\input upsnum.tex
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\def \R{\hbox{I\kern-1.8pt R}}
\def \C{\hbox{I\kern-1.8pt C}}
\def \N{\hbox{I\kern-1.8pt N}}
\def \K{\hbox{I\kern-1.8pt K}}
\let\dps=\displaystyle
\let\le=\leqslant
\let\ge=\geqslant
\let\v=\varphi
\let\l=\lambda
\let\a=\alpha
\let\b=\beta
\let\o=\omega
\let\eps=\varepsilon
\def\frac#1#2{\textstyle{{#1}\over{#2}}}
\def\Frac#1#2{\displaystyle{{#1}\over{#2}}}
\def\Sum{\displaystyle\sum}
\def\ch{\hbox{ch}}
\def\e{\hbox{e}}
\def\d{\,\hbox{d}}

\centerline{\bf Mines-Ponts, 2002}

\centerline{\bf Math\'ematiques I, PC}
%\vskip4mm
{\bf Premi\`ere partie.}

I.1.
Pour $x$ non nul, $\dps\lim_{n\mapsto+\infty}\Frac{u_{n+1}(x)}{u_{n}(x)}=
\dps\lim_{n\mapsto+\infty}\Frac{x^2}{(n+1)^2}=0$ donc la s\'erie converge par la 
r\`egle de d'Alembert; $F$ est d\'efinie sur $\R$. Le rayon de convergence est 
infini, on peut donc d\'eriver terme \`a terme. 
$F'(x)=\Sum_{n=1}^{+\infty}2n\Frac{x^{2n-1}}{(n!)^2}\ge0$ sur $\R_+$ donc 
$F$ est croissante sur $\R_+$ et d\'ecroissante sur $\R_-$.
$F''(x)=\Sum_{n=1}^{+\infty}2n(2n-1)\Frac{x^{2n-2}}{(n!)^2}>0$ donc 
$F$ est convexe.
\vskip2mm
I.2.
%\vskip2mm
a.
$\Frac{v_{n+1}}{v_n}=\Frac{4(n+1)^2}{(2n+2)(2n+1)}=\Frac{2n+2}{2n+1}>1$. Donc 
la suite $(v_n)$ est croissante et $v_n\ge v_0=1$ , d'o\`u 
$\Frac1{(n!)^2}\le \Frac{4^n}{(2n)!}$. On en d\'eduit pour $x\ge 0$ : 
$F(x)\le \Sum_{n=0}^{+\infty}\Frac{4^n x^{2n}}{(2n)!}=ch(2x)$. 
\vskip2mm
b.
$\Frac{w_{n+1}}{w_n}=\Frac{4(n+1)^2}{(2n+3)(2n+2)}=\Frac{2n+2}{2n+3}<1$. Donc 
la suite $(w_n)$ est d\'ecroissante et $w_n\le w_0=1$ , d'o\`u 
$\Frac1{(n!)^2}\ge \Frac{4^n}{(2n+1)!}$. On en d\'eduit pour $x> 0$ : 
$F(x)\ge \Sum_{n=0}^{+\infty}\Frac{4^n x^{2n}}{(2n+1)!}=\Frac{sh(2x)}{2x}$.
\vskip2mm
c.
$G(x)=\sqrt{ch(2x)\Frac{sh(2x)}{2x}}=\sqrt{\Frac{\e^{4x}-\e^{-4x}}{8x}} =
\Frac{\e^{2x}}{2\sqrt{2x}}\sqrt{1-\e^{-8x}}$ d'o\`u
 $G(x)\sim\Frac{\Phi(x)}{2\sqrt2}$ au voisinage de $+\infty$.
\vskip4mm
{\bf Deuxi\`eme partie.}

