\documentclass[11pt,a4paper]{article}
\usepackage[frenchb]{babel}
\usepackage{amsfonts, amsmath, amssymb, mathrsfs}
\setlength{\topmargin}{-13mm}
\setlength{\oddsidemargin}{-12mm}
\setlength{\textwidth}{17 cm}
\setlength{\textheight}{24 cm}
\parindent=0pt
\begin{document}

%Source m02dt4e


%Num{\'e}rotation
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\Roman{enumi}.}}
\renewcommand{\labelenumii}{\arabic{enumii}.}
\renewcommand{\labelenumiii}{\alph{enumiii}.}

%Macros
\renewcommand{\leq}{\leqslant}
\renewcommand{\geq}{\geqslant}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\NomPropre}[1]{#1}
\newcommand{\set}[1]{\left \{ #1 \right \}}
\newcommand{\ouvert}[2]{\left ] #1, #2 \right [}
\newcommand{\segment}[2]{\left [ #1, #2 \right ]}
\newcommand{\segmN}[2]{\left [ \left | #1, #2 \right  | \right ]}
\newcommand{\abs}[1]{\left | #1 \right |}
\newcommand{\scal}[2]{\left \langle #1,  #2 \right \rangle}
\newcommand{\norme}[1]{\left \| #1 \right \|}
\newcommand{\D}{\operatorname d}
\newcommand{\integ}[4]{\displaystyle{\int_{#1}^{#2}#3  \ \D #4}}
\newcommand{\somme}[3]{\sum_{#1}^{#2}\limits{#3}}
\newcommand{\systeme}[1]{\left \{ \begin{array}{l}  #1 \end{array} \right.}




{\Large $\star$ Banque fili{\`e}re PT $\star$}

\begin{center}
\textbf{{\Large {\'E}preuve de Math{\'e}matiques II-B}}

\bigskip
Dur{\'e}e 4 h
\end{center}

\hrule

\begin{center}{\large \underline{L'usage des machines {\`a} calculer est interdit.}}\end{center}

\begin{center}{\large Toutes les r{\'e}ponses seront justifi{\'e}es.}


{\large La notation tiendra compte du soin apport{\'e} {\`a} la r{\'e}daction}
\end{center}



Dans tout le probl{\`e}me, $p$, $q$ et $f$ d{\'e}signent trois fonctions d{\'e}finies et continues sur $\segment{0}{1}$ telles que $p$ est de classe $C^{1}$ (contin{\^u}ment d{\'e}rivable) sur $\segment{0}{1}$ et v{\'e}rifiant :

\centerline{$\forall x \in \segment{0}{1}, p(x) > 0$ \quad et \quad $q(x)  \geq  0$.}


\begin{enumerate}
\item %Partie I
\textbf{Pr{\'e}liminaires.}
\begin{enumerate}
\item %I.1.
Soit $E$ un espace vectoriel r{\'e}el muni d'un produit scalaire not{\'e} $\scal{\ }{\ }$ et dont la norme euclidienne associ{\'e}e est not{\'e}e $\norme{\ }$.
Prouver que :

\centerline{$\forall (x, y) \in E^{2}, 2 \scal{x}{y} = \norme{x+y}^{2} - \norme{x}^{2} - \norme{y}^{2}$.}

\item %I.2.
\begin{enumerate}
\item %I.2.a.
D{\'e}montrer l'in{\'e}galit{\'e} de \NomPropre{Cauchy}-\NomPropre{Schwarz} :

\centerline{$\forall (x, y) \in E^{2}, \abs{\scal{x}{y}}  \leq  \norme{x} \ \norme{y}$.}

(On pourra s'int{\'e}resser {\`a} la fonction $\lambda \mapsto \norme{\lambda x + y}^{2}$ de la variable r{\'e}elle $\lambda$.)

\item %I.2.b.
Montrer que $\abs{\scal{x}{y}} = \norme{x} \ \norme{u}$ si et seulement si $\set{x, y}$ est une famille li{\'e}e de $E$.

\item %I.2.c.
En d{\'e}duire que si $f$ et $g$ sont deux fonctions r{\'e}elles continues sur $\segment{0}{a}$ (o{\`u} $a$ est un r{\'e}el strictement positif),

\centerline{$\abs{\integ{0}{a}{f(t) g(t)}{t}}  \leq  \sqrt{\left(\integ{0}{a}{f^{2}(t)}{t}\right) \left(\integ{0}{a}{g^{2}(t)}{t}\right)}$.}
\end{enumerate}

\item %I.3.
Soit $E$ un espace vectoriel r{\'e}el, $N$ une application de $E$ dans $\R$ {\`a} valeurs positives ou nulles et v{\'e}rifiant
$\forall x \in E, N(x) = N(-x)$.

