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%numerotations des pages style ups
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%mise en page
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%MACROS

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%Ensembles numeriques
 %Les blackboard
\def \dr {{\mathbb R}}
\def \dn {{\mathbb N} }
\def \dz {{\mathbb Z}}
\def \dne {{\mathbb N}^{\ast}}
\def \dre {{\dr}^{\ast}}
\def \drep {{\dr}_{\ast}^+}
\def \dzem {{\dz}_{\ast}^-}
\def \drem {{\dr}_{\ast}^-}
\def \drp {{\dr ^+}}
\def \drm {{\dr ^-}}
%
%%Lettres speciales
\def\e{{\rm e}}
% Lettres grecques minuscules en mode math\'ematique
%
\def \al{\alpha}
\def \be{\beta}
\def \eps{\varepsilon}
\def \lam{\lambda}
\def\ph{\varphi}
%
% - coefficients du bin"me
\def \comb#1#2{{\rm C}_{#1}^{#2}}
%divers
\let\ssi=\Longleftrightarrow
% Plus et moins l'infini
%
\def \pf{{+\infty}}
\def \mf{{-\infty}}
%
%-Quotients
\def\quot#1#2{\mathchoice
{\vbox{\hbox{$\displaystyle #1$}\kern -.5ex}%
\over
\vbox{\kern 0pt\hbox{$\displaystyle #2$}}%
}%
{\vbox{\hbox{$\displaystyle #1$}\kern .25ex}%
\over
\vbox{\kern .5ex\hbox{$\displaystyle #2$}}%
}%
{#1/#2}%
{#1/#2}%
}
%
%DL et \'equivalents
\def\EQUIV#1{\mathrel{\lower1.4ex
 \hbox{$\buildrel{\displaystyle\sim}\over{\scriptstyle #1}$}}}
%%----- ensembles
\def\ens#1#2{\{\, #1 \mid #2 \,\}}
\def\set#1{\{\,#1\,\}}
\def\moins{\setminus}
%
%Ensembles de fonctions
\def\cl#1{{\cal C}^{#1}}
%
%%%%%Limites
\let\ten=\rightarrow
\def \limF#1#2{{\displaystyle \lim_{#1 \ten #2}}\,} 
%
%
%------DERIVEES PARTIELLES------
\def\dpx#1{\quot{\partial #1}{\partial x}}
\def\dpy#1{\quot{\partial #1}{\partial y}}
%
%
%%-------INTERVALLES------
% Les intervalles
%
\newcommand{ \seg}[2]{[ #1,#2 ]}         % segment [#1,#2]
\newcommand{ \ouv}[2]{]\, #1,#2 \,[}         % intervalle ]#1,#2[
\newcommand{\intof}[2]{]\, #1,#2 \,]}       % intervalle ]#1,#2]
\newcommand{ \intfo}[2]{[\, #1,#2 \,[}       % intervalle [#1,#2[
\newcommand{\segN}[2]{{[\![#1,#2]\!]}}    % segment [#1,#2] dans \dn
%
%%%% VALEUR ABSOLUE
\def\abs#1{\mathopen\vert\, #1\,\mathclose\vert}
%
%
%%%------ SOMMES ET PRODUITS--------
%
%
% - somme de #1=#2 \`a #3
\def \Som#1#2#3{{\displaystyle \sum_{#1=#2}^{#3}}\, }
%--% - somme pour #1
\def \SOM#1{{\displaystyle \sum_{#1}}\, }
%
% - produit pour #1
\def \PROD#1{{\displaystyle \prod_{#1}}\, }
%
% - produit de #1=#2 \`a #3
\def \Prod#1#2#3{{\displaystyle \prod_{#1=#2}^{#3}}\, }
%
%
%%%------------- PRESENTATION
% Num\'erotation en gras type RMS
\def \noa#1{{\bf #1.}}
\def \nob#1#2{{\bf {#1}.{#2}.}}
\def \noc#1#2#3{{\bf #1.#2.#3.}}
%
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%souligner
\def \souligne#1{$\underline{\vphantom y \smash{\hbox{#1}}}$}
%
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%encadrer
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\newenvironment{cadre}[2][14cm]
{\begin{lrbox}{\maboite}\begin{minipage}{#1}{#2}}
{\end{minipage}\end{lrbox}\setlength{\fboxsep}{3mm}\fbox{\usebox{\maboite}}}
%
%reglage de l'espace entre cadre et contenu
\setlength{\fboxsep}{5pt}
%
%
%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%FIN DES MACROS%%%%%%%%%%%%%%%%%
%
%
\begin{document}

\begin{center}
\fbox{\textbf{Corrig\'{e} ccp math2 PC}}

\ 

\textbf{Partie I}

\ 
\end{center}

\smallskip

On notera pour tout $n\in\dn$, $f_n$ la fonction polynomiale $f_n\,:\,x\mapsto (x^2-1)^n$.

 
On notera  \'egalement pour $k\in\dn$, indiff\'eremment, $D^k((x^2-1)^n)=(f_n)^{(k)}(x)=\quot{{\rm d}^{k}}{{\rm d}x^{k}}[(x^2-1)^n]$

\medskip

\nob I 1 

\begin{center}
\begin{trivlist}
\item[] $P_0(x)=1$\\
\item[] $P_1(x)=x$\\
\item[] $P_2(x)=\quot 3 2 x^2-\quot 1 2$\\
\item[] $P_3(x)=\quot 5 2 x^3-\quot 3 2 x$\\
\end{trivlist}
\end{center}

\medskip

\nob I 2 Pour tout $n\in\dn$, la fonction $f_n$ est paire. Par cons\'equent sa d\'eriv\'ee $n$i\`eme est une fonction paire si $n$ est pair, impaire si $n$ est impair.

