\documentclass[11pt]{article}
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\begin{document}

%En-t{\^e}te et pied de page
\lhead{Mines-Ponts 2002 MP Maths 1}
\rhead{page \thepage}
\cfoot{}

%Num{\'e}rotation
\renewcommand{\labelenumi}{}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\Roman{enumi}-\arabic{enumii}.}}
\renewcommand{\labelenumiii}{\alph{enumiii}.}
\renewcommand{\labelenumiv}{\textbf{\roman{enumiv}.}}

%Macros
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\binomial}[2]{C_{#1}^{#2}}
\newcommand{\somme}[3]{\sum_{#1}^{#2}\limits{#3}}
\newcommand{\integ}[4]{\displaystyle{\int_{#1}^{#2}#3 \, d#4}}
\newcommand{\ouvert}[2]{\left ] #1, #2 \right [}
\newcommand{\systeme}[1]{\left \{ \begin{array}{l}  #1 \end{array} \right.}



\begin{center}
{\'E}COLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSS{\'E}ES.

{\'E}COLES NATIONALES SUP{\'E}RIEURES DE L'A{\'E}RONAUTIQUE ET DE L'ESPACE,

DE TECHNIQUES AVANC{\'E}ES, DES T{\'E}L{\'E}COMMUNICATIONS,

DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-{\'E}TIENNE, DES MINES DE NANCY,

DES T{\'E}L{\'E}COMMUNICATIONS DE BRETAGNE.

{\'E}COLE POLYTECHNIQUE (Fili{\`e}re TSI).

\bigskip
CONCOURS D'ADMISSION 2002

\bigskip
\textbf{{\'E}PREUVE DE MATH{\'E}MATIQUES}

\textbf{PREMI{\`E}RE {\'E}PREUVE}

\textbf{Fili{\`e}re MP}

\textbf{(Dur{\'e}e de l'{\'e}preuve : 3 heures)}

\textbf{(L'usage d'ordinateur ou de calculette est interdit).}

Sujet mis {\`a} la disposition des concours :

Cycle International, ENSTIM, ENSAE (Statistique), INT, TPE-EIVP.

\bigskip
Les candidats sont pri{\'e}s de mentionner de fa{\c c}on apparente sur la premi{\`e}re page de la copie :

MATH{\'E}MATIQUES 1-Fili{\`e}re MP.

Cet {\'e}nonc{\'e} comporte 5 pages de texte.
\end{center}

\smallskip
Si, au cours de l'{\'e}preuve, un candidat rep{\`e}re ce qui lui semble {\^e}tre une erreur d'{\'e}nonc{\'e}, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amen{\'e} {\`a} prendre.

\bigskip
\bigskip


Soit $(B_{n})_{n \in \N}$ la suite des r{\'e}els d{\'e}finis par les relations suivantes :
\begin{center}
$B_{0} = 1$, $B_{1} = 1$, pour tout entier naturel $n$ sup{\'e}rieur ou {\'e}gal {\`a} $1$, $B_{n+1} = \somme{p=0}{n}{\binomial{n}{p} B_{p}}$.
\end{center}

Les r{\'e}els $\binomial{n}{p}$ sont les coefficients du bin{\^o}me ; le nombre r{\'e}el $\binomial{n}{p}$, not{\'e} aussi $\binom{n}{p}$, est {\'e}gal au cardinal de l'ensemble des parties ayant $p$ {\'e}l{\'e}ments d'un ensemble ayant $n$ {\'e}l{\'e}ments.


\begin{center}\textbf{PREMI{\`E}RE PARTIE}\end{center}
\begin{enumerate}
\item %Partie I
\begin{enumerate}
\item \textbf{Fonction $E$ :}

Soit $E$ la fonction d{\'e}finie sur la droite r{\'e}elle $\R$ par la relation suivante :
$$E(x) = \exp{\left(\exp{x}\right)} = e^{e^{x}}.$$
\begin{enumerate}
\item D{\'e}montrer que la fonction $E$ est d{\'e}veloppable en s{\'e}rie enti{\`e}re sur la droite r{\'e}elle $\R$.

\item {\'E}tant donn{\'e} un entier naturel $n$, soit $A_{n}$ le r{\'e}el {\'e}gal {\`a} la valeur de la d{\'e}riv{\'e}e $n$-i{\`e}me de la fonction $E$ en $0$ :
$$A_{n} = E^{(n)}(0).$$

D{\'e}montrer, en admettant les conventions habituelles $0^{0} = 0! = 1$, la relation suivante :
$$A_{n} = \somme{k=0}{{\infty}}{\dfrac{k^{n}}{k!}}.$$

\item {\'E}tablir, pour tout entier naturel $n$, ($n{\geq}0$), une relation de r{\'e}currence exprimant $A_{n+1}$ en fonction de $A_{0}$, $A_{1}$, {\dots}, $A_{n}$.

