

\documentclass[10pt]{article}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
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\usepackage{upsnum}

\input tcilatex.tex

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\begin{document}

\begin{center}
{\LARGE { 2002 -- CCP PSI -- Maths 2} }

corrig\'{e} -- par Michel Sta\"{\i}ner, le 07/05/02
\end{center}

\bigskip

\begin{center}
\textbf{PARTIE I}
\end{center}

\bigskip

\begin{enumerate}
\item[\textbf{I.1.1.}]  Sur $\left] -\infty ,0\right[ $ et $\left] 0,+\infty \right[ $%
, $\left( E_0\right) $ s'\'{e}crit $y^{\prime \prime }-y=0$ et donc : 
\[
\begin{tabular}{|c|}
\hline
La solution g\'{e}n\'{e}rale de $\left( E_0\right) $ sur $\left] -\infty
,0\right[ $ et $\left] 0,+\infty \right[ $ est $y=A\limfunc{ch}x+B\limfunc{sh}x$, 
$\left( A,B\right) \in \mathbf{R}^2$. \\ \hline
\end{tabular}
\]

\item[\textbf{I.1.2.}]  Par cons\'{e}quent, si $f$ est solution de $\left( E_0\right) 
$ sur \textbf{R}, il existe $\left( A,B,C,D\right) $ dans $\mathbf{R}^4$ tel
que 
\[
f(x)=\left\{ 
\begin{array}{cl}
A\limfunc{ch}x+B\limfunc{sh}x & \text{si }x<0 \\ 
C\limfunc{ch}x+D\limfunc{sh}x & \text{si }x>0
\end{array}
\right. 
\]
et la continuit\'{e} de $f$ en 0 n\'{e}cessite $A=C$ et $f(0)=A$, sa
d\'{e}rivabilit\'{e} en 0 n\'{e}cessite $B=D$. R\'{e}ciproquement, $%
f:x\mapsto A\limfunc{ch}x+B\limfunc{sh}x$ est solution sur \textbf{R :} 
\[
\begin{tabular}{|c|}
\hline
La solution g\'{e}n\'{e}rale de $\left( E_0\right) $ sur \textbf{R} est 
$y=A\limfunc{ch}x+B\limfunc{sh}x$, $\left( A,B\right) \in \mathbf{R}^2$. \\ 
\hline
\end{tabular}
\]

\bigskip

\item[\textbf{I.2.1.}]  En tant que somme d'une s\'{e}rie enti\`{e}re, $y$ est de
classe $C^\infty $ sur $\left] -R,R\right[ $ avec : 
\[
\forall x\in \left] -R,R\right[ \quad x^2y^{\prime \prime
}(x)=\sum_{k=2}^\infty k(k-1)u_kx^k\quad \text{et}\quad
x^2y(x)=\sum_{k=2}^\infty u_{k-2}x^k.
\]
d'o\`{u} les relations --- traduisant le fait que $y$ est solution de $%
\left( E_n\right) $ : 
\[
\left( n-n^2\right) u_0=\left( n-n^2\right) u_1=0\quad \text{et}\quad
\forall k\ge 2\quad \left( k(k-1)+\left( n-n^2\right) \strut\right)
u_k-u_{k-2}=0.
\]
Puisqu'ici $n\ge 2$, $n-n^2$ est non nul et j'en d\'{e}duis : 
\[
\begin{tabular}{|c|}
\hline
$u_0=u_1=0$. \\ \hline
\end{tabular}
\]

\item[\textbf{I.2.2.}]  D'apr\`{e}s ce qui pr\'{e}c\`{e}de : 
\[
\begin{tabular}{|c|}
\hline
$\forall k\ge 2\quad (k-n)(k+n-1)u_k=u_{k-2}$. \\ \hline
\end{tabular}
\]