Donc, pour tout $n\in\dn$ et pour tout $x\in\dr$, 

\centerline{$P_n(-x)=(-1)^n\,P_n(x)$.}

\medskip

\nob I 3 On d\'eduit de ce qui pr\'ec\`ede que $P_n (0)=0$ si $n$ est impair et que si $n$ est pair, $P'_n$ est impaire d'o\`u $P'_n(0)=0$.

Reste \`a d\'eterminer pour tout $p\in\dn$, $P_{2p}(0)$ et $P'_{2p+1}(0)$.

$(x^2-1)^{2p}=\Som k 0 {2p}\comb{2p}k\,(-1)^{2p-k}\,x^{2k}$. Comme $D^{2p}(x^{2k})=0$ si $k<p$, on obtient en d\'erivant $2p$ fois :

\centerline{$P_{2p}(x)=\quot 1{2^{2p}\,(2p)!}\,\Som k p {2p} \comb{2p}k \,(-1)^{2p-k}\,D^{2p}(x^{2k})$.}

$D^{2p}(x^{2k})$ est nul en $x=0$ sauf si $k=p$ auquel cas il vaut $(2p)!$. On en d\'eduit apr\`es simplifications :

\smallskip

\centerline{$P_{2p}(0)=(-1)^p\,\quot{(2p)!}{2^{2p}\,(p!)^2}$}

\smallskip


De la m\^eme mani\`ere,

$\begin{array}{rcl}
P'_{2p+1}(x)&=&\quot{1}{2^{2p+1}\,(2p+1)!}\,\Som k 0{2p+1}\comb {2p+1}k\,(-1)^{2p+1-k}\,D^{2p+2}(x^{2k})\\
            &=&\quot{1}{2^{2p+1}\,(2p+1)!}\,\Som k {p+1}{2p+1} \comb {2p+1}k\,(-1)^{2p+1-k}\,\quot{(2k)!}{(2k-2p-2)!}\,x^{2k-2p-2}.\\
\end{array}$


D'o\`u l'on d\'eduit :

\smallskip

\centerline{$P'_{2p+1}(0)=(-1)^p\,\quot{(2p+1)!}{2^{2p}\,(p!)^2}$}


Soit finalement pour tout $p\in\dn$,

\begin{center}

\begin{cadre}[8cm]
{$P_{2p}(0)=(-1)^p\,\quot{(2p)!}{2^{2p}\,(p!)^2}\qquad P'_{2p}(0)=0$.

\smallskip

$P_{2p+1}(0)=0\qquad P'_{2p+1}(0)=(-1)^p\,\quot{(2p+1)!}{2^{2p}\,(p!)^2}$}

\end{cadre}
\end{center}

\medskip

\nob I 4

Soit $n\in\dn$, en appliquant la formule de Leibnitz \`a $\quot{{\rm d}^{n+2}}{{\rm d}x^{n+2}}\,\bigl[(x^2-1)(x^2-1)^n\bigr]$, on obtient 

\begin{eqnarray*}
\quot{{\rm d}^{n+2}}{{\rm d}x^{n+2}}\,\bigl[(x^2-1)^{n+1}\bigr]&=&\Som k 0{n+2}\comb{n+2}k D^{k}(x^2-1) \,D^{n+2-k}((x^2-1)^n)\\
                                                             &=&\Som k 0 2 \comb{n+2}k D^{k}(x^2-1) \,D^{n+2-k}((x^2-1)^n)\\
                                                             &=& (x^2-1)D^{n+2}((x^2-1)^n)+2(n+2)xD^{n+1}((x^2-1)^n)+(n+2)(n+1)D^n((x^2-1)^n)\\
                                                             &=& 2^n\,n!\,\bigl[(x^2-1)P_n''(x)+2(n+2)xP'_n(x)+(n+2)(n+1)P_n(x)\bigr]\\
\end{eqnarray*}

\smallskip

D'autre part, 
$f'_{n+1}(x)=2(n+1)x\,(x^2-1)^n$. En appliquant de nouveau la formule de Leibnitz \`a la d\'eriv\'ee $(n+1)$i\`eme de ce produit , on obtient :

\begin{eqnarray*}
\quot{{\rm d}^{n+2}}{{\rm d}x^{n+2}}\,\bigl[(x^2-1)^{n+1}\bigr]&=&2(n+1)\Som k 0{n+1} \comb{n+1}k D^k(x)\,D^{n+1-k}((x^2-1)^n)\\
                                                             &=& 2(n+1)\bigl[x \,D^{n+1}((x^2-1)^n)+(n+1) D^{n}((x^2-1)^n)\bigr]\\
                                                             &=& 2(n+1)\,2^n\,n!\,\bigl(x P'_n(x) +(n+1) P_n(x)\bigr)\\
\end{eqnarray*}

En identifiant, on obtient l'\'egalit\'e voulue 

$$(1-x^2)P''_n(x)-2xP'_n(x)+n(n+1) P_n(x)=0$$

\medskip

\nob I 5 Soit $n\in\dne$ et $k\in\segN 0{n-1}$. 1 et -1 sont racines d'ordre $n$ de $f_n$ donc racines d'ordre $n-k$ de $f_n^{(k)}=D^k(f_n)$.

