\documentclass[12pt,a4paper]{amsart}
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% D\'{e}finition des listes de questions d'un devoir
\newcounter{quest}
\newcounter{squest}
\newenvironment{liq}[1] % Liste des questions
        {\begin{list}
        {\bfseries #1.\arabic{quest}.}
        {\usecounter{quest}
        \setlength{\listparindent}{0cm}
        \setlength{\labelwidth}{1.5cm}
        \setlength{\leftmargin}{1cm}
        \setlength{\parsep}{0.5ex plus0.2ex minus0.1ex}
        \setlength{\itemsep}{0.7ex plus0.2ex minus0.1ex}}
        }{\end{list}}
\newenvironment{lsq} % Liste des sous questions
        {\begin{list}
        {\bfseries \alph{squest}.}
        {\usecounter{squest}}
        }{\end{list}}


\newcommand{\dd}{\operatorname{d}\! }
\newcommand{\id}{\operatorname{Id} }
\newcommand{\vect}{\operatorname{Vect} }

\begin{document}
\title{Correction de l'\'{e}preuve ENSAE 2002}
\maketitle


                         \medskip

\centerline{\sc Premi\`{e}re partie}

                         \medskip

\begin{liq}{I}
  %I.1
  \item Soient $(x,y)\in K^{2}$ alors $T_n(x)-T_n(y)=\left(1-\dfrac{1}{n}\right)[T(x)-T(y)]$ donc
  \begin{itemize}
    \item $\|T_n(x)-T_n(y)\|\le \left(1-\dfrac{1}{n}\right)\|x-y\|$ i.e. $T_n$ est strictement contractante,

    \item comme $T_n(x)$ est barycentre de $T(x)(1-1/n)$ et de $a(1/n)$ alors $T_n(K)\subset K$,

    \item et enfin $E$ est un espace de Banach
  \end{itemize}
  on peut donc appliquer le th\'{e}or\`{e}me du point fixe, $\exists x_n\in K$ tel que $T_n(x_n)=x_n$.

  %I.2
  \item On a
  \begin{align*}
  T(x_n)-x_n
    & = T(x_n)-T_n(x_n)=T(x_n)-\left[\left(1-\dfrac{1}{n}\right)T(x_n)+\dfrac{1}{n}a\right]\\
    & = \dfrac{1}{n}\left[T(x_n)-a\right].
  \end{align*}
  Or $K$ est born\'{e} donc il existe $M>0$ tel que $\forall n\in \mathbb N$, $\|T(x_n)-a\|\le M$ par cons\'{e}quent
  $\|T(x_n)-x_n\|\le \frac{M}{n}\to 0$.
  \\
  Conclusion~: la suite $(x_n)$ est quasi-fixe.

  %I.3
  \item Si maintenant on suppose $K$ compact alors, de la suite $(x_n)$, on peut extraire une suite
  $(x_{\varphi(n)})$ convergeant vers $x_0\in K$ or
  \[
  \left(1-\dfrac{1}{\varphi(n)}\right)T(x_{\varphi(n)})+\dfrac{1}{\varphi(n)}a=x_{\varphi(n)},
  \]
  et en faisant tendre $n$ vers $+\infty$ on obtient $T(x_0)=x_0$ par continuit\'{e} de $T$.

  %I.4
  \item 
  \begin{lsq}
    %a
    \item $T_n(x)-T_n(y)=(1-d_n)(x-y)$ or $d_n\ge \dfrac{1}{\sqrt{n}}$ donc $1-d_n\le 1-\dfrac{1}{\sqrt{n}}$ d'o\`{u}
    \[
    \|T_n(x)-T_n(y)\|\le \left(1-\dfrac{1}{\sqrt{n}}\right)\|x-y\|
    \]
    $T_n$ est strictement contractante et, comme au {\bf I.1} on a $T_n(K)\subset K$, le th\'{e}or\`{e}me du point fixe 
    s'applique l\`{a} aussi et par cons\'{e}quent $\exists w_n\in K$ tel que $T_n(w_n)=w_n$.
    
