z\'eros de $f$ sont les valeurs de $\lambda$ telles que
	  $M-\lambda I$ soit non inversible,}
    \hbox{les z\'eros de $f$ sont donc les valeurs propres de $M$, donc :\quad
	  $\qqs\lambda\R\quad f(\lambda)
	  \=(\lambda-\lambda_1)(\lambda-\lambda_2)$. }|}}

\vskip1mm
{\bf II.F.2)} \vtop{
  \hbox{$q\circ\psi$ est une forme quadratique sur $\R^4\!$, soit donc $p$ sa
	forme polaire, $p$ est une forme bilin\'eaire sym\`etrique sur $\R^4\!$.}
  \vskip.5mm
  \hbox{On a :\quad$\qqs{(x,y)}\R^4\quad$\vtop{
    \hbox{$q\circ\psi\,(x+y)\,$\vtop{
      \hbox{$\=p\,(x+y,x+y)\=p\,(x,x+y)\+p\,(y,x+y)$}
      \hbox{$\=p\,(x,x)\+p\,(x,y)\+p\,(y,x)\+p\,(y,y)
	    \=q\circ\psi\,(x)\+2\,p\,(x,y)\+q\circ\psi\,(y)$}}}
    \vskip1mm
    \hbox{et, de m\^eme :\quad$q\circ\psi\,(x-y)
	  \=q\circ\psi\,(x)\-2\,p\,(x,y)\+q\circ\psi\,(y)$}
    \vskip.5mm
    \hbox{donc, par soustraction membre \`a membre :\quad$p\,(x,y)
	\=\frac 1 4|\Big[q\circ\psi\,(x+y)\-q\circ\psi\,(x-y)\Big]$}}}
    \vskip.5mm
  \hbox{Donc :\quad$\qqs\lambda\R\quad g(\lambda)\,$\vtop{
    \hbox{$\=q\,(M-\lambda I)\=q\circ\psi\,\big[\psi^{-1}(M-\lambda I)\big]
	  \=q\circ\psi\,\big[\psi^{-1}(M)-\lambda\,\psi^{-1}(I)\big]$}
    \hbox{$\=q\circ\psi\,\big[\psi^{-1}(M)]
		\+2\,p\,\big(\psi^{-1}(M),-\lambda\,\psi^{-1}(I)\big)
		\+q\circ\psi\,\big[-\lambda\,\psi^{-1}(I)]$}
    \hbox{$\=q\,(M)\-2\lambda\,p\,\big(\psi^{-1}(M),\psi^{-1}(I)\big)
		\+\lambda^2q\circ\psi\,\big[\psi^{-1}(I)]$}
    \hbox{$\=q\,(M)\+\lambda^2q\,(I)
		\-2\lambda\fois\frac 1 4|\Big[q\circ\psi\,\big[\psi^{-1}(M)
			+\psi^{-1}(I)\big]\-q\circ\psi\,\big[\psi^{-1}(M)
			-\psi^{-1}(I)\big]\Big]$}
    \hbox{$\=q\,(M)\+\lambda^2
		-2\,\lambda\fois\frac 1 4|\Big[q\,(M+I)\-q(M-I)\Big]$}}}
  \vskip1mm
  \hbox{Donc :\quad\un{$\qqs\lambda\R\quad g(\lambda)
	\=\lambda^2-\,2\lambda\,\varphi\,(M,I)\+q\,(M)$}}}

%\vfill\eject
%				FIN DE LA PAGE 2
%\parindent=0pt\hsize=15cm\vsize=27cm\parskip3mm

\leftskip-4cm
{\bf II.F.2)} \vtop{
  \hbox{De plus, d'apr\`es {\bf II.E} :\quad\souligne
    \hbox{$\qqs\lambda\R\quad g(\lambda)\=0\,$\vtop{
      \hbox{$\iff q\,(M-\lambda I)\=0
	    \iff\big(M-\lambda I$ est non inversible$\big)$}
      \hbox{$\iff\lambda\in Sp\,M\iff\lambda\in\{\lambda_1,\lambda_2\}$}}}|}
  \vskip1.5mm
  \hbox{Donc :\quad$\qqs\lambda\R\quad g(\lambda)
	\=(\lambda-\lambda_1)(\lambda-\lambda_2)$\quad(on a vu plus haut que
	le coefficient de $\lambda^2$ est 1)}
  \vskip.5mm
  \hbox{Donc, d'apr\`es {\bf II.F.1)} :\quad$f=g$\quad donc, en particulier
	:\quad$q\,(M)\=g(0)\=f(0)\=det\,M$.}
  \vskip1mm
  \hbox{Donc, \un{pour toute matrice $M$ trigonalisable de $\r M_2$ :\quad
	$q\,(M)\=det\,M$.}}}

\vskip1mm
{\bf II.G.1)} \vtop{
  \hbox{Posons :\quad$M\,=\pmatrix{0&-1\cr1&0}$\quad et soit $f$
	l'endomorphisme de $\R^2$ dont la matrice dans $B_1$ est $M$.}
  \hbox{Alors $f$ est la rotation vectorielle de $\R^2$ d'angle ${\pi\over2}$
	donc $f$ n'a aucune valeur propre, donc $M$ n'a aucune valeur propre}
  \hbox{r\'eelle.}
  \hbox{Donc $M$ n'est pas trigonalisable dans $\r M_2$ et on ne peut donc
	pas lui appliquer le raisonnement de {\bf II.F}.}}

\vskip1mm
{\bf II.G.2)} \vtop{
  \hbox{Posons :\quad$P\,=\pmatrix{1&0\cr-{c\over a}&1}$\qquad
  	On a :\quad$PM\,=\pmatrix{1&0\cr-{c\over a}&1}\pmatrix{a&b\cr c&d}
	=\pmatrix{a&b\cr0&d-{{bc}\over a}}$}
  \vskip.5mm
  \hbox{Donc $P$ et $PM$ sont triangulaires, donc, d'apr\`es {\bf II.F.2)}
	:\quad$\left\{\ \vcenter{
    \hbox{ $q\,(P)\=det\,P\=1$}
    \vskip-1.5mm\hbox{\hskip-2mm et}\vskip-1.5mm
    \hbox{ $q\,(PM)\=det\,(PM)\=a\fois\left(d-{{bc}\over a}\right)
	  =\,ad-bc$}}\right.$}
  \hbox{Donc :\quad$ad-bc\=q\,(PM)\=q\,(P)\fois q\,(M)\=q\,(M)$}
  \hbox{Donc :\quad\un{$\qqs{M\,=\pmatrix{a&b\cr c&d}}\r M_2\quad a\ne0\donc
	q\,(M)\=ad-bc\=det\,M$}}}

\vskip1mm
{\bf II.G.3)} \vtop{
  \hbox{On a :\quad$\pmatrix{1&1\cr0&1}M
	\,=\pmatrix{1&1\cr0&1}\pmatrix{0&b\cr c&d}=\pmatrix{c&b+d\cr c&d}$}
  \hbox{Donc :\quad$q\left[\pmatrix{1&1\cr0&1}M\right]$\vtop{
    \hbox{$=\,q\pmatrix{1&1\cr0&1}q\,(M)\=det\pmatrix{1&1\cr0&1}q\,(M)
	\=q\,(M)$}
    \hbox{$=\,q\pmatrix{c&b+d\cr c&d}=\,cd-c(b+d)\=-bc\=ad-bc\=det\,M$}
    \hbox{on a utilis\'e {\bf II.F} puis {\bf II.G.2)}.}}}
  \vskip1mm
  \hbox{Donc :\quad\un{$\qqs{M\,=\pmatrix{0&b\cr c&d}}\r M_2\quad c\ne0\donc
	q\,(M)\=-bc\=ad-bc\=det\,M$}}}


\vskip1mm
{\bf II.G.4)} \vtop{
  \hbox{Si $a\ne0$ alors, d'apr\`es {\bf II.G.2)} :\quad$q\,(M)\=ad-bc
	\=det\,M$}
  \hbox{Si $a=0\ne c$ alors, d'apr\`es {\bf II.G.3)} :\quad$q\,(M)\=-bc\=ad-bc
	\=det\,M$}
  \hbox{Si $a=0=c$ alors $rg\,M\le1$ donc $M$ est non inversible donc,
	d'apr\`es {\bf II.E} :\quad$q\,(M)\=0\=det\,M$}
  \vskip1mm
  \hbox{Donc :\quad\un{$\qqs M\r M_2\quad q\,(M)\=det\,M$}}}

\vskip1mm
{\bf III.A} \vtop{
  \hbox{On a :\quad$\qqs{(x,y,z)}\R^3\quad M\coord x y z\in\Gamma_k
	\iff\left|\matrix{x&z/\sqrt2\cr z/\sqrt2&y}\right|=\,k
	\iff xy-\frac z^2 2|\=k$}
  \hbox{\un{$\Gamma_k$ est donc la quadrique d'\'equation dans {\bf R} :\quad
	$xy-\frac z^2 2|\=k$}}}