II.1.
%\vskip2mm
a.
$I_0=\dps\lim_{A\mapsto+\infty}=\dps\int_0^A \e^{-xt}\d t=
\dps\lim_{A\mapsto+\infty}
\left[\Frac{e^{-xt}}{-x}\right]_0^A=\Frac1x$ car $x>0$.
Supposons que $I_{k-1}$ existe et
int\'egrons par parties: $I_k(A)=\dps\int_0^A t^k\e^{-xt}\d t=
\left[t^k\Frac{e^{-xt}}{-x}\right]_0^A+\Frac k x I_{k-1}(A)$.
On en d\'eduit en faisant tendre $A$ vers $+\infty$ que $I_k$ existe et est 
\'egale \`a $\Frac k x I_{k-1}$.
Une r\'ecurrence simple donne $I_k=\Frac {k!}{x^{k+1}}$.
\vskip2mm
b.
La fonction est continue puisque $F$ est continue sur $\R$; 
$0\le F(t)e^{-xt}\le ch(2t)e^{-xt}\sim \Frac{e^{(2-x)t}}2$ au voisinage de 
$+\infty$. Pour $x>2$ cette fonction est int\'egrable sur $[0,+\infty[$.

Le th\'eor\`eme de convergence monotone peut alors s'appliquer \`a la suite de 
fonctions $S_N(t)=\Sum_{n=0}^N\Frac{t^{2n}}{(n!)^2}\e^{-xt}$ et on obtient:
 
$L(F)(x)=\dps\int_0^{+\infty}\sum_{n=0}^{+\infty}\Frac{t^{2n}}{(n!)^2}\e^{-xt}
\d t=\Sum_{n=0}^{+\infty}\Frac{1}{(n!)^2}I_{2n}=
\Sum_{n=0}^{+\infty}\Frac{(2n)!}{(n!)^2 x^{2n+1}}$.
\vskip2mm
c.
Posons $g_n=\Frac{(2n)!}{(n!)^2}t^{2n}=\Frac{4^n t^{2n}}{v_n}$;  
$\Frac{g_{n+1}}{g_n}=4t^2\Frac{v_n}{v_{n+1}}$ a pour limite $4t^2$ d'apr\`es le 
r\'esultat du I.2.a . La r\`egle de D'Alembert entraine que  la s\'erie $(\Sum g_n)$ 
converge pour $4t^2<1$ et 
diverge pour $4t^2>1$; son rayon de convergence $R$ est donc \'egal \`a 1/2.
Pour $|u|<1$ on sait que $(1+u)^{-1/2}=
\Sum_{n=0}^{+\infty}\Frac{(-1/2)(-3/2)...(-1/2-n+1)}{n!} u^n=
\Sum_{n=0}^{+\infty}\Frac{(-1)^n 1\times3\times...\times(2n-1)}{2^n n!} u^n
=\Sum_{n=0}^{+\infty}\Frac{(-1)^n (2n)!}{(2^n n!)^2} u^n$.
 En posant $u=-4t^2$ pour $|t|<1/4$ on a bien $|u|<1$ et on obtient 
$g(t)=(1-4t^2)^{-1/2}$.
\vskip2mm
d.
$L(F)(x)=\Frac1 x g(1/x)=\Frac1{\sqrt{x^2-4}}$ pour $x>2$.
\vskip2mm
e.
Soit $h:t\mapsto \Phi(t)\e^{-xt}$; au voisinage de 0, on a
 $h(t)\sim \Frac1 {t^{1/2}}$ qui est 
int\'egrable sur ]0,1]; d'autre part, si 
$x>2$ et $t\ge 1$, $h(t)\le 
e^{(2-x)t}$ qui est int\'egrable sur $[1,+\infty[$ ;$h$ est donc int\'egrable 
sur $]0,+\infty[$.
Pour $x\leq2$: $h(t)\ge\Frac1 {t^{1/2}}$ qui n'est pas 
int\'egrable sur $]0,+\infty[$. $\Phi$ est donc d\'efinie sur $]2,+\infty[$.  
Par suite, $L(\Phi)(x)=\dps\int_0^{+\infty}\Frac{e^{(2-x)t}}{\sqrt t}\d t$.
Effectuons le changement de variable d\'efini par $u=\sqrt{(x-2)t}$: 
$L(\Phi)(x)=\dps\int_0^{+\infty}\Frac{e^{-u^2}\sqrt{x-2}}{u}\Frac
 {2u\d u}{x-2}=\sqrt{\Frac{\pi}{x-2}}$.
\vskip4mm