    %b
    \item On a $\|u_n-T(u_n)\|\le d_n^{2}$ et $w_n=T_n(w_n)=(1-d_n)T(w_n)+d_ny_n$ d'o\`{u}
    \begin{align*}
    u_n-w_n
        & = (1-d_n)[(u_n-T(u_n))+(T(u_n)-T(w_n))]+d_n\underbrace{(u_n-y_n)}_{=(1-r)(u_n-v_n)}\\
    \|u_n-w_n\|
        & \le (1-d_n)d_n^{2}+(1-d_n)\|u_n-w_n\|+d_n(1-r)\|u_n-v_n\|
    \end{align*}
    puis, en faisant passer le terme $(1-d_n)\|u_n-w_n\|$ \`{a} gauche et en simplifiant par $d_n>0$ on obtient
    \begin{equation*}
    \|u_n-w_n\|\le \underbrace{(1-d_n)d_n}_{\le d_n}+(1-r)\|u_n-v_n\|.
    \end{equation*}
    L'autre in\'{e}galit\'{e} s'obtient imm\'{e}diatement en changeant $r$ en $1-r$.
    
    %c
    \item Montrons que $(w_n)$ est quasi-fixe~: comme au {\bf I.2} on a
    \begin{align*}
    T(w_n)-w_n
        & = T(w_n)-T_n(w_n)=T(w_n)-(1-d_n)T(w_n)-d_ny_n\\
        & = d_n(T(w_n)-y_n).
    \end{align*}
    $K$ \'{e}tant born\'{e}, il existe $M>0$ tel que $\|T(w_n)-y_n\|\le M$ et comme $d_n\to 0$, on peut conclure~:
    \\
    $T(w_n)-w_n\to 0$ i.e. la suite $(w_n)$ est quasi-fixe.
    \\
    On a ensuite
    \[
    0\le \Big[\underbrace{\|u_n-w_n\|-(1-r)\|u_n-v_n\|}_{\ge 0}\Big]+\Big[\underbrace{\|w_n-v_n\|-r\|u_n-v_n\|}_{\ge 0}\Big]
    \le 2d_n
    \]
    par cons\'{e}quent chacun des termes entre crochets tend vers 0 (major\'{e} par $2d_n$) d'o\`{u}
    $\lim\limits_{n\to +\infty}\|u_n-w_n\|=(1-r)d$ et $\lim\limits_{n\to +\infty}\|w_n-v_n\|=rd$.
  \end{lsq}
\end{liq}

                        \medskip

\centerline{\sc Deuxi\`{e}me partie}

                         \medskip

\begin{liq}{II}
  %II.1
  \item On \'{e}crit $x^{(n)}=(x_1^{(n)},\ldots,x_k^{(n)},\ldots)$ et $x^{(n)}\in K$ donc
  $\forall (k,n)\in (\mathbb N^*)^{2}$, $|x_k^{(n)}|\le 1$.
  \\
  De la suite $(x_1^{(n)})_{n\ge 1}$ on peut extraire une suite convergente (par Bolzano-Weierstrass)~:
  $x_1^{\varphi_1(n)}\to x_1$ avec $|x_1|\le 1$.
  \\
  Par r\'{e}currence~: supposons que pour $1\le k\le K$ on ait prouv\'{e} l'existence des $\varphi_k$.
  \\
  De la suite $(x_{K+1}^{\varphi_1\circ\varphi_2\ldots\circ\varphi_K(n)})_{n\ge 1}$ on peut extraire une suite
  convergente $(x_{K+1}^{\varphi_1\circ\varphi_2\ldots\circ\varphi_{K+1}(n)})_{n\ge 1}$.