\vskip1mm
{\bf III.B.1)} \vtop{
  \hbox{Soit $M_0(x_0,y_0,z_0)$ un point de $\Gamma_0\priv\'ede O|$, on a donc
	:\quad$z_0^2\=2x_0y_0$}
  \hbox{Soit alors $\Delta$ une droite passant par $M_0$ et
	$\v V\coord{\alpha} {\beta} {\gamma}$ un vecteur directeur de
	$\Delta$.}
  \hbox{On a donc :\quad$(\alpha,\beta,\gamma)\ne0_{\R^3}$ \ et \
	$\Delta\cases{x\=x_0+\lambda\alpha\cr y\=y_0+\lambda\beta\cr
	z\=z_0+\lambda\gamma}$}
  \hbox{De plus :\quad$\Delta\subset\Gamma_0\,$\vtop{
    \hbox{$\!\iff\left(\qqs\lambda\R\quad2(x_0+\lambda\alpha)(y_0+\lambda\beta)
		\=(z_0+\lambda\gamma)^2\right)$}
    \vskip.5mm
    \hbox{$\!\iff\left(\qqs\lambda\R\quad(2x_0y_0-z_0^2)
		\+2\lambda(\alpha y_0+\beta x_0-\gamma z_0)
		\+\lambda^2(2\alpha\beta-\gamma^2)\=0\right)$}
    \vskip.5mm
    \hbox{$\!\iff\left(\qqs\lambda\R\quad\lambda^2(2\alpha\beta-\gamma^2)
		\+2\lambda(\alpha y_0+\beta x_0-\gamma z_0)\=0\right)$}
    \hbox{$\!\iff\left\{\vcenter{\hbox{$\ \ 2\alpha\beta\=\gamma^2$}
			       \vskip-1.5mm\hbox{\hskip-1mmet}\vskip-1.5mm
		 	       \hbox{$\ \ \alpha y_0+\beta x_0-\gamma z_0
				     \=0$}}
	  \right.$\qquad car seul le polyn\^ome nul a une infinit\'e de z\'eros}}}
  \hbox{\un{$1^{\hbox{er}}$ cas : $x_0=0$} \ alors \ $z_0=0\ne y_0$ \
	et :\quad$\Delta\subset\Gamma_0
	\iff\cases{\alpha y_0=0\cr2\alpha\beta=\gamma^2}
	\iff\cases{\alpha=0\cr\gamma=0}\iff\Delta\=y'y$}
  \hbox{\un{$2^{\hbox{\`eme}}$ cas : $y_0=0$} \ alors \ $z_0=0\ne x_0$ \
	et :\quad$\Delta\subset\Gamma_0
	\iff\cases{\beta x_0=0\cr2\alpha\beta=\gamma^2}
	\iff\cases{\beta=0\cr\gamma=0}\iff\Delta\=x'x$}
  \hbox{\un{$3^{\hbox{\`eme}}$ cas : $x_0y_0\ne0$}}
  \hbox{\quad\un{$1^{\hbox{er}}$ sous-cas : $\alpha=0$} \ alors \
	$\Delta\subset\Gamma_0\iff\cases{0=\gamma^2\cr\beta x_0-\gamma z_0=0}
	\iff\cases{\gamma=0\cr\beta x_0=0}\iff\beta=\gamma=0\quad\vcenter{
	\hbox{impossible car}\hbox{$(\alpha,\beta,\gamma)\ne0_{\R^3}$}}$}}

%\vfill\eject
%				FIN DE LA PAGE 3
%\parindent=0pt\hsize=15cm\vsize=27cm\parskip3mm

\leftskip-4cm
{\bf III.B.1)} \vtop{
  \hbox{\quad\un{$2^{\hbox{\`eme}}$ sous-cas : $\alpha\ne0$} \ alors \
	$\v V'\coord1 {\beta/\alpha} {\gamma/\alpha}$ dirige encore $\Delta$,
	imposons donc \ $\alpha=1$, alors :}
  \hbox{\quad\quad$\Delta\subset\Gamma_0\,$\vtop{
    \hbox{$\iff\cases{y_0+\beta x_0-\gamma z_0\=0\cr\beta=\frac\gamma^2 2|}
	  \iff\cases{\gamma^2x_0-2\gamma z_0+2y_0\=0
		     \cr\beta=\frac\gamma^2 2|}
	  \iff\cases{x_0\left(\gamma-{{z_0}\over{x_0}}\right)^2
			-\,{{z_0^2}\over{x_0}}\+2y_0\=0
		     \cr\beta=\frac\gamma^2 2|}$}
    \hbox{$\iff\cases{x_0\left(\gamma-{{z_0}\over{x_0}}\right)^2
			=\,{{z_0^2-2x_0y_0}\over{x_0}}\=0
		     \cr\beta=\frac\gamma^2 2|}
	  \iff\cases{\gamma=\frac z_0 x_0|\cr\beta=\frac z_0^2 2x_0^2|}
	  \iff\Delta\cases{x=x_0+\lambda\cr
			   y=y_0+\lambda\,{{z_0^2}\over{2x_0^2}}\cr
			   z=z_0+\lambda\,{{z_0}\over{x_0}}}$}
    \vskip.5mm
    \hbox{$\iff\Delta\cases{y=y_0+(x-x_0)\,{{z_0^2}\over{2x_0^2}}\cr
			    z=z_0+(x-x_0)\,{{z_0}\over{x_0}}}
	  \iff\Delta\cases{y\=y_0+{{z_0^2}\over{2x_0^2}}\,x
					-{{z_0^2}\over{2x_0}}
				\={{z_0^2}\over{2x_0^2}}\,x
					+{{2x_0y_0-z_0^2}\over{2x_0}}
				\={{z_0^2}\over{2x_0^2}}\,x\cr
			   z\=z_0+x\,{{z_0}\over{x_0}}-z_0
				\={{z_0}\over{x_0}}\,x}$}
    \vskip.5mm
    \hbox{$\iff\Delta\cases{z_0^2x-2x_0^2y=0\cr z_0x-x_0z=0}
	  \iff\Delta\cases{x_0y_0x-x_0^2y=0\cr z_0x-x_0z=0}
	  \iff\Delta\cases{y_0x-x_0y=0\cr z_0x-x_0z=0}$}}}
  \vskip.5mm
  \hbox{Conclusion : \ \souligne
    \hbox{Pour tout $M\coord x_0 y_0 {z_0}$ de $\Gamma_0\priv\'ede O|$
	  il existe une unique droite $\Delta_M$ passant par $M$ et trac\'ee
	  sur $\Gamma_0$ ; }
    \hbox{de plus : \ \vtop{
      \hbox{si $x_0=0$ alors $\Delta_M=y'y$,}
      \hbox{si $x_0\ne0$ alors $\Delta_M\cases{y_0x-x_0y=0\cr z_0x-x_0z=0}$
	    \quad(c'est $x'x$ si $y_0=0$ car alors $z_0=0)$}}}|}}

\vskip1mm
{\bf III.B.2)} \vtop{
  \hbox{Soit $\r P_0$ le plan tangent \`a $\Gamma_0$ en $M_0$. $\r P_0$ a pour
	\'equation dans {\bf R} :\quad$y_0(x-x_0)\+x_0(y-y_0)\-z_0(z-z_0)\=0$}
  \hbox{Cette \'equation s'\'ecrit encore :\quad
	$y_0x\+x_0y\-z_0z\=2\,x_0y_0-z_0^2$\quad or\quad
	$2\,x_0y_0-z_0^2\=0$\quad puisque $M_0\in\Gamma_0$}
  \vskip.5mm
  \hbox{\un{Le plan tangent \`a $\Gamma_0$ en $M_0$ a donc pour \'equation dans
	{\bf R} :\quad$y_0x\+x_0y\=z_0z$}}
  \vskip.5mm
  \hbox{\un{$1^{\hbox{er}}$ cas : $x_0\ne0$}\quad\vtop{
    \hbox{alors :\quad$\qqs{M\coord x y z}\r S_2\quad M\in\Delta_{M_0}$\vtop{
      \hbox{$\iff\cases{y_0x=x_0y\cr z_0x=x_0z}
	    \donc\bigg(\raise3mm\hbox{$y_0x+x_0y\vtop{
	\hbox{$\=2y_0x\={{2x_0y_0}\over{x_0}}\,x\={{z_0^2x}\over{x_0}}$}
	\hbox{$\={{z_0}\over{x_0}}\fois z_0x\={{z_0}\over{x_0}}\fois x_0z
	      \=z_0z$}}$}\bigg)$}
      \hbox{ \,$\donc M\in\r P_0$}}}
    \hbox{donc :\quad$\Delta_{M_0}\subset\r P_0$}}}
  \hbox{\un{$2^{\hbox{\`eme}}$ cas : $x_0=0$}\quad alors :\quad
	$\Delta_{M_0}=\,y'y$ \ et \ $z_0=0\ne y_0$ \ donc \   $\r P_0:x=0$ \
	donc \ $\Delta_{M_0}\subset\r P_0$}
  \vskip2mm
  \hbox{Donc, \un{pour tout $M_0$ de $\r S_2\priv\'ede O|$ le plan tangent \`a
	$\Gamma_0$ en $M_0$ contient $\Delta_{M_0}$.}}}

\vskip1mm
{\bf III.C.1)} \vtop{
  \hbox{Soit $\gamma_{-1}$ la projection orthogonale de $\Gamma_{-1}$ sur
	$xOy$.}
  \hbox{Alors :\quad$\qqs{(x,y)}\R^2\quad M\coord x {y\tvi06} 0\in\gamma_{-1}
	\iff\left(\exist z\R\,\big/\,M\coord x y z\in\Gamma_{-1}\right)
	\iff\left(\exist z\R\,\big/\,z^2=2xy+2\right)\iff xy\ge-1$}}