On pose $\varphi(x, y) = \dfrac{1}{2} \left(N^{2}(x+y) - N^{2}(x) - N^{2}(y)\right)$ et on suppose que $\varphi$ est un produit scalaire.

Apr{\`e}s avoir v{\'e}rifi{\'e} que $N(0_{E})$ est nul (o{\`u} $0_{E}$ d{\'e}signe l'{\'e}l{\'e}ment nul de $E$), prouver que $N$ est la norme euclidienne associ{\'e}e {\`a} $\varphi$.
\end{enumerate}

\item %Partie II.
\textbf{{\'E}quivalence de normes.}
\begin{enumerate}
\item %II.1.
Justifier l'existence de trois r{\'e}els positifs $p_{0}$, $p_{1}$ et $q_{1}$ tels que :

\centerline{$\forall x \in \segment{0}{1}, 0 < p_{0}  \leq  p(x)  \leq  p_{1}$ et $q(x)  \leq  q_{1}$.}

\item %II.2
Soit $H$ l'espace vectoriel r{\'e}el form{\'e} des fonctions r{\'e}elles de classe $C^{1}$ sur $\segment{0}{1}$ s'annulant en $0$ et $1$, c'est-{\`a}-dire :

\centerline{$H = \set{u \in C^{1}\left(\segment{0}{1}, \R\right), u(0) = u(1) = 0}$.}

Pour tout couple $(u, v)$ de fonctions de $H$, on pose :

\centerline{$\scal{u}{v} = \integ{0}{1}{\left(u(t) v(t) + u'(t) v'(t)\right)}{t}$,}

\centerline{$b(u, v) = \integ{0}{1}{\left(q(t) u(t) v(t) + p(t) u'(t) v'(t)\right)}{t}$,}

\centerline{$L(v) = \integ{0}{1}{f(t) v(t)}{t}$.}

\begin{enumerate}
\item %II.3.a
V{\'e}rifier que $L$ est une forme lin{\'e}aire sur $H$.
\item %II.3.b
Montrer que $(u, v) \mapsto \scal{u}{v}$ est un produit scalaire sur $H$.
On pose alors :

\centerline{$\norme{u} = \sqrt{\scal{u}{u}}$.}

\item %II.3.c
Montrer que $(u, v) \mapsto b(u, v)$ est un produit scalaire sur H.
\end{enumerate}

\item %II.3.
\begin{enumerate}
\item %II.3.a.
Prouver, en utilisant la question \textbf{I (2) c}, l'existence d'un r{\'e}el positif $\gamma$ tel que :

\centerline{$\forall v \in H, \abs{L(v)}  \leq  \gamma \norme{v}$.}

\item %II.3.b.
Prouver de m{\^e}me l'existence d'un r{\'e}el $\delta$ strictement positif tel que :

\centerline{$\forall (u, v) \in H^{2}, \abs{b(u, v)}  \leq  \delta \norme{u} \ \norme{v}$.}
\end{enumerate}

\item %II.4.
\begin{enumerate}
\item %II.4.a.
Prouver {\`a} l'aide de la question \textbf{I (2) c} que pour toute fonction $v$ de $H$ et pour tout r{\'e}el $x$ de $\segment{0}{1}$

\centerline{$v^{2}(x)  \leq  x \integ{0}{1}{v'^{2}(t)}{t}$.}

\item %II.4.a
En d{\'e}duire que :

\centerline{$\forall v \in H, p_{0} \norme{v}^{2}  \leq  \dfrac{3}{2} b(v, v)$.}
\end{enumerate}

\item %II.5.
Soient $u_{1}$ et $u_{2}$ des fonctions de $H$ v{\'e}rifiant
$\forall v \in H, b(u_{1}, v) = L(v) = b(u_{2}, v)$.

Prouver que $u_{1} = u_{2}$.

\item %II.6.
Soit $G$ l'espace vectoriel r{\'e}el form{\'e} des fonctions r{\'e}elles continues, $C^{1}$ par morceaux s'annulant en $0$ et $1$, c'est-{\`a}-dire :

\centerline{$G = \set{u \in C^{0}\left(\segment{0}{1}, \R\right), u(0) = u(1) = 0, u \mbox{ est continue et } C^{1} \mbox{ par morceaux sur } \segment{0}{1}}$.}

\begin{enumerate}
\item %II.6.a.
Apr{\`e}s avoir rappel{\'e} la d{\'e}finition d'une fonction $C^{1}$ par morceaux sur $\segment{0}{1}$, montrer que $\scal{u}{v}$ et $b(u, v)$ peuvent {\^e}tre d{\'e}finies lorsque $u$ et $v$ sont {\'e}l{\'e}ments de $G$.

