                          %+------------------------+
                          %|  MINES 2002. Maths 1.  |
                          %+------------------------+
                        %+-----------------------------+
                        %|  Corrig\'e pour serveur UPS.  |
                        %+-----------------------------+
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\input jll.mac
\hautpageun={\hfill}
\hautpage={\hfill}
\def\cc{\quad{\smc cqfd.}}
\def\Num#1{\leavevmode\hbox to 8 true mm{\bf #1\hfill}}
\catcode64=11 \def\email{jean-louis.lamard@prepas.org} \catcode64=12
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\centerline{\bf MINES-PONTS 2002. Fili\`ere MP. MATH\'EMATIQUES 1.}\par
\centerline{\it Corrig\'e de JL. Lamard (\email)}\vs
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\ind{
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\Num{I.1.}{\bf Fonction $E$.}\vs
%%-------------------------------------------------------------------------------
\num{a.}Pour tout r\'eel $x$, il vient 
$E(x)=\dsum_{k=0}^\++\lfrac{e^{kx}}{k!}=
\dsum_{k=0}^\++\Big(\dsum_{n=0}^\++\lfrac{(kx)^n}{k!\ n!}\Big)$. Cette \'egalit\'e est
vraie en particulier pour $|x|$ ce qui prouve que
la famille $\Big(\lfrac{(kx)^n}{k!\ n!}\Big)_{(k,n)\in\N\times\N}$ est sommable et
le th\'eor\`eme de Fubini permet d'\'ecrire  :\par
\v$E(x)=\dsum_{n=0}^\++\Big(\dsum_{k=0}^\++\lfrac{k^n}{k!}\Big)\lfrac{x^n}{n!}$.\cc
\vs
%%-------------------------------------------------------------------------------
\num{b.}L'unicit\'e du d\'eveloppement en s\'erie enti\`ere qui est celui de Mac-laurin
fournit $A_n=\dsum_{k=0}^\++\lfrac{k^n}{k!}$.\cc\vs
%%-------------------------------------------------------------------------------
\num{c.}Il vient 
$A_{n+1}=\dsum_{k=0}^\++\Big(\dsum_{p=0}^n\lfrac1{k!}\binom_n^pk^p\Big)$. La
famille $\Big(\lfrac1{k!}\binom_n^pk^p\Big)_{(k,p)\in\N\times\N_n}$ \'etant
positive, elle est donc sommable et l\`a encore Fubini fournit 
$A_{n+1}=\dsum_{p=0}^n\binom_n^p\dsum_{k=0}^\++\lfrac{k^p}{k!}$ i.e. 
$A_{n+1}=\dsum_{p=0}^n\binom_n^pA_p$.\par
\v Ainsi la suite $(A_n)$ v\'erifie la m\^eme relation de r\'ecurrence que la suite
$(B_n)$ avec $A_0=A_1=e$. Une it\'eration imm\'ediate prouve alors que
$A_n=eB_n$.\cc\vs
%%*******************************************************************************
\Num{I.2.}{\bf Comparaison de sommes infinies.}\vs
%%-------------------------------------------------------------------------------
\num{a.}Comme $u_k>0$ pour tout $k$, $R_{p,n}\not=0$ et 
$\lfrac{U_n}{R_{p,n}}=1+\alpha(p,n)$ avec 
\smash{$\alpha(p,n)=\lfrac{\dsum_{k=1}^{p-1}u_kk^n}{\dsum_{k=p}^\++u_kk^n}$}.\par
\v Or $0\le\dsum_{k=1}^{p-1}u_kk^n\le\widetilde u_p(p-1)^n$ avec 