\smallskip

Montrons par r\'ecurrence sur $k\in\segN 0{n}$ la propri\'et\'e ${\cal P}_k\,:\,$ " $f_n^{(k)}$ s'annule au moins $k$ fois sur $\ouv{-1}1$."



$\bullet$ ${\cal P}_0$ est vraie.

$\bullet$  $f_n$ s'annule en $-1$ et en 1, est continue sur $\seg{-1}1$ et d\'erivable sur $\ouv{-1}1$, donc $f'_n$ s'annule au moins une fois sur $\ouv {-1}1$ d'apr\`es le th\'eor\`eme de Rolle : ${\cal P}_1$ est \'etablie.

$\bullet$ Supposons ${\cal P}_k$ vraie pour un certain $k\in\segN 1{n-1}$. Notons $\al_1,\ldots,\al_{k}$ les z\'eros de $f_n^{(k)}$ dans $\ouv{-1}{1}$ avec 

$-1<\al_1<\al_2<\cdots<\al_k<1$. Comme $n-k\ge 1$, $f_n^{(k)}(-1)=f_n^{(k)}(1)=0$. Notons $\al_0=-1$ et $\al_{k+1}=1$.

Pour tout $i\in\segN 0{k}$, $f_n^{(k)}(\al_i)=f_n^{(k+1)}(\al_{i+1})=0$, $f_n^{(k)}$ est continue sur $\seg{\al_i}{\al_{i+1}}$, d\'erivable sur $\ouv{\al_i}{\al_{i+1}}$ : d'apr\`es le th\'eor\`eme de Rolle, il existe $\beta_i\in\ouv{\al_i}{\al_{i+1}}$ tel que $f_n^{k+1}(\beta_i)=0$.

On a $-1=\al_0<\beta_0<\al_1<\cdots<\al_i<\beta_i<\al_{i+1}<\cdots<\beta_k<\al_k=1$, on obtient donc ainsi $k+1$ racines 
distinctes de $f_n^{(k+1)}$ dans $\ouv{-1}{1}$ ce qui prouve ${\cal P}_{k+1}$.

La r\'ecurrence est \'etablie: ${\cal P}_k$ est vraie pour tout $k\in\segN 0 {n}$.

En particulier, ${\cal P}_n$ assure que $P_n=\quot 1{2^n\,n!}f_n^{(n)}$ admet n racines distinctes dans $\ouv{-1} 1$. 
Comme de plus $P_n$ est une fonction polyn\^ome de degr\'e $n$ en tant que d\'eriv\'ee $n$i\`eme d'une fonction polyn\^ome de degr\'e $2n$, $P_n$ admet au plus $n$ racines compt\'ees avec leurs ordres de multiplicit\'e.

Ce sont donc les seules racines de $P_n$ et elles sont simples.

\bigskip

\begin{center}
\textbf{Partie II}
\end{center}

\nob{II}1
$f(x,y)$ est d\'efini pour $x^2+1>2xy$ , ce qui \'equivaut \`a 

$x=0$ ou $(x>0\mbox{ et }y<\quot1{2}(x+\quot 1 x))$ ou $(x<0\mbox{ et }y>\quot1{2}(x+\quot 1 x))$.

Soit $\ph$ la fonction d\'efinie sur $\dre$ par $\ph(x)=\quot1{2}(x+\quot 1 x)$.

${\cal D}_f=\ens{(0,y)}{y\in\dr}\cup\ens{(x,y)}{x>0\mbox{ et } y<\ph(x)}\cup\ens{(x,y)}{x<0\mbox{ et }y>\ph(x)}$.

La fonction $\ph$ est impaire : les deux ensembles $\ens{(x,y)}{x>0\mbox{ et } y<\ph(x)}$ et 
$\ens{(x,y)}{x<0\mbox{ et }y>\ph(x)}$ sont sym\'etriques par rapport au point O.

Etudions la fonction $\ph$ sur $\drep$ :

$\forall x\in\drep$, $\ph'(x)=\quot{x^2-1}{2x^2}$. $\ph'(x)>0\ssi x>1$ et $\ph'(x)=0\ssi x=1$. 

De plus $\limF x {0+}\ph(x)=\limF x \pf\phi(x)=\pf$.

On en d\'eduit le tableau de variations de $\ph$ sur $\drep$ puis, en gris la repr\'esentation graphique de ${\cal D}_f$, le domaine ouvert d\'elimit\'e par les deux branches de la courbe repr\'esentative de $\ph$.