\item %II.6.b
V{\'e}rifier que $b(v, v) = 0$ avec $v \in G$ si et seulement si
$\forall x \in \segment{0}{1}, v(x) = 0$.
\end{enumerate}
On admet que $(u, v) \mapsto \scal{u}{v}$ et $(u, v) \mapsto b(u, v)$ sont encore des produits scalaires sur $G$, et on continue {\`a} noter $\norme{\ }$ la norme euclidienne associ{\'e}e au produit scalaire $\scal{\ }{\ }$.
\end{enumerate}

\item %Partie III.
\textbf{{\'E}quation de \NomPropre{Sturm}-\NomPropre{Liouville}.}

On s'int{\'e}resse aux solutions de classe $C^{2}$ sur $\segment{0}{1}$ de :

$$\forall x \in \segment{0}{1}, - \dfrac{\D}{\D x}\left(p(x) u'(x)\right) + q(x) u(x) = f(x) \eqno{(1)}$$

v{\'e}rifiant de plus

$$u(0) = u(1) = 0 \eqno{(2)}$$

On admet dans toute la suite que les fonctions $p$, $q$ et $f$ sont choisies de telle sorte qu'il existe au moins une solution de l'{\'e}quation diff{\'e}rentielle $(1)$ v{\'e}rifiant les conditions initiales $(2)$.

\begin{enumerate}
\item %III.1.
R{\'e}soudre le probl{\`e}me pos{\'e} lorsque $p(x) = e^{-\alpha x}$ (avec $\alpha$ r{\'e}el non nul), $q(x) = 0$ et $f(x)~=~-2~n_{0}~\pi~\cos{(2n_{0}\pi x)}$ (avec $n_{0}$ entier naturel non nul).

\item %III.2
On revient au cas g{\'e}n{\'e}ral.
Soit $u$ une solution du probl{\`e}me pos{\'e} (c'est-{\`a}-dire v{\'e}rifiant $(1)$ et $(2)$), prouver que :

$$\forall v \in H, b(u, v) = L(v) \eqno{(3)}$$

En d{\'e}duire que l'{\'e}quation $(3)$ admet une unique solution $u$ dans $H$.

\item %III.3
On pose, pour tout {\'e}l{\'e}ment $v$ de $H$, $J(v) = \dfrac{1}{2} b(v, v) - L(v)$ et on d{\'e}signe par $u$ l'unique solution de $(3)$ dans $H$.
\begin{enumerate}
\item %III.3.a
En calculant $J(u+w)$ avec $w \in H$, prouver que :

\centerline{$\forall v \in H, J(u)  \leq  J(v)$.}

\item %III.3.b
R{\'e}ciproquement, soit $u_{0}$ un {\'e}l{\'e}ment de $H$ tel que
$\forall v \in H, J(u_{0})  \leq  J(v)$.

{\'E}tablir, en calculant $J(u_{0} + \lambda w)$ pour tout r{\'e}el $\lambda$, que :

\centerline{$\forall w \in H, b(u_{0}, w) = L(w)$.}
\end{enumerate}
$u$ est donc l'unique fonction de $H$ r{\'e}alisant le minimum de $J$ sur $H$.

\item %III.4
On d{\'e}signe par $W$ un sous-espace vectoriel de $G$ de dimension $d$ de base $(\varphi_{i})_{1 \leq i \leq d}$ et par $\pi_{W}$ la projection orthogonale sur $W$ pour le produit scalaire $b$.
\begin{enumerate}
\item %III.4.a
Montrer que
$\forall w \in W, b(\pi_{W}(u) - u, \pi_{W}(u)-u)  \leq  b(w-u, w-u)$.

\item %III.4.b
Prouver que $u_{W} = \pi_{W}(u)$ si et seulement si $u_{W}$ est {\'e}l{\'e}ment de $W$ et v{\'e}rifie

\centerline{$\forall v \in W, b(u_{W}, v) = L(v)$.}

\item %III.4.c
Soit $(\alpha_{1}, {\dots}, \alpha_{d})$ les composantes de $u_{W}$ dans la base $(\varphi_{i})_{1 \leq i \leq d}$.
Montrer que ces composantes sont solutions du syst{\`e}me :

$$\forall i \in \segmN{1}{d}, \somme{j=1}{d}{b(\varphi_{i}, \varphi_{j}) \alpha_{j}} = L(\varphi_{i}). \eqno{(4)}$$

Prouver que ce syst{\`e}me est un syst{\`e}me de \NomPropre{Cramer}.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\item %Partie IV.
\textbf{Approximations de la solution $u$.}

Soit $n$ un entier naturel non nul : on pose $h = \dfrac{1}{n+1}$ et pour tout entier naturel $i$, $x_{i} = ih$.
De plus, pour $i$ compris entre $1$ et $n$, on d{\'e}signe par $\varphi_{i}$ la fonction d{\'e}finie par :

