%======================================================================================
%CORRIGE DE Mines-Ponts 2002 MP 1 (format Plain-TeX): 
%Nombres de partitions (nombres de Bell): s\'erie g\'en\'eratrice et \'equivalent.
%Le corrig\'e d\'ebute ligne 194 (commentaires)
%Il comprend 2 figures M02MM1F1.EPS et M02MM1F2.EPS incluses avec psfig.sty
%\`a la ligne (graphes au III.1.b):rajouter \input c:/.../psfig.sty 
%Remarques et relev\'es d'erreurs \`a JC Dufait, e-mail:jean-charles.dufait@prepas.org
%Pour la compilation, si vous ne disposez pas des fontes AMS, supprimez 
%les lignes 42-43 et remplacer \db par \bf aux lignes 90 et suivantes.
%======================================================================================
%
%*****Macros de pr\'esentation*******************
%*****Mise en page
\vsize   =   24 true cm
\hsize   =   17 true cm
\hoffset=-1.1 true cm
%\voffset=-2.2 true cm % \`a adapter pour l'imprimante 
\overfullrule=0mm
\hfuzz=5mm
\leftskip = 1cm % dimension marge gauche
\parindent = 0mm % pas d'indentation en d\'ebut de paragraphe
\everydisplay={\displaywidth=160mm\displayindent=15mm}
%*********** Macros num\'erotation UPS
\catcode`\@=11\font\@upstt=cmtt10
\footline={\@upstt\hfil \jobname.tex\ - page
\the\count0\ifodd\count0\hfill\fi}
\catcode`\@=12\ifx\numerodepage\undefined\else\count0=\numerodepage\fi
%*****Fontes
\font\pc=cmcsc10
\font\Bf=cmbx10 scaled\magstep1
\font\BF=cmbx10 scaled\magstep2
\font\tenmsbm=msbm10
\font\sevenmsbm=msbm7
\font\fivemsbm=msbm5    
\newfam\dbfam \textfont\dbfam=\tenmsbm \scriptfont\dbfam=\sevenmsbm
\scriptscriptfont\dbfam=\fivemsbm
\def\db{\fam\dbfam}
\font\tenmsam=msam10
\font\sevenmsam=msam7
\font\fivemsam=msam5     
\newfam\amsafam \textfont\amsafam=\tenmsam \scriptfont\amsafam=\sevenmsam
\scriptscriptfont\amsafam=\fivemsam
\mathchardef\le="3936
\mathchardef\ge="393E
%*****Num\'erotation
\dimendef\grandrecul=100%
\dimendef\petitrecul=101%
\def\num#1{\sv\sv\setbox1\hbox to \grandrecul{\bf#1\delimI\hfil}
\leavevmode\hskip -\grandrecul%
{\box1}}%-----num\'ero de question
\def\numm#1{\setbox2\hbox to \petitrecul{\bf #1\delimII\hfil}
\setbox1\hbox to \grandrecul{\hfill\box2}
\s\sv\leavevmode\llap{\box1$\!$}}%-----num\'ero de sous-question
%*****Fin
\def\finetoiles{\centerline{*\hphantom{*}*\hphantom{*}*}\centerline{*\hphantom{*}*}\centerline{*}}
%*****Cadres
%-----cadre simple
\def\encadre#1{
\leavevmode             % mode horizontal
\hbox{\vrule            % trait vertical gauche
\vtop{\vbox{\hrule      % trait horizontal haut
\kern 5pt               % cale verticale
\hbox{\kern 5pt         % cale horizontale
#1\kern 5pt             % texte + cale horizontale
}}\kern 5pt             % cale verticale
\hrule                  % trait horizontal bas
}\vrule}}               % trait vertical droit
%----- cadre pour le titre 
\def\cadrelong#1{%
{\SV                    % va a la ligne
\leftskip=3mm           % pas de marge gauche
\hrule                  % trait horizontal sup\'erieur
\dimen0=\hsize\advance\dimen0 by 7mm %
\hbox to \dimen0{\vrule  % trait vertical gauche
\hfil                   % centrage horizontal
\vrule height 16pt depth 8pt width 0pt     % cale de hauteur
\BF #1%                  % texte en gras
\hfil                   % centrage horizontal
\vrule                  % trait vertical droit
}\hrule                 % trait horizontal inf\'erieur
\sv}}                   % petit espace
%
%-----cadre centr\'e
\def\cadcent#1{\sv\centerline{\encadre{#1}}}
%*****Op\'erateurs math\'ematiques*********************
%
%*****Nouvelles definitions
\let\oldsum=\sum                         % modifie la d\'efinition de \sum
\def\sum{\oldsum\limits}                 % pour placer correctement les bornes
\def\max{\mathop{\rm Max}\limits}
\def\min{\mathop{\rm Min}\limits}
\def\frac#1#2{{\textstyle#1\over\textstyle#2}} % fraction
\def\fracs#1#2{{\scriptstyle#1\over\scriptstyle#2}} %  petite fraction
%*****Ensembles de nombres
\def\Z{{\db Z}\hskip +.05em}
\def\C{{\db C}\hskip +.05em}
\def\R{{\db R}\hskip +.05em}
\def\N{{\db N}\hskip +.05em}
\def\Q{{\db Q}\hskip +.05em}
\def\K{{\db K}\hskip +.05em}	
\def\U{{\db U}\hskip +.05em}
%*****Limites d'intervalles d'entiers:
\def\[{[\![}
\def\]{]\!]}
%*****Calculs en cascade
\def\cascade#1{                            
\leavevmode\vtop{\halign{$##$\hfil&${}##{}$\hfil&$##$\hfil\cr #1}}\par}
\def\dcascade#1{                            
\leavevmode\vtop{\halign{$\displaystyle ##$\hfil&
$\displaystyle {}##{}$\hfil&$\displaystyle ##$\hfil\cr #1}}\par}
%*****Fl\'eches
%-----op\'erateur avec dessous: build {op\'erateur} {dessous}
\def\build#1#2{\mathrel{\mathop{\kern 0pt#1}\limits_{#2}}}
%-----fl\`eche double: fl\`eche {variable} {valeur}
\def\fleche#1#2{\build{\hbox to
9mm{\rightarrowfill}}{{#1}\rightarrow{#2}}}
%-----op\'erateur avec deux dessous: Build {op\'erateur} {dessous1} {dessous2}
\def\Build#1#2#3{\build{{#1}}{\scriptstyle{#2}\atop\scriptstyle{#3}}}
%-----fl\`eche triple: Fleche {variable} {valeur} {3i\`eme ligne}
\def\Fleche#1#2#3{\build{\hbox to
9mm{\rightarrowfill}}{\scriptstyle{#1}\rightarrow{#2}\atop\scriptstyle{#3}}}
%-----cv simple et uniforme
\def\cvu{\setbox1=\hbox{$\longrightarrow$\llap{\raise-0.5pt\hbox{\rm U}\kern 4pt}}\mathrel{\box1}} 
\def\cvs{\setbox1=\hbox{$\longrightarrow$\llap{\raise-0.5pt\hbox{\rm S}\kern 5pt}}\mathrel{\box1}} 
%*****Tableau de variation
%
% \tabvar{...} -> tableau de variation encadr\'e avec un trait de s\'eparation
%                 entre les colonnes 1 et 2. Les cellules du tableau sont
%                 compos\'ees en mode math\'ematique. La ligne de base du tableau
%                 est celle de la ligne 1. La derni\`ere ligne du tableau doit
%                 obligatoirement se terminer par \cr
%     Dans l'environnement \tabvar, on dispose des macros suivantes :
%     \cr : interligne normale
%     \l  : espace + demi-interligne
%     \L  : espace + interligne normale avec trait horizontal
%     \d  : fl\`eche descendante
%     \u  : fl\`eche montante
%     \v  : trait vertical centr\'e
%     \V  : double trait vertical centr\'e
%     \Vd : double trait vertical cadr\'e \`a droite
%     \Vg : double trait vertical cadr\'e \`a gauche
%     \q  : cale de largeur (\qquad)
\def\tabvar#1{{%
%                                                     macros locales
\def\L{\ \cr\noalign{\hrule}}%                        % trait horizontal
\def\l{\ \cr\noalign{\vskip -6pt}}%                   % passage \`a la ligne
\def\d{\searrow}%                                     % fl\`eche descendante
\def\u{\nearrow}%                                     % fl\`eche montante
\def\v{\vrule}%                                       % trait vertical
\def\V{\vrule\hskip2pt\vrule}%                        % double trait vertical
\def\Vg{\V\hfill}%                                    % double trait \`a gauche
\def\Vd{\hfill\V}%                                    % double trait \`a droite
\def\q{\qquad}%                                       % cale de largeur
%
\leavevmode                                           % mode horizontal
\hbox{\vrule                                          % cadre (trait gauche)
\vbox{\hrule                                          % cadre (trait haut)
\vtop{\offinterlineskip                               % lignes jointives
\halign{\strut                                        % cale de hauteur
\ \hfil$##$\hfil\                                     % colonne 1
\vrule\                                               % s\'eparation 1-2
&&\hfil$##$\hfil\cr                                   % colonnes 2,3,..
#1%                                                   % contenu du tableau
\noalign{\hrule}%                                     % cadre (trait bas)
}}}\vrule}}}                                          % cadre (trait droit)
%*****Raccourcis
\let\un=\underline
\let\h=\hbox
\let\s=\smallskip
\def\sv{\vskip 4mm plus 2mm minus 2mm}   
\def\SV{\vskip 12mm plus 6mm minus 6mm} 
\def\ex{\exists\,}
\def\asv{\vskip -4mm}
%******Accents 
%\catcode`\\'e=\active\def\'e{\'e} 
%\catcode`\\c{c}=\active\def\c{c}{\c c} 
%\catcode`\\`e=\active\def\`e{\`e} 
%\catcode`\\`a=\active\def\`a{\`a} 
%\catcode`\\`u=\active\def\`u{\`u}
%\catcode`\\^a=\active\def\^a{\^a}        
%\catcode`\\^e=\active\def\^e{\^e}        
%\catcode`\\^{\i}=\active\def\^{\i}{\^\i}       
%\catcode`\\^o=\active\def\^o{\^o}
%\catcode`\\^u=\active\def\^u{\^u}        
%\catcode`\\"{\i}=\active\def\"{\i}{\"\i}       
%\catcode`\\"o=\active\def\"o{\"o}  
%=================Macros sp\'ecifiques
\def\titre{Mines Ponts, 2002, MP, Premi\`ere \'epreuve}
\grandrecul=40pt
\petitrecul=15pt
\def\delimI{.}
\def\delimII{.}
\def\nbretotal{5}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%COMMENTAIRES: 
%%Sujet alternant des questions difficiles avec d'autres plus faciles et
%%parfois tr\`es faciles. Quelques questions auraient pu b\'en\'eficier
%%avantageusement d'une indication: I.1.a, IV.3 o\`u "un \'equivalent"  est un
%%peu vague. Globalement, le niveau est bien celui attendu. Le sujet est
%%certainement trop long pour 3 heures. Par contre, il devrait \^etre bien classant.
%%Une seule erreur d'\'enonc\'e: la	 formule du II.1 admise pour $x>0$ sert
%%pour $x>-1$ au III.1.
%% Chapitres utilis\'es: s\'eries enti\`eres, s\'eries num\'eriques et sommabilit\'e; int\'egrales
%%sur $\R$ (convergence domin\'ee); fonctions.
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\input psfig.sty
\SV 
\cadrelong{\BF \titre }
\centerline{\sl (\nbretotal\  pages )}
\SV
\cadcent{\Bf Premi\`ere Partie}

