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\parindent=0pt

\lhead{{\'E}cole de l'Air 2002 MP Maths 2}
\rhead{page \thepage}
\cfoot{}

%Num{\'e}rotation des questions
\renewcommand{\labelenumi}{\arabic{enumi}¡)}
\renewcommand{\labelenumii}{\alph{enumii})}
\renewcommand{\labelitemi}{*}

%Macros
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\segment}[2]{\left [ #1, #2 \right ]}
\newcommand{\determinant}[1]{\begin{vmatrix} #1 \end{vmatrix}}




L'objet du probl{\`e}me est la recherche de lieux g{\'e}om{\'e}triques conduisant {\`a} l'{\'e}tude de courbes planes (appel{\'e}es en g{\'e}n{\'e}ral cubiques circulaires).
Les parties I et II donnent deux exemples de telles courbes.
Dans la troisi{\`e}me partie, on consid{\`e}re le cas g{\'e}n{\'e}ral.

Dans toute la suite, le plan est rapport{\'e} {\`a} un rep{\`e}re orthonorm{\'e} d'origine not{\'e}e $O$, d'axes $Ox$ et $Oy$ et on d{\'e}signe par $a$ un nombre r{\'e}el strictement positif donn{\'e}.

\bigskip
\textbf{{\Large PARTIE I}}

\medskip
On d{\'e}signe par $D$ la droite d'{\'e}quation $x = 2a$ et par $C$ le cercle de centre $M_{0} (-2a, 0)$, de rayon $2a$.

Pour tout nombre r{\'e}el $\theta$, on d{\'e}signera par :
\begin{itemize}
\item $H(\theta)$ le point d'intersection, lorsqu'il existe, de la droite d'angle polaire $\theta$ et de la droite $D$.
\item $M(\theta)$ le point d'intersection de la droite d'angle polaire $\theta$ et du cercle $C$ (avec la convention que lorsqu'il y a deux points d'intersection, $M(\theta)$ d{\'e}signe le point d'intersection distinct de $O$).
\end{itemize}

\begin{enumerate}
\item \textbf{Etude de la stropho{\"i}de droite}
\begin{enumerate}
\item Donner une {\'e}quation cart{\'e}sienne, puis une {\'e}quation polaire du cercle $C$.
\item D{\'e}terminer des coordonn{\'e}es polaires de $M(\theta)$ et $H(\theta)$, puis du milieu $I(\theta)$ du segment $\segment{M(\theta)}{H(\theta)}$.

En d{\'e}duire, lorsque $\theta$ varie, que $I(\theta)$ d{\'e}crit la courbe d'{\'e}quation polaire :
$$r(\theta) = -a \dfrac{\cos{(2\theta)}}{\cos{(\theta)}}.$$

\item Exprimer $r(\theta + 2\pi)$, $r(\pi + \theta)$, $r(-\theta)$ en fonction de $r(\theta)$.
Interpr{\'e}ter g{\'e}om{\'e}triquement ces r{\'e}sultats et indiquer sur quelle partie $E$ de $\R$ il suffit d'{\'e}tudier la courbe pour obtenir la totalit{\'e} de son support.

\item D{\'e}terminer la limite de $r(\theta) \sin{(\theta - \pi/2)}$ lorsque $\theta$ tend vers $\pi/2$.
Qu'en d{\'e}duit-on g{\'e}om{\'e}triquement ?

\item Etudier le signe de $r(\theta)$ pour $\theta \in E$, repr{\'e}senter sur une m{\^e}me figure la droite $D$, le cercle $C$, et
le support de cette courbe $\theta \mapsto I(\theta)$.

\item Calculer l'aire de la boucle d{\'e}limit{\'e}e par la courbe $\theta \mapsto I(\theta)$.
\item Donner enfin une {\'e}quation cart{\'e}sienne du support de la courbe $\theta \mapsto I(\theta)$.
\end{enumerate}

\bigskip
\textbf{{\Large PARTIE II}}

\medskip
On d{\'e}signe par $D$ la droite d'{\'e}quation $x = 2a$ et par $C$ le cercle de centre $M_{0} (-a, 0)$, de rayon $a$.

