\documentclass[11pt]{article}
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\begin{document}

% Source CCP 2002 PC Maths 1 m02pp1e

%En-t{\^e}te et pied de page
\lhead{CCP 2002 PC Maths 1}
\rhead{page \thepage}
\cfoot{}

%Num�rotation
\renewcommand{\labelenumi}{}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\Roman{enumi}.\arabic{enumii} }}
\renewcommand{\labelenumiii}{\textbf{\alph{enumiii})} }


%Macros
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\newcommand{\set}[1]{\left \{ #1 \right \}}
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\newcommand{\ouvert}[2]{\left ] #1, #2 \right [}
\newcommand{\matrice}[1]{\begin{pmatrix} #1 \end{pmatrix}}
\newcommand{\limite}[3]{\lim_{#1 \to #2} \limits #3}
\newcommand{\somme}[3]{\sum_{#1}^{#2}\limits{#3}}



\textbf{SESSION 2002}

\begin{center}CONCOURS COMMUNS POLYTECHNlQUES

\textbf{EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE PC}

\medskip
\rule{7cm}{1pt}

\bigskip
\textbf{{\large MATHEMATIQUES 1}}

\medskip
\textbf{Dur{\'e}e : 4 heures}
\end{center}

\hrule

\bigskip
\begin{center}
\textit{Les calculatrices sont interdites}

****
\end{center}

{\sl N.B. : Le candidat attachera la plus grande importance {\`a} la clart{\'e}, {\`a} la pr{\'e}cision et {\`a} la concision de la r{\'e}daction.

Si un candidat est amen{\'e} {\`a} rep{\'e}rer ce qui peut lui sembler {\^e}tre une erreur d'{\'e}nonc{\'e}, il la signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les ruisons des initiatives qu'il a {\'e}t{\'e} amen{\'e} {\`a} prendre.}

\begin{center}****\end{center}

\begin{center}\textbf{Notations}\end{center}

Soit $n$ et $p$ des entiers sup{\'e}rieurs ou {\'e}gaux {\`a} $1$. $\K$ d{\'e}signant le corps des r{\'e}els ou celui des complexes, on note $\mathcal{M}_{n,p}(\K)$ le $\K$-espace vectoriel des matrices {\`a} coefficients dans $\K$ ayant $n$ lignes et $p$ colonnes. Lorsque $p = n$, $\mathcal{M}_{n,n}( \K)$ est not{\'e} plus simplement $\mathcal{M}_{n}(\K)$ et est muni de sa structure d'alg{\`e}bre, $I_{n}$ repr{\'e}sentant la matrice identit{\'e}.

$0_{n,p}$ d{\'e}signe la matrice nulle de $\mathcal{M}_{n,p}( \K)$ et $0_{n}$ la matrice nulle de $\mathcal{M}_{n}(\K)$.

$GL_{n}( \K)$ d{\'e}signe l'ensemble des matrices inversibles de $M_{n}( \K)$ et $\mathcal{T}_{n}(\K)$ l'ensemble des matrices carr{\'e}es d'ordre $n$ triangulaires sup{\'e}rieures {\`a} {\'e}l{\'e}ments dans $\K$.

Tout vecteur $x = (x_{i})_{1{\leq}i{\leq}n}$ de $\K^{n}$ est identifi{\'e} {\`a} un {\'e}l{\'e}ment $X$ de $\mathcal{M}_{n,1}( \K)$ tel que l'{\'e}l{\'e}ment de la $i^{\mbox{{\`e}me}}$ ligne de $X$ soit $x_{i}$.
Dans toute la suite, nous noterons indiff{\'e}remment $X = (x_{i})_{1{\leq}i{\leq}n}$ un {\'e}l{\'e}ment de $\mathcal{M}_{n,1}( \K)$ aussi bien que le vecteur de $\K^{n}$ qui lui est associ{\'e}.