\vskip3cm
{\bf III.C.2)} \vtop{
  \hbox{Soit $\gamma'_{-1}$ la projection orthogonale de $\Gamma_{-1}$ sur
	$xOz$.}
  \hbox{Alors :\quad$\qqs{(x,z)}\R^2\quad
	M\coord {x\tvi03} 0 z\in\gamma'_{-1}$\vtop{
    \hbox{$\iff\left(\exist y\R\,\big/\,M\coord x y z\in\Gamma_{-1}\right)
	  \iff\left(\exist y\R\,\big/\,z^2=2xy+2\right)$}
    \hbox{$\iff\left(\exist y\R\,\big/\,\frac z^2 2|-1=xy\right)
	  \iff\hskip-1mm\left\{\vcenter{\hbox{ $x\ne0$}\vskip-.5mm
					\hbox{\hskip-1mmou}\vskip-1mm
					\hbox{ $x=0$ et $z=\pm\sqrt2$}}
	  \right.$}}}
  \vskip.5mm
  \hbox{Donc \un{la projection orthogonale de $\Gamma_{-1}$ sur	$xOz$ est
	$xOz\setminus\bigg(z'z\setminus\Big\{A\coord 0 0 {\sqrt2},
	B\coord 0 0 {-\sqrt2}\Big\}\bigg)$}}}

\vskip25mm
{\bf III.C.3)} \vtop{
  \hbox{$A\coord 0 0 {\sqrt2}$ et $B\coord 0 0 {-\sqrt2}$ sont dans
	$\Gamma_{-1}$. Posons :\quad$\Delta_1\,\cases{x=0\cr z=\sqrt2}$ \ et
	\ $\Delta_2\,\cases{x=0\cr z=-\sqrt2}$}
  \vskip1.5mm
  \hbox{Manifestement :\quad\souligne
    \hbox{$\bullet\ \Delta_1$ et $\Delta_2$ sont parall\`eles (et parall\`eles \`a
	  $y'y$)\quad$\bullet\ \Delta_1\ne\Delta_2$}
    \hbox{$\bullet\ \Delta_1\subset\Gamma_{-1}$ \,et \,
	  $\Delta_2\subset\Gamma_{-1}$ \ car \ $\Gamma_{-1}:z^2=2xy+2$}|}
  \vskip1.5mm
  \hbox{Dans le choix de $\Delta_1$ et $\Delta_2$ on aurait pu remplacer
	$x=0$ par $y=0$.}}

%\vfill\eject
%				FIN DE LA PAGE 4
%\parindent=0pt\hsize=15cm\vsize=27cm\parskip3mm

\leftskip-4cm
{\bf III.D.1)} \vtop{
  \hbox{$\Gamma_k$ a pour \'equation dans {\bf R} : \ $z^2-2xy+2k\=0$.\quad
	Or :\quad$\qqs{(x,y)}\R^2\quad 2xy
	\=\frac (x+y)^2 2|\-\frac (x-y)^2 2|$}
  \hbox{Posons donc :\quad\vtop{
    \hbox{$\pmatrix{X\cr Y\cr Z}
	  =\pmatrix{1/\sqrt2&1/\sqrt2&0\cr1/\sqrt2&-1/\sqrt2&0\cr0&0&1}
		\pmatrix{x\cr y\cr z}$ \ et donc \
	  $\pmatrix{x\cr y\cr z}
	  =\pmatrix{1/\sqrt2&1/\sqrt2&0\cr1/\sqrt2&-1/\sqrt2&0\cr0&0&1}
		\pmatrix{X\cr Y\cr Z}$}
    \hbox{\,$U\=\frac 1 \sqrt2|\,\big(E_1+E_2\big)$ \ et \
	  $V\=\frac 1 \sqrt2|\,\big(E_1-E_2\big)$}}}
  \hbox{Donc, \un{dans $(O,U,V,E_3)$, $\Gamma_k$ a pour \'equation : \
	$Z^2-X^2+Y^2+2k=0$ \ ou encore \
	$\frac X^2 2|\-\frac Y^2 2|\-\frac Z^2 2|\=k$}}}

\vskip1mm
{\bf III.D.2)} Donc \souligne
  \hbox{$\Gamma_0$ est un c\^one de r\'evolution de sommet $O$ ;}
  \hbox{$\Gamma_k$ est un hyperbolo\"{\i}de \`a une nappe de r\'evolution si $k<0$ ;}
  \hbox{$\Gamma_k$ est un hyperbolo\"{\i}de \`a deux nappes de r\'evolution si $k>0$
	; }|

\vskip1mm
{\bf IV.A.1)} \vtop{
  \hbox{$\bullet\ \Phi$ est bijective donc :\quad
	\un{$I\=\Phi\big[\Phi^{-1}(I)\big]\=\Phi\big[\Phi^{-1}(I)\fois I\big]
	\=\Phi\big[\Phi^{-1}(I)\big]\fois\Phi(I)\=I\fois\Phi(I)\=\Phi(I)$}}
  \vskip1mm
  \hbox{$\bullet$ \vtop{
    \hbox{On a :\quad$\qqs M\r S_2\quad\transp\Phi(M)\=\Phi(\transp M)
	  \=\Phi(M)$\quad donc\quad$\Phi(M)\in\r S_2$}
    \hbox{Donc :\quad$\Phi(\r S_2)\subset\r S_2$}
    \hbox{Or \ $\Phi\in GL(\r M_2)$ \ donc \,$dim\,\Phi(\r S_2)\=dim\,\r S_2$
	  \ donc \ \un{$\Phi(\r S_2)\=\r S_2$}}}}
  \vskip.5mm
  \hbox{$\bullet$ \vtop{
    \hbox{On a :\quad\vtop{
      \hbox{$-\Phi(E_4)\=\Phi(-E_4)\=\Phi(\transp E_4)\=\transp\Phi(E_4)\quad
	    $donc $\Phi(E_4)$ est antisym\`etrique,}
      \vskip.5mm
      \hbox{$\Phi(E_4\fois E_4)
	    \=\Phi\left[\frac 1 2|\pmatrix{-1&0\cr0&-1}\right]
	    =\,\Phi\left(-\frac 1 2|\,I\right)=\,-\frac 1 2|\,\Phi(I)
	    \=-\frac I 2|$}}}
    \hbox{Posons donc :\quad$\Phi(E_4)\,=\pmatrix{0&b\cr-b&0}$}
    \hbox{On a :\quad$\Phi(E_4\fois E_4)\=\Phi(E_4)\fois\Phi(E_4)
	  \,=\pmatrix{0&b\cr-b&0}\pmatrix{0&b\cr-b&0}
	  =\pmatrix{-b^2&0\cr0&-b^2}$\quad donc \,$b^2=\,\frac 1 2|$}
    \vskip1mm
    \hbox{Donc :\quad\un{$\Phi(E_4)\=\pm\pmatrix{0&1/\sqrt2\cr-1/\sqrt2&0}
	  =\,\pm E_4$}}}}}

\vskip1mm
{\bf IV.A.2)} \vtop{
  \hbox{$\bullet$ \vtop{
    \hbox{On a :\quad$\qqs MGL_2(\R)\quad I\=\Phi(I)\=\Phi\big(MM^{-1}\big)
	  \=\Phi(M)\fois\Phi\big(M^{-1}\big)$}
    \hbox{Donc :\quad$\qqs M\r M_2\quad M\in GL_2(\R)
	  \donc\Big(\Phi(M)\in GL_2(\R)$ \ et \ $\Phi\big(M^{-1}\big)
		\=\Phi(M){\tvi80}^{-1}\Big)$}}}
  \vskip1mm
  \hbox{$\bullet$ \vtop{
    \hbox{Soit $M$ une matrice de $\r M_2$ telle que $\Phi(M)$ soit
	  inversible.}
    \hbox{Posons :\quad$N\=\Phi^{-1}\big[\Phi(M){\tvi80}^{-1}\big]$\quad
	  alors :\quad$\Phi(MN)\=\Phi(M)\fois\Phi(N)
	  \=\Phi(M)\fois\Phi(M){\tvi80}^{-1}=\,I\=\Phi(I)$}
    \hbox{or $\Phi$ est bijective donc :\quad$MN\=I$\quad donc $M$ est
	  inversible.}
    \hbox{Donc :\quad$\qqs M\r M_2\quad\Phi(M)\in GL_2(\R)
	  \donc M\in GL_2(\R)$}
    \vskip.5mm
    \hbox{Regroupons :\quad\un{$\qqs M\r M_2\quad M\in GL_2(\R)
	  \iff\Phi(M)\in GL_2(\R)$}}}}
  \vskip1mm
  \hbox{$\bullet$ \vtop{
    \hbox{On a :\quad$\Gamma_0\=\big\{M\in\r S_2\,\big/\,det\,M\=0\big\}$}
    \hbox{Donc :\quad$\qqs M\r M_2\quad M\in\Gamma_0$\vtop{
      \hbox{$\iff\left\{\vcenter{\hbox{ $det\,M\=0$}
				 \vskip-1mm\hbox{\hskip-.7mm et}\vskip-1mm
				 \hbox{ $M\in\r S_2$}}\right.
	    \iff\left\{\vcenter{\hbox{ $M$ non inversible}
				\vskip-1mm\hbox{\hskip-.7mm et}\vskip-1mm
				\hbox{ $\transp M\=M$}}\right.
	    \iff\left\{\vcenter{\hbox{ $\Phi(M)$ non inversible}
				\vskip-1mm\hbox{\hskip-.7mm et}\vskip-1mm
				\hbox{ $\Phi\big(\transp M\big)\=\Phi(M)$}}
				\right.$}
      \hbox{$\iff\left\{\vcenter{\hbox{ $det\,\Phi(M)\=0$}
				\vskip-1mm\hbox{\hskip-.7mm et}\vskip-1mm
				\hbox{ $\transp\Phi(M)\=\Phi(M)$}}\right.
	    \iff\left\{\vcenter{\hbox{ $det\,\Phi(M)\=0$}
				\vskip-1mm\hbox{\hskip-.7mm et}\vskip-1mm
				\hbox{ $\Phi(M)\in\r S_2$}}\right.
	    \iff\Phi(M)\in\Gamma_0$}
      \vskip.5mm
      \hbox{\hskip-15mm\big(pour la troisi\`eme \'equivalence, on a utilis\'e
	    l'alin\'ea ci-dessus et le caract\`ere bijectif de $\Phi$\big)}}}
    \vskip.5mm
    \hbox{Donc, $\Phi$ \'etant bijective :\quad
	  \un{$\Phi(\Gamma_0)\=\Gamma_0$}}}}}