  %II.2
  \item On pose $\Phi(n)=\varphi_1\circ\varphi_2\ldots\circ\varphi_n(n)$. Comme $\varphi_n$ est strictement
  croissante, $\varphi(n)\ge n$ donc 
  $$
  \Phi(n)\ge \varphi_1\circ\varphi_2\ldots\circ\varphi_{n-1}(n)>\varphi_1\circ\varphi_2\ldots\circ\varphi_{n-1}(n-1),
  $$
  $\Phi$ est strictement croissante et $(x^{\Phi(n)})_{n\ge 1}$ est une suite extraite de $(x^{(n)})_{n\ge 1}$.
  \\
  Si $n\ge k$ alors $(x_k^{\Phi(n)})_{n\ge k}$ est une suite extraite de la suite 
  $(x_k^{\varphi_1\circ\varphi_2\ldots\circ\varphi_k(n)})$ qui converge donc 
  $(x_k^{\Phi(n)})_{n\ge k}$ converge dans $\mathbb R$.

  %II.3
  \item $\forall k_0\ge 1$ on a $\sum\limits_{k=1}^{k_0}|x_k^{\Phi(n)}|\le 1$ d'o\`{u}, en passant \`{a} la limite sur $n$,
  $\sum\limits_{k=1}^{k_0}|x_k|\le 1$ et ceci pour tout $k_0$. La s\'{e}rie $\sum |x_k|$ est alors convergente et
  $\sum\limits_{k=1}^{+\infty}|x_k|\le 1$ i.e. $x\in K$.

  %II.4
  \item On utilise le fait que $\sum |y_k-z_k|$ converge et que $\lim\limits_{n\to +\infty}y_k^{(n)}=y_k$ d'o\`{u}
  \begin{itemize}
    \item $\forall N\in \mathbb N$, $\lim\limits_{n\to +\infty}\sum\limits_{k=N+1}^{+\infty}|y_k^{(n)}-y_k|=d$,
    
    \item $\|y^{(n)}-z\|\le \|y-y^{(n)}\|+\|z-y\|\le d+\|z-y\|+\varepsilon $ pour $n\ge n_0$,
    \hfill(1)
    
    \item $\|y^{(n)}-z\|=\sum\limits_{k=1}^{+\infty}|y_k^{(n)}-z_k|=\sum\limits_{k=1}^{N}|y_k^{(n)}-z_k|
    +\sum\limits_{k=N+1}^{+\infty}|y_k^{(n)}-z_k|$ pour tout $N$.
  \end{itemize}
  Or $|y_k^{(n)}-z_k|\ge |y_k^{(n)}-y_k|-|y_k-z_k|$ (in\'{e}galit\'{e} triangulaire) d'o\`{u}
  \begin{align*}
  \|y^{(n)}-z\|
    & \ge \underbrace{\sum\limits_{k=1}^{N}|y_k^{(n)}-z_k|+\sum\limits_{k=N+1}^{+\infty}|y_k^{(n)}-y_k|}
     _{\ge \sum\limits_{k=1}^{N}|y_k-z_k|+d-\varepsilon  \text{ pour } n\ge n_1}
       -\varepsilon-\sum\limits_{k=N+1}^{+\infty}|y_k-z_k|\\
    & \ge \sum\limits_{k=1}^{N}|y_k-z_k|+d-\varepsilon-\sum\limits_{k=N+1}^{+\infty}|y_k-z_k|
  \end{align*}
  cette derni\`{e}re \'{e}galit\'{e} \'{e}tant valable pour tout $N$, on prend la limite quand $N\to +\infty$ on obtient
  $\|y^{(n)}-z\|\ge \|y-z\|+d-\varepsilon $.%
  \hfill(2)
  \\
  En rassemblant (1) et (2) et en prenant $n_2=\max(n_0,n_1)$ on peut conclure~:
  \\
  $(\|y^{(n)}-z\|)$ a une limite et cette limite v\'{e}rifie $\lim\limits_{n\to +\infty}\|y^{(n)}-z\|=d+\|y-z\|$
  (ce qui se comprend si on assimile $d$ \`{a} 0).

  %II.5
  \item On a
  $\|T(y)-y^{(n)}\|\le \underbrace{\|T(y)-T(y^{(n)})\|}_{\le \|y-y^{(n)}\|}+\underbrace{\|T(y^{(n)})-y^{(n)}\|}_{\to 0}$
  donc
  \begin{align*}
  \|T(y)-y^{(n)}\|
    & = d+\|y-T(y)\|+o(1)\\
    & \le \|y-y^{(n)}\|+o(1)=d+o(1)
  \end{align*}
  d'o\`{u} $0\le \|y-T(y)\|\le o(1)$ i.e. $y=T(y)$.