\item[\textbf{I.2.3.}]  Pour $k\in [\![2,n-1]\!]$, j'ai $(k-n)(k+n-1)\neq 0$ et donc 
\[
u_k=\frac{u_{k-2}}{(k-n)(k+n-1)}.
\]
Comme $u_0=u_1=0$ d'apr\`{e}s \textbf{I.2.1.}, une r\'{e}currence
imm\'{e}diate fournit : 
\[
\begin{tabular}{|c|}
\hline
$\forall k\in [\![0,n-1]\!]\quad u_k=0$. \\ \hline
\end{tabular}
\]

\item[\textbf{I.2.4.}]  En particulier, $u_{n-1}=0$ ; or, en rempla\c {c}ant $k$ par $%
n+2p+1$ dans la relation pr\'{e}c\'{e}dente, j'obtiens 
\[
\forall p\in \mathbf{N}\quad u_{n+2p+1}=\frac{u_{n+2p-1}}{(2p+1)(2p+2n)}
\]
d'o\`{u}, toujours par r\'{e}currence, 
\[
\begin{tabular}{|c|}
\hline
$\forall p\in \mathbf{N}\quad u_{n+2p+1}=0$. \\ \hline
\end{tabular}
\]

\item[\textbf{I.2.5.}]  De m\^{e}me, en rempla\c {c}ant $k$ par $n+2p$, j'obtiens 
\[
\forall p\in \mathbf{N}^{*}\quad u_{n+2p}=\frac{u_{n+2p-2}}{2p(2p+2n-1)}.
\]
Je montrerais cette fois par r\'{e}currence l'existence d'une suite $\left(
q_{p,n}\right) _{p\in \mathbf{N}}$ de nombres rationnels tels que 
\[
\forall p\in \mathbf{N}^{*}\quad u_{n+2p}=q_{p,n}\cdot u_n
\]
mais la valeur de $u_n$ reste arbitraire (on a exploit\'{e} toutes les
relations du \textbf{I.2.2.}, celle obtenue pour $k=n$ ne donnant rien, si
ce n'est $0=u_{n-2}$ que l'on a d\'{e}j\`{a} prouv\'{e}$\dots $). Ainsi 
\[
\begin{tabular}{|c|}
\hline
On ne peut pas ``calculer'' $u_n$. \\ \hline
\end{tabular}
\]
\textbf{N.B.} La formulation est discutable$\dots $ Cela traduit le fait que
l'ensemble des solutions d\'{e}veloppables en s\'{e}rie enti\`{e}re de $%
\left( E_n\right) $ est une droite vectorielle (puisqu'on obtient un rayon
de convergence non nul, \emph{cf.} la question suivante). On v\'{e}rifie ---
ce qui n'est pas demand\'{e} dans l'\'{e}nonc\'{e} --- que 
\[
\forall p\in \mathbf{N}^{*}\quad u_{n+2p}=\frac{\left( 2n\right) !}{n!}\cdot 
\frac{\left( p+n\right) !}{p!\left( 2p+2n\right) !}\cdot u_n.
\]

\item[\textbf{I.2.6.}]  Compte tenu des r\'{e}sultats pr\'{e}c\'{e}dents, $y(x)$ est
de la forme : 
\[
y(x)=u_nx^n\sum_{p=0}^\infty q_{p,n}\left( x^2\right) ^p\quad \text{o\`{u}}%
\quad \frac{q_{p+1,n}}{q_{p,n}}=\frac 1{(2p+2)(2p+2n+1)}\stackunder{%
p\rightarrow \infty }{\longrightarrow }0.
\]
Par cons\'{e}quent, la s\'{e}rie enti\`{e}re $\sum q_{p,n}z^p$ a un rayon de
convergence infini et donc la s\'{e}rie d\'{e}finissant $y(x)$ converge pour
tout r\'{e}el $x$. Autrement dit : 
\[
\begin{tabular}{|c|}
\hline
$R=+\infty $. \\ \hline
\end{tabular}
\]