En d{\'e}duire l'expression suivante du r{\'e}el $B_{n}$ en fonction de $A_{n}$ :
$$B_{n} = \dfrac{1}{e}A_{n}.$$
\end{enumerate}

\item \textbf{Comparaison de sommes infinies :}

Soit $(u_{n})_{n{\geq}1}$ une suite de r{\'e}els strictement positifs ($u_{n} > 0$) ; on suppose que, pour tout entier naturel $n$, la s{\'e}rie de terme g{\'e}n{\'e}ral $u_{k} k^{n}$, $k=1, 2{\dots}$, est convergente. Soit $U_{n}$ sa somme :
$$U_{n} = \somme{k=1}{{\infty}}{u_{k} k^{n}}.$$
\begin{enumerate}
\item D{\'e}montrer que, pour tout entier $p$ donn{\'e} sup{\'e}rieur ou {\'e}gal {\`a} $1$, ($p {\geq} 1$), lorsque l'entier $n$ cro{\^i}t vers l'infini, le r{\'e}el $U_{n}$ est {\'e}quivalent au reste d'ordre $p$ de la s{\'e}rie d{\'e}fini par la relation $R_{p,n} = \somme{k=p}{{\infty}}{u_{k} k^{n}}$ ; c'est-{\`a}-dire :
\begin{center}
pour tout entier strictement positif $p$, $U_{n} \sim R_{p,n} = \somme{k=p}{{\infty}}{u_{k} k^{n}}$.
\end{center}

\item {\'E}tant donn{\'e}es deux suites $(u_{n})_{n {\geq}1}$ et $(v_{n})_{n {\geq} 1}$ de r{\'e}els strictement positifs ($u_{n} > 0$, $v_{n} > 0$), d{\'e}montrer que, si les r{\'e}els $u_{n}$ et $v_{n}$ sont {\'e}quivalents lorsque l'entier $n$ cro{\^i}t vers l'infini ($u_{n} \sim v_{n}$), les deux suites de r{\'e}els $U_{n}$, $n = 1, 2, {\dots}$ et $V_{n}$, $n = 1, 2, {\dots}$ d{\'e}finis par les relations suivantes :
$$U_{n} = \somme{k=1}{+{\infty}}{u_{k} k^{n}}, \quad V_{n} = \somme{k=1}{{\infty}}{v_{k} k^{n}},$$
sont {\'e}quivalentes, lorsque l'entier $n$ cro{\^i}t vers l'infini :
$$U_{n} \sim V_{n}.$$
\end{enumerate}

\item \textbf{Fonction $f_{n}$ :}

{\'E}tant donn{\'e} un entier $n$ strictement positif ($n {\geq} 1$), soit $f_{n}$ la fonction d{\'e}finie sur la droite r{\'e}elle $\R$ par la relation suivante :
$$f_{n}(x) = \systeme{0 \mbox{, si } x {\leq} 0 \\ e^{x} x^{-x+n-1/2} \mbox{, si } x > 0}$$

{\'E}tant donn{\'e} un entier $n$ strictement positif ($n {\geq} 1$), soit $s_{k}$ le r{\'e}el d{\'e}fini par la relation suivante :
$$s_{k} = f_{n}(k).$$
\begin{enumerate}
\item {\'E}tudier, pour un entier $n$ donn{\'e}, la convergence de la s{\'e}rie de terme g{\'e}n{\'e}ral $s_{k}$, $k = 0, 1, 2, {\dots}$ ; soit $S_{n}$ la somme de cette s{\'e}rie :
$$S_{n} = \somme{k=0}{{\infty}}{f_{n}(k)}.$$
\item D{\'e}montrer, lorsque l'entier $n$ cro{\^i}t vers l'infini, l'{\'e}quivalence suivante :
$$A_{n} \sim \dfrac{1}{\sqrt{2\pi}} \somme{k=0}{{\infty}}{f_{n}(k)}.$$
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip
\begin{center}\textbf{DEUXI{\`E}ME PARTIE}\end{center}
\item %Deuxi{\`e}me partie
{\'E}tant donn{\'e} un r{\'e}el $\lambda$ strictement positif ($\lambda > 0$), soit $\Phi_{\lambda}$ la fonction d{\'e}finie sur la demi-droite ouverte $\ouvert{0}{{\infty}}$ par la relation suivante :
$$\Phi_{\lambda}(x) = -x \ln{x} + x + \lambda \ln{x}.$$
\begin{enumerate}
\item \textbf{{\'E}tude de la fonction $\Phi_{\lambda}$ :}
\begin{enumerate}
\item D{\'e}terminer des {\'e}quivalents de $\Phi_{\lambda}(x)$ dans des voisinages de $0$ et de l'infini.