\vskip1mm
{\bf IV.B.1)} \vtop{
  \hbox{\un{Hypoth\`ese : $\Phi_A$ v\'erifie {\bf P}}\quad alors, d'apr\`es
	{\bf IV.A.1)} :\quad$I\=\Phi_A(I)\=AIA\=A^2\quad$donc \ $A^2=\,I$.}
  \vskip1mm
  \hbox{\un{Hypoth\`ese : $A^2=\,I$}}
  \vskip.5mm
  \hbox{\quad alors : \ \vtop{
    \hbox{$\bullet$ $\r M_2$ est une \R-alg\`ebre donc
	  \un{$\Phi_A$ est lin\'eaire}\quad(vrai pour tout $A$ de $\r M_2$)}
    \vskip.5mm
    \hbox{$\bullet$ \vtop{
      \hbox{$\qqs M\r M_2\ \ \Phi_A(M)=0_{\r M_2}\hskip-2mm
	    \iff\!AMA=0_{\r M_2}\hskip-2mm\iff\!A^2MA^2\!=A\,0_{\r M_2}\!A
	    \hskip-2mm\iff\!IMI=0_{\r M_2}\hskip-2mm\iff\!M=0_{\r M_2}$}
      \hbox{donc :\quad$Ker\,\Phi_A\=\big\{0_{\r M_2}\big\}$\quad donc
	    \un{$\Phi_A$ est bijective}\quad
	    ($\r M_2$ est de dimension finie)}}}
    \vskip.5mm
    \hbox{$\bullet$ $\qqs{(M,M')}{\r M_2}^{\,2}\ \ \un{\Phi_A(MM')=}\,AMM'A
	  =AMIM'A=AMA^2M'A=AMAAM'A\,\un{=\Phi_A(M)\fois\Phi_A(M')}$}
    \vskip.5mm
    \hbox{$\bullet$ $\qqs M\r M_2\quad\un{\transp\Phi_A(M)=}\,\transp(AMA)
	  =\transp A\transp M\transp A=A\transp MA\,
	  \un{=\Phi_A\big(\transp M\big)}$}
    \vskip.5mm
    \hbox{donc $\Phi_A$ v\'erifie {\bf P}.}}}
  \vskip1mm
  \hbox{Donc :\quad\un{$\qqs A\r S_2\quad\big(\Phi_A$ v\'erifie {\bf P}\big)
	$\iff A^2=\,I$}}}

\vskip1mm
{\bf IV.B.2)} \vtop{
  \hbox{$A$ appartient \`a $\r S_2$ et $A^2$ \'egale $I$ donc :\quad
	$\transp AA\=A^2=\,I$\quad donc $A$ est une matrice orthogonale
	sym\`etrique.}
  \hbox{Or : \ $\bullet$ les seules matrices orthogonales droites sym\`etriques
	de $\r M_2$ sont $I$ et $-I$\quad
	$\bullet$ $A$ est distinct de $I$ et $-I$.}
  \vskip.5mm
  \hbox{Donc $A$ est une matrice orthogonale gauche de $\r M_2$, donc :\quad
	\un{$\exist\theta[0,2\pi[\ \big/\ A\,
	=\pmatrix{cos\,\theta&sin\,\theta\cr sin\,\theta&-cos\,\theta}$}}}

%\vfill\eject
%				FIN DE LA PAGE 5
%\parindent=0pt\hsize=15cm\vsize=27cm\parskip3mm

\leftskip-4cm
{\bf IV.B.2)} \vtop{
  \hbox{On a :\quad$\Phi_A(E_4)\,$\vtop{
    \hbox{$\=AE_4A
	  \=\frac 1 \sqrt2|
		\pmatrix{cos\,\theta&sin\,\theta\cr sin\,\theta&-cos\,\theta}
		\pmatrix{0&1\cr-1&0}
	      \pmatrix{cos\,\theta&sin\,\theta\cr sin\,\theta&-cos\,\theta}$}
    \hbox{$\=\frac 1 \sqrt2|
		\pmatrix{-sin\,\theta&cos\,\theta\cr cos\,\theta&sin\,\theta}
		\pmatrix{cos\,\theta&sin\,\theta\cr sin\,\theta&-cos\,\theta}
	  \=\frac 1 \sqrt2|\pmatrix{0&-1\cr1&0}=\,-E_4$}}}
  \vskip.5mm
  \hbox{Donc :\quad\un{$\Phi_A(E_4)\=-E_4$}}}

\vskip1mm
{\bf IV.B.3)} \vtop{
  \hbox{On a :\quad$\qqs A\r S_2\priv\'ede -I, I|\quad
	\big(\Phi_A$ v\'erifie {\bf P}\big)\vtop{
    \hbox{$\iff A^2=\,I\iff\left[\exist\theta[0,2\pi[\ \Big/\,A\,=
       \pmatrix{cos\,\theta&sin\,\theta\cr sin\,\theta&-cos\,\theta}\right]$}
    \hbox{$\iff\Big(\exist\theta[0,2\pi[\ \big/\,
		A\=(E_1-E_2)\,cos\,\theta\+\sqrt2\,E_3\,sin\,\theta\Big)$}}}
  \vskip.5mm
  \hbox{Or $(O,E_1,E_2,E_3)$ est un rep\`ere orthonormal de $\r S_2$, donc
	:\quad$\left\{\vcenter{
		\hbox{ \,$\|E_1-E_2\|^2=\,\|E_1\|^2+\,\|E_2\|^2=\,2$}
		\vskip-1mm\hbox{\hskip-.7mm et}\vskip-1mm 
		\hbox{ \,$\|\sqrt2\,E_3\|\=\sqrt2\,\|E_3\|\=\sqrt2$}}\right.$}
  \hbox{donc :\quad$\|E_1-E_2\|\=\|\sqrt2\,E_3\|\=\sqrt2$}
  \vskip1mm
  \hbox{\un{Donc $\big\{A\in\r S_2\priv\'ede -I, I|\ \big/\,\Phi_A$ v\'erifie
	{\bf P}\big\} est le cercle de centre $0_{\r M_2}$ de rayon $\sqrt2$
	dans le plan $(O,E_1$-$E_2,E_3)$.}}}

\vskip1mm
{\bf IV.B.4)} \vtop{
  \hbox{On a :\quad$\|\Phi_A(M)\|^2$\vtop{
    \hbox{$\=\|AMA\|^2=\,tr\big[AMA\,{\tvi80}^t(AMA)\big]
	  \=tr\big[AMA\transp A\transp M\transp A\big]
	  \=tr\big[AMAA\transp MA\big]\=tr\big[AMA^2\transp MA\big]$}
    \hbox{$\=tr\big[AM\transp MA\big]\=tr\big[\transp MAAM\big]
	  \=tr\big[\transp MA^2M\big]\=tr\big[\transp MM\big]
	  \=tr\big[M\transp M\big]\=\|M\|^2$}
    \vskip.5mm
    \hbox{on a utilis\'e :\quad$\bullet\ A\in\r S_2\quad\bullet\ A^2=\,I\quad
	  \bullet$ {\bf I.A.1}}}}
  \vskip1mm
  \hbox{Donc :\quad\un{$\qqs A\r S_2\quad A^2=\,I\donc\big(\qqs M\r M_2\quad
	\|\Phi_A(M)\|\=\|M\|\big)$}}
  \vskip1mm
  \hbox{Donc :\quad\un{$\qqs A\r S_2\quad A^2=\,I\donc
	\Phi_A\in\r O(\r M_2)$}}
  \vskip1mm
  \hbox{Or :\quad$\qqs M\r M_2\quad\Phi_A\circ\Phi_A(M)\=\Phi_A(AMA)
	\=A(AMA)A\=A^2MA^2=\,M$\quad donc :\quad
	\un{$\Phi_A\circ\Phi_A\=Id_{\r M_2}$}}
  \vskip1mm
  \hbox{Posons :\quad$F\=Ker\,\big(\Phi_A-Id_{\r M_2}\big)$ \,et \,
	$G\=Ker\,\big(\Phi_A+Id_{\r M_2}\big)$}
  \hbox{$F$ et $G$ sont diff\'erents de $\big\{O_{\r M_2}\big\}$ car $I$
	appartient \`a $F$ et $E_4$ appartient \`a $G$.}
  \vskip.5mm
  \hbox{On a : \ \vtop{
    \hbox{$\bullet$ $F$ et $G$ sont en somme directe car ce sont deux
	  sous-espaces propres de $\Phi_A$,}
    \vskip.5mm
    \hbox{$\bullet$ \vtop{
      \hbox{$\qqs M\r M_2$ \ \vtop{
	\hbox{$M\=\frac M+\Phi_A(M) 2|\+\frac M-\Phi_A(M) 2|$}
        \vskip.5mm
	\hbox{$\Phi_A\left(\frac M+\Phi_A(M) 2|\right)
	      =\,\frac 1 2|\big[\Phi_A(M)+\Phi_A\circ\Phi_A(M)\big]
	      \=\frac M+\Phi_A(M) 2|$}
        \vskip.5mm
	\hbox{$\Phi_A\left(\frac M-\Phi_A(M) 2|\right)
	      =\,\frac 1 2|\big[\Phi_A(M)-\Phi_A\circ\Phi_A(M)\big]
	      \=-\frac M-\Phi_A(M) 2|$}
	\hbox{donc :\quad$\frac M+\Phi_A(M) 2|\in F$ \ et \
	      $\frac M-\Phi_A(M) 2|\in G$\quad donc :\quad$M\in F+G$}}}
      \hbox{donc :\quad$\r M_2=\,F+G.$}}}}}
  \vskip.5mm
  \hbox{Donc :\quad$\r M_2\=F\oplus G
	\=Ker\,\big(\Phi_A-Id_{\r M_2}\big)\oplus
		Ker\,\big(\Phi_A+Id_{\r M_2}\big)$}
  \vskip.5mm
  \hbox{Donc $\Phi_A$ est la sym\`etrie par rapport \`a
	$Ker\,\big(\Phi_A-Id_{\r M_2}\big)$ parall\`element \`a
	$Ker\,\big(\Phi_A+Id_{\r M_2}\big)$, or $\Phi_A$ appartient}
  \hbox{\`a $\r O(\r M_2)$, donc \un{pour tout $A$ de $\r S_2$ tel que
	$A^2\!=I$, \,$\Phi_A$ est la sym\`etrie orthogonale par rapport \`a
	$Ker\,\big(\Phi_A-Id_{\r M_2}\big)$}}}