  %II.6
  \item 
  \begin{itemize}
    \item On reprend le r\'{e}sultat du {\bf I.2} qui donne l'existence d'une suite $(x^{(n)})$ quasi-fixe pour $T$.
    
    \item \`{A} partir de $(x^{(n)})$ on extrait une suite $(x^{\varphi(n)})$ qui v\'{e}rifie
    
    $\forall k\ge 1$, $\lim\limits_{n\to +\infty}x_k^{\varphi(n)}=x_k$ et on pose $x=(x_k)_{k\ge 1}$.
    
    \item Puis, la suite $(\|x^{\varphi(n)}-x\|)$ \'{e}tant born\'{e}e, on peut en extraire une suite convergente que
    l'on nomme $(y^{(n)})$.
  \end{itemize}
  On se retrouve alors dans l'hypoth\`{e}se du {\bf II.5} donc $\exists y\in K$ tel que $T(y)=y$.
\end{liq}

                        \medskip

\centerline{\sc Troisi\`{e}me partie}

                         \medskip

\begin{liq}{III}
  %III.1
  \item 
  \begin{lsq}
    %a
    \item On applique l'identit\'{e} du parall\'{e}logramme
    \[
    \|y+z\|^{2}+\|y-z\|^{2}=2\|y\|^{2}+2\|z\|^{2}
    \]
    avec $y=x-x_n$ et $z=x-x_m$.
    
    %b
    \item $C$ \'{e}tant convexe on a $\dfrac{x_n+x_m}{2}\in C$ d'o\`{u}
    $\|2x-x_n-x_m\|=2\|x-\frac{x_n+x_m}{2}\|\ge 2\dd\,(x,C)$ et par cons\'{e}quent
    \[
    0\le \|x_n-x_m\|^{2}\le 2\|x-x_n\|^{2}+2\|x-x_m\|^{2}-4\dd\,(x,C)^{2}
    \]
    soit, pour $\varepsilon >0$, en choisissant $N$ tel que 
    $n,m\ge N \Rightarrow \|x-x_n\|^{2}\le \dd\,(x,C)^{2}+\frac{\varepsilon ^{2}}{4}$ on obtient
    $0\le \|x_n-x_m\|\le \varepsilon $.
    \\
    La suite $(x_n)$ est de Cauchy et comme $E$ est complet, elle converge dans $E$ donc dans $C$ car $C$
    est ferm\'{e}.
    \\
    On a ainsi $\dd\,(x,C)=\|x-\tilde x\|$ avec $\tilde x\in C$.
    \\
    Soit $\tilde y\in C$ v\'{e}rifiant la m\^{e}me \'{e}galit\'{e} alors, en utilisant la relation du {\bf a}, on a
    \begin{align*}
    \|\tilde x-\tilde y\|
        & = 2\|x-\tilde x\|^{2}+2\|x-\tilde y\|^{2}-4\|x-\frac{\tilde x+\tilde y}{2}\|^{2}\\
        & \le 4\dd\,(x,C)^{2}-4\dd\,(x,C)^{2}=0
    \end{align*}
    donc $\tilde x=\tilde y$ ce qui prouve l'unicit\'{e}.
    