\item D{\'e}terminer les variations de la fonction $\Phi_{\lambda}$ sur la demi-droite ouverte $\ouvert{0}{{\infty}}$ ; {\'e}tablir en particulier l'existence d'un r{\'e}el $\mu$ en lequel la fonction $\Phi_{\lambda}$ atteint son maximum.

\item Soit $\varphi$ la fonction qui, au r{\'e}el $\lambda$, associe le r{\'e}el $\mu$.
D{\'e}montrer que cette fonction $\varphi$, d{\'e}finie sur la demi-droite $\ouvert{0}{{\infty}}$, est contin{\^u}ment d{\'e}rivable.

\smallskip
Pour tous r{\'e}els $x$ et $\lambda$ strictement positifs, la relation ci-dessous, dans laquelle le r{\'e}el $\mu$ est l'image par la fonction $\varphi$ du r{\'e}el $\lambda$ ($\mu = \varphi(\lambda)$), est admise :
$$\Phi_{\lambda}\left(\mu (1+x)\right) = \Phi_{\lambda}(\mu) + (\mu - \lambda) (x - \ln{(1+x)}) - \mu x \ln{(1+x)}.$$
\end{enumerate}

\item \textbf{Maximum de la fonction $f_{n}$ :}
\begin{enumerate}
\item D{\'e}montrer que, pour tout entier $n$ strictement positif, la fonction $f_{n}$ admet un maximum en un unique point $\mu_{n}$.
Est-ce que la fonction $f_{n}$ est contin{\^u}ment d{\'e}rivable sur la droite r{\'e}elle $\R$ ?

\item {\'E}tablir les propri{\'e}t{\'e}s suivantes v{\'e}rifi{\'e}es par les r{\'e}els $\mu_{n}$ ($n {\geq} 1$) :
\begin{enumerate}
\item En admettant les in{\'e}galit{\'e}s suivantes,
$$0 < \dfrac{1}{2} < 2 \ln{2} < \dfrac{3}{2},$$
d{\'e}montrer que les r{\'e}els $\mu_{n}$, $n = 0, 1, 2, {\dots}$ v{\'e}rifient les encadrements suivants :
\begin{center}
$1 < \mu_{1} < 2 < \mu_{2}$ ; pour tout entier sup{\'e}rieur ou {\'e}gal {\`a} 3 : $\sqrt{n} < \mu_{n} < n$.
\end{center}
\item le r{\'e}el $\mu_{n}$ est n{\'e}gligeable devant l'entier $n$ lorsque l'entier $n$ cro{\^i}t vers l'infini :
$$\mu_{n} = o(n) \mbox{ lorsque } n \to {\infty}.$$

\item pour tout r{\'e}el $\alpha$ compris strictement entre $0$ et $1$, le r{\'e}el $n^{\alpha}$ est n{\'e}gligeable devant $\mu_{n}$, lorsque l'entier $n$ cro{\^i}t vers l'infini :
$$n^{\alpha} = o(\mu_{n}) \mbox{ lorsque } n \to {\infty}.$$
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip
\begin{center}\textbf{TROISI{\`E}ME PARTIE}\end{center}
\item %Partie III
{\'E}tant donn{\'e} un entier $n$ strictement positif ($n {\geq} 1$), soit $g_{n}$ la fonction d{\'e}finie sur la droite r{\'e}elle $\R$ par la relation suivante :
$$g_{n}(x) = \dfrac{1}{f_{n}(\mu_{n})} f_{n} \left(\mu_{n} \left(1 + \dfrac{x}{\sqrt{n}}\right)\right).$$

\begin{enumerate}
\item \textbf{Propri{\'e}t{\'e}s de la fonction $g_{n}$ :}
\begin{enumerate}
\item V{\'e}rifier, pour tout entier $n$ strictement positif et tout r{\'e}el $x$, la relation suivante :
$$f_{n}(x) = f_{n}(\mu_{n}) g_{n}\left(\dfrac{\sqrt{n}}{\mu_{n}} x - \sqrt{n}\right).$$

\item Donner l'allure du graphe de la fonction $g_{n}$.

\item D{\'e}montrer que la suite de fonctions $(g_{n})_{n{\geq}1}$ converge simplement vers une fonction $g$ ; expliciter cette fonction $g$.