\num{I-1}%
\hskip -15pt{\bf Fonction $E$}~:
\asv
\numm a%
Le d\'eveloppement en s\'erie enti\`ere de la fonction exponentielle donne
$$\forall x\in\R,\quad E(x)=\sum_{k=0}^{+\infty}\frac{{\rm e}^{kx}}{k!}=
\sum_{k=0}^{+\infty}\left(\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{(kx)^n}{k!\,
n!}\right)~~.$$ Or la s\'erie $\left(\sum\left|  \frac{kx^n}{k!\,
n!}\right|\right)_{n\in\N}$ est convergente de somme $\frac{{\rm e}^{k|x|}}{k!}
$ et $\left(\sum\frac{{\rm e}^{k|x|}}{k!}\right)_{k\in\N}$ est convergente
(de somme $E(|x|)$), donc la famille 
$\left(\frac{(kx)^n}{k!\,n!}\right)_{(k,n)\in\N^2}$ est sommable et on peut
donc \'ecrire 
$$\forall x\in\R,\quad E(x)=
\sum_{n=0}^{+\infty}\left(\sum_{k=0}^{+\infty}\frac{(kx)^n}{k!\,
n!}\right)=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{x^n}{n!}\,\left(\sum_{k=0}^{+\infty}\frac{k^n}{k!}\right)$$
 donc $\un{E\h{ est d\'eveloppable en s\'erie enti\`ere sur }\R}$~.