    %c
    \item Si $z\in C$, posons $z_t=tz+(1-t)\tilde x\in C$ pour $t\in ]0,1[$, $x-z_t=(x-\tilde x)+t(\tilde x-z)$ or
    \begin{align*}
    \|x-\tilde x\|^{2}
        & \le \|x-z_t\|^{2}=\|(x-\tilde x)+t(\tilde x-z)\|^{2}\\
        & \le \|x-\tilde x\|^{2}+2t\langle x-\tilde x,\tilde x-z\rangle+t^{2}\|\tilde x-z\|^{2}
    \end{align*}
    d'o\`{u}, en simplifiant par $t>0$, $2\langle x-\tilde x,\tilde x-z\rangle+t\|\tilde x-z\|^{2}\ge 0$ puis, en prenant la limite
    quand $t\to 0$ on obtient bien $\langle x-\tilde x,\tilde x-z\rangle \le 0$.
    \\
    Ceci caract\'{e}rise bien $\tilde x$ car
    \[
    \forall z\in C,\ \|x-z\|^{2}=\|x-\tilde x\|^{2}+2\langle x-\tilde x,\tilde x-z\rangle+\|\tilde x-z\|^{2}\ge \|x-\tilde x\|^{2}
    \]
    
    %d
    \item On peut y aller par le calcul~: on utilise l'in\'{e}galit\'{e} de la question pr\'{e}c\'{e}dente et l'in\'{e}galit\'{e} de
    Cauchy-Schwarz
    \begin{align*}
    \|x-y\|^{2}
        & = \|[x-P_C(x)]+[P_C(x)-P_C(y)]+[P_C(y)-y]\|^{2}\\
        & = \|P_C(x)-P_C(y)\|^{2}+2\underbrace{\langle x-P_C(x),P_C(x)-P_C(y)\rangle}_{\ge 0}
                              +2\underbrace{\langle P_C(x)-P_C(y),P_C(y)-y\rangle}_{\ge 0}\\
        &   \hskip108pt+2\underbrace{\langle x-P_C(x),P_C(y)-y\rangle}_{\ge -\|P_C(x)-x\|.\|P_C(y)-y\|}
                     +\|P_C(x)-x\|^{2}+\|P_C(y)-y\|^{2}\\
        & \ge \|P_C(x)-P_C(y)\|^{2}+\left(\|x-P_C(x)\|-\|y-P_C(y)\|\right)^{2}\\
        & \ge \|P_C(x)-P_C(y)\|^{2}
    \end{align*}
    donc $\|P_C(x)-P_C(y)\|\le \|x-y\|$.
  \end{lsq}

  %III.2
  \item 
  \begin{lsq}
    %a
    \item Soit $z\in F$ alors $z_t=tz+(1-t)P_F(x)\in F$ et $z_t-P_F(x)=t(z-P_F(x))$ pour tout $t\in \mathbb R$ or
    \[
    \langle x-P_F(x),z_t-P_F(x)\rangle\le 0
    \]
    d'o\`{u} $t\langle x-P_F(x),z-P_F(x)\rangle\le 0$ pour tout $t$ donc $\langle x-P_F(x),z-P_F(x)\rangle=0$ i.e. 
    $x-P_F(x)\in F^{\perp}$.
    
    %b
    \item $\forall x\in E$ on a $x=\underbrace{x-P_F(x)}_{\in F^{\perp}}+\underbrace{P_F(x)}_{\in F}$ donc
    $E=F+F^{\perp}$ et comme $F\cap F^{\perp}=\{0\}$ (classique) on a $E=T\oplus F^{\perp}$.
    
    %c
    \item La projection orthogonale est lin\'{e}aire.
  \end{lsq}

  %III.3
  \item 
  \begin{lsq}
    %a
    \item On sait que $F$ est un hyperplan de codimension 1 donc $F^{\perp}$, suppl\'{e}mentaire de $F$,
    est une droite vectorielle.
    
    %b
    \item $\theta ~:x\mapsto \langle x,x_0\rangle$ est une forme lin\'{e}aire qui s'annule sur $F$, on sait alors que $\varphi$
    et $\theta $ sont li\'{e}es donc $\varphi=\lambda \theta $.
  \end{lsq}
\end{liq}

%                        \medskip

                        \goodbreak

\centerline{\sc Quatri\`{e}me partie}

                         \medskip

\begin{liq}{IV}
  %IV.1
  \item $\varphi$ est une forme lin\'{e}aire et comme $|\langle x_n,u\rangle|\le \|x_n\|.\|u\|\le M\|u\|$ (la suite $(x_n)$ est
  born\'{e}e) donc $|\varphi(u)|\le M\|u\|$ et $\varphi$ est continue.
  \\
  Gr\^{a}ce au {\bf III.3.b} on en d\'{e}duit que
  \[
  \varphi(u)=\lambda \langle u,x_0\rangle=\langle u,\lambda x_0\rangle
  \]
  donc $(x_n)$ converge faiblement vers $\lambda x_0$ (le cas o\`{u} $\varphi$ est nulle est imm\'{e}diat).