II.2
%\vskip2mm
a.
Si $x_0\in I(f)$, pour $x>x_0$ et $t>0$ on a $|f(t)e^{-xt}|\le|f(t)e^{-x_0t}|$
 qui est int\'egrable sur $]0,+\infty[$ donc $x\in I(f)$.
\vskip2mm
b.
$I(f)$ est suppos\'e non vide et non \'egal \`a $\R$; il existe donc $x_0\in\R$, 
$x_0\notin I(f)$; $x_0$ est alors un minorant de  $I(f)$ car   
$x<x_0$ et $x\in I(f)$ entrainerait $x_0\in I(f)$. 
$I(f)$ est une partie non 
vide et minor\'ee de $\R$, elle admet donc une borne inf\'erieure $\a(f)$.
 Si $\a(f)\in I(f)$, $I(f)=[\a(f),+\infty[$ d'apr\`es le a. Sinon 
$I(f)=]\a(f),+\infty[$ car tout $x>\a(f)$ est dans $I(f)$ par d\'efinition de 
la borne inf\'erieure et le a.
\vskip2mm
c.
La fonction $(x,t)\mapsto f(t)e^{-xt}$ est continue sur $]\a(f),+\infty[
\times ]0,+\infty[$; de plus pour $x\in [a,b]\subset]\a(f),+\infty[$ on a 
$|f(t)e^{-xt}|\le |f(t)e^{-at}|$ qui est int\'egrable sur $]0,+\infty[$. On 
en d\'eduit que $L(f)$ est continue sur $]\a(f),+\infty[$. 
Pour $f$ positive et pour $x<y$ on a $f(t)e^{-yt}\le f(t)e^{-xt}$
d'o\`u $L(f)(y)\le L(f)(x)$. Si  $\a(f)\in I(f)$ on a donc pour 
$x\in[\a(f),+\infty[$ : $0\le L(f)(x)\le L(f)(\a(f))$ donc $L(f)$ est born\'ee.
\vskip2mm
d.
i)
Par hypoth\`ese $L(g)(x)\le M$ pour $x\in]\a(g),+\infty[$; on en d\'eduit avec $g$
 positive: $\dps\int_0^A g(t)\e^{-xt}\d t\le M$.

ii)
La fonction $(x,t)\mapsto g(t)e^{-xt}$ est continue sur $[\a(g),+\infty[
\times ]0,A[$; la fonction $t\mapsto g(t)e^{-\a(g)t}$ est int\'egrable sur 
$]0,A$[ car elle est continue et \'equivalente \`a $g(t)$ au voisinage de 0; 
de $0\le g(t)e^{-xt}\le g(t)e^{-\a(g)t}$ on d\'eduit alors que la fonction 
$t\mapsto g(t)e^{-xt}$ est continue sur  $[\a(g),+\infty[$ d'o\`u par passage 
\`a la limite: $\dps\int_0^A g(t)\e^{-\a(g)t}\d t\le M$. Cette majoration \'etant 
valable pour tout $A$ on en d\'eduit que $L(g)$ est d\'efinie sur $[\a(g),+\infty[$.
\vskip4mm

