% source LaTeX par P. Delezoide % % References des figures % \def\figa{m02fs2fa.eps} \def\figb{m02fs2fb.eps} \def\figc{m02fs2fc.eps} \def\figd{m02fs2fd.eps} % macros perso \def\Recl{{\Bbb R}}\def\Necl{{\Bbb N}}\def\Nstar{{\Bbb N}^\ast} \def\abs#1{\left\vert#1\right\vert} \def\norme#1{\left\Vert#1\right\Vert_\infty} \def\transp#1{{}^t\!#1} % % utilitaire pour les legendes \def \pose#1#2#3{% \smash{\rlap{\hskip#1\raise#2\hbox{#3}}\relax}}% % % fin macros perso % \documentclass{article} \usepackage{upsnum} \usepackage{graphicx} \usepackage{amssymb} \title{Esim 2002, Maths II, PSI} \author{P. Delezoide} \renewcommand{\thesection}{\centerline{Partie \arabic{section}}} \renewcommand{\thesubsection}{\Roman{section}.\arabic{subsection}} \renewcommand{\thesubsubsection}{\arabic{subsection}.\alph{subsubsection}} \begin{document} \date{Juin 2002} \maketitle On peut remarquer l'impr\'ecision sur le statut du symbole $p$. On devine que c'est un entier, mais suppose-t-on $0
0$ on obtient l'in\'egalit\'e $\abs{\lambda-a_{k,k}}\le {\mit\Lambda}_k$, donc $\lambda\in D_k$ . L'existence d'un tel $k$ implique donc $\lambda\in\cup_{j\in \Necl_n} D_j$. \subsection{} On sait de mani\`ere g\'en\'erale qu'une matrice et sa transpos\'ee ont m\^eme polyn\^ome caract\'eristique, donc m\^eme spectre. Les valeurs propres de $A$ respectent les conditions trouv\'ees dans la question pr\'ec\'edente pour $A$ et aussi celles provenant du fait que ce sont les valeurs propres de $\transp A$. Conditions venant de $A$. Les couples $(a_{k,k},{\mit\Lambda_k})$ sont ici (sommes par lignes)~: $$(1,3)\quad (5,4)\quad (-1,9)$$ La partie du plan dans laquelle doit se trouver $\lambda$ est la suivante~: \vskip 0 mm plus 60 mm minus 0 mm % \'elasticit\'e importante avant la figure \hbox{\rlap{\includegraphics[scale=0.8]{\figa}}% \pose {58.5mm}{38mm}{$1$}% \pose {70mm}{38mm}{$5$}% \pose {50mm}{38mm}{$-1$}% } Conditions venant de $\transp A$. Les couples $(a_{k,k},{\mit\Lambda_k})$ sont ici (sommes par colonnes)~: $$(1,6)\quad (5,6)\quad (-1,4)$$ La partie du plan dans laquelle doit se trouver $\lambda$ est la suivante~: \vskip 0 mm plus 60 mm minus 0 mm % \'elasticit\'e importante avant la figure \hbox{\rlap{\includegraphics[scale=0.8]{\figb}}% \pose {58.5mm}{38mm}{$1$}% \pose {70mm}{38mm}{$5$}% \pose {50mm}{38mm}{$-1$}% } Les valeurs propres de $A$ doivent se trouver dans l'intersection de ces deux parties. On verra ci-dessous cette intersection~: \vskip 0 mm plus 60 mm minus 0 mm % \'elasticit\'e importante avant la figure \hbox{\rlap{\includegraphics[scale=0.8]{\figc}}% \pose {58.5mm}{38mm}{$1$}% \pose {70mm}{38mm}{$5$}% \pose {50mm}{38mm}{$-1$}% } \subsection{} \subsubsection{} Supposons qu'il existe $k\in\Necl_n$ tel que $\abs{\lambda-a_{k,k}}<{\mit\Lambda_k}$; on peut poser $\varepsilon= {\mit\Lambda_k}-\abs{\lambda-a_{k,k}}>0$; on voit que le disque ouvert de centre $\lambda$ et de rayon $\varepsilon$, not\'e $\mathop B\limits^\circ(\lambda,\varepsilon)$, est inclus dans $D_k$ puisque~: $$\abs{z-\lambda}<\varepsilon \Rightarrow \abs{z-a_{k,k}}\le \abs{z-\lambda}+\abs{\lambda-a_{k,k}}<\varepsilon+ \abs{\lambda-a_{k,k}}={\mit\Lambda}_k$$ On en d\'eduit~: $$\mathop B\limits^\circ(\lambda,\varepsilon)\subset D_k\subset \bigcup_{j=1}^n D_j\ ,$$ ce qui contredit l'hypoth\`ese. N.B. Le a) est \'equivalent au fait que $\lambda$ n'est int\'erieur \`a aucun des disques $D_k$. Contrairement \`a ce qui semble sous-entendu (cf Partie 3 2)b)) ce n'est pas \'equivalent au fait que tout disque ouvert de centre $\lambda$ coupe l'union des $D_k$. Par exemple: \vskip 0 mm plus 60 mm minus 0 mm % \'elasticit\'e importante avant la figure \hbox{\rlap{\includegraphics[scale=0.8]{\figd}}% \pose {70mm}{38mm}{$5$}% } N.B. La suite de la question suppose seulement que le a) est vrai, et non l'hypoth\`ese de l'\'enonc\'e. \subsubsection{} Il est sous-entendu qu'ici $\lambda$ est une valeur propre de $A$ et que $AX=\lambda\,X$ $(X\not=0)$. Dans le calcul de la question 1) on a prouv\'e que si $\abs{x_k}=\norme X$, alors $\abs{\lambda-a_{k,k}}\le {\mit\Lambda}_k$; d'o\`u l'\'egalit\'e si a) est v\'erifi\'e. \subsubsection{} Soit $i\in I$, puisque $AX=\lambda\,X$, on a l'\'egalit\'e~: $$\sum_{j=1}^n a_{i,j}\, x_j=\lambda\,x_i\quad\hbox{d'o\`u}\quad (\lambda-a_{i,i})\,x_i=\sum_{j\not=i} a_{i,j}\, x_j$$ On en d\'eduit~: $$\abs{\lambda-a_{i,i}}\abs{x_i}\le \sum_{j\not=i}\abs{a_{i,j}}\abs{x_j}$$ Mais comme d'apr\`es b) ${\mit\Lambda_i}=\sum_{j\not=i}\abs{a_{i,j}}=\abs{\lambda-a_{i,i}}$, on en d\'eduit~: $$\sum_{j\not=i}\abs{a_{i,j}}\abs{x_i}\le \sum_{j\not=i}\abs{a_{i,j}}\abs{x_j}\quad\hbox{d'o\`u}\quad \sum_{j\not=i}\abs{a_{i,j}}(\norme X-\abs{x_j})\le 0\ .$$ Les termes de cette somme \'etant tous $\ge 0$, il sont n\'ecessairement tous nuls. Donc si $i\in I$ et $j\notin I$, alors $i\not=j$ et comme $\abs{x_j}<\norme X$, on en d\'eduit $a_{i,j}=0$. \subsubsection{} L'ensemble $I$ n'est pas vide car $\exists i\ \abs{x_i}=\norme X$. Si le compl\'ementaire $J$ de $I$ est non vide alors le cardinal de $J$ est un entier $p$ tel que $0
{\mit\Lambda}_j$. On en d\'eduit que $0$ n'est pas dans le
spectre de $A$ et que $A$ est inversible.
\subsection{}
Soit $\lambda\in{\rm Sp}(A)$; d'apr\`es II 1), $\exists k\in\Necl_n\
\abs{\lambda-a_{k,k}}\le {\mit\Lambda}_k$, donc en notant $(x,y)$ les
coordonn\'ees r\'eelles de $\lambda$, comme
$a_{k,k}\in\Recl$,
$$(x-a_{k,k})^2+y^2\le {\mit\Lambda}_k^2\le
a_{k,k}^2\quad\hbox{d'o\`u}\quad
x^2+y^2\le 2a_{k,k}\,x$$
Comme d'apr\`es la question 2) $\lambda\not=0$, donc $x^2+y^2>0$, et
puisque
$a_{k,k}>0$, on en d\'eduit
$x>0$.
La matrice $A$ est \`a coefficients r\'eels, son polyn\^ome
caract\'eristique est \`a coefficients r\'eels et il est
factorisable en produit de polyn\^omes irr\'eductibles dans $\Recl[X]$;
comme son coefficient dominant est $(-1)^n$ il s'\'ecrit sous la forme~:
$$P(X)=(-1)^n\prod_{i=1}^p (X-\lambda_i)^{n_i}\ \prod_{j=1}^q
(X^2-2p_jX+q_j)^{m_j}\ ,$$
o\`u les $\lambda_i$ sont les valeurs propres de $A$ deux \`a deux
distinctes, les $n_i$ leurs ordres de multiplicit\'e, les
$X^2-2p_jX+q_j$ les facteurs irr\'eductibles du second degr\'e de $P$,
deux \`a deux distincts. Par \'egalit\'e des degr\'es on obtient
$n=\sum_{i=1}^p n_i+2\sum_{j=1}^q m_j$, donc $n$ et $\sum_{i=1}^p n_i$
sont de m\^eme parit\'e. On en d\'eduit~:
$$P(X)=\prod_{i=1}^p (\lambda_i-X)^{n_i}\ \prod_{j=1}^q
(X^2-2p_jX+q_j)^{m_j}\ ,$$
et par cons\'equent~:
$$\det(A)=P(0)=\prod_{i=1}^p \lambda_i^{n_i}\ \prod_{j=1}^q
q_j^{m_j}\ .$$
Les valeurs propres r\'eelles sont $>0$ d'apr\`es ce qui pr\'ec\`ede, et pour
tout $j\in\Necl_q$, comme $X^2-2p_jX+q_j$ est irr\'eductible dans
$\Recl[X]$, $p_j^2-q_j<0$ d'o\`u $0\le p_j^2