\bigskip

\item[\textbf{I.3.1.}]  Par d\'{e}finition, 
\[
\forall k\in \mathbf{N}\quad C_{k,0}=\frac 1{\left( 2k\right) !}\quad \text{%
et}\quad C_{k,1}=\frac{2(k+1)}{(2k+2)!}=\frac 1{(2k+1)!}.
\]
Je reconnais alors des d\'{e}veloppements en s\'{e}rie enti\`{e}re usuels : 
\[
\begin{tabular}{|c|}
\hline
$\varphi_0(x)=\limfunc{ch}x\quad $et$\quad \varphi_1(x)=\limfunc{sh}x$. \\ 
\hline
\end{tabular}
\]

\item[\textbf{I.3.2.}]  Je proc\`{e}de comme au \textbf{I.2.6.} : 
\[
\varphi_n(x)=x^n\sum_{k=0}^\infty C_{k,n}\left( x^2\right) ^k\quad \text{et}%
\quad \frac{C_{k+1,n}}{C_{k,n}}\stackunder{k\rightarrow \infty }{%
\longrightarrow }0\;;
\]
il en r\'{e}sulte que la s\'{e}rie enti\`{e}re $\sum C_{k,n}z^k$ a un rayon
de convergence infini et donc $\varphi_n$ est la somme d'une s\'{e}rie
enti\`{e}re de rayon de convergence infini \'{e}galement, cela pour tout $n$
; en particulier, 
\[
\begin{tabular}{|c|}
\hline
Les $\varphi_n$ sont de classe $C^\infty $ sur \textbf{R}.\\ \hline
\end{tabular}
\]

\bigskip

\item[\textbf{I.4.1.}]  Apr\`{e}s simplifications : 
\[
\begin{tabular}{|c|}
\hline
$\dfrac{C_{k,n+1}}{C_{k,n}}=\dfrac 1{2k+2n+1}$. \\ \hline
\end{tabular}
\]

\item[\textbf{I.4.2.}]  Il en d\'{e}coule imm\'{e}diatement : 
\[
\begin{tabular}{|c|}
\hline
$C_{k,n}-(2n+1)C_{k,n+1}=2kC_{k,n+1}$. \\ \hline
\end{tabular}
\]

\item[\textbf{I.4.3.}]  Soit $x\neq 0$ ; \`{a} l'aide du r\'{e}sultat
pr\'{e}c\'{e}dent et d'une r\'{e}indexation, j'obtiens 
\[
\varphi_n(x)-\frac{2n+1}x\varphi_{n+1}(x)=\sum_{k=1}^\infty
2kC_{k,n+1}x^{2k+n}=\sum_{k=0}^\infty 2(k+1)C_{k+1,n+1}x^{2k+n+2}.
\]
Or 
\[
2(k+1)C_{k+1,n+1}=\frac{2^{n+2}(k+1+n+1)!}{k!\left( 2(k+1)+2(n+1)\strut%
\right) !}=C_{k,n+2},
\]
d'o\`{u} : 
\[
\begin{tabular}{|c|}
\hline
$\varphi_n(x)-\dfrac{2n+1}x\varphi_{n+1}(x)=\varphi_{n+2}(x)$. \\ \hline
\end{tabular}
\]

\item[\textbf{I.4.4.}]  Ici : 
\[
\begin{tabular}{|c|}
\hline
$u_n=C_{0,n}=2^n\dfrac{(2n)!}{n!}$. \\ \hline
\end{tabular}
\]
\emph{(Voir la remarque du }\textbf{I.2.5.}\emph{)}

\bigskip

\item[\textbf{I.5.1.}]  Je reprends l'expression ci-dessus : 
\[
\varphi_n(x)=x^n\sum_{k=0}^\infty C_{k,n}x^{2k}.
\]
Pour $x\neq 0$, $x^n$ est non nul et tous les termes de la somme sont
strictement positifs, d'o\`{u} : 
\[
\begin{tabular}{|c|}
\hline
Pour $x\neq 0$ et $n\in \mathbf{N}$, $\varphi_n(x)\neq 0$. \\ \hline
\end{tabular}
\]