Pour $A = (a_{i,j})_{\substack{1{\leq}i{\leq}n\\1{\leq}j{\leq}p}}$ dans $\mathcal{M}_{n,p}(\K)$ et $X = (x_{i})_{1{\leq}i{\leq}p}$ dans $\K^{p}$, on note $(AX)_{i}$ le coefficient de la $i^{\mbox{{\`e}me}}$ ligne de $AX$.

Pour toute matrice $A$ de $\mathcal{M}_{n}(\K)$, on note $\Sp{A}$ l'ensemble des valeurs propres complexes de $A$ et on appelle rayon spectral de $A$ le r{\'e}el $\rho(A)$ d{\'e}fini par :
$$\rho(A) = \bmax{\lambda \in�\Sp{A}}{\abs{\lambda}}.$$

Conform{\'e}ment {\`a} l'usage, on note $N_{{\infty}}$ la norme d{\'e}finie sur $\C^{n}$ par :
$$\forall X = (x_{i})_{1{\leq}i{\leq}n} \in \C^{n}, N_{{\infty}}(X) = \bmax{1{\leq}i{\leq}n}{\abs{x_{i}}}.$$

On qualifie de norme matricielle toute norme $\varphi$ d{\'e}finie sur $\mathcal{M}_{n}(\K)$ v{\'e}rifiant la propri{\'e}t{\'e} :
$$\forall (A, B) \in (\mathcal{M}_{n(\K)})^{2}, \varphi(AB) {\leq} \varphi(A) \cdot \varphi(B).$$

$\mathcal{M}_{n}( \K)$ {\'e}tant de dimension finie, on rappelle qu'une suite de matrices $(A_{k})_{k\in\N}$ de $\mathcal{M}_{n}(\K)$ converge vers une matrice $A$ de $\mathcal{M}_{n}(\K)$ si et seulement si la convergence a lieu dans $\mathcal{M}_{n}(\K)$ muni d'une norme quelconque.

\begin{center}\textbf{Partie I}\end{center}

\begin{enumerate}
\item %Partie I
Une matrice $A$ de $\mathcal{M}_{n}(\K)$ est dite trigonalisable si et seulement si il existe $P \in�GL_{n}(\K)$ et $T \in \mathcal{T}_{n}(\K)$ tels que $T = P^{-1} A P$.
\begin{enumerate}
\item %Question I.1
Pour $n$ fix{\'e}, on suppose que toute matrice de $\mathcal{M}_{n}(\C)$ est trigonalisable et on consid{\`e}re une matrice $M$ de $\mathcal{M}_{n+1}(\C)$.
\begin{enumerate}
\item Montrer que $M$ admet au moins une valeur propre.
\item Soit $\lambda$ une valeur propre de $M$. Montrer qu'il existe $Q \in GL_{n+1}(\C)$, $L \in \mathcal{M}_{1,n}(\C)$ et $N \in \mathcal{M}_{n}(\C)$ tels que :
$$Q^{-1} M Q = \matrice{\lambda & L \\ 0_{n,1} & N}.$$

\item En d{\'e}duire qu'il existe $H \in GL_{n}(\C)$ et $S \in \mathcal{T}_{n}(\C)$ tels que :
$$Q^{-1} M Q = \matrice{\lambda & L \\ 0_{n,1} & H S H^{-1}}.$$

\item On pose $R = \matrice{1 & 0_{1,n} \\ 0_{n,1} & H}$. Montrer que $R$ est inversible et exprimer $R^{-1}$.

\item Calculer $R^{-1} Q^{-1} M Q R$ et en d{\'e}duire que $M$ est trigonalisable.
\end{enumerate}

\item %Question I.2
D{\'e}duire de la question pr{\'e}c{\'e}dente que pour tout $n$ entier sup{\'e}rieur ou {\'e}gal {\`a} $1$, toute matrice de $\mathcal{M}_{n}(\C)$ est trigonalisable.

