MINES-I	PSI-2002
PREMIERE PARTIE
I-1. Rayon de convergence
a) Exemples :
q Pour f1(t) = , on a un = n donc F1(x) = nxn =  de rayon R = 
q Pour f2(t) = t, on a un =  donc F2(x) =  = exp(x) de rayon R = 
q Pour f3(t) = pt – 1, on a un = (p – 1)( – 1)...( – 1) =    (nul si p  n)
	donc F3(x) =   xn = (1 + x)p–1 de rayon R = 
b) Si f s'annule en un point , un est nul pour n  k et F est un polynôme, donc R = . Sinon, on peut appliquer le critère de D'Alembert :  =  de limite , donc R =  (=  si f(0) = 0). (Cohérent avec les trois exemples du a))

1-2. Suite de terme général un 
a) Il existe N tel que, pour 0 < x < , on ait f(x) > 0. Donc pour n > N, on a  > 0. Donc les un ont même signe que uN+1 pour n > N.
b) Cas i : Si  est tel que  <  < 1, alors pour n assez grand,  <  et (un) tend vers 0.
    Cas ii : Si  est tel que  >  > 1, alors pour n assez grand  >  et (un) tend vers 
I-3. Série de terme général un 
wn = ln  = ln ( (1 – )b) = ln f() + b ln(1 – )          or f() = 1 +  + O()
 	wn = O() terme général d'une série absolument convergente. 
w1 + ... + wn = ln vn tend vers S = wn donc vn admet une limite L = exp(S) donc un  Lnb.
I-4. Fonction F
a) La série un xn est absolument convergente si et seulement si il en est de même de  nb xn est absolument convergente. Les deux séries ont même rayon de convergence, et le critère de D'Alembert montre pour la deuxième que R = 1. F est définie en x = 1 si et seulement si b < –1. En ce qui concerne le cas x = –1, il est nécessaire pour que F(–1) existe que b < 0. Si b < –1, la série est absolument convergente et F(–1) existe. Si –1  b < 0, on applique le critère des séries alternées à  un (–1)n . un est positive, de limite nulle et décroissante puisque  = f() = 1 +  + o() < 1 pour n assez grand. 
b) On a supposé précédemment que f était positive sur [0,1] ce qui n'est pas nécessairement le cas de la fonction f de l'exemple. Passons...
	un = (1 – )(1 – )...(1 – ) = (–1)n  donc F = (–x)n = (1 – x)–1 de rayon 1.
DEUXIEME PARTIE
II-1. Propriétés de la fonction g
a) En 0, g(x) =  –    = o(x)
I =   –  dx =    (ln(sin()) – ln(sin()) – ln() + ln())
                                       =   ln 
b) cn =   exp(–it) exp(–int) dt =   =  
La convergence est simple vers h C1 par morceaux (Théorème de Dirichlet), sauf en 0 où la limite est la valeur moyenne de h à gauche et à droite de 0, soit .
Précisément, en 0, on a alors :
	 = c0 + cn + c–n =   +  
En multipliant les deux membres par exp(i), on obtient :
	cos() =  +   
 	g() =   
c) I =  g(t) dt =     dt 
        =    dt (interversion possible car la série est à termes négatifs).
        =  ln(1 – )  ln  = ln(1 – )   =  (1 – )

II-2. Convergence de la suite (un)
On cherche   (1 – ) = 
TROISIEME PARTIE
III-1. Existence des fonctions Gn et G
G est la fonction . Existence classique à montrer. n(t) tend vers tx–1 e–t en étant majorée par cette dernière. Le théorème de convergence dominée montre que Gn(x) tend vers G(x) quand n tend vers l'infini.

III-2. Une expression de  Gn(x)
a) Jn(x) =  Jn–1(x+1) en intégrant par parties
Par récurrence, Jn(x) = 
b) Gn(x) =  tx–1 (1 – )n dt on pose t = nu
              = nx ux–1 (1–u)n du =  nx
III-3. Relation des compléments
G(x) =   nx
G(1–x) =  
 	G(x) G(1–x) =   
	                   =        
	                   =    =