\vskip1mm
{\bf IV.B.5.a)} \vtop{
  \hbox{On sait que : \ \vtop{
    \hbox{$\bullet\ \Phi_A$ est la sym\`etrie orthogonale par rapport \`a
	  $Ker\,\big(\Phi_A-Id_{\r M_2}\big)$}
    \hbox{$\bullet\ \Phi_A(\r S_2)\=\r S_2\quad\bullet\ dim\,\r S_2=\,3\quad
	  \bullet\{I,A\}\subset\r S_2\quad
	  \bullet\ \{I,A\}\subset Ker\,\big(\Phi_A-Id_{\r M_2}\big)\quad
	  \bullet\ A\notin\R I$}}}
  \vskip.5mm
  \hbox{La restriction de $\Phi_A$ \`a $\r S_2$ est donc soit la r\'eflexion par
	rapport \`a $Vect\,\{I,A\}$ soit $Id_{\r S_2}$.}
  \vskip.5mm
  \hbox{Or :\quad\vtop{
    \hbox{$\{E_1,E_3\}\subset\r S_2$}
    \hbox{$\Phi_A(E_1)\,$\vtop{
      \hbox{$\=\pmatrix{cos\,\theta&sin\,\theta\cr sin\,\theta&-cos\,\theta}
		\pmatrix{1&0\cr0&0}
		\pmatrix{cos\,\theta&sin\,\theta\cr sin\,\theta&-cos\,\theta}
	    =\pmatrix{cos\,\theta&0\cr sin\,\theta&0}
	      \pmatrix{cos\,\theta&sin\,\theta\cr sin\,\theta&-cos\,\theta}$}
      \hbox{$\=\pmatrix{cos^2\theta&cos\,\theta\,sin\,\theta\cr
		cos\,\theta\,sin\,\theta&sin^2\theta}$\quad donc 
	    $\Phi_A(E_1)$ diff\`ere de $E_1$ sauf si $\theta$ appartient \`a
	    $\{0,\pi\}$}}}
    \hbox{$\Phi_A(\sqrt2\,E_3)\,$\vtop{
      \hbox{$\=\pmatrix{cos\,\theta&sin\,\theta\cr sin\,\theta&-cos\,\theta}
		\pmatrix{0&1\cr1&0}
		\pmatrix{cos\,\theta&sin\,\theta\cr sin\,\theta&-cos\,\theta}
	    =\pmatrix{sin\,\theta&cos\,\theta\cr-cos\,\theta&sin\,\theta}
	      \pmatrix{cos\,\theta&sin\,\theta\cr sin\,\theta&-cos\,\theta}$}
      \hbox{$\=\pmatrix{sin\,2\theta&-cos\,2\theta\cr
		-cos\,2\theta&-sin\,2\theta}$\quad donc 
	    $\Phi_A(\sqrt2\,E_3)$ diff\`ere de $\sqrt2\,E_3$ sauf si $\theta$
	    appartient \`a $\left\{{{\pi}\over2}\virgule{{3\pi}\over2}\right\}
	    $}}}}}
  \vskip.5mm
  \hbox{La restriction de $\Phi_A$ \`a $\r S_2$ n'est donc pas $Id_{\r S_2}$.}
  \vskip.5mm
  \hbox{\un{La restriction de $\Phi_A$ \`a $\r S_2$ est donc la r\'eflexion par
	rapport au plan $Vect\,\{I,A\}$}.}}

%\vfill\eject
%				FIN DE LA PAGE 6
%\parindent=0pt\hsize=15cm\vsize=27cm\parskip3mm

\leftskip-4cm
{\bf IV.B.5.b)} \vtop{
  \hbox{On a :\quad$U\=\frac E_1+E_2 \sqrt2|\=\frac I \sqrt2|\virgule\qquad
	V\=\frac E_1-E_2 \sqrt2|\=\frac 1 \sqrt2|\pmatrix{1&0\cr0&-1},\qquad
	E_3\=\frac 1 \sqrt2|\pmatrix{0&1\cr1&0}$}
  \hbox{Donc :\quad\vtop{
    \hbox{$\Phi_A(U)\=\Phi_A\left(\frac I \sqrt2|\right)\=\frac I \sqrt2|
	  \=U,\qquad$}
    \hbox{$\Phi_A(V)\,$\vtop{
      \hbox{$=\frac 1 \sqrt2|
		\pmatrix{cos\,\theta&sin\,\theta\cr sin\,\theta&-cos\,\theta}
		\pmatrix{1&0\cr0&-1}
		\pmatrix{cos\,\theta&sin\,\theta\cr sin\,\theta&-cos\,\theta}
	    =\frac 1 \sqrt2|
		\pmatrix{cos\,\theta&-sin\,\theta\cr sin\,\theta&cos\,\theta}
	      \pmatrix{cos\,\theta&sin\,\theta\cr sin\,\theta&-cos\,\theta}$}
      \hbox{$=\frac 1 \sqrt2|\pmatrix{cos\,2\theta&sin\,2\theta\cr
		sin\,2\theta&-cos\,2\theta}
	    =\,V\,cos\,2\theta\+E_3sin\,2\theta$,}}}
    \hbox{$\Phi_A(E_3)\=\frac 1 \sqrt2|
		\pmatrix{sin\,2\theta&-cos\,2\theta\cr
		-cos\,2\theta&-sin\,2\theta}
	  =\,V\,sin\,2\theta\-E_3cos\,2\theta$}}}
  \hbox{Donc :\quad\un{$Mat_{(U,V,E_3)\tvi70}\Phi_A\,=\pmatrix{
		1&0&0\cr0&cos\,2\theta&sin\,2\theta\cr
		0&sin\,2\theta&-cos\,2\theta}$}}}