$\widetilde u_p=\max\big\{u_1,u_2,\ldots,u_{p-1}\big\}$ et\par
\v $\dsum_{k=p}^\++u_kk^n\ge u_pp^n$ donc 
$0\le\alpha(p,n)\le\lfrac{\widetilde u_p}{u_p}\Big(\lfrac{p-1}p\Big)^n$ donc,
pour $p\ge1$ fix\'e quelconque, $\dlim_{n\to\++}\alpha(p,n)=0$.\par
\v Ainsi $U_n\sim R_{p,n}$ pour $p\ge1$ fix\'e quelconque lorsque $n$ tend vers
$\++$.\cc\vs
%%-------------------------------------------------------------------------------
\num{b.}Soit $\varepsilon\in]0,1[$ fix\'e quelconque. Il existe $p_0$  tel que 
$(1-\varepsilon)u_k\le v_k\le(1+\varepsilon)u_k$ pour $k\ge p_0$. \par
\v Il en d\'ecoule, avec des notations claires, $(1-\varepsilon)R_{p_0,n}(u)\le
R_{p_0,n}(v)\le(1+\varepsilon)R_{p_0,n}(u)$.\par
\v Or $U_n\sim R_{p_0,n}(u)$ d'apr\`es la question pr\'ec\'edente. \par
\v Donc il existe $n_0$ tel que $(1-\varepsilon)U_n\le
R_{p_0,n}(u)\le(1+\varepsilon)U_n$ pour $n\ge n_0$.\par
\v Il en d\'ecoule $(1-\varepsilon)^2U_n\le R_{p_0,n}(v)\le(1+\varepsilon)^2U_n$
pour $n\ge n_0$. \par
\v Ainsi $U_n\sim R_{p_0,n}(v)$. Or $R_{p_0,n}(v)\sim V_n$ d'apr\`es la question
pr\'ec\'edente. Donc $U_n\sim V_n$.\cc\vs
%%*******************************************************************************
\Num{I.3.}{\bf Fonction $f_n$.}\vs
%%-------------------------------------------------------------------------------
\num{a.}$x^2f_n(x)=\exp\big(-x\ln x+x+(n+3/2)\ln x\big)\--x\to\++->0$ donc
$f_n(k)=o(\lfrac1{k^2})$ et ainsi $\dsum_{k=0}^\++f_n(k)$ converge.\cc\vs
%%-------------------------------------------------------------------------------
\num{b.}D'apr\`es la formule de Stirling, 
$\lfrac1{k!}\sim\lfrac1{\sqrt{2\pi}}\exp(-k\ln k+k-1/2\ln k)$ donc d'apr\`es la
question I.2.b.\ :\par 
\v $A_n\sim\lfrac1{\sqrt{2\pi}}\dsum_{k=0}^\++k^n\exp(-k\ln k+k-1/2\ln k)=
\lfrac1{\sqrt{2\pi}}\dsum_{k=0}^\++f_n(k)$.\cc\vs
%%*******************************************************************************
\Num{II.1.}{\bf \'Etude de la fonction $\phi_\lambda$.}\vs
%%-------------------------------------------------------------------------------
\num{a.}Au voisinage de 0, $\phi_\lambda(x)\sim\lambda\ln x$ et, au voisinage de
$\++$, $\phi_\lambda(x)\sim-x\ln x$.\vs
%%-------------------------------------------------------------------------------
\num{b.}$\phi'_\lambda(x)=\lfrac\lambda x-\ln x$ et
$\phi''_\lambda(x)=-\lfrac{\lambda+x}{x^2}$ donc $\phi'_\lambda$ d\'ecro\^{\i}t sur
$]0,\++[$ de $\++$ \`a $-\infty$ et partant s'annule en un unique r\'eel
$\mu$ racine de l'\'equation $x\ln x-\lambda=0$. \par
\v Ainsi $\phi_\lambda$ cro\^{\i}t sur $]0,\mu[$ de $-\infty$ \`a $\phi_\lambda(\mu)$ puis
d\'ecro\^{\i}t sur $]\mu,\++[$ vers $-\infty$.\cc\vs
%%-------------------------------------------------------------------------------