\numm b%
On sait que si $f$ est d\'eveloppable en s\'erie enti\`ere en $0$, les
coefficients du d\'eveloppement sont $\frac{f^{(n)}(0)}{n!}$, donc, ici,
on a  $\un{A_n=\sum_{k=0}^{+\infty}\frac{k^n}{k!}}$~.

\numm c%
$\diamond$ On a $\forall x\in\R,\ E'(x)={\rm e}^x\,E(x)$ donc la formule
de Leibniz donne, pour tout $n\in\N$, $\forall x\in\R,\ E^{(n+1)}(x)=
\sum_{k=0}^{n}{\rm C}_n^k\,{\rm e}^x\,E^{(k)}(x)$ donc, en prenant $x=0$, $\un{
A_{n+1}=\sum_{k=0}^n{\rm C}_n^k\,A_k}$~.\s

$\diamond$ On a $A_0=E(0)={\rm e}={\rm e}\,B_0$ et donc, par r\'ecurrence
imm\'ediate \`a l'aide de la relation ci-dessus et de la relation similaire sur
$B_n$, on a $\forall n\in\N,\ A_n={\rm e}\,B_n$ donc $\un{B_n=\frac{1}{{\rm e}}\,A_n}$~.

\num{I-2}%
\hskip -15pt{\bf Comparaison de sommes infinies}~:
\asv
\numm a%
On a $0\le u_{p}\,p^n\le U_n=\sum_{k=1}^{+\infty}u_k\,k^n$ et 
$0\le U_n-R_{p,n}=\sum_{k=1}^{p-1}u_k\,k^n\build{\sim}{n\rightarrow+\infty}
u_{p-1}\,(p-1)^n=o\bigl( u_{p}\,p^n \bigr)$ donc $U_n-R_{p,n}=o\bigl(U_n)$
et donc $\un{U_n\build{\sim}{n\rightarrow+\infty}R_{p,n}}$~.