\vskip1mm
{\bf IV.C.1)} \vtop{
  \hbox{Posons :\quad$\qqs{(x,y)}{\big({\R^4}\big)^{\!2}}\quad\varphi(x,y)
	\=\frac 1 4|\,\big[det\circ\Phi\circ\psi\,(x+y)
		\-det\circ\Phi\circ\psi\,(x-y)\big]$}
  \vskip.5mm
  \hbox{Ainsi : \ \vtop{
    \hbox{$\bullet$ $\varphi$ est une application de ${\big(\R^4\big)}^{\!2}$
	  vers \R,}
    \hbox{$\bullet$ $\qqs x\R^4\quad4\,\varphi(x,x)\,$\vtop{
      \hbox{$=det\!\circ\!\Phi\!\circ\!\psi\,(2x)
		-det\!\circ\!\Phi\!\circ\!\psi\,\big(0_{\R^4}\big)
	    =det\big[2\,\Phi\!\circ\!\psi\,(x)\big]-det\,0_{\r M_2}$ \ car \
	    $\cases{\varphi\in\r L(\r M_2)\cr\psi\in\r L(\R^4,\r M_2)}$}
      \hbox{$\=4\,det\!\circ\!\Phi\!\circ\!\psi\,(x)$}}}}}
  \vskip.5mm
  \hbox{\un{Prouver que $det\!\circ\!\Phi\!\circ\!\psi$ est une forme
	quadratique sur $\R^4$ revient donc \`a prouver que $\varphi$ est
	bilin\'eaire et sym\`etrique.}}
  \vskip.5mm
  \hbox{Or :\quad$\qqs{(x,y)}{\big(\R^4\big)^2}\quad4\,\varphi(y,x)\,$\vtop{
    \hbox{$=det\!\circ\!\Phi\!\circ\!\psi\,(y+x)
		-det\!\circ\!\Phi\!\circ\!\psi\,(y-x)
	  =det\!\circ\!\Phi\!\circ\!\psi\,(x+y)
		-det\big[-\Phi\!\circ\!\psi\,(x-y)\big]$}
    \hbox{$=det\!\circ\!\Phi\!\circ\!\psi\,(x+y)
		-(-1)^2det\!\circ\!\Phi\!\circ\!\psi\,(x-y)
	  \=4\,\varphi(x,y)$}
    \hbox{\hskip-1cmon a utilis\'e \,$\Phi\!\circ\!\psi\in\r L(\R^4,\r M_2)$}}}
  \hbox{donc \un{$\varphi$ est sym\`etrique.}}
  \hbox{De plus :\quad$\qqs{(M,M')=\!\left[\pmatrix{a&b\cr c&d},
	\pmatrix{a'&b'\cr c'&d'}\right]}{\r M_2}^{\,2}$}
  \hbox{\qquad$det\,(M+M')\,$\vtop{
    \hbox{$=\left|\matrix{a+a'&b+b'\cr c+c'&d+d'}\right|
	  =\left|\matrix{a&b+b'\cr c&d+d'}\right|
		+\left|\matrix{a'&b+b'\cr c'&d+d'}\right|
	  =\left|\matrix{a&b\cr c&d}\right|
		+\left|\matrix{a&b'\cr c&d'}\right|
		+\left|\matrix{a'&b\cr c'&d}\right|
		+\left|\matrix{a'&b'\cr c'&d'}\right|$}
    \hbox{$=\,det\,M\+det\,M'\,+\left|\matrix{a&b'\cr c&d'}\right|
	  -\left|\matrix{b&a'\cr d&c'}\right|$}}}
  \vskip.5mm
  \hbox{Soit donc $x$, $x'$ et $y$ trois \'el\'ements de $\R^4$ et $\lambda$ un
	r\'eel.}
  \hbox{Posons :\quad$\Phi\!\circ\!\psi\,(x)\,=\pmatrix{a&b\cr c&d},\qquad
	\Phi\!\circ\!\psi\,(y)\,=\pmatrix{\alpha&\beta\cr\gamma&\delta},
	\qquad\Phi\!\circ\!\psi\,(x')\,=\pmatrix{a'&b'\cr c'&d'}$}
  \hbox{On a :\quad$4\,\varphi(\lambda x,y)\,$\vtop{
    \hbox{$\=det\!\circ\!\Phi\!\circ\!\psi\,(\lambda x+y)
		-det\!\circ\!\Phi\!\circ\!\psi\,(\lambda x-y)
	  \=det\big[\lambda\Phi\!\circ\!\psi\,(x)+\Phi\!\circ\!\psi\,(y)\big]
		-det\big[\lambda\Phi\!\circ\!\psi\,(x)
			-\Phi\!\circ\!\psi\,(y)\big]$}
    \hbox{$\=det\big[\lambda\Phi\!\circ\!\psi\,(x)\big]
		+det\big[\Phi\!\circ\!\psi\,(y)\big]
		+\!\left|\matrix{\lambda a&\hskip-2mm\beta\cr
			\lambda c&\hskip-2mm\delta}\right|
		-\!\left|\matrix{\lambda b&\hskip-2mm\alpha\cr
			\lambda d&\hskip-2mm\gamma}\right|$}
    \vskip-1mm
    \hbox{\hskip50mm$\-\Big(det\big[\lambda\Phi\!\circ\!\psi\,(x)\big]
		+det\big[$-$\Phi\!\circ\!\psi\,(y)\big]
		+\!\left|\matrix{\lambda a&\hskip-2mm$-$\beta\cr
			\lambda c&\hskip-2mm$-$\delta}\right|
	     -\!\left|\matrix{\lambda b&\hskip-2mm$-$\alpha\cr
			\lambda d&\hskip-2mm$-$\gamma}\right|\Big)$}
    \vskip-2mm
    \hbox{$\=2\lambda\left|\matrix{a&\hskip-2mm\beta\cr
			c&\hskip-2mm\delta}\right|
		-\,2\lambda\left|\matrix{b&\hskip-2mm\alpha\cr
			d&\hskip-2mm\gamma}\right|$}}}
  \hbox{En particulier, si l'on donne la valeur 1 \`a $\lambda$, on obtient
	:\quad$\varphi(x,y)
	\=\frac 1 2|\left(\left|\matrix{a&\hskip-2mm\beta\cr
			c&\hskip-2mm\delta}\right|
		-\left|\matrix{b&\hskip-2mm\alpha\cr
			d&\hskip-2mm\gamma}\right|\right)$}
  \hbox{Donc, \un{pour tout $(\lambda,x,y)$ de $\R\fois\R^4\fois\R^4$ : \
	$\varphi\,(\lambda x,y)\=\lambda\,\varphi\,(x,y)$}}
  \vskip1.5mm
  \hbox{On a encore :\quad$4\,\varphi\,(x+x',y)\,$\vtop{
    \hbox{$\=det\!\circ\!\Phi\!\circ\!\psi\,(x+x'+y)
		-det\!\circ\!\Phi\!\circ\!\psi\,(x+x'-y)$}
    \hbox{$\=det\big[\Phi\!\circ\!\psi\,(x)+\Phi\!\circ\!\psi\,(x'+y)\big]
	     -det\big[\Phi\!\circ\!\psi\,(x)+\Phi\!\circ\!\psi\,(x'-y)\big]$}
    \hbox{$\=det\big[\Phi\!\circ\!\psi\,(x)\big]
			+det\big[\Phi\!\circ\!\psi\,(x'+y)\big]
			+\!\left|\matrix{a&\hskip-1mmb'+\beta\cr
				c&\hskip-1mmd'+\delta}\right|
			\!-\!\left|\matrix{b&\hskip-1mma'+\alpha\cr
				d&\hskip-1mmc'+\gamma}\right|$}
    \vskip-1mm
    \hbox{\hskip36mm$\-\Big(det\big[\Phi\!\circ\!\psi\,(x)\big]
			+det\big[\Phi\!\circ\!\psi\,(x'-y)\big]
			+\!\left|\matrix{a&\hskip-1mmb'-\beta\cr
				c&\hskip-1mmd'-\delta}\right|
			\!-\!\left|\matrix{b&\hskip-1mma'-\alpha\cr
				d&\hskip-1mmc'-\gamma}\right|\Big)$}
    \hbox{$\=4\,\varphi(x',y)
		+\!\left|\matrix{a&\hskip-2mm2\beta\cr
			c&\hskip-2mm2\delta}\right|
		\!-\!\left|\matrix{b&\hskip-2mm2\alpha\cr
			d&\hskip-2mm2\gamma}\right|
	  =\,4\,\varphi(x',y)
		+\,2\left(\left|\matrix{a&\hskip-2mm\beta\cr
			c&\hskip-2mm\delta}\right|
		\!-\!\left|\matrix{b&\hskip-2mm\alpha\cr
			d&\hskip-2mm\gamma}\right|\right)
	  =\,4\big[\varphi(x',y)+\varphi(x,y)\big]$}}}
  \hbox{\hskip25mm ceci pour tout $(x,x',y)$ de $\big(\R^4\big)^3$}
  \vskip1mm
  \hbox{R\'esumons : \ $\varphi$ est sym\`etrique et lin\'eaire \`a gauche, $\varphi$
	est donc bilin\'eaire et sym\`etrique.}
  \hbox{Ceci suffit pour conclure que $det\!\circ\!\Phi\!\circ\!\psi$ est une
	forme quadratique sur $\R^4\!$.}
  \vskip1mm
  \hbox{De plus, d'apr\`es {\bf IV.A.1} :\quad
	$det\!\circ\!\Phi\!\circ\!\psi\,(1,0,0,1)\=det\!\circ\!\Phi\,(I)
	\=det\,I\=1$}
  \vskip1mm
  \hbox{Donc \un{$det\!\circ\!\Phi\!\circ\!\psi$ est bien une forme
	quadratique non nulle sur $\R^4\!.$}}}

%\vfill\eject
%				FIN DE LA PAGE 7
%\parindent=0pt\hsize=15cm\vsize=27cm\parskip3mm

\leftskip-4cm
{\bf IV.C.2)} \vtop{
  \hbox{De plus :\quad$\qqs{(M,N)}{\r M_2}^{\,2}\quad det\!\circ\!\Phi\,(MN)
	\=det\big[\Phi(M)\fois\Phi(N)\big]
	\=det\big[\Phi(M)\big]\fois det\big[\Phi(N)\big]
	\=\big[det\!\circ\!\Phi\,(M)\big]\fois\big[det\!\circ\!\Phi\,(N)\big]
	$}
  \vskip1mm
  \hbox{Donc, d'apr\`es {\bf II} :\quad\un{$\qqs M\r M_2\quad
	det\big[\Phi(M)\big]\=det\,M.$}}
  \vskip1mm
  \hbox{Donc :\quad$\qqs{(k,M)}\R\fois\r M_2\quad M\in\Gamma_k\,$\vtop{
    \hbox{$\iff\cases{det\,M\=k\cr\transp M\=M}
	  \iff\cases{det\big[\Phi\,(M)\big]\=k\cr
		\Phi\big(\transp M\big)\=\Phi\,(M)}$\qquad
	  car $\Phi$ est bijective}
    \hbox{$\iff\cases{det\big[\Phi\,(M)\big]\=k\cr
		{\tvi80}^t\big[\Phi\,(M)\big]\=\Phi\,(M)}
	  \iff\Phi\,(M)\in\Gamma_k$}}}
  \vskip1.5mm
  \hbox{Donc, encore en utilisant le caract\`ere bijectif de $\Phi$ :\quad
	\un{$\qqs k\R\quad\Phi\,(\Gamma_k)\=\Gamma_k$}}}