\item D{\'e}montrer qu'il existe un entier $n_{0}$ tel que, pour tout entier $n$ sup{\'e}rieur ou {\'e}gal {\`a} $n_{0}$ ($n {\geq} n_{0}$) et tout r{\'e}el $x$ strictement sup{\'e}rieur {\`a} $-\sqrt{n}$ ($x > -\sqrt{n}$), la fonction $g_{n}$ v{\'e}rifie la majoration suivante :
$$g_{n}(x) {\leq}Ê\exp{\left(-\dfrac{n}{2} \left(\dfrac{x}{\sqrt{n}} - \ln{\left(1 + \dfrac{x}{\sqrt{n}}\right)}\right)\right)}.$$
\end{enumerate}

\item \textbf{Une majoration de la fonction $g_{n}$ :}
\begin{enumerate}
\item Soit $u$ la fonction d{\'e}finie par la relation suivante :
$$u(x) = \dfrac{1}{x^{2}} \left(x - \ln{(1+x)}\right).$$

D{\'e}montrer que cette fonction se prolonge en une fonction d{\'e}rivable sur la demi-droite ouverte $\ouvert{-1}{{\infty}}$ ; d{\'e}montrer que cette fonction $u$ est d{\'e}croissante sur cet intervalle. Pr{\'e}ciser son signe.

\item En d{\'e}duire que, pour tout entier $n$ sup{\'e}rieur ou {\'e}gal {\`a} l'entier $n_{0}$ introduit {\`a} la question III-1.d, la fonction $g_{n}$, d{\'e}finie sur la droite r{\'e}elle, v{\'e}rifie les majorations suivantes :
\begin{center}
$g_{n}(x) {\leq} \exp{\left(-\dfrac{x^{2}}{4}\right)}$ si $x {\leq} 0$ ; $g_{n}(x) {\leq} \exp{\left(-\dfrac{1}{2} \left(x - \ln{(1+x)}\right)\right)}$ si $x {\geq} 0$.
\end{center}
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip
\begin{center}
\textbf{QUATRI{\`E}ME PARTIE}

Recherche d'un {\'e}quivalent du r{\'e}el $B_{n}$ lorsque l'entier $n$ cro{\^i}t ind{\'e}finiment.
\end{center}
\item %Partie IV
\begin{enumerate}
\item \textbf{Int{\'e}grabilit{\'e} de la fonction $g_{n}$ :}

D{\'e}montrer que, pour tout entier $n$ strictement positif, la fonction $g_{n}$ est int{\'e}grable sur la droite r{\'e}elle.
Soit $I_{n}$ la valeur de son int{\'e}grale :
$$I_{n} = \integ{\R}{}{g_{n}(x)}{x}.$$
D{\'e}montrer que la suite de r{\'e}els $(I_{n})_{n {\geq} 1}$ est convergente.
Il est admis que la limite de cette suite est {\'e}gale {\`a} $\sqrt{2\pi}$.

\item \textbf{Un encadrement de la somme $S_{n}$ :}

{\'E}tant donn{\'e} un entier $n$ strictement positif, d'apr{\`e}s la question I-3.a, le r{\'e}el $S_{n}$ est la somme de la s{\'e}rie de terme g{\'e}n{\'e}ral $f_{n}(k)$, $k = 0, 1, 2, {\dots}$

D{\'e}terminer des r{\'e}els $K_{n}$ et $\varepsilon_{n}$ tels que la somme $S_{n}$ soit encadr{\'e}e de la mani{\`e}re suivante au moyen de l'int{\'e}grale $I_{n}$ :
$$K_{n} (I_{n} - \varepsilon_{n}) {\leq} S_{n} {\leq} K_{n} (I_{n} + \varepsilon_{n}).$$

Les r{\'e}els $K_{n}$ et $\varepsilon_{n}$ seront explicit{\'e}s en fonction de $n$, $\mu_{n}$ et de la fonction $f_{n}$. La suite $\varepsilon_{n}$ tend vers $0$.

\textit{Indication :} Soit $p$ l'entier {\'e}gal {\`a} la partie enti{\`e}re du r{\'e}el $\mu_{n}$ ; cet entier est d{\'e}fini par les in{\'e}galit{\'e}s ci-dessous :
$$p {\leq} \mu_{n} < p+1.$$

D{\'e}terminer des encadrements des deux sommes $S'_{n}$ et $S''_{n}$ d{\'e}finies par les relations suivantes :
$$S'_{n} = \somme{k=0}{p}{f_{n}(k)} ; S''_{n} = \somme{k=p+1}{{\infty}}{f_{n}(k)}.$$

\item \textbf{Un {\'e}quivalent du r{\'e}el $B_{n}$ :}

D{\'e}duire des r{\'e}sultats pr{\'e}c{\'e}dents un {\'e}quivalent du r{\'e}el $B_{n}$ lorsque l'entier $n$ cro{\^i}t vers l'infini.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\begin{center}FIN DU PROBL{\`E}ME\end{center}

\end{document}