\item[\textbf{I.5.2.}]  Soient $n\in \mathbf{N}$ et $x\in \left] 0,1\right] $ ;
l'expression ci-dessus montre que $\varphi_n(x)>0$, cela pour tout $n$. Je
d\'{e}duis alors du \textbf{I.4.3.} que 
\[
\frac{\varphi_n(x)}{\varphi_{n+1}(x)}>\frac{2n+1}x\ge 1
\]
d'o\`{u} : 
\[
\begin{tabular}{|c|}
\hline
Pour $x\in \left] 0,1\right] $, $\gamma_n(x)>1$. \\ \hline
\end{tabular}
\]

\item[\textbf{I.5.3.}]  Pour $x\neq 0$, d'apr\`{e}s \textbf{I.5.1.}, je peux diviser
la relation du \textbf{I.4.3.} par $\varphi_{n+1}(x)$ et j'obtiens : 
\[
\begin{tabular}{|c|}
\hline
$\gamma_n(x)=\dfrac{2n+1}x+\dfrac 1{\gamma_{n+1}(x)}$. \\ \hline
\end{tabular}
\]
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}
\textbf{PARTIE II}
\end{center}

\bigskip

\begin{enumerate}
\item[\textbf{II.1.}]  Par d\'{e}finition, $q_0=1\ge 0$ et $a_1,a_2$ sont dans $%
\mathbf{N}^{*}$, donc $q_1=a_1\ge 1$ et $q_2=a_2q_1+q_0\ge 2$ ; alors, si je
suppose $n\ge 3$ tel que $q_k\ge k$, pour tout $k$ de $[\![0,n-1]\!]$,
j'obtiens 
\[
q_n=a_n\cdot q_{n-1}+q_{n-2}\ge 1\cdot (n-1)+(n-2)\ge n\quad \text{car }n\ge
3.
\]
J'ai ainsi prouv\'{e}, par r\'{e}currence forte, que : 
\[
\begin{tabular}{|c|}
\hline
$\forall n\in \mathbf{N}\quad q_n\ge n$. \\ \hline
\end{tabular}
\]

\bigskip

\item[\textbf{II.2.1.}]  Pour $n=1$, $p_1q_0-q_1p_0=(a_0a_1+1)-a_1a_0=1$ et, pour $%
n\ge 2$ : 
\[
p_nq_{n-1}-q_np_{n-1}=\left( a_np_{n-1}+p_{n-2}\right) q_{n-1}-\left(
a_nq_n+q_{n-2}\right) p_{n-1}=-\left( p_{n-1}q_{n-2}-q_{n-1}p_{n-2}\right) .
\]
Par cons\'{e}quent et par une r\'{e}currence imm\'{e}diate : 
\[
\begin{tabular}{|c|}
\hline
$\forall n\in \mathbf{N}^{*}\quad p_nq_{n-1}-q_np_{n-1}=(-1)^{n-1}$. \\ 
\hline
\end{tabular}
\]

\item[\textbf{II.2.2.}]  Ici, pour $n\ge 2$ : 
\[
p_nq_{n-2}-q_np_{n-2}=\left( a_np_{n-1}+p_{n-2}\right) q_{n-2}-\left(
a_nq_n+q_{n-2}\right) p_{n-2}=a_n\left( p_{n-1}q_{n-2}-q_{n-1}p_{n-2}\right)
.
\]
Soit, d'apr\`{e}s le r\'{e}sultat pr\'{e}c\'{e}dent : 
\[
\begin{tabular}{|c|}
\hline
$\forall n\ge 2\quad p_nq_{n-2}-q_np_{n-2}=(-1)^na_n$. \\ \hline
\end{tabular}
\]