Pour tout nombre r{\'e}el $t$, on d{\'e}signera par :
\begin{itemize}
\item $H(t)$ le point d'intersection de la droite d'{\'e}quation $y = tx$ et de la droite $D$.
\item $M(t)$ le point d'intersection de la droite d'{\'e}quation $y = tx$ et du cercle $C$ (avec la convention que lorsqu'il y a deux points d'intersection, $M(t)$ d{\'e}signe le point d'intersection distinct de $O$).
\end{itemize}

\item \textbf{Etude de la cisso{\"i}de droite}
\begin{enumerate}
\item Donner une {\'e}quation cart{\'e}sienne du cercle $C$.
\item D{\'e}terminer les coordonn{\'e}es de $M(t)$ et $H(t)$, puis du milieu $J(t)$ du segment $\segment{M(t)}{H(t)}$.
\item D{\'e}terminer le vecteur-d{\'e}riv{\'e} {\`a} la courbe $t \mapsto J(t)$, puis en d{\'e}duire les points stationnaires (c'est-{\`a}-dire non r{\'e}guliers) de celle-ci et calculer le second vecteur d{\'e}riv{\'e} au point de param{\`e}tre $t = 0$.

En d{\'e}duire que la tangente {\`a} la courbe $t \mapsto J(t)$ au point $J(t_{0})$ a pour {\'e}quation $t_{0} (t_{0}^{2} + 3)x - 2y = a t_{0}^{3}$.

\item Dresser le tableau des variations des coordonn{\'e}es $x(t)$, $y(t)$ du point $J(t)$ pour $t \in \R_{+}$, et repr{\'e}senter sur une m{\^e}me figure la droite $D$, le cercle $C$, et le support de cette courbe $t \mapsto J(t)$.

\item Donner enfin une {\'e}quation cart{\'e}sienne du support de la courbe $t \mapsto J(t)$.
\end{enumerate}


\item \textbf{Alignement de points sur la cisso{\"i}de droite}
\begin{enumerate}
\item Montrer que trois points de coordonn{\'e}es $(x_{1}, y_{1})$, $(x_{2}, y_{2})$, $(x_{3}, y_{3})$ sont align{\'e}s si et seulement si :
$$\determinant{x_{1} & y_{1} & 1 \\ x_{2} & y_{2} & 1 \\ x_{3} & y_{3} & 1} = 0.$$

\item Factoriser le d{\'e}terminant suivant o{\`u} $t_{1}$, $t_{2}$, $t_{3}$ d{\'e}signent trois nombres r{\'e}els donn{\'e}s :
$$D(t_{1}, t_{2}, t_{3}) = \determinant{at_{1}^{2} & a t_{1}^{3} & 1 + t_{1}^{2} \\ at_{2}^{2} & a t_{2}^{3} & 1 + t_{2}^{2} \\ at_{3}^{2} & a t_{3}^{3} & 1 + t_{3}^{2}}.$$

En d{\'e}duire {\`a} quelle condition n{\'e}cessaire et suffisante portant sur $t_{1}$, $t_{2}$, $t_{3}$ trois points distincts de param{\`e}tres $t_{1}$, $t_{2}$, $t_{3}$ appartenant au support de la courbe $t \mapsto J(t)$ sont align{\'e}s.

\item La droite passant par $J(t_{0})$ et $J(t_{0} + \epsilon)$ recoupe le support de la courbe $t \mapsto J(t)$ en un point dont on note le param{\`e}tre $t(\epsilon)$. Exprimer $t(\epsilon)$ {\`a} l'aide de $t_{0}$ et $\epsilon$ et pr{\'e}ciser la limite de $t(\epsilon)$ lorsque $\epsilon$ tend vers $0$.