\num{c.}Dans la suite on note $h(x)=x\ln x$. La fonction $h$ est de classe
${\cal C}^1$ sur $]1,\++[$ et $h'(x)=1+\ln x>0$. Donc $h$ r\'ealise un ${\cal
C}^1$-diff\'eomorphisme croissant de $]1,\++[$ sur $]0,\++[$. \par
\v Ainsi $\varphi=h^{-1}$ est-elle bien de classe ${\cal C}^1$ sur $]0,\++[$.\cc
\vs
%%*******************************************************************************
\Num{II.2.}{\bf Maximum de la fonction $f_n$.}\vs
%%-------------------------------------------------------------------------------
\num{a.}Pour $x>0$ on a $f_n(x)=\exp\Big(\phi_{n-1/2}(x)\Big)$ de sorte que, sur
$]0,\++[$, $f_n$ admet un maximum en un unique point $\mu_n=\varphi(n-1/2)$,
maximum strictement positif. C'est \'egalement le maximum de $f_n$ sur $\R$
puisque $f_n$ est nulle sur $]-\infty,0]$. \par
\v Ainsi $f_n$ admet un unique maximum sur $\R$ atteint en le r\'eel 
$\mu_n=\varphi(n-1/2)$.\cc\vs
\goodbreak
\v $f_n$ est clairement continue sur $\R$ et de classe ${\cal C}^1$ sur
$\R^*$. Par ailleurs $\dlim_{x\to0^-}f'_n(x)=0$. Donc, d'apr\`es le th\'eor\`eme de
prolongement des applications ${\cal C}^1$, $f_n$ est de classe ${\cal C}^1$ sur
$\R$ si et seulement si $\dlim_{x\to0^+}f'_n(x)=0$.\par
\v Pour $x>0$ il vient $f'_n(x)=\phi'_\lambda(x)\exp\big(\phi_\lambda(x)\big)$
avec $\lambda=n-1/2$. Or au voisinage de $0^+$, 
$\phi'_\lambda(x)=\lfrac\lambda{x}-\ln x\sim\lfrac\lambda{x}$ et
$\phi_\lambda(x)=\lambda\ln x+o(1)$ donc
$\exp\big(\phi_\lambda(x)\big)\sim\exp(\lambda\ln x)=x^\lambda$ donc
$f'_n(x)\sim\lambda x^{\lambda-1}$ tend vers 0 si et seulement si 
$\lambda-1=n-3/2>0$ soit si et seulement si $n\ge 2$.\par
\v Ainsi $f_n$ est de classe ${\cal C}^1$ sur $\R$ si et seulement si
$n\ge2$.\cc\vs
%%-------------------------------------------------------------------------------
\num{b.}On a vu que $\mu_n=\varphi(n-1/2)$ c'est \`a dire que $\mu_n$ est
caract\'eris\'e par $h(\mu_n)=n-1/2$ avec $h(x)=x\ln x$ strictement croissante sur
$]1,\++[$.\par
\v Ainsi $h(\mu_1)=1/2$ et $h(\mu_2)=3/2$. Or $h(1)=0$ et
$h(2)=2\ln2\in]1/2,3/2[$ donc $1<\mu_1<2<\mu_2$.\cc\vs
\b De m\^eme pour \'etablir que $\sqrt n<\mu_n<n$ pour $n\ge3$, il suffit de prouver
que $\lfrac12\sqrt n\ln n<n-\lfrac12<n\ln n\quad (1)$.\par
\v Soit $\Delta(x)=x-\lfrac12-\lfrac12\sqrt x\ln x$. Il vient que $\Delta'(x)$
est du signe de $4\sqrt x-\ln x-2$ dont le minimum est atteint en
$1/4$ et vaut $\ln 4>0$ par une \'etude imm\'ediate. Donc $\Delta$ cro\^{\i}t et comme
$\Delta(1)=1/2>0$ il  vient que l'in\'egalit\'e de gauche de $(1)$ est vraie pour
tout $n\ge 1$.\par
\v Soit d\'esormais $\delta(x)=x\ln x-x+1/2$. Comme $\delta'(x)=\ln x$, $\delta$