\item %Question I.3
Soit la matrice $G = \matrice{1 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 1 \\ 2 & -5 & 3}$.
\begin{enumerate}
\item La matrice $G$ est-elle diagonalisable ?
\item On note $\mathcal{B} = (e_{1}, e_{2}, e_{3})$ la base canonique de $\C^{3}$. Montrer que $G$ admet un unique vecteur propre $u$ dont la premi{\`e}re composante dans la base $\mathcal{B}$ est {\'e}gale {\`a} $1$ et v{\'e}rifier que $\mathcal{B}_{1} = (u, e_{2}, e_{3})$ est une base de $\C^{3}$.

\item On note $Q$ la matrice de passage de $\mathcal{B}$ {\`a} $\mathcal{B}_{1}$.
Calculer $Q^{-1} G Q$ et en d{\'e}duire, en s'inspirant de la m{\'e}thode d{\'e}crite aux questions \textbf{I.1} et \textbf{I.2}, $P \in GL_{3}(\C)$ et $T \in \mathcal{T}_{3}(\C)$ telles que $P^{-1} G P = T$.
\end{enumerate}

\item %Question I.4
Soit $A \in \mathcal{M}_{n}(\C)$. Si $T$ est une matrice triangulaire sup{\'e}rieure semblable {\`a} $A$, que repr{\'e}sentent les {\'e}l{\'e}ments diagonaux de $T$ ?
\item %Question I.5
Soit $S = (s_{i,j})$ et $T = (t_{i,j})$ deux matrices triangulaires sup{\'e}rieures de $\mathcal{M}_{n}(\C)$.
\begin{enumerate}
\item Montrer que $ST$ est une matrice triangulaire sup{\'e}rieure dont les coefficients diagonaux sont $s_{1,1}t_{1,1}$, $s_{2,2}t_{2,2}$, {\dots}, $s_{n,n}t_{n,n}$.
\item Pour $k \in \N^{*}$, quels sont les {\'e}l{\'e}ments diagonaux de $T^{k}$ ?
\end{enumerate}

\item %Question I.6
Montrer que pour toute matrice $A$ de $\mathcal{M}_{n}(\C)$, $\rho\left(A^{k}\right) = \left [\rho(A)\right ]^{k}$.

\item %Question I.7
Montrer que l'application $\psi : \mathcal{M}_{n}(\C) \rightarrow \R, A = (a_{i,j}) \mapsto \bmax{1{\leq}i,j{\leq}n}{\abs{a_{i,j}}}$ est une norme sur $\mathcal{M}_{n}(\C)$, mais n'est pas en g{\'e}n{\'e}ral une norme matricielle sur $\mathcal{M}_{n}(\C)$.

\item %Question I.8
En admettant l'existence de normes matricielles sur $\mathcal{M}_{n}(\C)$ (la suite du probl{\`e}me montrera effectivement cette existence), montrer que pour toute norme $N$ d{\'e}finie sur $\mathcal{M}_{n}(\C)$, il existe une constante $C$ r{\'e}elle positive telle que :
$$\forall (A, B) \in \left(\mathcal{M}_{n}(\C)\right)^{2}, N(AB) {\leq}�C N(A) N(B).$$

\item %Question I.9
Soit $(A_{k})_{k\in\N}$ une suite de matrices de $\mathcal{M}_{n}(\C)$, $A \in \mathcal{M}_{n}(\C)$ et $P \in GL_{n}(\C)$.
Montrer que la suite $(A_{k})_{k\in\N}$ converge vers $A$ si et seulement si la suite $\left(P^{-1} A P\right)_{k\in\N}$ converge vers $P^{-1} A P$.