II.3
%\vskip2mm
a.
Puisque $g(t)\sim h(t)$ au voisinage de $+\infty$, on a pour $t\ge t_0$: 
$g(t)\le 2h(t)$. On en d\'eduit $I(h)\subset I(g)$ (les 2 fonctions sont 
int\'egrables sur $]0,t_0]$). En \'echangeant $g$ et $h$ on a $I(g)=I(h)$ d'o\`u 
$\a(g)=\a(h)$.
\vskip2mm
b.
Si $\a(h)\notin I(h)$ , $L(h)$ n'est pas born\'ee sur $]\a(h),+\infty[$; puisque 
$L(h)$ est d\'ecroissante on d\'eduit: $\dps\lim_{x\mapsto\a(h)^+} L(h)(x)=+\infty$.
Puisque $g$ et $h$ sont \'equivalentes au voisinage de $+\infty$ on d\'eduit 
$|g(t)-h(t)|\le \Frac{\eps}2 h(t)$ pour $t\ge A$ ($h\ge0$). Par suite: 
$|L(g)(x)-L(h)(x)|\le \dps\int_0^{+\infty}|g(t)-h(t)|\e^{-xt}\d t
\le \dps\int_0^A|g(t)-h(t)|\e^{-xt}\d t+\Frac{\eps}2 
 \dps\int_A^{+\infty}h(t)\e^{-xt}\d t$.
D'une part $\dps\int_0^A|g(t)-h(t)|\e^{-xt}\d t \le \dps\int_0^A|g(t)-h(t)|
\e^{-\a(h)t}\d t=C$. D'autre part $L(h)(x)>0$ pour $x$ assez proche de $\a(h)$.
 En divisant par $L(h)(x)$ on obtient: 
$\left|\Frac{L(g)(x)}{L(h)(x)}-1\right|\le \Frac C {L(h)(x)}+\Frac{\eps}2\le \eps$ pour $x\le
x_0$ (puisque $\dps\lim_{x\mapsto\a(h)^+} L(h)(x)=+\infty$). On a bien montr\'e 
$L(g)\sim L(h)$ au voisinage de $\a(h)$.
\vskip4mm

II.4
%\vskip2mm
De $L(F)(x)=\Frac1{\sqrt{x^2-4}}\sim \Frac1{2\sqrt{x-2}}$ au voisinage 
de 2 et $L(\Phi)(x)=
\sqrt{\Frac{\pi}{x-2}}$ on d\'eduit $L(f)\sim \Frac 1{2\sqrt{\pi}}\Phi$; on peut 
conjecturer que cet \'equivalent est aussi valable au voisinage de $+\infty$.

\vskip4mm
{\bf Troisi\`eme partie.}

III.1
%\vskip2mm
a.
La s\'erie de fonctions de terme g\'en\'eral $k_n(t)=\Frac{x^n}{n!}e^{int}$ 
converge normalement sur $\R$ puisque $|k_n(t)|=\Frac{x^n}{n!}$ est le terme 
g\'en\'eral d'une s\'erie convergente (de somme $e^x$). $k_n$ \'etant continue, la 
fonction $k$ est donc d\'efinie et continue sur $\R$. $k_n$ \'etant 
$2\pi$-p\'eriodique, la fonction $k$ l'est aussi.
 Appliquons l'\'egalit\'e de Parseval: $\dps\int_0^{2\pi}
|k(t)|^2\d t=2\pi \Sum_{p=-\infty}^{+\infty}|c_p(k)|^2$. 
Calculons les coefficients de Fourier de $k$ en utilisant la convergence 
normale de la s\'erie: 
$c_p(k)=\Frac1{2\pi}\dps\int_0^{2\pi}\Sum_{n=0}^{+\infty}
\Frac{x^n}{n!}e^{int}e^{-ipt}\d t=\Frac1{2\pi}\Sum_{n=0}^{+\infty}
\Frac{x^n}{n!}\dps\int_0^{2\pi}e^{i(n-p)t}\d t$.
 Avec $\dps\int_0^{2\pi}e^{i(n-p)t}\d t=\cases{0&si $ n\neq p$ \cr 2\pi&si $
 n=p$\cr}$ on obtient $c_p(k)=\cases{0&si $ p<0$ \cr \Frac{x^p}{p!}&si $
 p\ge0$\cr}$. Par suite $J=2\pi\Sum_{p=0}^{+\infty}
\Frac{x^{2p}}{(p!)^2}=2\pi F(x)$.
\vskip2mm
b.
$k(t)=e^{xe^{it}}$ d'o\`u $|k(t)|^2=e^{2x\cos t}$.
\vskip2mm
c.
$\dps\int_0^{2\pi}e^{2x\cos t}\d t=2\dps\int_0^{\pi}e^{2x\cos t}\d t$ par 
p\'eriode $2\pi$ et parit\'e, donc $F(x)=\Frac1{\pi}\dps\int_0^{\pi}e^{2x\cos t}
\d t$.
\vskip4mm