\numm b%
%Question rectifi\'ee par Robert Chardard. Merci \`a lui.
%
Puisque $u_n\build{\sim}{n\rightarrow+\infty}v_n$, pour tout $\varepsilon
>0$ il existe $p\in\N$ tel que $\forall k\ge p,\ \bigl|u_k-v_k  \bigr|\le
\varepsilon\, u_k$. Un tel $p$ \'etant fix\'e, posons $R_{p,n}(u)= 
\sum_{k=p}^{+\infty}u_k\,k^n$ et $R_{p,n}(v)=
\sum_{k=p}^{+\infty}v_k\,k^n$. On a $\bigl|R_{p,n}(u)- R_{p,n}(v) \bigr|=\left|
\sum_{k=p}^{+\infty}(u_k-v_k)\,k^n\right|\le 
\sum_{k=p}^{+\infty}\bigl|u_k-v_k\bigr|\,k^n$ car les deux s\'eries sont
absolument convergentes donc leur diff\'erence aussi. On obtient donc 
$\bigl|R_{p,n}(u)- R_{p,n}(v) \bigr|\le
\varepsilon\,\sum_{k=p}^{+\infty}u_k\,k^n=\varepsilon\,R_{p,n}(u)\le
\varepsilon\,U_n$. D'autre part, la question pr\'ec\'edente donne 
$U_n\build{\sim}{n\rightarrow+\infty}R_{p,n}(u)$ et
$V_n\build{\sim}{n\rightarrow+\infty}R_{p,n}(v)$ donc  
il existe $n_0$ tel que $\forall n\ge n_0,\ 
\bigl|R_{p,n}(u)-U_n\bigr|\le\varepsilon\,U_n$ et 
$\bigl|R_{p,n}(v)-V_n\bigr|\le\varepsilon\,V_n$. 
 
Donc $\forall n\ge n_0,\ 
\bigl|U_n-V_n\bigr| \le
\bigl|U_n-R_{p,n}(u)\bigr|+  \bigl|R_{p,n}(u)- R_{p,n}(v) \bigr|+
\bigl|R_{p,n}(v)-V_n\bigr|\le2\varepsilon\,U_n +\varepsilon\,V_n$.
 
On peut supposer que $\varepsilon < {1\over 2}$. On a alors, en
tenant compte de l'in\'egalit\'e pr\'ec\'edente avec $\varepsilon
<{1\over 2}$: 
 
$\forall n\ge n_0,\ V_n\le \bigl| V_n-U_n\bigr| +U_n\le
 2U_n+{V_n\over 2}$\ \ donc \ \ $V_n\le 4\, U_n$
 
$\forall n\ge n_0,\ \bigl| U_n-V_n\bigr| \le 6\varepsilon\, U_n$
 
Donc $\forall \varepsilon\in \rbrack 0,{1\over 2}\lbrack \quad
\exists n_0 \quad \forall n\ge n_0 \quad \bigl| U_n-V_n\bigr| \le
4\varepsilon\, U_n$.
 
Donc, finalement,
$\un{U_n\build{\sim}{n\rightarrow+\infty}V_n}$~.


\num{I-3}%
\hskip -15pt{\bf  Fonction $f_n$}~:
\asv
\numm a%
On a $s_k={\rm e}^k\,k^{-k+n-1/2}=\exp\bigl[-k\ln k+k+(n-\fracs12)\ln
k\bigr]$ donc $k^2\,s_k=\exp\bigl[-k\ln k+k+(n+\fracs32)\ln
k\bigr]\fleche{k}{+\infty}0$ donc, par comparaison aux s\'eries de Riemann,
$\un{\h{la s\'erie }\left( \sum s_k\right)_{k\in\N}\h{ converge}}$~.

\numm b%
L'\'equivalent de Stirling donne  
$\frac{k^n}{k!}\build{\sim}{n\rightarrow+\infty}\frac
{k^n\,k^{-k}{\rm e}^k}{\sqrt{2\pi k}}=\frac
{{\rm e}^kk^{-k+n-1/2}}{\sqrt{2\pi }}=\frac{s_k}{\sqrt{2\pi }}$ et,pour $k\ge 1$, $s_k>0$
et $s_0=0$, donc,
d'apr\`es la question [{\bf 2.b}], on a $\un
{A_n\build{\sim}{n\rightarrow+\infty}\frac1{\sqrt{2\pi}}\,
\sum_{k=0}^{+\infty}f_n(k)}$~.
 

\SV
\cadcent{\Bf Deuxi\`eme Partie}

\num{I$\!$I-1}%
\hskip -15pt{\bf \'Etude de la fonction $\Phi_\lambda$}~:
\asv
\numm a%
On a  $\un{\Phi_\lambda(x)\build{\sim}{x\rightarrow 0^+}\lambda\,
\ln x\quad\h{ et }\quad \Phi_\lambda(x)\build{\sim}{x\rightarrow+\infty}
-x\ln x}$~.

\numm b%
$\Phi'_\lambda(x)=-\ln x+ \frac\lambda x$ et
$\Phi''_\lambda(x)=-\frac1x-\frac{\lambda}{x^2}<0$ donc $\Phi'_\lambda$ est
une fonction continue strictement d\'ecroissante de  $]0,+\infty[$ vers 
$\R$ (car $\lim_{x\rightarrow 0^+}Phi'_\lambda(x)=+\infty$ et
$\lim_{x\rightarrow+\infty}Phi'_\lambda(x)=-\infty$) et donc il existe
 un unique $\mu\in \R_+^*$ tel que $\Phi'_\lambda(\mu)=0$ d'o\`u le tableau
de variations~:
$$\tabvar{x&0\hfill & & \mu&  &+\infty\L
&\Vg&&\quad\Phi_\lambda(\mu)\quad&&\l
\Phi_\lambda(x)&\Vg&\ \u&&\d\ &\l
&\Vg\ -\infty&&&&-\infty\cr}$$