\medskip

$\begin{array}{|c|lcccr|}
\hline
x      &0&               &1&            &\pf\\
\hline
\phi'(x)& & \qquad -\qquad&0&\qquad+\qquad& \\
\hline
      &\pf&              &  &             &\pf\\
\phi(x)&   &\searrow      &  &\nearrow     &   \\
     &    &              &1  &             &    \\
\hline
\end{array}$


\bigskip

\begin{minipage}{0.45\textwidth}
\begin{pspicture}(8,8)
\rput{0}(5,3){{\epsffile{m02pp2fa.eps}}}
\uput{0.1cm}[0](4,0){${\cal D}_f$}
\psline(0,4)(8,4)
\psline(4,0)(4,7.5)
\psline{->}(4,4)(4.5,4)
\uput{0.1cm}[270](4.5,4){$\vec\imath$}
\psline{->}(4,4)(4,4.5)
\uput{0.1cm}[225](4,4.5){$\vec\jmath$}
\uput{0.1cm}[225](4,4){$O$}
\end{pspicture}
\end{minipage}
\begin{minipage}{0.45\textwidth}
\begin{pspicture}(8,8)
\rput{0}(5,3){{\epsffile{m02pp2fb.eps}}}
\uput{0.1cm}[0](4,0){${\cal E}$}
\psline(0,4)(8,4)
\psline(4,0)(4,7.5)
\psline{->}(4,4)(4.75,4)
\uput{0.1cm}[315](4.75,4){$\vec\imath$}
\psline{->}(4,4)(4,4.75)
\uput{0.1cm}[225](4,4.75){$\vec\jmath$}
\uput{0.1cm}[225](4,4){$O$}
\end{pspicture}
\end{minipage}

\vspace{2cm}

\nob{II}{2}

${\cal E}=\ens{(0,y)}{y\in\dr}\cup\ens{(x,y)}{x\in\dre,\;\abs{y}<\quot {1-x^2}{2\abs{x}}}=
\ens{(0,y)}{y\in\dr}\cup\ens{(x,y)}{x\in\ouv{-1}{1},\;\abs{y}<\quot {1-x^2}{2\abs{x}}}$.

On peut ici utiliser la fonction $\Psi$ d\'efinie sur $\seg{-1}{1}\moins\set{0}$ par $\Psi(x)=\quot {1-x^2}{2\abs{x}}$.

$\Psi$ est paire, strictement d\'ecroissante sur $\intof 0 1$, $\Psi(1)=0$, $\Psi'(1)=-1$ et $\limF x {0+}\Psi(x)=\pf$.

${\cal E}$ est le domaine ouvert d\'elimit\'e par les courbes repr\'esentatives de $x\mapsto \Psi(x)$ et $x\mapsto -\Psi(x)$ pour $x\in\ouv{-1}1$ repr\'esent\'e en
 gris ci dessus. On peut remarquer que ${\cal E}\subset {\cal D}_f$.

\medskip

\nob{II}{3}

On peut remarquer que $f$ est de classe $\cl\infty$ sur ${\cal D}_f$ donc aussi sur ${\cal E}$ et que pour tout r\'eel $y$, il existe $h>0$ tel que $\ouv{-h}h\times\set{y}\subset{\cal E}$ : on suppose que les fonctions $A_n$ sont de classe $\cl\infty$ sur $\dr$.


Pour tout $x\in\ouv{-1}{1}$, $(x,0)\in{\cal E}$ et donc $f(x,0)=\Som n 0 \pf A_n(0)\,x^n$.

D'autre part, pour tout $x\in\ouv{-1}1$, $f(x,0)=\quot{1}{\sqrt{1+x^2}}$ dont on connait le d\'eveloppement en s\'erie enti\`ere sur $\ouv{-1}{1}$ :

$\forall x \in\ouv{-1}1\quad (1+x^2)^{-1/2}=\Som n 0 \pf \quot{(-1)^n\,(2n)!}{2^{2n}\,(n!)^2}\,x^{2n}$.

Par unicit\'e du d\'eveloppement en s\'erie enti\`ere de $x\mapsto \quot 1{\sqrt{1+x^2}}$ sur $\ouv{-1}1$, on en d\'eduit que 

\medskip

\begin{cadre}{
$\forall p\in\dn\quad A_{2p+1}(0)=0$ et $A_{2p}(0)=\quot{(-1)^p\,(2p)!}{(2^pp!)^2}\,\cdotp$}
\end{cadre}


\medskip

De plus par hypoth\`ese, pour tout $(x,y)\in{\cal E}$, $\dpy f(x,y)=\Som n 0 \pf A'_n(y)\,x^n$.

En particulier pour tout $x\in\ouv{-1}1$, $\dpy f (x,0)=\Som n 0 \pf A'_n(0)\,x^n$.

Or  pour tout $(x,y)\in{\cal E}$, $\dpy f(x,y)=x (1-2xy+x^2)^{-3/2}$ et $\forall x\in\ouv{-1}1\quad \dpy f (x,0)=x(1+x^2)^{-3/2}$.

Or $\forall x\in\ouv{-1}1\quad x(1+x^2)^{-3/2}=x(\Som n 0 \pf\beta_n\,x^{2n})=\Som n 0\pf \beta_n\,x^{2n+1}$ avec $\beta_0=1$ et 

pour $n\ge 1$, $\beta_n=\quot{-3/2(-3/2-1)\cdots(-3/2+n-1)}{n!}$ soit apr\`es simplifications, 

\smallskip

\centerline{$\forall n\in\dn\quad\beta_n=\quot{(-1)^n\,(2n+1)!}{(2^n\,n!)^2}\,\cdotp$}

On en d\'eduit par unicit\'e du d\'evelopement en s\'erie enti\`ere de $x\mapsto x(x^2+1)^{-3/2}$ que 

\medskip
\begin{center}
\begin{cadre}[8cm]{
$\forall p\in\dn\quad A'_{2p}(0)=0$ et $A'_{2p+1}(0)= \quot{(-1)^p\,(2p+1)!}{(2^p\,p!)^2}\,\cdotp$} 
\end{cadre}
\end{center}

\medskip

\nob{II}4

\noc{II} 4 1
Pour tout $(x,y)\in{\cal E}$, 

$\dpx f (x,y)=-(x-y)\,(1-2xy+x^2)^{-3/2}\qquad \dpy f (x,y)= x(1-2xy+x^2)^{-3/2}$.

$$\forall(x,y)\in{\cal E}\qquad x\dpx f (x,y)+(x-y)\,\dpy f (x,y)=0.$$

Or pour $(x,y) \in{\cal E}$

$\dpx f (x,y)=\Som n 1 \pf A_n(y) n\,x^{n-1}\quad$ d'o\`u $\quad x\dpx f (x,y)=\Som n 1 \pf n A_n(y)\,x^{n}$.