cro\^{\i}t sur $[1,\++[$. Or $\delta(3)=3\ln3-5/2>0$ car $\ln3>5/6$ puisque $3>e$. Ce
qui \'etablit l'in\'egalit\'e de droite de $(1)$ pour $n\ge3$. \cc\vs
\b De $\mu_n\ln\mu_n=n-1/2$ on tire $\lfrac{\mu_n}{n}=\lfrac{1-1/2n}{\ln\mu_n}
\sim\lfrac1{\ln\mu_n}$ tend vers $0$ car $\mu_n\ge\sqrt n$. Ainsi
$\mu_n=o(n)$.\cc\vs
\b Nous avons $\mu_n\sim\lfrac{n}{\ln\mu_n}$ donc pour $n$ assez grand 
$\mu_n\ge\lfrac{n}{2\ln\mu_n}$. Or $\ln\mu_n\le\ln n$ puisque $\mu_n<n$. Donc
$\mu_n\ge\lfrac{n}{2\ln n}$ pour $n$ assez grand donc $n^\alpha=o(\mu_n)$ pour
tout r\'eel $\alpha\in]0,1[$.\cc\vs
%%*******************************************************************************
\Num{III.1.}\ {\bf Propri\'et\'es de la fonction $g_n$.}\vs
%%-------------------------------------------------------------------------------
\num{a.}V\'erification imm\'ediate \`a partir de la d\'efinition de $g_n$.\vs
%%-------------------------------------------------------------------------------
\num{b.}En II.2.a. est indiqu\'ee l'allure du graphe de $f_n$. Il en d\'ecoule celui
de $g_n$ : fonction continue sur $\R$, nulle sur $]-\infty,\sqrt n]$, croissante
sur $[\sqrt n,0]$ puis d\'ecroissante vers $0$ sur $]0,\++[$. La maximum atteint
en $0$ a pour valeur 1.\vs
%%-------------------------------------------------------------------------------
\num{c.}D'apr\`es la relation admise en II.1. dans l'\'enonc\'e avec 
$\lambda=n-1/2$ et compte tenu de $f_n(x)=\exp\big(\phi_{n-1/2}(x)\big)$ pour
$x>0$, il vient que  :\par
\v $g_n(x)=\exp\Big(\big(\mu_n-(n-1/2)\big)
\big(\lfrac x{\sqrt n}-\ln(1+\lfrac x{\sqrt n})\big)-
\mu_n\lfrac x{\sqrt n}\ln(1+\lfrac x{\sqrt n})\Big)$ pour $x>-\sqrt n$ 
et $g_n(x)=0$ sinon.\quad (2).
\vs
\v Fixons $x\in\R$. Pour $n$ assez grand, $x>-\sqrt n$ et donc $g_n(x)$ admet la
premi\`ere expression ci-dessus. \par
\v Or $\mu_n=o(n)$ donc $\mu_n-(n-1/2)\sim-n$ et  
$\lfrac x{\sqrt n}-\ln(1+\lfrac x{\sqrt n})\sim-\lfrac{x^2}{2n}$. \par
\v Il en d\'ecoule que $\big(\mu_n-(n-1/2)\big)
\big(\lfrac x{\sqrt n}-\ln(1+\lfrac x{\sqrt n})\big)$ tend vers
$-\lfrac{x^2}{2}$.\par
\v Par ailleurs 
$\mu_n\lfrac x{\sqrt n}\ln(1+\lfrac x{\sqrt n})\sim\lfrac{\mu_n}{n}x^2$ tend
vers 0 car $\mu_n=o(n)$.\par
\v Ainsi la suite $(g_n)$ converge simplement sur $\R$ vers la fonction $g$
d\'efinie par $g(x)=\exp(-\lfrac{x^2}2)$.\cc\vs
%%-------------------------------------------------------------------------------
\num{d.}Fixons $x>-\sqrt n$. On remarque que, x positif ou n\'egatif, on a
toujours $\mu_n\lfrac x{\sqrt n}\ln(1+\lfrac x{\sqrt n})\ge0$ et partant,
d'apr\`es (2) ci-dessus, 
$g_n(x)\le\exp\Big(\big(\mu_n-(n-1/2)\big)
\big(\lfrac x{\sqrt n}-\ln(1+\lfrac x{\sqrt n})\big)\Big)$ et cela pour tout
entier $n$ et tout r\'eel $x>-\sqrt n$.