III.2
%\vskip2mm
a.
$h_1$ et $h_3$ ne posent pas de probl\`eme de d\'efinition; au voisinage de $1^-$, 
$\Frac{e^{xt}}{\sqrt{1-t}}\sim\Frac{e^{x}}{(1-t)^{1/2}}$ qui est 
int\'egrable sur [0,1[ donc $h_2$ est d\'efinie sur $\R_+$.
\vskip2mm
b.
$h_2(x)=\dps\int_0^1 2 e^{x(1-u^2)}\d u=\Frac{2e^x}{\sqrt x}
\dps\int_0^{\sqrt x} 
e^{-v^2}\d v$ en posant $v=u\sqrt x$. Avec $\dps\int_0^{+\infty}
e^{-v^2}\d v=\Frac{\sqrt{\pi}}2 $ on obtient $h_2(x)\sim \sqrt{\Frac{\pi}x}e^x$ 
au voisinage de $+\infty$.
\vskip2mm
c.
Le m\^eme changement de variable donne $h_3(x)=\dps\int_0^1 2u^2
 e^{x(1-u^2)}\d u=\Frac{e^x}x
\dps\int_0^{x}\sqrt{\Frac v x} 
e^{-v}\d v$ en posant $v=xu^2$. Avec $\dps\int_0^{+\infty}
\sqrt v e^{-v}\d v=\Frac{\sqrt{\pi}}2 $ on obtient $h_3(x)\sim 
\Frac1{2x}\sqrt{\Frac{\pi}x}e^x$ 
au voisinage de $+\infty$.
\vskip2mm
d.
$\Frac1{\sqrt{1-u^2}}-\Frac1{\sqrt{2(1-u)}}=\Frac{\sqrt2-\sqrt{1+u}}
{\sqrt{2(1-u^2)}}=\Frac{\sqrt{1-u}}{(\sqrt{2}+\sqrt{1+u})\sqrt{2(1+u)}}
\le\Frac{\sqrt{1-u}}{2+\sqrt{2}}$ d'o\`u $C=\Frac1{2+\sqrt{2}}$.
\vskip2mm
e.
Posons $u=\cos t$ dans $h_1(x)=\dps\int_0^{\pi/2}e^{x\cos t}\d t=
\dps\int_0^1 e^{xu}\Frac{\d u}{\sqrt{1-u^2}}$.
 On d\'eduit du d : $\left|h_1(x)-\Frac1{\sqrt 2}h_2(x)\right|\le C h_3(x)$.
Puisque $h_3(x)\sim\Frac1{2x}h_2(x)=o(h_2(x))$ au voisinage de $+\infty$ on 
obtient $h_1(x)\sim\Frac1{\sqrt 2}h_2(x)\sim \sqrt{\Frac{\pi}{2x}}e^x$ 
au voisinage de $+\infty$.

\vskip4mm

III.3
%\vskip2mm
$F(x)=\Frac1{\pi}\dps\int_0^{\pi}e^{2x\cos t}\d t=
\Frac1{\pi}h_1(2x)+\Frac1{\pi}\dps\int_{\pi/2}^
{\pi}e^{2x\cos t}\d t$. Dans cette derni\`ere int\'egrale, $x\cos t\le 0$ donc 
$0\le\Frac1{\pi}\dps\int_{\pi/2}^
{\pi}e^{2x\cos t}\d t\le \Frac12$; or $\dps\lim_{x\mapsto+\infty}h_1(2x)=
+\infty$ donc $F(x)\sim\Frac1{\pi}h_1(2x)\sim \Frac1{2\sqrt{\pi x}}e^{2x}$ 
au voisinage de $+\infty$.





\bye