$\systeme{x \in \segment{x_{i-1}}{x_{i+1}} \Rightarrow \varphi_{i}(x) = 1 - \dfrac{\abs{x -x_{i}}}{h} \\
x \notin \segment{x_{i-1}}{x_{i+1}} \Rightarrow \varphi_{i}(x) = 0}$

\begin{enumerate}
\item %IV.1
\begin{enumerate}
\item %IV.1.a
Tracer le graphe d'une fonction $\varphi_{i}$ et v{\'e}rifier que pour tout $i$, $\varphi_{i}$ est {\'e}l{\'e}ment de $G$.
\item %IV.1.b
Soit $W_{n}$ le sous-espace de $G$ engendr{\'e} par la famille $\set{\varphi_{i}}_{1 \leq i \leq n}$.

Soit $\varphi = \somme{i=1}{n}{t_{i} \varphi_{i}}$ un {\'e}l{\'e}ment de $W_{n}$. Quelle est la valeur de $t_{i}$ ?
En d{\'e}duire que les fonctions $(\varphi_{i})_{1 \leq i \leq n}$ forment une base de $W_{n}$.
\item %IV.1.c
Prouver que si $\abs{j-i}  \geq  2$, $b(\varphi_{i}, \varphi_{j}) = 0$.
\end{enumerate}

\item %IV.2
Dans cette question, $p(x) = e^{-\alpha x}$ (avec $\alpha$ r{\'e}el non nul) et $q(x) = 0$.
\begin{enumerate}
\item %IV.2.a
Calculer $b(\varphi_{i}, \varphi_{j})$ pour $1  \leq  i  \leq n$ et $1  \leq  j  \leq n$.
\item %IV.2.b
Calculer alors le d{\'e}terminant du syst{\`e}me $(4)$ lorsque $n = 2$ et retrouver que dans ce cas particulier ce syst{\`e}me est un syst{\`e}me de Cramer.
\end{enumerate}

\item %IV.3
On pose $w_{n} = \somme{i=1}{n}{u(x_{i}) \varphi_{i}}$.
\begin{enumerate}
\item %IV.3.a
{\'E}tablir l'{\'e}galit{\'e} suivante, pour $1  \leq  i  \leq  n+1$ :

\centerline{$\forall x \in \segment{x_{i-1}}{x_{i}}, u(x) - w_{n}(x) = \dfrac{1}{h} \integ{x_{i-1}}{x_{i}}{\left(\integ{x_{i-1}}{x_{i}}{\left(\integ{y}{t}{u''(z)}{z}\right)}{y}\right)}{t}$.}

\item %IV.3.b
En d{\'e}duire {\`a} l'aide d'une in{\'e}galit{\'e} donn{\'e}e par la question \textbf{I (2) c} que :

\centerline{$\forall x \in \segment{x_{i-1}}{x_{i}}, \abs{u(x) - w_{n}(x)}  \leq  h^{3/2} \left(\integ{x_{i-1}}{x_{i}}{\left(u''(z)\right)^{2}}{z}\right)^{1/2}$.}

\item %IV.3.c
Prouver de m{\^e}me que :

\centerline{$\forall x \in \ouvert{x_{i-1}}{x_{i}}, \abs{u'(x) - w'_{n}(x)}  \leq  h^{1/2} \left(\integ{x_{i-1}}{x_{i}}{\left(u''(z)\right)^{2}}{z}\right)^{1/2}$.}
\end{enumerate}

\item %IV.4.
Montrer alors que :

\centerline{$\norme{u - w_{n}}  \leq  \dfrac{\sqrt{5} h}{2} \left(\integ{0}{1}{\left(u''(z)\right)^{2}}{z}\right)^{1/2}$.}

Quelle interpr{\'e}tation vous sugg{\`e}re cette in{\'e}galit{\'e} ?

Rappel : $\norme{\ }$ est la norme euclidienne associ{\'e}e au produit scalaire $\scal{\ }{\ }$.
\end{enumerate}

\item %Partie V.
\textbf{Appendice.}

Ce probl{\`e}me provient de la mod{\'e}lisation des vibrations de cordes fix{\'e}es aux deux extr{\'e}mit{\'e}s. La recherche d'une solution sous forme de s{\'e}rie conduit {\`a} la r{\'e}solution d'un probl{\`e}me de Sturm-Liouville o{\`u} $u$ est le d{\'e}placement vertical en un point d'abscisse $x$, $p$ et $q$ sont des caract{\'e}ristiques de la corde et $f$ est li{\'e}e aux forces appliqu{\'e}es {\`a} la corde.
\end{enumerate}

\end{document}