$\dpy f (x,y)=\Som n 0 \pf A'_n(y)\,x^n\quad$ d'o\`u $\quad x\dpy f(x,y) =\Som n 0 \pf A'_n(y)\,x^{n+1}=\Som n 1 \pf A'_{n-1}(y)\,x^n$ 

et $y\dpy f (x,y)=\Som n 0\pf y A'_n(y)\,x^n$.

On obtient donc pour tout $(x,y)\in{\cal E}$,

\centerline{$yA'_0(y)+\Som n 1 \pf (nA_n(y)+A'_{n-1}(y)-yA'_n(y))\,x^n=0$.}

On a d\'eja remarqu\'e que pour tout r\'eel $y$, il existe $h>0$ tel que $\ouv{-h}h\times\set{y}\subset {\cal E}$.

Par unicit\'e du d\'eveloppement en s\'erie enti\`ere de la fonction nulle, ($x\mapsto 0$, $x\in\ouv{-h}h$), on en d\'eduit les \'egalit\'es demand\'ees:

$$\forall y\in\dr\quad yA'_0(y)=0\ \mbox{ et pour tout }n\ge 1\quad yA'_n(y)-A'_{n-1}(y)=nA_n(y)$$

\medskip

\noc{II} 4 2 

De la m\^eme fa\c{c}on, pour tout $(x,y)\in{\cal E}$, $(1-2xy+x^2)\dpx f (x,y)+(x-y) f(x,y)=0$. D'autre part,

$\dpx f(x,y)=\Som n 0 \pf (n+1) A_{n+1}(y)\,x^n,\qquad 2xy\dpx f (x,y)=\Som n 1 \pf 2ny A_n(y)\,x^n$,

$x^2\dpx f (x,y)=\Som n 1 \pf n\,A_n(y)\,x^{n+1}=\Som n 2 \pf (n-1) A_{n-1}(y)\,x^n=\Som n 1 \pf(n-1)A_{n-1}(y)\,x^n$,

$xf(x,y)=\Som n 1 \pf A_{n-1}(y)\,x^n\qquad yf(x,y)=\Som n 0 \pf y A_n(y)\,x^n$.


On obtient donc pour $(x,y)\in{\cal E}$,

$\Som n 1 \pf ((n+1) A_{n+1}(y)-(2n+1)y A_n(y)+n A_{n-1})\,x^n+ A_1(y)-yA_0(y)=0$.

Par unicit\'e, \`a $y$ fix\'e du d\'eveloppement en s\'erie enti\`ere de la fonction $x\mapsto 0$ sur un intervalle ouvert $\ouv{-h}h$, on en d\'eduit les \'egalit\'es $(2)$ :

$$\forall y\in\dr\qquad\left\{
\begin{array}{l}
A_1(y)-yA_0(y)=0\\
nA_n(y)-(2n-1)yA_{n-1}(y)+(n-1)A_{n-2}(y)=0\ \mbox{pour }n\ge 2\\
\end{array}
\right.$$

\medskip

\noc{II} 4 3
Pour $n=1$, on obtient en d\'erivant la relation $A_1(y)-yA_0(y)=0$ et en utilisant que $yA'_0(y)=0$ :
$$\forall y\in\dr \quad A'_1(y)=A_0(y).$$

La relation $(3)$ est vraie pour $n=1$.

Pour $n\ge 2$, en d\'erivant la relation $(2)$, on a pour tout $y\in\dr$,

$$nA'_n(y)-(2n-1)A_{n-1}(y)-(2n-1)yA'_{n-1}(y)+(n-1)A'_{n-2}(y)=0.\qquad (4)$$

D'autre part comme $n-1\ge 1$, on a d'apr\`es la relation $(1)$ :
$$A'_{n-2}(y)=yA'_{n-1}(y)-(n-1)A_{n-1}(y).$$

En injectant dans $(4)$, on obtient apr\`es simplifications $nA'_n(y)-n^2A_{n-1}(y)-ny A'_{n-1}(y)=0$.

Finalement

$$\forall n\in\dne\ \forall y\in\dr \quad A'_n(y)-yA'_{n-1}(y)=nA_{n-1}(y).\quad (3)$$

\medskip

\noc{II} 4 4
Remarquons que d'apr\`es $(1)$, $A'_0$ est nulle sur $\dre$ et donc sur $\dr$ par continuit\'e. On en d\'eduit que $A''_0=0$ puis que la relation $(1-y^2)A''_n(y)-2yA'_n(y)+n(n+1)A_n(y)=0$ est vraie pour $n=0$.