  %IV.2
  \item Soit $v\in E$, on \'{e}crit $v=u+u'$ o\`{u} $u\in F$, $u'\in F^{\perp}$ ({\bf III.2.b}) alors
  $\langle x_n,v\rangle=\langle x_n,u\rangle$ donc $\forall v\in E$ la suite $(\langle x_n,v\rangle)_{n\ge 1}$ converge et la suite
  $(x_n)_{n\ge 1}$ converge faiblement dans $E$.

  %IV.3
  \item Soit $G=\vect(x_n)$ et $F$ son adh\'{e}rence~:
  \[
  y\in G \Leftrightarrow \left(\exists N\in \mathbb N^*,\ \exists (\lambda _n)\in \mathbb R^{\mathbb N}\ |\
  y=\sum\limits_{n=1}^{N}\lambda _nx_n\right).
  \]
  Soit $G_N=\{\sum\limits_{n=1}^{N}\mu _nx_n,\ \mu _n\in \mathbb Q\}$, $G_N$ est d\'{e}nombrable et
  $G_{\infty}=\displaystyle\bigcup_{N=1}^{+\infty}G_N$ est d\'{e}nombrable en tant que r\'{e}union d\'{e}nombrable
  d'ensembles d\'{e}nombrables.
  \\
  Conclusion~: on peut \'{e}crire $G_{\infty}=\{y_k,\ k\ge 1\}$ est un ensemble d\'{e}nombrable dense dans $G$
  donc dense dans son adh\'{e}rence $F$.

  %IV.4
  \item On s'int\'{e}resse \`{a} la suite double $(x_k^{(n)})_{n,k\ge 1}$ o\`{u} $x_k^{(n)}=\langle x_n,y_k\rangle$, $n\ge 1$, $k\ge 1$.
  $(x_n)$ est born\'{e}e donc $|x_k^{(n)}|\le M\|y_k\|$ par Cauchy-Schwarz,
  on a vu alors au {\bf II} que l'on pouvait extraire une suite $(x^{\Phi(n)})$ de la suite 
  $(x^{(n)}=x_n)$ telle que
  \begin{equation*}
  \forall k\ge 1,\ \langle x_{\Phi(n)},y_k\rangle\to X_k \text{ quand }n\to +\infty.
  \end{equation*}

  %IV.5
  \item Soit $u\in F$ montrons que la suite $(\langle x_{\Phi(n)},u\rangle)_{n\ge 1}$ converge~:
  \begin{itemize}
    \item Soit $(y_{\varphi(k)})$ une suite extraite de $(y_k)$ convergeant vers $u$, $(y_{\varphi(k)})$
    est born\'{e}e.
    
    \item Comme $\langle x_{\phi(n)},y_{\varphi(k)}\rangle\to X_{\varphi(k)}$ la suite $(X_{\varphi(k)})$ est born\'{e}e,
    on peut en extraire une suite convergente vers $X\in \mathbb R$.
    \\
    Pour simplifier les notations, on note $(Y_k)$ une suite extraite de $(y_k)$ convergeant vers $u$ telle que
    $\langle x_{\Phi(n)},Y_k\rangle\xrightarrow[n\to +\infty]{} X_k$ avec $X_k\to X$.
    \\
    On a alors
    \begin{align*}
    |\langle x_{\Phi(n)},u\rangle-X|
        & \le \underbrace{|\langle x_{\Phi(n)},u\rangle-\langle x_{\Phi(n)},Y_k\rangle}_{\le M\|u-Y_k\|}
              +|\langle x_{\Phi(n)},Y_k\rangle-X_k|+|X_k-X|.
    \end{align*}
    On pouvait remplacer les deux derniers points en se contentant de prouver que la suite
    $(\langle x_{\Phi(n)},u\rangle)$ est de Cauchy