Or $\mu_n=o(n)$ donc, pour $n$ assez grand, $\mu_n-(n-1/2)\le-\lfrac n2$. \par
\v Il en d\'ecoule qu'il existe un entier $n_0$ tel que pour $n\ge n_0$ on ait 
$g_n(x)\le\exp\Big(-\lfrac n2
\big(\lfrac x{\sqrt n}-\ln(1+\lfrac x{\sqrt n})\big)\Big)$ pour tout r\'eel
$x>-\sqrt n$.\cc\vs
%%*******************************************************************************
\Num{III.2.}\ {\bf Une majoration de la fonction $g_n$.}\vs
%%-------------------------------------------------------------------------------
\num{a.}$u$ est de classe ${\cal C}^\infty$ sur $]-1,\++[\setminus\{0\}$ et au
voisinage de 0, $u(x)=\lfrac12-\lfrac x3+O(x^2)$ ce qui prouve que $u$ est
d\'erivable en 0 de nombre d\'eriv\'e $-\lfrac13$.\par
\goodbreak
\v Il vient que, pour $x\not=0$, $u'(x)=\lfrac{v(x)}{x^3}$ avec 
$v(x)=-\lfrac{x^2+2x}{1+x}+2\ln(1+x)$. Or $v'(x)=-\lfrac{x^2}{(1+x)^2}$ donc $v$
d\'ecro\^{\i}t sur $]-1,\++[$. Or $v(0)=0$ donc $v(x)>0$ pour $x<0$ et $v(x)>0$ pour
$x>0$. Il en d\'ecoule que $u'(x)<0$ pour tout $x>-1$, $x\not=0$. (Et \'egalement en
0 puisque $u'(0)=-1/3$).\vs
\v En conclusion $u$ est d\'ecroissante et positive car $\dlim_{x\to\++}u(x)=0$.\cc\vs
%%-------------------------------------------------------------------------------
\num{b.}Soit $n\ge n_0$ fix\'e quelconque, $n_0$ entier introduit
pr\'ec\'edemment. \par
\v Pour tout $x>-\sqrt n$ on a 
$g_n(x)\le\exp\Big(-\lfrac n2
\big(\lfrac x{\sqrt n}-\ln(1+\lfrac x{\sqrt n})\big)\Big)=
\exp\Big(-\lfrac{x^2}2u(\lfrac x{\sqrt n})\Big)$ d'apr\`es la question III.1.d.\par
\b Si $x\in]-\sqrt n,0]$ il vient que $u(\lfrac x{\sqrt n})\ge u(0)=\lfrac12$
puisque $u$ d\'ecro\^{\i}t donc $g_n(x)\le\exp(-\lfrac{x^2}4)$.\par
\v Cette majoration est encore vraie si $x\le-\sqrt n$ puisqu'alors 
$g_n(x)=0$. \par
\v En conclusion $g_n(x)\le\exp(-\lfrac{x^2}4)$ pour tout $n\ge n_0$ et tout
$x\le0$.\cc\vs
\b Si $x\ge0$ il vient $u(\lfrac x{\sqrt n})\ge u(x)$ puisque $u$ d\'ecro\^{\i}t. Il en
d\'ecoule $g_n(x)\le\exp\Big(-\lfrac{x^2}2u(x)\Big)$.\par
\v En d'autres termes $g_n(x)\le\exp\Big(-\lfrac12\big(x-\ln(1+x)\big)\Big)=
\sqrt{1+x}\ \exp\big(-\lfrac x2\big)$ pour tout $n\ge n_0$ et tout $x\ge0$.\cc\vs
%%*******************************************************************************
\Num{IV.1.}\ {\bf Int\'egrabilit\'e de la fonction $g_n$.}\vs
\b Soit $n\ge1$ fix\'e quelconque. $f_n$ est continue donc localement int\'egrable
sur $\R$. Elle est int\'egrable en $-\infty$ puisque nulle pour $x\le0$.
En outre $x^2f_n(x)\--n\to\++->0$ donc $f_n$ est int\'egrable en $\++$ et
finalement $f_n$ est int\'egrable sur $\R$. Le ${\cal C}^1$ diff\'eomorphisme 
$x\->\mu_n\big(1+\lfrac x{\sqrt n}\big)$ de $\R$ sur $\R$ prouve alors, d'apr\`es la d\'efinition de
$g_n$ donn\'ee au d\'ebut de la troisi\`eme partie, que $g_n$ est int\'egrable sur $\R$.