\bigskip

\item[\textbf{II.3.1.}]  Gr\^{a}ce au \textbf{II.2.}, il vient imm\'{e}diatement, par
r\'{e}duction au m\^{e}me d\'{e}nominateur : 
\[
\begin{tabular}{|c|}
\hline
Pour $n\ge 1$, $x_n-x_{n-1}=\dfrac{(-1)^{n-1}}{q_{n-1}q_n}$ et, pour $n\ge 2$%
, $x_n-x_{n-2}=\dfrac{(-1)^na_n}{q_{n-2}q_n}.$ \\ \hline
\end{tabular}
\]

\item[\textbf{II.3.2.}]  Je viens de voir que $x_n-x_{n-2}$ est du signe de $(-1)^n$,
donc la suite $\left( x_{2n}\right) $ est croissante et la suite $\left(
x_{2n+1}\right) $ est d\'{e}croissante. De plus, d'apr\`{e}s \textbf{II.1.}, 
$q_{n-1}q_n\stackunder{n\rightarrow \infty }{\longrightarrow }+\infty $,
donc $x_n-x_{n-1}\stackunder{n\rightarrow \infty }{\longrightarrow }0$,
d'apr\`{e}s le r\'{e}sultat pr\'{e}c\'{e}dent ; en particulier, la suite $%
\left( x_{2n}-x_{2n+1}\right) $ converge vers 0. En conclusion : 
\[
\begin{tabular}{|c|}
\hline
Les suites $\left( x_{2n}\right)_{n\in \mathbf{N}}$ et $\left(
x_{2n+1}\right)_{n\in \mathbf{N}}$ sont adjacentes. \\ \hline
\end{tabular}
\]

\item[\textbf{II.3.3.}]  Il appara\^{\i}t plus pr\'{e}cis\'{e}ment ci-dessus que la
suite $\left( x_{2n}\right) $ cro\^{\i}t strictement vers $\alpha $ et que $%
\left( x_{2n+1}\right) $ d\'{e}cro\^{\i}t strictement vers $\alpha$~; j'ai donc : 
\[
\forall n\in \mathbf{N}\quad x_{2n}<\alpha <x_{2n+1}\quad \text{d'o\`{u}}%
\quad 0<\alpha -x_{2n}<x_{2n+1}-x_{2n},
\]
c'est-\`{a}-dire, d'apr\`{e}s \textbf{II.3.1.}, comme on a suppos\'{e} $%
\alpha =\dfrac cd$, 
\[
0<\frac{cq_{2n}-dp_{2n}}{dq_{2n}}<\frac 1{q_{2n}q_{2n+1}}.
\]
D'o\`{u}, en multipliant par $dq_{2n}$ (strictement positif~!) : 
\[
\begin{tabular}{|c|}
\hline
$k_n=cq_{2n}-dp_{2n}$ est entier et v\'{e}rifie $0<k_n<\dfrac d{q_{2n+1}}$.
\\ \hline
\end{tabular}
\]
Il en r\'{e}sulte que $\dfrac d{q_{2n+1}}>1$ pour tout $n$, ce qui contredit
le \textbf{II.1.}, $d$ \'{e}tant fix\'{e}. En conclusion, 
\[
\begin{tabular}{|c|}
\hline
$\alpha $ n'est pas rationnel. \\ \hline
\end{tabular}
\]

\bigskip

\item[\textbf{II.4.1.}]  Le graphe demand\'{e} est un morceau de parabole$\dots $ $%
f(-1)=f(\lambda +1)=\lambda >0$ et $f$ atteint son minimum en $\lambda /2$,
milieu du segment $\left[ -1,\lambda +1\right] $, ce minimum $-\lambda ^2/4-1
$ \'{e}tant strictement n\'{e}gatif.

