\documentclass{article}
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\def\N{{\mathbb N}}
\def\R{{\mathbb R}}
\def\Z{{\mathbb Z}}
\def\Im{\mathop{\rm Im}\nolimits}
\def\Ker{\mathop{\rm Ker}\nolimits}
\def\GL{\mathop{\cal G\cal L}\nolimits}
\def\Diag{\mathop{\rm Diag}\nolimits}
\newcommand{\qe}{\ensuremath{\varepsilon}}
\def\Vect{\mathop{\rm Vect}\nolimits}


\begin{document}
\framebox{ESIM 2002 - MP Maths 1  }\\
Les d\'{e}finitions d'id\'{e}al \`{a} droite et \`{a} gauche ont
\'{e}t\'{e} invers\'{e}es, \`{a} la fois par rapport \`{a} ce qui suit
(parties \textbf{IV} et \textbf{V}) et aux d\'{e}finitions
traditionnelles (Bourbaki, Alg\`{e}bre I, §8,
6).\\
Cela est sans incidence sur les parties \textbf{I, II, III}, g\^{e}nant
pour trois questions sur cinq de
la partie \textbf{IV}, et deux questions sur quatre de la partie
\textbf{V}. \\
\textbf{Partie I}
\begin{enumerate}
\item Question de cours (premi\`{e}re ann\'{e}e). 
\item Soit $\Delta$ la matrice $\Diag(I_r,O)$. Par permutation des
vecteurs de base, $\Delta$ est
semblable \`{a} $D$; a fortiori, $A$ est \'{e}quivalente \`{a} $D$ par
transitivit\'{e}. 
\end{enumerate}
\textbf{Partie II}
\begin{enumerate}
\item On a pour toute $A$, $f(A) = f(A)f(I)$, donc $f(I)\not=0$. Alors
$f(I)= f(I)f(I)$ entra\^{\i}ne
$f(I)=1$, puis, si $A$ est inversible, $f(A)f(A^{-1})= 1$, donc
$f(A)\not=0$. 
\item a) Soit $A_i$ diagonale, dont les $r+1$ premiers \'{e}l\'{e}ments
diagonaux valent 1, \`{a} l'exception du
$i$-i\`{e}me, nul, ainsi que tous les autres \'{e}l\'{e}ments diagonaux
(ceci a du sens car $r<n$). D'apr\`{e}s
I.2, $A_i$ est semblable \`{a} $A$; par ailleurs, $A_1\times ... \times
A_{r+1}=0$.  \\
b) On observe que $f(0)=f(A)f(0)$ pour toute $A$; comme $f\not=1$, cela
force $f(0)=0$. Puis, $0 =
f(A_1)...f(A_{r+1})$, l'un des $f(A_i)$ est nul. Enfin, $A = P A_i Q$,
ce qui donne $f(A)=0$. \\
c) Ainsi, $f$ est nulle sur les matrices non inversibles, et par
ailleurs induit un morphisme de
groupe de $\GL_n(\R)$ vers $\R^*$. Exemple: le d\'{e}terminant (qu'on
peut composer avec un morphisme
de $\R^*$ dans lui-m\^{e}me, par exemple $x \mapsto x^k,\, k\in \Z$...) 

\end{enumerate}


\textbf{Partie III}
\begin{enumerate}
\item Pour $A\in M_n(\R)$, on a $A = AI \in J$. 
\item Soit $U\in J$ inversible; alors $I = UU^{-1}\in J$, puis $J =
M_n(\R)$ par 1. 
\item a) Soient $P,Q$ inversibles telles que $\Delta = \Diag(I_r,O) =
PAQ$: comme $A\in J$, on a
aussi $\Delta \in J$. \\
b) Soit $A_i$ la matrice diagonale, dont les $n-r$ derniers
\'{e}l\'{e}ments diagonaux sont nuls, \`{a}
l'exception du $(r-1+i)$-i\`{e}me, qui vaut 1, ainsi que les $r-1$
premiers \'{e}l\'{e}ments diagonaux: $A_i =
\Diag(1,...,1,0,0,..., 0, 1, 0,..., 0)$ (1 isol\'{e} en $r-1+i$-i\`{e}me
place). Chaque matrice est
\'{e}quivalente \`{a} $A$, la somme est diagonale, d'\'{e}l\'{e}ments
tous non nuls, donc inversible. 
\item L'id\'{e}al nul est bilat\`{e}re. Si $J$ est un id\'{e}al
bilat\`{e}re non nul, on prend $A$ de rang $r$ comme
au 3., puis les $A_i$ construites: on a $A_i = P_i A Q_i$, donc chaque
$A_i$ est dans $J$, puis
leur somme aussi: alors, par 2., $J = M_n(\R)$. 