En d{\'e}duire que la tangente en $J(t_{0})$ {\`a} la courbe $t \mapsto J(t)$ recoupe le support de celle-ci en $J(-t_{0}/2)$, et que les tangentes en trois points align{\'e}s recoupent le support de la courbe en trois points align{\'e}s.
\end{enumerate}


\bigskip
\textbf{{\Large PARTIE III}}

\medskip
On consid{\`e}re un point $M_{0} (x_{0}, y_{0})$ distinct de $O$ et on d{\'e}signe alors par $D$ la droite d'{\'e}quation $x = 2a$ et par $C (x_{0}, y_{0})$ le cercle de centre $M_{0} (x_{0}, y_{0})$ passant par $O$. Pour tout nombre r{\'e}el $t$, on d{\'e}signera par :
\begin{itemize}
\item $H(t)$ le point d'intersection de la droite d'{\'e}quation $y = tx$ et de la droite $D$.
\item $M(t)$ le point d'intersection de la droite d'{\'e}quation $y = tx$ et du cercle $C (x_{0}, y_{0})$ (avec la convention que lorsqu'il y a deux points d'intersection, $M(t)$ d{\'e}signe le point d'intersection distinct de $O$).
\end{itemize}

\item \textbf{Etude g{\'e}n{\'e}rale des cubiques circulaires}
\begin{enumerate}
\item D{\'e}terminer les coordonn{\'e}es de $M(t)$ et $H(t)$, puis du milieu $K(t)$ du segment $\segment{M(t)}{H(t)}$.
\item Etudier les branches infinies de la courbe $t \mapsto K(t)$.
\item A quelle condition sur $M_{0} (x_{0}, y_{0})$ l'origine $O$ appartient-elle au support de la courbe $t \mapsto K(t)$ ?

Repr{\'e}senter graphiquement la zone du plan correspondante.

\item A quelle condition sur $M_{0} (x_{0}, y_{0})$ la courbe a-t-elle un point double ?

Quel est alors ce point double ? Repr{\'e}senter graphiquement la zone du plan correspondante.

\item A quelle condition sur $M_{0} (x_{0}, y_{0})$ la courbe a-t-elle un point stationnaire (c'est {\`a} dire non r{\'e}gulier) ?

Quel est alors ce point stationnaire ? Repr{\'e}senter graphiquement la zone du plan correspondante.
\end{enumerate}

\item \textbf{Alignement de points sur une cubique circulaire}
\begin{enumerate}
\item Montrer que trois points distincts de param{\`e}tres $t_{1}$, $t_{2}$, $t_{3}$ appartenant au support de la courbe $t \mapsto K(t)$ sont align{\'e}s si et seulement s'il existe un triplet $(u, v, w) {\neq} (0, 0, 0)$ tels que $t_{1}$, $t_{2}$, $t_{3}$ v{\'e}rifient :
$$avt_{i}^{3} + (au + y_{0}v + w) t_{i}^{2} + (y_{0}u + x_{0}v + av) t_{i} + (x_{0}u+au+w) = 0.$$

V{\'e}rifier que $av X^{3} + (au + y_{0}v + w) X^{2} + (y_{0}u + x_{0}v + av) X + (x_{0}u+au+w) = av (X - t_{1})(X - t_{2})(X - t_{3})$, puis montrer que les trois {\'e}galit{\'e}s pr{\'e}c{\'e}dentes sont {\'e}quivalentes {\`a} une relation entre les nombres $\sigma_{1} = t_{1} + t_{2} + t_{3}$, $\sigma_{2} = t_{1} t_{2} + t_{2} t_{3} + t_{3} t_{1}$ et $\sigma_{3} = t_{1} t_{2} t_{3}$ qu'on demande d'expliciter.

Retrouver ainsi le r{\'e}sultat obtenu dans le cas particulier de la cisso{\"i}de {\`a} la question II.3¡.

\item En d{\'e}duire que la tangente en $K(t_{0})$ {\`a} la courbe $t \mapsto K(t)$ recoupe le support de celle-ci en un point dont on pr{\'e}cisera le param{\`e}tre en fonction de $t_{0}$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip
\begin{center}***\end{center}

\end{document}