Pour $n\ge1$, on obtient en d\'erivant $(3)$ :

\centerline{$A''_n(y)-yA''_{n-1}(y)=(n+1)A'_{n-1}(y)\quad (5)$}

\smallskip

En d\'erivant $(1)$ et en multipliant par $y$ :

\smallskip

\centerline{$y^2A''_n(y)-yA''_{n-1}(y)=y(n+1)A'_n(y)-2yA'_n(y).\quad (6)$}

$(5)-(6)$ donne :

\smallskip

$(1-y^2)A''_n(y)=(n+1)(A'_{n-1}(y)-yA'_n(y))-2yA'_n(y)=-n(n+1)A_n(y)-2yA'_n(y)$ en utilisant $(1)$.

Finalement 

$$\forall n\in\dn\ \forall y\in\dr\quad (1-y^2)A''_n(y)-2yA'_n(y)+n(n+1)A_n(y)=0.$$

Soit $n\in\dn$ et  $({\cal B}_n)$ l'\'equation diff\'erentielle : $(1-x^2) z''(x)-2xz'(x)+n(n+1)z(x)=0$.

$A_n$ et $P_n$ sont solutions de $({\cal B}_n)$ sur $\dr$. De plus $P_n(0)=A_n(0)$ et $P'_n(0)=A'_n(0)$. (questions I.4 et II.3).

Comme $({\cal B}_n)$ est une \'equation diff\'erentielle lin\'eaire du second ordre sans point singulier dans $\ouv{-1}{1}$, on d\'eduit du th\'eor\`eme de Cauchy-Lipschitz que 
$P_n$ et $A_n$ co\"{\i}ncident sur $\ouv{-1}1$.

$$\forall n\in\dn,\ \forall y\in\ouv{-1}1\quad A_n(y)=P_n(y).$$

\bigskip


\begin{center}

\textbf{Partie III}
\end{center}

\medskip

\souligne{\bf avertissement } J'utiliserai sans le d\'emontrer le r\'esultat suivant \souligne{ qui ne figure pas au programme pc}
m\^eme s'il figure dans de nombreux cours et ouvrages  :

 \smallskip

Si $(a_n)_{n\in\dn}$ et $(b_n)_{n\in\dn}$ sont des suites de complexes telles que les s\'eries $\SOM{n\in\dn}\abs{a_n}$ et $\SOM{n\in\dn} \abs{b_n}$ convergent, 
alors la s\'erie trigonom\'etrique $\quot {a_0}2+\SOM{n\ge 1} a_n\cos n\theta+b_n\sin n\theta$ converge normalement sur $\dr$ vers une fonction 
$f$ $2\pi$ p\'eriodique dont les coefficients de Fourier trigonom\'etriques sont les $(a_n)_{n\in\dn}$ et les $(b_n)_{n\in \dne}$.

$f(\theta)=\quot{a_0}2+\Som n 1\pf a_n\cos n\theta+b_n\sin n\theta$ est donc alors le d\'eveloppement de $f$ en s\'erie de Fourier.

\medskip

\nob{III}1

Pour tous r\'eels $x$ et $\theta$, $1-2x\cos\theta+x^2=(x-\e^{i\theta})(x-\e^{-i\theta})$.  Si $x$ est fix\'e tel que $\abs{x}<1$, les fonctions $\theta\mapsto F(x,\theta)$, 
$\theta\mapsto C(x,\theta)$ et $\theta\mapsto S(x,\theta)$ sont donc d\'efinies et de classe $\cl\infty$ sur $\dr$.

De plus, pour tout r\'eel $\theta$, 

$C(x,\theta)+iS(x,\theta)=\quot{1-x\e^{-i\theta}}{(x-\e^{i\theta})(x-\e^{-i\theta})}=
\quot{1-x\e^{-i\theta}}{(x\e^{-i\theta}-1)(x\e^{i\theta}-1)}=\quot 1{1-\e^{i\theta}x}\,\cdotp$

Comme $\abs{\e^{i\theta}x}=\abs{x}<1$, on a $\quot 1{1-\e^{i\theta}x}=\Som n 0 \pf x^n \e^{in\theta}$.

Soit finalement , si $\abs{x}<1$, pour tout r\'eel $\theta$,

$C(x,\theta)+iS(x,\theta)=\Som n 0 \pf x^n \cos n\theta+i \Som n 0 \pf x^n \sin n\theta=\Som n 0 \pf x^n \cos n\theta+i \Som n 1 \pf x^n \sin n\theta$.

En prenant la partie r\'eelle et la partie imaginaire des deux membres de cette \'egalit\'e, on en d\'eduit que 

\smallskip

\centerline{Pour $x\in\ouv{-1}1$, $\forall \theta\in\dr,\quad C(x,\theta)=\Som n 0\pf x^n\cos n\theta\quad S(x,\theta)=\Som n 1 \pf x^n\sin n\theta.$}

\smallskip

Comme $\abs{x}<1$, la s\'erie $\SOM{n\ge 0}\abs{x}^n$ est convergente : les s\'eries 
trigonom\'etriques $\SOM{n\ge 0} x^n\cos n\theta$ et $\SOM{n\ge 1}x^n\sin n\theta$ sont normalement convergentes 
et d'apr\`es le th\'eor\`eme mentionn\'e plus haut, ces \'egalit\'es sont les d\'eveloppements en s\'erie de Fourier des fonctions 
$\theta\mapsto C(x,\theta)$ et $\theta\mapsto S(x,\theta)$.