\numm c%
$\Phi'_\lambda(\mu)=-\ln\mu + \frac\lambda \mu=0\Leftrightarrow \lambda=\mu\ln\mu
$ et , puisque $\lambda >0$, on a $\mu >1$. Posons $\phi (x)=x\ln x$:  $\phi$ est de classe
$C^\infty$ sur $]1,+\infty[$ et $\phi'(x)=1+\ln x>0$. Donc $\phi$ est un $
C^\infty$ diff\'eomorphisme de $]1,+\infty[$ sur $]0,+\infty[$ et donc $\un{
\varphi=\phi^{-1}\h{ est }C^\infty\h{ sur }]0,+\infty[}$~.\sv
{\pc Remarque}: la relation admise est facile \`a d\'emontrer et elle est vraie
non seulement pour $x>0$ mais pour $x>-1$ ce qui sert dans la question
[{\bf III.1.c}].
 
\num{I$\!$I-2}%
\hskip -15pt{\bf Maximum de la fonction $f_n$}~:
\asv
\numm a%
$\diamond$ Pour $x>0$, on a $f_n(x)=\exp\left[x-x\ln x+\bigl(n-\fracs12  \bigr)\ln x 
\right]= \exp\Bigl[\Phi_{n-1/2}(x)\Bigr]$ donc  $f_n$ admet un maximum sur
$]0,+\infty[$ en un unique point $\mu_n=\varphi\bigl(n-\fracs12  \bigr)$ De
plus, $\forall x\le 0,\ f_n(\mu_n)>0=f_n(x)$ donc $f_n(\mu_n)$ est le maximum de $f_n$ sur
$\R$. Ainsi, $\un{f_n\h{ admet un unique maximum sur }\R\h{ atteint en
}\mu_n=\varphi\bigl(n-\fracs12  \bigr)}$~.\s

$\diamond$ $f_n$  est $C^1$ sur $]-\infty,0[$ et $]0,+\infty[$ ,
$f_n(0^-)=0$ et $f_n(0^+)=\lim_{x\rightarrow
0^+}\exp\Bigl[\Phi_{n-1/2}(x)\Bigr]=0$, $f'_n(0^-)=0$ 
 et, pour $x>0$,
 $f'_n(x)=\left[-\ln x+\frac{n-1/2}{x} \right]\,
\exp\Bigl[\Phi_{n-1/2}(x)\Bigr]=
\exp\left[x-x\ln x+\bigl(n-\fracs12  \bigr)\ln x +\ln|\ln x | 
\right]+\left(n-\frac12 \right)\, \exp\left[x-x\ln x+\bigl(n-\fracs32  \bigr)\ln x 
\right]\fleche{x}{0^+}\cases{0+0&si $n\ge 2$\cr 0+(+\infty)&si $n=1$}$ donc
$\un{\Bigl( f_n\ C^1\h{ sur }\R \Bigr) \Leftrightarrow\Bigl(n\ge2 \Bigr)
}$~.

\numm b%
$\diamond$ On a d\'ej\`a vu au [{\bf 1.c}] que $\forall \lambda >0,\ \mu =\varphi (\lambda
)>1$. De plus, avec $\phi =\varphi ^{-1}$, on a 
$\phi (\mu_1)=\frac12<\phi(2)=2\ln2<\phi(\mu_2)=\frac32$ donc la croissance
de $\varphi $ vue au [{\bf 1.c}] donne $\un{1<\mu_1<2<\mu_2}$~.\s

$\diamond$ De m\^eme, pour $n\ge 3$, $\phi(n)=n\ln n\ge n\ln 3>n>n-\frac12$
donc $n>\mu_n$. D'autre part, par concavit\'e de ln, on a $\forall t>0, \ln
t\le t-1$ et donc $\phi\bigl(\sqrt n  \bigr)=\sqrt n \ln \sqrt n \le \sqrt n
\bigl(\sqrt n -1  \bigr)=n-\sqrt n \le n-\sqrt 3<  n-\frac12$. Donc
$\un{\forall n\ge 3,\ \sqrt n<\mu_n<n}$~.\sv

$\diamond$ Ainsi, $\frac{\mu_n}{n}=\frac{n-\fracs12}{n\,\ln\mu_n}\le \frac{1}{\ln\sqrt
n}$ d'apr\`es ci-dessus donc $\un{\mu_n=o(n)\h{ pour }n\rightarrow
+\infty}$~.\sv

$\diamond$ De m\^eme, $\frac{\mu_n}{n^\alpha}\ge
\frac{n-\fracs12}{n^\alpha\,\ln n}\build{\sim}{+\infty}\frac{n^{1-\alpha}}{\ln
n}\fleche{n}{+\infty}+\infty$ car $1-\alpha >0$. Donc $\un{\forall
\alpha\in]0,1[,\ n^\alpha=o(\mu_n)\h{ pour }n\rightarrow
+\infty}$~.\sv

{\pc Remarque}: $\mu_n\,\ln\mu_n=n-\frac12$ donne $\ln\mu_n+\ln\bigl(\ln\mu_n 
\bigr)=\ln\bigl(n-\fracs12\bigr)$ donc, puisque
$\mu_n\fleche{n}{+\infty}+\infty$, $\ln\mu_n\build{\sim}{+\infty}
\ln\bigl(n-\fracs12\bigr)\build{\sim}{+\infty}\ln n$ donc $\mu_n
=\frac{n-\fracs12}{\ln\mu_n}\build{\sim}{+\infty}\frac{n-\fracs12}{\ln n}$
soit $\un{\mu_n\build{\sim}{n\rightarrow+\infty}\frac{n}{\ln n}}$~.