\cc\vs
\b Notons $\ell$ la fonction d\'efinie sur $\R$ par $\ell(x)=\exp(-\lfrac{x^2}4)$
pour $x\le0$ et $\ell(x)=\sqrt{1+x}\ \exp\big(-\lfrac x2\big)$ sinon.\par
\v $\ell$ est int\'egrable sur $\R$ car $\ell(x)=o\big(\lfrac1{x^2}\big)$ au
voisinage de $-\infty$ et de $\++$. Par ailleurs $\ell$ domine la suite $(g_n)$
sur $\R$ d'apr\`es la question III.2.b.\par
\v Ainsi la suite $(g_n)$ est une suite de fonctions continues sur $\R$ qui
converge simplement sur $\R$ vers la fonction continue $g$ et qui est domin\'ee
sur $\R$ par la fonction $\ell$ int\'egrable. D'apr\`es le th\'eor\`eme de la
convergence domin\'ee, la suite $\dint_\R g_n(x)\d x$ converge vers 
$\dint_\R g(x)\d x=\dint_\R\exp\big(-\lfrac{x^2}2\big)=\sqrt{2\pi}$ 
(int\'egrale de Gauss).\cc\vs
%%*******************************************************************************
\Num{IV.2.}\ {\bf Un encadrement de la somme $S_n$.}\vs
\v Sur $[0,\++[$ la fonction positive $f_n$ cro\^{\i}t entre 0 et $\mu_n$ puis
d\'ecro\^{\i}t. Il en d\'ecoule classiquement que :\par
\v $\dint_0^pf_n\le\dsum_{k=1}^pf_n(k)\le f_n(p)+\dint_0^pf_n$ \quad et  \quad
$\dint_{p+1}^\++f_n\le\dsum_{k=p+1}^\++f_n(k)\le
f_n(p+1)+\dint_{p+1}^\++f_n$.\par
\v Donc par addition, vu que $\dint_0^\++f_n=\dint_\R f_n$, il vient  :\par
\v $\dint_\R f_n-\dint_p^{p+1}\!\!\!f_n\le S_n\le 
f_n(p)+f_n(p+1)+\dint_\R f_n-\dint_p^{p+1}\!\!\!f_n\le
f_n(p)+f_n(p+1)+\dint_\R f_n$ \quad (3).\par
\v Or $f_n(x)=f_n(\mu_n)g_n\Big(\lfrac{\sqrt n}{\mu_n}x-\sqrt n\Big)$ d'apr\`es la
question III.1.a. de sorte que $\dint_\R f_n=f_n(\mu_n)\lfrac{\mu_n}{\sqrt
n}\dint_\R g_n$.\par
\v Par ailleurs $\dint_p^{p+1}\!\!\!f_n\le f_n(\mu_n)$ ainsi que 
$f_n(p)\le f_n(\mu_n)$ et $f_n(p+1)\le f_n(\mu_n)$ puisque $f_n(\mu_n)$ est
le maximum de la fonction $f_n$. \par
\v Il d\'ecoule alors de (3) que 
$f_n(\mu_n)\lfrac{\mu_n}{\sqrt n}I_n-f_n(\mu_n)\le S_n\le
f_n(\mu_n)\lfrac{\mu_n}{\sqrt n}I_n+2f_n(\mu_n)$\quad (4).\par
\v Posons $K_n=f_n(\mu_n)\lfrac{\mu_n}{\sqrt n}$ et 
$\varepsilon_n=2\lfrac{\sqrt n}{\mu_n}$ qui tend bien vers 0 d'apr\`es la question 
II.2.b.iii.\par
\v L'in\'egalit\'e (4) ci-dessus permet alors d'\'ecrire 
$K_n(I_n-\varepsilon_n)\le S_n\le K_n(I_n+\varepsilon_n)$. \cc\vs
%%*******************************************************************************
\goodbreak
\Num{IV.3.}\ {\bf Un \'equivalent du r\'eel $B_n$.}\vs
\v D'apr\`es les questions I.1.c. et I.3.b. on a 
$B_n\sim\lfrac1e\lfrac1{\sqrt{2\pi}}S_n$.\par
\v Or $S_n\sim\sqrt{2\pi}K_n$ d'apr\`es la question pr\'ec\'edente et le fait que $I_n$ tend
vers $\sqrt{2\pi}$ (question IV.1.). \par
\v Ainsi $B_n\sim\lfrac1eK_n$.\cc\vs
%%*******************************************************************************
}\indd\VS\Fin
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\bye