\item %Question I.10
\begin{enumerate}
\item Soit $T = \matrice{\lambda & \mu \\ 0 & \lambda}$ un {\'e}l{\'e}ment de $\mathcal{M}_{2}(\C)$.
Pour tout $k \in \N^{*}$, calculer $T^{k}$ et en d{\'e}duire que la suite $\left(T^{k}\right)_{k\in\N^{*}}$ converge si et seulement si $\left(\abs{\lambda} < 1\right)$ ou $\left(\lambda = 1 \mbox{ et } \mu = 0\right)$.
\item Soit $A \in \mathcal{M}_{2}(\C)$ diagonalisable. Donner une condition n{\'e}cessaire et suffisante sur les valeurs propres de $A$ pour que la suite $(A^{k})_{k\in\N}$ soit convergente.
\item Soit $A \in \mathcal{M}_{2}(\C)$ non diagonalisable. Montrer que la suite $(A^{k})_{k\in\N}$ est convergente si et seulement si $\rho(A) < 1$.
Dans ce cas, pr{\'e}ciser $\limite{k}{+{\infty}}{A^{k}}$.

\item Soit $A \in \mathcal{M}_{2}(\C)$. Donner une condition n{\'e}cessaire et suffisante sur $\rho(A)$ pour que la suite $(A^{k})_{k\in\N}$ converge vers la matrice nulle.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\begin{center}\textbf{Partie II}\end{center}

\item %Partie II
Soit $A = (a_{i,j})$ une matrice de $\mathcal{M}_{n}(\C)$ et $N$ une norme quelconque sur $\C^{n}$. On pose :
$$M_{A} = \bmax{1{\leq}i{\leq}n}{\somme{j=1}{n}{\abs{a_{i,j}}}}.$$

\begin{enumerate}
\item %Question II.1
\begin{enumerate}
\item Montrer que pour tout $X \in \C^{n}$ : $N_{{\infty}}(AX) {\leq} M_{A} N_{{\infty}}(X)$.
\item Montrer qu'il existe une constante r{\'e}elle $C_{A}$ telle que :
$$\forall X \in \C^{n}, N(AX) {\leq} C_{A} N(X).$$

\item Montrer que l'ensemble $\set{\dfrac{N(AX)}{N(X)} \tq X \in \C^{n} \setminus \set{0}}$ poss{\`e}de une borne sup{\'e}rieure dans $\R$.

On notera dans la suite :
$$\tilde{N}(A) = \bsup{X \in \C^{n} \setminus \set{0}}{\dfrac{N(AX)}{N(X)}}.$$

\item Montrer que : $\widetilde{N_{{\infty}}}(A) {\leq} M_{A}$.

\item On reprend dans cette question la matrice $G$ introduite en \textbf{I.3}. D{\'e}terminer un vecteur $X_{0}$ de $\C^{3}$ tel que $N_{{\infty}}(X_{0}) = 1$ et $N_{{\infty}}(G X_{0}) = 10$. En d{\'e}duire la valeur de $\widetilde{N_{{\infty}}}(G)$.
\end{enumerate}

\item %Question II.2
Soit $i_{0}$ un entier compris entre $1$ et $n$ tel que $\somme{j=1}{n}{\abs{a_{i_{0},j}}} = M_{A}$. En consid{\'e}rant le vecteur $Y$ de $\C^{n}$ de composantes $y_{j}$ d{\'e}finies par :

\centerline{$y_{j} = \dfrac{\conj{a_{i_{0},j}}}{\abs{a_{i_{0},j}}}$ si $a_{i_{0},j} {\neq} 0$ et $y_{j} = 1$ si $a_{i_{0},j} = 0$}

montrer que $M_{A} {\leq}�\widetilde{N_{{\infty}}}(A)$ et en d{\'e}duire $\widetilde{N_{{\infty}}}(A) = M_{A}$.