\medskip

\nob{III}2
Soit toujours $x$ r\'eel fix\'e, $\abs{x}<1$. Pour tout $\theta\in\dr$, $2C(x,\theta)-1=(1-x^2)F(x,\theta)$.

On a donc $F(x,\theta)=\quot 1{1-x^2}(-1+2\Som n 0 \pf x^n\cos n\theta)=\quot 1{1-x^2}\,(1+2\Som n 1 \pf x^n\cos n\theta)$.

Soit $F(x,\theta)=\Som n 0 \pf u_n(x)\cos n\theta$ avec 

$u_0(x)=\quot 1{1-x^2}$ et pour tout $n\ge 1$, $u_n(x)=\quot{2x^n}{1-x^2}$.

Comme $\abs{x}<1$, la s\'erie $\SOM{n\ge 0}\abs{x}^n$ converge et  la s\'erie $\SOM{n\ge 0}\abs{u_n(x)}$ converge \'egalement. 
On en d\'eduit que la s\'erie trigonom\'etrique $\SOM{n\ge 0} u_n(x)\cos n\theta$ est normalement convergente et que 
l'\'egalit\'e $F(x,\theta)=\Som n 0\pf u_n(x)\cos n\theta$ est le d\'eveloppement en s\'erie de Fourier de $\theta\mapsto F(x,\theta)$.

\medskip

D'autre part, pour $x\in\ouv{-1}1$ et $\theta\in\dr,\qquad
\sin\theta C(x,\theta)+\cos\theta S(x,\theta)= \sin \theta\,F(x,\theta)$.

D'o\`u 

$\sin\theta \,F(x,\theta)=\Som n 0 \pf x^n(\sin\theta\cos n\theta+\cos \theta\sin n\theta)=\Som n 0 \pf x^n \sin ((n+1)\theta)$.

Si $\sin\theta\not=0$, $F(x,\theta)=\Som n 0 \pf \quot{\sin(n+1)\theta}{\sin\theta}\,x^n$.

de plus pour tout $n\in\dn$ et pour tout $k\in\dz$,  $\theta\mapsto \quot{\sin(n+1)\theta}{\sin\theta}$ se prolonge par continuit\'e en $k\pi$ :

En posant $\theta=k\pi+h$, $\sin\theta=(-1)^k\sin h\EQUIV{h\to 0} (-1)^k\,h$.

$\sin(n+1)\theta=(-1)^{k(n+1)}\sin(n+1)h\EQUIV{h\to 0} (-1)^{(n+1)k}\,(n+1) h$.

Finalement, $\quot{\sin(n+1)\theta}{\sin\theta}\EQUIV{\theta\to k\pi} (-1)^{nk}\,(n+1)$.

En prolongeant ainsi en $k\pi$, pour tout $n\in\dn$ $\quot{\sin (n+1)\theta}{\sin\theta}$, on peut \'ecrire 

\smallskip

\centerline{$\forall x\in\ouv{-1}1,\ \forall \theta\in\dr\quad F(x,\theta)=\Som n 0 \pf \quot{\sin (n+1)\theta}{\sin\theta}\,x^n$.}

\medskip

\nob{III}3

Soit $q\in\dz$ et $\theta\in\ouv{q\pi}{(q+1)\pi}$, $\abs{\cos\theta}<1$ et d'apr\`es II.4.4, pour tout $p\in\dn$, $P_p(\cos\theta)=A_p(\cos\theta)$.

On sait qu'il existe $h>0$ tel que pour tout $x\in\ouv{-h}h$, $(x,\cos\theta)\in{\cal E}$ et $f(x,\cos\theta)=\Som n 0\pf A_n(\cos\theta)x^n$.

$\Som k 0 n A_k(\cos\theta)\,A_{n-k}\cos\theta$ est alors le coefficient devant $x^n$ dans le d\'eveloppement en s\'erie enti\`ere, pour $x\in\ouv{-h}h$ de $x\mapsto f^2(x,\cos\theta)=F(x,\theta)$.

Comme pour $\abs x<1$, $F(x,\theta)=\Som n 0\pf \quot{\sin(n+1)\theta}{\sin\theta}\,x^n$, 

par unicit\'e du d\'eveloppement en s\'erie enti\`ere de $x\mapsto F(x,\theta)$, pour $x\in\ouv{-h}h$, on en d\'eduit que 


\smallskip

\centerline{$\Som k 0 n P_k(\cos\theta)\,P_{n-k}(\cos\theta)=\quot{\sin(n+1)\theta}{\sin\theta}$.}

\smallskip

D'autre part pour tout $n\in\dn$, $\theta\mapsto \Som k 0 n P_k(\cos\theta)\,P_{n-k}(\cos\theta)$ est continue sur $\dr$ et on a d\'ej\`a remarqu\'e que $\theta\mapsto \quot{\sin(n+1)\theta}{\sin\theta}$ se prolonge par continuit\'e en tout $q\pi$ o\`u $q\in\dz$.

Par continuit\'e, l'\'egalit\'e pr\'ec\'edente se prolonge donc en tout $q\pi$, $q\in\dz$.