\vskip1mm
{\bf IV.C.3)} \vtop{
  \hbox{Posons :\quad$Mat_{(U,V,E_3,E_4)\tvi60}\Phi\=(a_{i,j})\in\r M_4(\R)$}
  \hbox{D'apr\`es {\bf IV.A.1} : \ \vtop{
    \hbox{$\bullet\ \Phi\,(U)\=\Phi\left({I\over\sqrt2}\right)
	  \={I\over\sqrt2}\=U$\quad donc : \
	  \un{$a_{2,1}=\,a_{3,1}=\,a_{4,1}=\,0$}}
    \hbox{$\bullet$ \vtop{
      \hbox{$(V,E_3)\in{{\r S_2}^{\!2}}$ \ et \
	    $\Phi\,(\r S_2)=\r S_2=Vect\,(U,V,E_3)$ \ donc \
	    $\big(\Phi\,(V),\Phi\,(E_3)\big)\in\big[Vect\,(U,V,E_3)\big]^2$}
      \hbox{\,donc : \ \un{$a_{4,2}=\,a_{4,3}=\,0$}}}}
    \vskip.5mm
    \hbox{$\bullet\ \Phi\,(E_4)\=\pm E_4$ \ donc : \
	  \un{$a_{1,4}=\,a_{2,4}=\,a_{3,4}=\,0$ \ et \ $a_{4,4}=\,\pm1$}}}}
  \vskip1mm
  \hbox{On a : \ \vtop{
    \hbox{$\bullet\ U\=\frac I \sqrt2|,\qquad
	  V\=\frac 1 \sqrt2|\pmatrix{1&0\cr0&-1},\qquad
	  E_3=\,\frac 1 \sqrt2|\pmatrix{0&1\cr1&0}$}
    \hbox{$\bullet$ \vtop{
      \hbox{$det\,V\=-\frac 1 2|$}\vskip-1mm
      \hbox{$det\,\Phi\,(V)\=det\,\big(a_{1,2}U+a_{2,2}V+a_{3,2}E_3\big)
	    \=\frac 1 2|\left|\matrix{a_{1,2}+a_{2,2}&\hskip-2mma_{3,2}\cr
		a_{3,2}&\hskip-2mma_{1,2}-a_{2,2}}\right|
	    \!=\,\frac 1 2|\big(a_{1,2}^2-a_{2,2}^2-a_{3,2}^2\big)$}
      \hbox{donc, d'apr\`es {\bf IV.C.2} :\quad
	    \un{$a_{2,2}^2+a_{3,2}^2-a_{1,2}^2\=1$}}}}
    \hbox{$\bullet$ \vtop{
      \hbox{$det\,E_3\=-\frac 1 2|$\quad et\quad
	    $det\,\Phi\,(E_3)\=det\,\big(a_{1,3}U+a_{2,3}V+a_{3,3}E_3\big)
	    \=\frac 1 2|\big(a_{1,3}^2-a_{2,3}^2-a_{3,3}^2\big)$}
      \hbox{donc, d'apr\`es {\bf IV.C.2} :\quad
	    \un{$a_{2,3}^2+a_{3,3}^2-a_{1,3}^2\=1$}}}}
    \vskip.5mm
    \hbox{$\bullet$ \vtop{
      \hbox{$det\,(U+V)\=det\,(\sqrt2\,E_1)\=0$}
      \hbox{$det\big[\Phi\,(U+V)\big]\,$\vtop{
	\hbox{$\=det\big[\Phi\,(U)+\Phi\,(V)\big]
	      \=det\,\big[(1+a_{1,2})U+a_{2,2}V+a_{3,2}E_3\big]
	      \=\frac 1 2|\big[(1+a_{1,2})^2-a_{2,2}^2-a_{3,2}^2\big]$}
	\hbox{$\=\frac 1 2|\big[(1+2a_{1,2}+a_{1,2}^2-a_{2,2}^2-a_{3,2}^2
		\big]
	      \=\frac 1 2|\,(1+2a_{1,2}-1)\=a_{1,2}$}}}
      \vskip.5mm
      \hbox{donc, d'apr\`es {\bf IV.C.2} :\quad\un{$a_{1,2}=\,0$}}}}
    \vskip.5mm
    \hbox{$\bullet$ \vtop{
      \hbox{$det\,(U+E_3)\=det\left[\frac 1 \sqrt2|\pmatrix{1&1\cr1&1}\right]
	    =\,0$}
      \vskip.5mm
      \hbox{$det\big[\Phi\,(U+E_3)\big]\=det\big[\Phi\,(U)+\Phi\,(E_3)\big]
	    \=det\,\big[(1+a_{1,3})U+a_{2,3}V+a_{3,3}E_3\big]\=a_{1,3}$}
      \vskip.5mm
      \hbox{donc, d'apr\`es {\bf IV.C.2} :\quad\un{$a_{1,3}=\,0$}}}}}}
  \hbox{Donc :\quad$a_{2,2}^2+a_{3,2}^2\=a_{2,3}^2+a_{3,3}^2\=1$,\quad soit
	donc $\theta$ et $\theta'$, \'el\'ements de $[0,2\pi[$, tels que :\quad
	$\cases{a_{2,2}=cos\,\theta,\ \ a_{3,2}=sin\,\theta\cr
	        a_{2,3}=cos\,\theta'\!,\ \ a_{3,3}=sin\,\theta'}$}
  \hbox{Enfin : \ \vtop{
    \hbox{$det\,(V+E_3)\=det\left[\frac 1 \sqrt2|\pmatrix{1&1\cr1&-1}\right]
	    =\,-1$}
    \vskip.5mm
    \hbox{$det\big[\Phi\,(V+E_3)\big]\,$\vtop{
      \hbox{$\=det\big[\Phi\,(V)+\Phi\,(E_3)\big]
	    \=det\,\big[(a_{2,2}+a_{2,3})V+(a_{3,2}+a_{3,3})E_3\big]$}
      \hbox{$\=\frac 1 2|\left|\matrix{a_{2,2}+a_{2,3}&
			\hskip-2mma_{3,2}+a_{3,3}\cr
		a_{3,2}+a_{3,3}&\hskip-2mm-a_{2,2}-a_{2,3}}\right|
	   \=\frac 1 2|\big[-(a_{2,2}+a_{2,3})^2-(a_{3,2}+a_{3,3})^2\big]$}}}
    \vskip.5mm
    \hbox{donc, d'apr\`es {\bf IV.C.2} :\quad
	  $(a_{2,2}+a_{2,3})^2+(a_{3,2}+a_{3,3})^2\=2$}
    \vskip.5mm
    \hbox{donc :\quad$cos^2\theta+2\,cos\,\theta\,cos\,\theta'+cos^2\theta'
		+sin^2\theta+2\,sin\,\theta\,sin\,\theta'+sin^2\theta'\=2$}
    \vskip.5mm
    \hbox{donc :\quad$cos\,(\theta-\theta')\=0$\quad or\quad
	  $\theta-\theta'\in\,]$-$2\pi,2\pi[$\quad donc\quad
	  $\theta'-\theta\in\left\{\hbox{-}\frac{3\pi} 2|\virgule\,
		\hbox{-}\frac{\pi} 2|\virgule\frac{\pi} 2|\virgule
		\frac{3\pi} 2|\right\}$}
    \vskip-1mm
    \hbox{si \ $\theta'-\theta\in\left\{\hbox{-}\frac{3\pi} 2|\virgule
	  \frac{\pi} 2|\right\}$ \ alors \
	  $\theta'=\theta+\frac{\pi} 2|+\alpha$ \ avec \
	  $\alpha\in\{0,$-$2\pi\}$ \ donc \ $\cases{cos\,\theta'
	  =\,cos\left(\theta+\frac{\pi} 2|\right)=-sin\,\theta\cr
	  sin\,\theta'=\,sin\left(\theta+\frac{\pi} 2|\right)=\,cos\,\theta}
	  $}
    \hbox{si \ $\theta'-\theta\in\left\{\hbox{-}\frac{\pi} 2|\virgule
	  \frac{3\pi} 2|\right\}$ \ alors \ $\theta'
	  =\theta-\frac{\pi} 2|+\alpha$ \ avec \
	  $\alpha\in\{0,2\pi\}$ \ donc \ $\cases{cos\,\theta'
	  =\,cos\left(\theta-\frac{\pi} 2|\right)=\,sin\,\theta\cr
	  sin\,\theta'=\,sin\left(\theta-\frac{\pi} 2|\right)=-cos\,\theta}
	  $}}}
  \vskip1mm
  \hbox{Donc, en regroupant :\quad
	\un{$\exist{(\theta,\varepsilon,\varepsilon')}[0,2\pi[\,
	\fois\{-1,1\}{\tvi80}^2\ \Big/\ Mat_{\bf B\tvi90}\Phi\,=\pmatrix{
	1&0&0&0\cr0&cos\,\theta&\varepsilon'\,sin\,\theta&0\cr
	0&sin\,\theta&-\varepsilon'\,cos\,\theta&0\cr0&0&0&\varepsilon}$}}}

%\vfill\eject
%				FIN DE LA PAGE 8
%\parindent=0pt\hsize=15cm\vsize=27cm\parskip3mm