\SV
\cadcent{\Bf Troisi\`eme Partie}

\num{I$\!$I$\!$I-1}%
\hskip -15pt{\bf Propri\'et\'es de la fonction $g_n$}~:
\asv
\numm a%
$y=\mu_n\,\left(1+\frac{x}{\sqrt n} \right)\Leftrightarrow
x=\sqrt n\, \left(\frac{y}{\mu_n}-1\right)=\frac{\sqrt n}{\mu_n}\,y-\sqrt
n$ donc $\un{\forall y\in\R,\ f_n(y)=f_n(\mu_n)\,g_n\left(\frac{\sqrt n}{\mu_n}\,y-\sqrt
n \right) }$~.

\numm b%
$x\longmapsto \mu_n\,\left(1+\frac{x}{\sqrt n} \right)$ \'etant croissante et
prenant la valeur $0$ en $-\sqrt n$ et la valeur $\mu_n$ en $0$, le graphe de $g_n$
d\'ecoule de celui de $f_n$ qui est donn\'e par les r\'esultats de [{\bf
II.2.a}].\s
$\un{n=1}$\hskip7.5cm$\un{n\ge 2}$\s
\setbox22=\h{$\vcenter{\psfig{file=m02mm1fa.eps,width=7cm}}$}
\setbox23=\h{$\vcenter{\psfig{file=m02mm1fb.eps,width=7cm}}$}
\centerline{\box22\qquad\qquad\box23}

\numm c%
Soit $x\in\R$ fix\'e: $\ex N,\ \forall n\ge N,\quad -\sqrt n<x$ et donc on a,
pour $n\ge N$, en posant $\lambda =n-\frac12$,
$$\eqalign{g_n(x)&=\frac{1}{f_n(\mu_n)}\,\exp\left[\Phi_{\lambda _n} \left(\mu_n\,
\left(1+\frac{x}{\sqrt n} \right) \right)  \right] \cr
&=\frac{1}{f_n(\mu_n)}\,\exp\left[\Phi_{\lambda _n}(\mu_n)+
 \left(\mu_n-\lambda _n\right)\,
\left(\frac{x}{\sqrt n} -\ln\left(1+\frac{x}{\sqrt n}
\right)\right)-\mu_n\,\frac{x}{\sqrt n}\,\ln\left(1+\frac{x}{\sqrt n}
\right)  \right]\qquad\cr
&=\exp\left[
 \left(\mu_n-n+\frac12\right)\,
\left(\frac{x^2}{2n}+o\left(\frac{1}{n}
\right)\right)-\mu_n\,\frac{x}{\sqrt n}\left(\frac{x}{\sqrt
n}+o\left(\frac{1}{\sqrt n}\right)\right)  \right]\cr
&=\exp\left[-\frac{x^2}{2}+o(1)\right]\qquad \h{car  } \frac{\mu_n}{n}=0(1)\cr}$$
donc $\un{g_n\cvs g\h{ sur }\R\h{ avec }\forall x\in\R,\
g(x)=\exp\left[-\frac{x^2}{2}\right]}$~.

\numm d%
\cascade{\forall x>-\sqrt n,\ g_n(x)&=\exp\left[ \left(\mu_n-\lambda _n\right)\,
\left(\frac{x}{\sqrt n} -\ln\left(1+\frac{x}{\sqrt n}
\right)\right)-\mu_n\,\frac{x}{\sqrt n}\,\ln\left(1+\frac{x}{\sqrt n}
\right)  \right]\cr
&\le \exp\left[ \left(\mu_n-n+\frac12\right)\,
\left(\frac{x}{\sqrt n} -\ln\left(1+\frac{x}{\sqrt n}
\right)\right)\right]\cr} car $\frac{x}{\sqrt n}\,\ln\left(1+\frac{x}{\sqrt n}
\right)\ge 0$ pour $x$ positif ou n\'egatif. De plus,
$\mu_n-n+\frac12\build{\sim}{+\infty}-n$ donc il existe $n_0$ tel que
$\forall n\ge n_0,\ \mu_n-n+\frac12\le -\frac n2$ et $\forall t>-1,\ t\ge \ln(1+t)$
donc $$\un{\ex n_0,\ \forall n\ge n_0,\ \forall x>-\sqrt n,\quad g_n(x)\le
\exp\left[ -\frac n2\,
\left(\frac{x}{\sqrt n} -\ln\left(1+\frac{x}{\sqrt n}
\right)\right)\right]}~.$$