\item %Question II.3
Montrer :
\begin{enumerate}
\item $\tilde{N}(A) = 0 \Leftrightarrow A = 0_{n}$.
\item $\forall \lambda \in \C, \tilde{N}(\lambda A) {\leq} \abs{\lambda} \tilde{N}(A)$.
\item En d{\'e}duire : $\forall \lambda \in \C, \tilde{N}(\lambda A) = \abs{\lambda} \tilde{N}(A)$.
\item $\forall B \in \mathcal{M}_{n}(\C), \tilde{N}(A+B) {\leq}�\tilde{N}(A) + \tilde{N}(B)$.
\item $\forall X \in \C^{n}, N(AX) {\leq}�\tilde{N}(A) N(X)$.
\item D{\'e}duire de ces r{\'e}sultats que $\tilde{N}$ est une norme matricielle sur $\mathcal{M}_{n}(\C)$. On lui donne le nom de norme matricielle subordonn{\'e}e {\`a} la norme $N$.
\end{enumerate}

\item %Question II.4
\begin{enumerate}
\item En consid{\'e}rant une valeur propre $\lambda$ de $A$ telle que $\abs{\lambda} = \rho(A)$, montrer que :
$$\rho(A) {\leq} \tilde{N}(A).$$
\item Donner un exemple simple de matrice $A$ non nulle v{\'e}rifiant $\rho(A) = \widetilde{N_{{\infty}}}(A)$.

\item Montrer que si $A$ est nilpotente non nulle, on a l'in{\'e}galit{\'e} stricte :
$$\rho(A) < \tilde{N}(A).$$
\end{enumerate}

\item %Question II.5
Montrer que si $\limite{k}{+{\infty}}{A^{k}} = 0_{n}$, alors $\rho(A) < 1$.

\smallskip
\textbf{Dans toute la suite du probl{\`e}me, on admettra que, r{\'e}ciproquement, si $\rho(A) < 1$, alors $\limite{k}{+{\infty}}{A^{k}} = 0_{n}$.}

\item %Question II.6
\begin{enumerate}
\item Montrer que pour tout $k$ entier naturel non nul : $\rho(A) {\leq} \left [\tilde{N}\left(A^{k}\right)\right ]^{\frac{1}{k}}$.

\item Montrer que pour tout $\alpha \in \C$, $\rho(\alpha A) = \abs{\alpha} \rho(A)$.

\item Soit $\varepsilon > 0$ et $A_{\varepsilon} = \dfrac{A}{\rho(A) + \varepsilon}$.
V{\'e}rifier que $\rho(A_{\varepsilon}) < 1$ et en d{\'e}duire l'existence d'un entier naturel $k_{\varepsilon}$ tel que :
$$\forall k \in \N, \left(k {\geq} k_{\varepsilon} \Rightarrow \tilde{N}\left(A^{k}\right) {\leq} \left(\rho(A) + \varepsilon\right)^{k}\right).$$

\item En d{\'e}duire $\limite{k}{+{\infty}}{\left [\tilde{N}\left(A^{k}\right)\right ]^{\frac{1}{k}}} = \rho(A)$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\begin{center}\textbf{Partie III}\end{center}

\item %Partie III
Une matrice $A$ de $\mathcal{M}_{n,p}(\R)$ est dite positive (resp. strictement positive) et on note $A {\geq} 0$ (resp. $A > 0$) si et seulement si tous ses coefficients sont positifs ou nuls (resp. strictement positifs). Si $A$ et $B$ sont deux matrices de $\mathcal{M}_{n,p}(\R)$, on note $A {\geq} B$ (resp. $A {\leq} B$, $A > B$, $A < B$) si et seulement si $A - B {\geq} 0$ (resp. $B - A {\geq} 0$, $A - B > 0$, $B-A > 0$).

Notons que gr{\^a}ce {\`a} l'identification de $\R^{n}$ et $\mathcal{M}_{n,1}(\R)$, on pourra parler de vecteur de $\R^{n}$ positif ou strictement positif.

\begin{enumerate}
\item %Question III.1
Donner un exemple de matrice $A$ montrant que les conditions $A {\geq} 0$ et $A {\neq} 0$ n'impliquent pas n{\'e}cessairement $A > 0$.