\leftskip-4cm
{\bf IV.C.4.a)} \vtop{
  \hbox{On a :\quad$A\=\sqrt2\,\left[cos\left({\theta\over\sqrt2}\right)V
		\+sin\left({\theta\over\sqrt2}\right)E_3\right]
	=\pmatrix{cos\left({\theta\over\sqrt2}\right)&
		sin\left({\theta\over\sqrt2}\right)\cr
		sin\left({\theta\over\sqrt2}\right)&
		-cos\left({\theta\over\sqrt2}\right)}$\quad
	donc\quad$A^2=\,I$.}
  \vskip1mm
  \hbox{Donc, d'apr\`es {\bf IV.B.1}, $\Phi_A$ v\'erifie {\bf P}, de plus, par
	hypoth\`ese, $\Phi$ v\'erifie  {\bf P}.}
  \vskip1mm
  \hbox{Donc : \ \vtop{
    \hbox{$\bullet\ \Phi$ et $\Phi_A$ appartiennent \`a $GL(\r M_2)$ donc
	  $\Phi\!\circ\!\Phi_A$ appartient \`a $GL(\r M_2)$,}
    \hbox{$\bullet\ \qqs{(M,M')}{\r M_2}^{\,2}\quad$\vtop{
      \hbox{$\Phi\!\circ\!\Phi_A(MM')
	    \=\Phi\left[\Phi_A(M)\fois\Phi_A(M')\right]
	    =\,\Phi\!\circ\!\Phi_A(M)\fois\Phi\!\circ\!\Phi_A(M')$}
      \vskip.5mm
      \hbox{$\Phi\!\circ\!\Phi_A\big(\transp M\big)
	    \=\Phi\left[{\tvi80}^t\Phi_A(M)\right]
	    =\,{\tvi80}^t\left(\Phi\left[\Phi_A(M)\right]\right)
	    =\,{\tvi80}^t\big[\Phi\!\circ\!\Phi_A(M)\big]$}}}}}
  \vskip-1mm
  \hbox{Donc \un{$\Phi\!\circ\!\Phi_A$ v\'erifie {\bf P}.}}
  \vskip1mm
  \hbox{Par ailleurs :\quad$A\,=\pmatrix{
		cos\left({\theta\over\sqrt2}\right)&
		\hskip-2mmsin\left({\theta\over\sqrt2}\right)\cr
		sin\left({\theta\over\sqrt2}\right)&
		\hskip-2mm-cos\left({\theta\over\sqrt2}\right)}$\quad
	donc\quad$A\in\r S_2\priv\'ede -I,I|$\quad donc, d'apr\`es {\bf IV.B.2}
	:\quad$\Phi_A(E_4)=-E_4$}
  \vskip-1mm
  \hbox{et, d'apr\`es {\bf IV.B.5}, la restriction de $\Phi_A$ \`a $\r S_2$ a
	pour matrice dans $(U,V,E_3)$ :\quad$\pmatrix{1&0&0\cr
		0&cos\,\theta&sin\,\theta\cr0&sin\,\theta&-cos\,\theta}$}
  \vskip.5mm
  \hbox{Donc :\quad\un{$Mat_{(U,V,E_3,E_4)\tvi80}\Phi\!\circ\!\Phi_A
	\,=\pmatrix{1&0&0&0\cr0&cos\,\theta&\,sin\,\theta&0\cr
			0&sin\,\theta&-\,cos\,\theta&0\cr0&0&0&\varepsilon}
		\pmatrix{1&0&0&0\cr0&cos\,\theta&sin\,\theta&0\cr
			0&sin\,\theta&-cos\,\theta&0\cr0&0&0&-1}
	=\pmatrix{1&0&0&0\cr0&1&0&0\cr0&0&1&0\cr0&0&0&-\varepsilon}$}}}

\vskip1mm
{\bf IV.C.4.b)} \vtop{
  \hbox{On a : \ \vtop{
    \hbox{$\Phi(E_3E_4)\,$\vtop{
      \hbox{$\=\Phi\left[\frac 1 2|\pmatrix{0&1\cr1&0}\pmatrix{0&1\cr-1&0}
		\right]
	    =\,\frac 1 2|\,\Phi\pmatrix{-1&0\cr0&1}
	    =\,\frac 1 2|\,\Phi\,(E_2-E_1)
	    \=\frac 1 2|\,\Phi\big(-\sqrt2\,V\big)$}
      \hbox{$\=-\frac 1 \sqrt2|\,\Phi\,(V)
	     \=-\frac 1 \sqrt2|\,\big(cos\,\theta\,V\+sin\,\theta\,E_3\big)
	     \=-\frac 1 2|\pmatrix{cos\,\theta&\hskip-2mmsin\,\theta\cr
		sin\,\theta&\hskip-2mm-cos\,\theta}$}}}
    \vskip.5mm
    \hbox{$\Phi(E_3E_4)\,$\vtop{
      \hbox{$\=\Phi(E_3)\fois\Phi(E_4)
	    \=\big(sin\,\theta\,V\-cos\,\theta\,E_3\big)\,\varepsilon E_4$}
      \hbox{$\=\frac 1 \sqrt2|\pmatrix{sin\,\theta&\hskip-2mm-cos\,\theta\cr
		-cos\,\theta&\hskip-2mm-sin\,\theta}
		\frac{\varepsilon} \sqrt2|\pmatrix{0&1\cr-1&0}
	    =\,\frac{\varepsilon} 2|
		\pmatrix{cos\,\theta&\hskip-2mmsin\,\theta\cr
			sin\,\theta&\hskip-2mm-cos\,\theta}$}}}}}
  \hbox{Donc :\quad\un{$\varepsilon\=-1$}}
  \vskip1.5mm
  \hbox{Donc \ $\Phi\!\circ\!\Phi_A=\,Id_{\r M_2}$ \ or, d'apr\`es
	{\bf IV.B.4}, $\Phi_A$ est une sym\`etrie (orthogonale) donc \
	$\Phi_A\!\circ\!\Phi_A=\,Id_{\r M_2}$}
  \vskip1mm
  \hbox{Donc :\quad\un{$\Phi\=\Phi\!\circ\!\big(\Phi_A\!\circ\!\Phi_A\big)
	\=\big(\Phi\!\circ\!\Phi_A\big)\!\circ\!\Phi_A
	\=Id_{\r M_2}\!\circ\!\Phi_A\=\Phi_A$}}}

\vskip1mm
{\bf IV.C.5)} \vtop{
  \hbox{En reprenant les calculs de {\bf IV.C.4.b)}, on obtient : \ \vtop{
    \hbox{$\Phi(E_3E_4)
	  \=-\frac 1 2|\pmatrix{cos\,\theta&\hskip-2mmsin\,\theta\cr
		sin\,\theta&\hskip-2mm-cos\,\theta}$}
    \vskip.5mm
    \hbox{$\Phi(E_3E_4)\,$\vtop{
      \hbox{$\=\Phi(E_3)\fois\Phi(E_4)
	    \=\big(-sin\,\theta\,V\+cos\,\theta\,E_3\big)\,\varepsilon E_4$}
      \hbox{$\=-\frac{\varepsilon} 2|
		\pmatrix{cos\,\theta&\hskip-2mmsin\,\theta\cr
			sin\,\theta&\hskip-2mm-cos\,\theta}$}}}}}
  \vskip-3mm
  \hbox{Donc :\quad\un{$\varepsilon\=1$}}
  \vskip1.5mm
  \hbox{Soit $\varphi$ un \'el\'ement de $[0,2\pi[$, posons :\quad
	$B\=\sqrt 2\,\left[cos\left({\varphi\over2}\right)V
		\+sin\left({\varphi\over2}\right)E_3\right]$}
  \vskip.5mm
  \hbox{Comme en {\bf IV.C.4.a)} :\quad$Mat_{\bf B\tvi80}\Phi_A
	\,=\pmatrix{1&0&0&0\cr0&cos\,\theta&sin\,\theta&0\cr
			0&sin\,\theta&-cos\,\theta&0\cr0&0&0&-1}$\quad
	et\quad$Mat_{\bf B\tvi80}\Phi_B
	\,=\pmatrix{1&0&0&0\cr0&cos\,\varphi&sin\,\varphi&0\cr
			0&sin\,\varphi&-cos\,\varphi&0\cr0&0&0&-1}$}
  \vskip.5mm
  \hbox{Donc :\quad$Mat_{\bf B\tvi80}\Phi_B\!\circ\!\Phi_A\ $\vtop{
    \hbox{$=\pmatrix{1&0&0&0\cr0&cos\,\varphi&sin\,\varphi&0\cr
			0&sin\,\varphi&-cos\,\varphi&0\cr0&0&0&-1}
		\pmatrix{1&0&0&0\cr0&cos\,\theta&sin\,\theta&0\cr
			0&sin\,\theta&-cos\,\theta&0\cr0&0&0&-1}$}
    \vskip.5mm
    \hbox{$=\pmatrix{1&0&0&0\cr
		0&cos\,\varphi\,cos\,\theta+sin\,\varphi\,sin\,\theta&
		     cos\,\varphi\,sin\,\theta-sin\,\varphi\,cos\,\theta&0\cr
		0&sin\,\varphi\,cos\,\theta-cos\,\varphi\,sin\,\theta&
		     sin\,\varphi\,sin\,\theta+cos\,\varphi\,cos\,\theta&0\cr
		0&0&0&1}$}
    \vskip.5mm
    \hbox{$=\pmatrix{1&0&0&0\cr
		0&cos\,(\varphi-\theta)&-sin\,(\varphi-\theta)&0\cr
		0&sin\,(\varphi-\theta)&cos\,(\varphi-\theta)&0\cr
		0&0&0&1}$\quad pour \ $\varphi\=2\theta$ on retrouve
	  $Mat_{\bf B\tvi80}\Phi$}}}
  \vskip1.5mm
  \hbox{Donc, \un{avec \
	$B\=\sqrt2\,\big(cos\,\theta\,V\+sin\,\theta\,E_3\big)$, on a :\quad
	$\Phi\=\Phi_B\!\circ\!\Phi_A$}}}
\end{document}