\num{I$\!$I$\!$I-2}%
\hskip -15pt{\bf Une majoration de la fonction $g_n$}~:
\asv
\numm a%
$\diamond$ $u$ est $C^\infty$ sur $]-1,0[$ et $]0,+\infty[$ et, d'autre  part,
$\forall x\in]-1,1[\setminus\{0\},\ u(x)=-\frac
1{x^2}\,\sum_{n=2}^{+\infty}(-1)^{n-1}\,\frac{x^n}{n}=
\sum_{n=0}^{+\infty}(-1)^{n}\,\frac{x^n}{n+2}$ donc $u$ se prolonge en $0$
en une fonction d\'eveloppable en s\'erie enti\`ere en $0$ qui est donc
$C^\infty$ sur $]-1,1[$ donc $\un{u\h{ se prolonge en
une fonction }C^\infty\h{ sur }]-1,  +\infty[}$~.\s
$\diamond$ Pour $x\ne 0$, $u'(x)=-\frac 1{x^2}+\frac 2{x^3}\,ln(1+x)-\frac 1{x^2(1+x)}=
\frac{v(x)}{x^3}$ avec $v(x)=2ln(1+x)-x-\frac x{1+x}$ et donc $v'(x)=\frac
2{1+x}-1-\frac{1}{(1+x)^2}=-\frac{x^2}{(1+x)^2}$. Donc $v$ est 
d\'ecroissante sur $]-1,+\infty[$. Or $v(0)=0$ donc $v(x)$  est du signe de
$-x$  et donc $\forall x\in]-1,+\infty[\setminus\{0\},\ u'(x)<0$ Donc
$\un{u\h{ d\'ecro\^{\i}t sur }]-1,+\infty[}$~.\s

$\diamond$ $u(x)\fleche{x}{+\infty}0$ donc $\un{\forall x\in]-1,+\infty[,\
u(x)>0}$~.

\numm b%
L'in\'egalit\'e du [{\bf 1.d}] s'\'ecrit $\forall n\ge n_0,\ \forall x>-\sqrt n,\quad g_n(x)\le
\exp\left[ -\frac{x^2}2\,u\left(\frac{x}{\sqrt n}\right)\right]$.\par 
Si $x\in]-\sqrt n,0]$, [{\bf a}] donne  $u\left(\frac{x}{\sqrt n}\right)
\ge u(0)=\frac12$  donc $g_n(x)\le\exp\left[ -\frac{x^2}4\right]$ et
cette in\'egalit\'e est encore valable pour $x\le-\sqrt n$ puisqu'alors 
$g_n(x)=0$.\par
Si $x\ge0$, de m\^eme, $u\left(\frac{x}{\sqrt n}\right)
\ge u(x)$ d'o\`u $g_n(x)\le\exp\left[ -\frac{x^2}2\,u(x)\right]=
\exp\left[ -\frac12\,\bigl(  x-\ln(1+x)\bigr) \right]$.\s
Donc $\un{\forall n\ge n_0,\quad \forall x\le 0,\quad g_n(x)\le\exp\left[ -\frac{x^2}4\right]\quad
;\quad\forall x\ge 0,\quad g_n(x)\le\exp\left[-\frac12\,\bigl(  x-\ln(1+x)\bigr)
\right]}$~.

\SV
\cadcent{\Bf Quatri\`eme Partie}

\num{I$\!$V-1}%
\hskip -15pt{\bf Int\'egrabilit\'e de la fonction $g_n$}~:
\s
$\diamond$ $g_n$ est continue sur $\R$, $g_n$ est nulle donc int\'egrable sur
$]-\infty,-\sqrt n]$ et, pour $x\ge 0$, $0\le g_n(x)\le\exp\left[-\frac12\,\bigl(  x-\ln(1+x)\bigr)
\right] $ avec $\exp\left[-\frac12\,\bigl(  x-\ln(1+x)\bigr)
\right]=\sqrt{1+x}\,{\rm e}^{-x/2}=o\bigl(\fracs{1}{x^2}  \bigr) $ en
$+\infty$.\par Donc $\un{g_n\h{ est int\'egrable sur }\R}$~.\s

$\diamond$ Soit $h$  d\'efinie sur $\R$ par $h(x)=\cases{\exp\left[
-\frac{x^2}4\right]&si $x< 0$\cr
\exp\left[-\frac12\,\bigl(  x-\ln(1+x)\bigr)
\right]&si $x\ge 0$\cr}$. $h$ est int\'egrable sur $\R$ car $h$ est continue
sur $\R$ et que pour $x\rightarrow \pm\infty$, on a 
$h(x)=o\bigl(\fracs{1}{x^2}  \bigr) $. D'apr\`es [{\bf III.2.b}], on a
$\forall n\ge n_0,\ |g_n|\le h$. De plus, $g_n\cvs g$ continue (par
morceaux) sur $\R$ donc le th\'eor\`eme de convergence domin\'ee s'applique et
donc $\un{\displaystyle I_n=\int_\R g_n(x)\,{\rm d}x\fleche{n}{+\infty}
\int_\R g\,{\rm d}x=\int_\R\exp\left[{\textstyle -\frac{x^2}{2}}\right]\,{\rm d}x=\sqrt{2\pi}}$~.