    \item On choisit un entier $K$ tel que $\|u-Y_K\|\le \frac{\varepsilon }{3M}$ et $|X_K-X|\le \frac{\varepsilon }{3}$
    puis un entier $N$ tel que $n\ge N \Rightarrow |\langle x_{\Phi(n)},Y_k\rangle-X_k|\le \frac{\varepsilon }{3}$ d'o\`{u},
    pour $n\ge N$, $|\langle x_{\Phi(n)},u\rangle-X|\le \varepsilon $.
  \end{itemize}
  Conclusion~: de toute suite born\'{e}e $(x_n)$ de $E$ espace de Hilbert, on peut extraire une suite $(x_{\Phi(n)})$
  faiblement convergente (ce qui peut s'\'{e}noncer ainsi~: tout ferm\'{e} born\'{e} d'un espace de Hilbert est faiblement
  compact).
\end{liq}

                         \medskip

\centerline{\sc Cinqui\`{e}me partie}

                         \medskip

\begin{liq}{V}
  %V.1
  \item On a $\langle x-T_1(x)-y+T_1(y),x-y\rangle=\|x-y\|^{2}-\langle T_1(x)-T_1(y),x-y\rangle$ or, par Cauchy-Schwarz, on sait que
  \[
  \langle T_1(x)-T_1(y),x-y\rangle\le \|T_1(x)-T_1(y)\|.\|x-y\|\le \|x-y\|^{2}
  \]
  donc $\langle x-T_1(x)-y+T_1(y),x-y\rangle\ge 0$

  %V.2
  \item $\forall \lambda \in \mathbb R$, $\forall v\in E$ on a~:
  \[
  \Delta _n(\lambda ,v)=\langle x_n-T_1(x_n)-x_{\infty}-\lambda v+T_1(x_{\infty}+\lambda v),x_n-x_{\infty}-\lambda v\rangle
  \ge 0
  \]
  et en d\'{e}veloppant on obtient
  \[
  \Delta _n(\lambda ,v)=\langle x_n-T_1(x_n),x_n-x_{\infty}-\lambda v\rangle
  -\langle x_{\infty}+\lambda v-T_1(x_{\infty}+\lambda v),x_n-x_{\infty}-\lambda v\rangle\ge 0.
  \]
  Or
  \begin{itemize}
  \item $\langle x_n-T_1(x_n),x_n-x_{\infty}-\lambda v\rangle=\langle x_n-T_1(x_n),-\lambda v\rangle
  +\langle x_n-T_1(x_n),x_n-x_{\infty}\rangle$. Comme $x_n-T_1(x_n)\to z$ et que $(T_1(x_n))$ est born\'{e}e alors $(x_n)$ est
  born\'{e}e donc
  \[
  \langle x_n-T_1(x_n),x_n-x_{\infty}\rangle = \underbrace{\langle x_n-T_1(x_n)-z,x_n-x_{\infty}\rangle}_{\le \|x_n-T_1(x_n)-z\|.M}
  +\underbrace{\langle z,x_n-x_{\infty}\rangle}_{\to 0}
  \]
  i.e. $\langle x_n-T_1(x_n),x_n-x_{\infty}\rangle\to 0$.
  \\
  On a aussi $\langle x_n-T_1(x_n),-\lambda v\rangle\to \langle z,-\lambda v\rangle$ par continuit\'{e} du produit scalaire.
  