\smallskip

\centerline{$\forall\theta\in\dr,\ \forall n\in\dn\quad \Som k 0 n P_k(\cos\theta)\,P_{n-k}(\cos\theta)=\quot{\sin(n+1)\theta}{\sin\theta}$.}

\bigskip

\begin{center}

\textbf{Partie IV}
\end{center}

\medskip

\nob{IV}1

Soit $z(x)=\Som n 0\pf \al_n\,x^n$ sur $\ouv{-R}R$, $R\not=0$. $z$ est de classe $\cl\infty$ sur  $\ouv{-R}{R}$  et :

$z'(x)=\Som n 1 \pf n\al_n\,x^{n-1}$ et $xz'(x)=\Som n 1 \pf n\al_n x^n=\Som n 0 \pf n\al_n\,x^n$.

$z''(x)=\Som n 2 \pf n(n-1)\al_n\,x^{n-2}=\Som n 0 \pf (n+2)(n+1)\al_{n+2}\,x^n$

$x^2z''(x)=\Som n 2 \pf n(n-1)\al_n\,x^n=\Som n 0 \pf n(n-1)\al_n\,x^n$.

$z$ est solution de $(L_{\lam})$ sur $\ouv{-R}R$ si et seulement si, sur $\ouv{-R}R$ :

\centerline{$\Som n 0 \pf \bigl((n+2)(n+1)\al_{n+2}-(n(n+1)-\lam(\lam+1))\al_n\bigr)\,x^n=0$.}

\smallskip

Par unicit\'e du d\'eveloppement en s\'erie enti\`ere de la fonction nulle, ceci \'equivaut \`a 

$\forall n\in\dn\quad (n+2)(n+1)\al_{n+2}=(n(n+1)-\lam(\lam+1))\al_n=(n-\lam)(n+\lam+1)\al_n$.

\smallskip



\centerline{$z$ est solution de $(L_{\lam})$ si et seulement si pour tout $n\in\dn$, $\al_{n+2}=\quot{(n-\lam)(n+\lam+1)}{(n+2)(n+1)}\,\al_n$.}

\medskip

\nob{IV}2

La formule de r\'ecurrence pr\'ec\'edente \'equivaut \`a : 

$\forall p\in\dn\quad \al_{2p}=\quot{(2p-1+\lam)(2p-2-\lam)}{(2p(2p-1)}\,\al_{2(p-1)}$ et $\forall p\in\dn\quad \al_{2p+1}=\quot{(2p+\lam)(2p-1-\lam)}{(2p+1)(2p)}\,\al_{2p-1}$.

Soit encore par r\'ecurrence :


$$\forall p\in\dn\quad \al_{2p}=\quot{\Prod k 0{p-1}(2k-\lam)(2k+1+\lam)}{(2p)!}\,\al_0\qquad \al_{2p+1}=\quot{\Prod k  1 p (2k-1-\lam)(2k+\lam)}{(2p+1)!}\,\al_1\,\cdotp$$


\medskip

\nob{IV}3
Soit $z_1\,:\,x\mapsto \Som p 0 \pf \quot{\Prod k 0{p-1}(2k-\lam)(2k+1+\lam)}{(2p)!}\,x^{2p}$ et $z_2\,:\,x\mapsto \Som p 0 \pf \quot{\Prod k  1 p (2k-1-\lam)(2k+\lam)}{(2p+1)!}\,x^{2p+1}$.
 
Notons pour tout $p\in\dn$, $\beta_{2p}=\quot{\Prod k 0{p-1}(2k-\lam)(2k+1+\lam)}{(2p)!}$ et $\beta_{2p+1}=\quot{\Prod k  1 p (2k-1-\lam)(2k+\lam)}{(2p+1)!}\,x^{2p+1}$.

Comme $\lam\notin\dz$, pour tout $n\in\dn$, $\beta_n\not=0$ et 

$\limF n \pf \quot{\beta_{n+2}}{\beta_n}=\limF n \pf \quot{(n-\lam)(n+\lam+1)}{(n+2)(n+1)}=1$. On a donc pour $x\not=0$, 

$\limF p \pf \left|\quot{\beta_{2p+2}\,x^{2p+2}}{\beta_{2p}\,x^{2p}}\right|=\abs{x^2}$ et 
$\limF p \pf \left|\quot{\beta_{2p+3}\,x^{2p+3}}{\beta_{2p+1}\,x^{2p+1}}\right|=\abs{x^2}$.

D'apr\`es la r\'egle de D'alembert les s\'eries $\SOM{p\ge 0}\beta_{2p}\,x^{2p}$ et $\SOM{p\ge 0}\beta_{2p+1}\,x^{2p+1}$ sont absolument convergentes si $\abs x<1$ et grossi\`erement divergentes si $\abs x>1$.

Ces deux s\'eries enti\`eres ont toutes les deux pour rayon de convergence 1. Comme de plus elles sont "disjointes" (plus pr\'ecisement les deux suites de leurs coefficients sont \`a supports disjoints), 
le rayon de convergence de toute combinaison lin\'eaire non nulle de ces deux s\'eries enti\`eres est encore 1.

Or les solutions d\'eveloppables en s\'erie enti\`ere de $(L_{\lam})$ sont les fonctions $z=\al_0z_1+\al_1z_2$. Ce sont (mis \`a part la fonction nulle) des sommes de s\'erie enti\`ere de rayon de convergence 1.

Comme $(L_{\lam})$ est lin\'eaire du second ordre sans point singulier dans $\ouv{-1}1$, on obtient ainsi toutes les solutions de $(L_{\lam})$ sur $\ouv{-1}1$.







\end{document}


