\num{I$\!$V-2}%
\hskip -15pt{\bf Un encadrement de la somme $S_n$}~:
\s
$f_n$ cro\^{\i}t sur $[-1,p]$ donc $\displaystyle \forall k\in \[0,p\],\
\int_{k-1}^{k}f_n(t)\,{\rm d}t\le f_n(k)$ et $\displaystyle \forall k\in \[0,p-1\],\
f_n(k)\le \int_{k}^{k+1}f_n(t)\,{\rm d}t$ donc $\displaystyle 
\int_0^pf_n(t)\,{\rm d}t\le\sum_{k=1}^pf_n(k)\le f_n(p)+\int_0^pf_n(t)\,{\rm
d}t$.\par
Et $f_n$ est d\'ecro\^{\i}t sur $[p+1,+\infty[$ donc $\displaystyle \forall k\ge p+1,\
\int_{k1}^{k+1}f_n(t)\,{\rm d}t\le f_n(k)$ et $\displaystyle \forall k\ge p+2,\
f_n(k)\le \int_{k-1}^{k}f_n(t)\,{\rm d}t$ donc, puisque $\left(\sum f_n(k)
\right)_{k\ge p+1}$ converge, $f_n$ est int\'egrable  sur $[p+1,+\infty[$ et  $\displaystyle 
\int_{p+1}^{+\infty}f_n(t)\,{\rm d}t\le\sum_{k=p+1}^{+\infty}f_n(k)\le
f_n(p+1)+\int_{p+1}^{+\infty}f_n(t)\,{\rm d}t$.\s
On a donc $\displaystyle \int_0^{+\infty}f_n(t)\,{\rm d}t -\int_p^{p+1}f_n(t)\,{\rm d}t\le S_n\le 
 \int_0^{+\infty}f_n(t)\,{\rm d}t+f_n(p)+f_n(p+1)-\int_p^{p+1}f_n(t)\,{\rm
d}t$ ce qui donne, en posant $\displaystyle I'_n=\int_0^{+\infty}f_n(t)\,{\rm
d}t$ et $\displaystyle \Delta _n=f_n(p)+f_n(p+1)+\int_p^{p+1}f_n(t)\,{\rm
d}t$, $I'_n-\Delta _n\le S_n\le I'_n+\Delta _n$ puisque $f_n\ge 0$.\s
Mais, selon [{\bf III.1.a}],  $\displaystyle I'_n=f_n(\mu_n)\, \int_0^{+\infty}
g_n\left(\frac{\sqrt n}{\mu_n}\,t-\sqrt
n \right) \,{\rm d}t =f_n(\mu_n)\,\frac{\mu_n}{\sqrt n} \,\int_{-\sqrt n}^{+\infty}g_n(x)\,{\rm d}x=I_n$ en
posant $x=\frac{\sqrt n}{\mu_n}\,t-\sqrt n $.\par
De plus $\Delta _n=f_n(\mu_n)\,\frac{\mu_n}{\sqrt n} \,\epsilon _n$ 
avec $0\le \epsilon _n=\frac{\sqrt n}{f_n(\mu_n)\,\mu_n} \,\Delta _n\le 
\frac{\sqrt n}{f_n(\mu_n)\,\mu_n} \,3f_n(\mu_n)$ puisque $f_n(\mu_n)$ est
le maximum de $f_n$. Donc $0\le \epsilon _n\le\frac{3\sqrt n}{\mu_n}=o(1)$
d'apr\`es [{\bf II.2.b.iii}].\s
Donc $\un{\ex K_n=\frac{f_n(\mu_n)\,\mu_n}{\sqrt n},\ \ex \epsilon _n\ge
0,\ \h{ tels que }K_n\bigl(I_n-\epsilon _n  \bigr)\le S_n\le K_n\bigl(I_n+\epsilon _n 
\bigr)\h{ et }\epsilon _n\fleche{n}{+\infty}0}$~.\s

\num{I$\!$V-3}%
\hskip -15pt{\bf Un \'equivalent du r\'eel $B_n$}~:
\s
On a $B_n={\rm e}^{-1}\,A_n$ d'apr\`es [{\bf I.1.c}] et
$A_n\build{\sim}{n\rightarrow+\infty}\frac1{\sqrt{2\pi}}\, S_n$ 
d'apr\`es [{\bf I.3.b}]. De plus, on peut \'ecrire l'in\'egalit\'e du  [{\bf 2}]
sous la forme $I_n-\epsilon _n\le \frac{S_n}{K_n}\le I_n+\epsilon _n$ car
$K_n>0$ et, comme, selon [{\bf 1}] et [{\bf 2}], $\lim_{n\rightarrow+\infty
}I_n-\epsilon _n=\lim_{n\rightarrow+\infty }I_n+\epsilon _n=\sqrt{2\pi}$,
on en d\'eduit $S_n\build{\sim}{n\rightarrow+\infty}\sqrt{2\pi}\,K_n$. Donc $
B_n\build{\sim}{n\rightarrow+\infty}{\rm e}^{-1}\,K_n$. Enfin, 
$K_n=\frac{f_n(\mu_n)\,\mu_n}{\sqrt n}=\frac{1}{\sqrt n}
\exp\left[ \mu_n-\mu_n\ln\bigl(\mu_n  \bigr)+\left(n-\frac12 \right)\,
\ln\bigl(\mu_n  \bigr)+\ln\bigl(\mu_n  \bigr)  \right] =\frac{1}{\sqrt n}
\exp\left[ \mu_n-\left(n-\frac12 \right)+\left(n+\frac12 \right)\,
\ln\bigl(\mu_n  \bigr)  \right]$.\s
Donc $\un{B_n\build{\sim}{n\rightarrow+\infty}\frac{1}{\sqrt
n}\,{\rm e}^{\,\mu_n}\,\left(\frac{\mu_n}{{\rm e}} \right) ^{n+1/2}}$~.
\SV
\finetoiles
\bye