  \item $\langle x_{\infty}+\lambda v-T_1(x_{\infty}+\lambda v),x_n-x_{\infty}-\lambda v\rangle
  \to \langle x_{\infty}+\lambda v-T_1(x_{\infty}+\lambda v),-\lambda v\rangle$ (convergence faible de $(x_n)$).
  \end{itemize}
  En passant \`{a} la limite sur $n$ on a donc
  \[
  \Delta _n(\lambda ,v)\to -\langle z,\lambda v\rangle+\langle x_{\infty}+\lambda v-T_1(x_{\infty}+\lambda v),\lambda v\rangle
  \ge 0
  \]
  d'o\`{u} $\forall \lambda \in \mathbb R$, $\forall v\in E$,
  $\lambda \langle x_{\infty}+\lambda v-T_1(x_{\infty}+\lambda v)-z,v\rangle\ge 0$.
  \\
  Si $\lambda >0$ alors on simplifie par $\lambda $, 
  $\langle x_{\infty}+\lambda v-T_1(x_{\infty}+\lambda v)-z,v\rangle\ge 0$ et, en passant \`{a} la limite quand $\lambda \to 0$,
  par continuit\'{e} de $T_1$, on obtient $\langle x_{\infty}-T_1(x_{\infty})-z,v\rangle\ge 0$.
  En prenant $v=-x_{\infty}+T_1(x_{\infty})+z$ on arrive \`{a} $\|x_{\infty}-T_1(x_{\infty})-z\|^{2}\le 0$
  donc $x_{\infty}-T_1(x_{\infty})=z$.

  %V.3
  \item On prend $T_1=T\circ P_K$ qui est une contraction de $K$.
  \begin{itemize}
    \item D'apr\`{e}s le {\bf I.2} on sait qu'il existe $(x_n)$, suite dans $K$, quasi-fixe pour $T$.
    
    \item D'apr\`{e}s le {\bf IV.5} on peut extraire de cette suite une suite qui converge faiblement vers $x_0\in E$. 
  \end{itemize}
  $T_1(x_{\varphi(n)})=T(x_{\varphi(n)})$ et $x_{\varphi(n)}-T_1(x_{\varphi(n)})\to 0$ donc, 
  gr\^{a}ce \`{a} la question pr\'{e}c\'{e}dente, on sait que
  $x_0=T\circ P_K(x_0)\in K$. Finalement, comme $x_0\in K$ alors $P_K(x_0)=x_0$ donc $x_0=T(x_0)$.


  %V.4
  \item $x\mapsto x-T(x)$ est continue donc $F$ est ferm\'{e} (image r\'{e}ciproque de $\{0\}$ par l'application
  continue $\id-T$, non vide gr\^{a}ce \`{a} la question pr\'{e}c\'{e}dente.
  \\
  Montrons que $F$ est convexe~:
  \\
  Soit $(x,y)\in F$, $t\in ]0,1[$ et $z=tx+(1-t)y$, on a
  \begin{align*}
  \|x-y\| = \|T(x)-T(y)\|
    & \le \|T(x)-T(z)\|+\|T(z)-T(y)\|\\
    & \le \|x-z\|+\|z-y\|=\|x-y\|.
  \end{align*}
  On a \'{e}galit\'{e} partout donc $\|x-T(z)\|=\|x-z\|$ et $\|T(z)-y\|=\|z-y\|$. On sait que si on a \'{e}galit\'{e}
  dans l'in\'{e}galit\'{e} de Minkowski dans un espace de Hilbert alors les vecteurs sont colin\'{e}aires donc dans 
  un premier temps $T(z)\in [x,y]$. On a donc $T(z)=t'x+(1-t')y$ or $y-T(z)=t'(y-x)$ et $y-z=t(y-x)$ d'o\`{u},
  comme $\|y-T(z)\|=\|y-z\|$ on en d\'{e}duit $t=t'$ puis $T(z)=z$.
  \\
  Conclusion~: $F$ est convexe.

  %V.5
  \item Soit $x$ un point fixe de $T$ alors $T'(T(x))=T'(x)=T(T'(x))$ donc $T'(x)$ est un point fixe de $T$.
  On a donc $T'(F)\subset F$.
  \\
  On applique alors le {\bf V.3} \`{a} $K=F$ convexe, ferm\'{e} born\'{e} et non vide, et $T=T'$, 
  il existe $x'\in F$ point fixe de $T'$, $x'$ est donc un point fixe commun \`{a} $T$ et $T'$.
\end{liq}

\end{document}