\item %Question III.2
$A$, $B$, $A'$, $B'$ d{\'e}signent des matrices de $\mathcal{M}_{n}(\R)$.
\begin{enumerate}
\item Montrer que si $0 {\leq} A {\leq} B$ et $0 {\leq} A' {\leq} B'$, alors $0 {\leq} A A' {\leq} B B'$.
\item Montrer que si $0 {\leq} A {\leq} B$, alors pour tout $k \in \N^{*}$, $0 {\leq} A^{k} {\leq} B^{k}$.
\item Montrer que si $0 {\leq} A {\leq} B$, alors $\widetilde{N_{{\infty}}}(A) {\leq} \widetilde{N_{{\infty}}}(B)$.
\item Montrer que si $0 {\leq} A {\leq} B$, alors $\rho(A) {\leq} \rho(B)$.
\item Montrer que si $0 {\leq} A < B$, il existe $c \in \ouvert{0}{1}$ tel que $A {\leq} c B$ et en d{\'e}duire $\rho(A) < \rho(B)$.
\end{enumerate}

\item %Question III.3
Soit $A$ une matrice positive de $\mathcal{M}_{n}(\R)$ telle que la somme des termes de chaque ligne soit constante {\'e}gale {\`a} $\alpha$.
Montrer que $\alpha$ est valeur propre de $A$ et que :
$$\rho(A) = \alpha = \widetilde{N_{{\infty}}}(A).$$

\item %Question III.4
Soit $A$ une matrice positive de $\mathcal{M}_{n}(\R)$. Pour tout $i \in \set{1, {\dots}, n}$, on note $\alpha_{i}$ la somme des termes de la $i^{\mbox{{\`e}me}}$ ligne de $A$ et $\alpha = \bmin{1{\leq}i{\leq}n}{\alpha_{i}}$.
On d{\'e}finit la matrice $B = (b_{i,j})$ par $B = 0_{n}$ si $\alpha = 0$ et $b_{i,j} = \dfrac{\alpha}{\alpha_{i}} a_{i,j}$ si $\alpha > 0$.
Montrer {\`a} l'aide de la matrice $B$ ainsi construite que :
$$\bmin{1{\leq}i{\leq}n}{\left(\somme{j=1}{n}{a_{i,j}}\right)} {\leq} \rho(A) {\leq} \bmax{1{\leq}i{\leq}n}{\left(\somme{j=1}{n}{a_{i,j}}\right)}.$$

\item %Question III.5
Soit $A$ une matrice positive de $\mathcal{M}_{n}(\R)$ et $X = (x_{i})$ un vecteur strictement positif de $\R^{n}$.

On note $D_{x}$ la matrice diagonale de $\mathcal{M}_{n}(\R)$ ayant pour termes diagonaux $x_{1}$, $x_{2}$, {\dots}, $x_{n}$.
Calculer les {\'e}l{\'e}ments de la matrice $D_{x}^{-1} A D_{x}$ et en d{\'e}duire :
$$\bmin{1{\leq}i{\leq}n}{\dfrac{(AX)_{i}}{x_{i}}} {\leq}�\rho(A) {\leq} \bmax{1{\leq}i{\leq}n}{\dfrac{(AX)_{i}}{x_{i}}}.$$

\item %Question III.6
Soit $A$ une matrice positive de $\mathcal{M}_{n}(\R)$. Montrer que si $A$ admet un vecteur propre strictement positif, alors la valeur propre associ{\'e}e est $\rho(A)$ et :
$$\rho(A) = \bsup{X>0}{\left(\bmin{1{\leq}i{\leq}n}{\dfrac{(AX)_{i}}{x_{i}}}\right)} = \binf{X>0}{\left(\bmax{1{\leq}i{\leq}n}{\dfrac{(AX)_{i}}{x_{i}}}\right)}.$$
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip
\begin{center}\textbf{Fin de l'{\'e}nonc{\'e}}\end{center}
\end{document}