\end{enumerate}


\textbf{Partie IV}\\
On d\'{e}termine en fait ici ce que les notations et d\'{e}finitions ont
appel\'{e} id\'{e}aux \`{a} gauche, mais qui
sont bien les id\'{e}aux \`{a} droite. Cette confusion est g\^{e}nante
pour les questions 1, 4.b), 5. 
\begin{enumerate}
\item D'une part, $J_E$ est un sous-espace vectoriel de $M_n(\R)$, a
fortiori un sous-groupe
additif. D'autre part, si $M \in M_n(\R)$ et $A\in J_E$, soit $B = AM$:
on a $\Im(B)\subset \Im(A)$,
donc $B \in J_E$. 
\item Premier \'{e}nonc\'{e} de factorisation; il aurait gagn\'{e} \`{a}
\^{e}tre (comme le second, au \textbf{V})
r\'{e}dig\'{e} plut\^{o}t avec des applications lin\'{e}aires...\\
a) C'est le ''th\'{e}or\`{e}me noyau-image''. \\
b) Chaque $b_i = Be_i$ est dans $\Im(B) \subset \Im(A)$: l'unique
\'{e}l\'{e}ments $\qe_i$ convenable est
donc $\phi^{-1}(b_i)$. \\
c) La matrice $C$ a bien la taille que l'\'{e}nonc\'{e} lui donne.
D'autre part, pour tout $i \in \{1,...,
q\}$, on a $B e_i = A\qe_i = A (C e_i) = (AC) e_i$, et ainsi $B = AC$.
\item a) L'image d'une matrice est l'espace vectoriel engendr\'{e} par
ses colonnes. Si on note ici
$C_i$ la $i$-i\`{e}me colonne d'une matrice $C$, on a $\Im(D) =
\Vect(D_1,..., D_n, D_{n+1}, ...,
D_{2n}) = \Vect(A_1,..., A_n, B_1,..., B_n) = \Vect(A_1,..., A_n) +
\Vect(B_1,..., B_n)= \Im(A) +
\Im(B)$. \\
b) Le 2. s'applique. \\
c) On \'{e}crit $W$ en blocs: $W = \begin{pmatrix}U\\V\end{pmatrix}$, on
obtient avec un produit par
blocs $C = AU+BV$. 
\item a) L'ensemble des rangs des \'{e}l\'{e}ments de $J$ est une partie
non vide de $\N$, major\'{e}e par $n$,
donc admet un plus grand \'{e}l\'{e}ment $r$; on a \`{a} la fois
$\forall M \in J$, rang$(M) \le r$ et
l'existence de $M_0\in J$ de rang $r$. \\
b) Soit $F = \Im(M) + \Im(M_0)$, et $C$ la matrice du projecteur sur $F$
dans la direction d'un
quelconque suppl\'{e}mentaire. On a $\Im(C) = \Im(M) + \Im(M_0)$, donc
l'existence de $U,V \in M_n(\R)$
telles que $C = MU+M_0V$. Alors, par stabilit\'{e} d'id\'{e}al
convenable, $C \in J$. Or le rang de $C$ est
la dimension de $F$ strictement plus grande que $r$. \\
c) Pour un quelconque \'{e}l\'{e}ment de $J$, on doit donc avoir $\Im(M)
\subset \Im(M_0)$. 
\item R\'{e}ciproquement, si $A \in J_{\Im(M_0)}$, on a $\Im A \subset
\Im(M_0)$. D'apr\`{e}s 2, il existe
$C$ telle que $A = M_0C$, et donc $A\in J$. On conclut: $J =
J_{\Im(M_0)}$. 

\end{enumerate}


\textbf{Partie V}\\
On d\'{e}termine en fait ici ce que les notations et d\'{e}finitions ont
appel\'{e} id\'{e}aux \`{a} droite, mais qui
sont bien les id\'{e}aux \`{a} gauche. Cette confusion est g\^{e}nante
pour les questions 1. et 4. \\
Il n'\'{e}tait sans doute pas heureux de reprendre la m\^{e}me notation
$J_E$ qu'au \textbf{IV}. 
\begin{enumerate}
\item Soient $A \in J_E$, $M \in M_n(\R)$, et $B = MA$. Alors $\Ker(A)
\subset\Ker(B)$. Ainsi,
$\Ker(B) \supset E$ et $B \in J_E$. 
\item a) On peut reprendre dans ce contexte la construction du I.1. :
$(e_{r+1}, ..., e_n)$ une base
de $\Ker u$, compl\'{e}t\'{e}e avec $e_1,..., e_r$; on note $f_i=
u(e_i)$ pour $1 \le i \le r$, compl\'{e}t\'{e}e
avec $f_{r+1},..., f_p$, pour donner une base de $\R^p$. On d\'{e}finit
$w$ par : si $1 \le i\le r,
w(f_i) = v(e_i)$; si $i>r, w(f_i) = 0$. On a si $i\le r$, $v(e_i)=
w(u(e_i))$; et si $i>r$, $v(e_i)
= 0 = w(u(e_i))$, on a bien $v = w\circ u$. \\
b) C'est la traduction matricielle de a) (que faut-il r\'{e}diger pour
avoir les points?).
\item On prend cette fois $D = \begin{pmatrix} A\\B\end{pmatrix}$; on a
pour $X\in M_{n,1}(\R)$,
$DX = \begin{pmatrix} AX\\BX\end{pmatrix}$, de sorte que $\Ker D = \Ker
A \cap \Ker B$. Ainsi,
$\Ker D \supset \Ker C$, on trouve $W = (U\,V)\in M_{n,2n}(\R)$ telle
que $C =WD$, et ainsi $C =
UA+VB$. 
\item Si un id\'{e}al \`{a} gauche $J$ est non nul, soit $d = \dim \Ker
M_0$ la plus petite dimension du
noyau d'un \'{e}l\'{e}ment de $J$. Si, pour un $M$ de $J$, on n'a pas
$\Ker M \supset \Ker M_0$, soit $C
\in M_n(\R)$ de noyau $\Ker M \cap \Ker M_0$ (une matrice de
projecteur...); par 3., on trouve
$U,V$ telles que $C = UM+VM_0$, et donc $C\in J$; or la dimension de son
noyau est strictement plus
petite que $d$, absurde. C'est donc que pour tout $M$ de $J$, $\Ker M
\supset \Ker M_0$. \\
R\'{e}ciproquement, si $\Ker M \supset \Ker M_0$, par 2.b) on trouve $C$
telle que $M = CM_0$, donc $M
\in J$. On a montr\'{e} que $J = J_{\Ker(M_0)}$. 
\end{enumerate}





\end{document}