\item[\textbf{II.4.2.}]  Aux remarques pr\'{e}c\'{e}dentes, j'ajoute que $%
f(0)=f(\lambda )=-1<0$ ; il en r\'{e}sulte que 
\[
-1<r_1<0\quad \text{et}\quad \lambda <r_2<\lambda +1.
\]
En particulier, puisque $\lambda $ est entier : 
\[
\begin{tabular}{|c|}
\hline
$r_1<0$ ; $r_2>0$ ; $E\left( r_1\right) =-1$ ; $E\left( r_2\right) =\lambda $%
. \\ \hline
\end{tabular}
\]

\bigskip

\item[\textbf{II.5.1.}]  Il vient, par d\'{e}finition des suites $\left( p_n\right) $
et $\left( q_n\right) $ : 
\[
\begin{tabular}{|c||c|c|c|c|}
\hline
$n$ & 0 & 1 & 2 & 3 \\ \hline
$p_n$ & $\lambda $ & $\lambda ^2+1$ & $\lambda ^3+2\lambda $ & $\lambda
^4+3\lambda ^2+1$ \\ \hline
$q_n$ & $1$ & $\lambda $ & $\lambda ^2+1$ & $\lambda ^3+2\lambda $ \\ \hline
\end{tabular}
\]

\item[\textbf{II.5.2.}]  Comme la suite $\left( a_n\right) $ est constante, une
r\'{e}currence forte et n\'{e}anmoins imm\'{e}diate fournit 
\[
\begin{tabular}{|c|}
\hline
$\forall n\ge 1\quad q_n=p_{n-1}\quad \text{et donc }\forall n\in \mathbf{%
N\quad }x_n=\dfrac{q_{n+1}}{q_n}$. \\ \hline
\end{tabular}
\]

\item[\textbf{II.5.3.}]  La suite $\left( q_n\right) $ est d\'{e}finie par $%
q_0=1,q_1=\lambda =r_1+r_2$ et la relation de r\'{e}currence lin\'{e}aire
double 
\[
\forall n\ge 2\quad q_n=\lambda q_{n-1}+q_{n-2},
\]
dont l'\'{e}quation caract\'{e}ristique n'est autre que $f(x)=0$. $q_n$ est
donc de la forme $A_1r_1^n+A_2r_2^n$, o\`{u} les scalaires $A_1,A_2$ sont
d\'{e}termin\'{e}s par 
\[
\left\{ 
\begin{array}{l}
q_0=A_1+A_2=1 \\ 
q_1=A_1r_1+A_2r_2=r_1+r_2
\end{array}
\right. \quad \text{d'o\`{u}\quad }A_1=\frac{r_1}{r_1-r_2}\quad \text{et}%
\quad A_2=\frac{r_2}{r_2-r_1},
\]
soit finalement : 
\[
\begin{tabular}{|c|}
\hline
$\forall n\in \mathbf{N}\quad q_n=\dfrac{r_2^{n+1}-r_1^{n+1}}{r_2-r_1}$. \\ 
\hline
\end{tabular}
\]

\item[\textbf{II.5.4.}]  En vertu des deux questions pr\'{e}c\'{e}dentes : 
\[
\begin{tabular}{|c|}
\hline
$\forall n\in \mathbf{N}\quad x_n=\dfrac{r_2^{n+2}-r_1^{n+2}}{%
r_2^{n+1}-r_1^{n+1}}$. \\ \hline
\end{tabular}
\]

\item[\textbf{II.5.5.}]  Puisque $\left| r_1\right| <1$ et $r_2>1$, il en r\'{e}sulte
: 
\[
\begin{tabular}{|c|}
\hline
$\lim\limits_{n\rightarrow \infty }x_n=r_2$. \\ \hline
\end{tabular}
\]

\item[\textbf{II.5.6.}]  Ici, $q_0=1,q_1=3$ et : $\forall n\ge 2\quad
q_n=3q_{n-1}+q_{n-2}$, d'o\`{u} les valeurs : 
\[
\begin{tabular}{|c||c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
$n$ & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ \hline
$q_n$ & 1 & 3 & 10 & 33 & 109 & 360 & 1\thinspace 189 \\ \hline
\end{tabular}
\]
J'ai $\dfrac 1{q_4q_5}<10^{-4}$, or d'apr\`{e}s \textbf{II.3. }$x_4=\dfrac{%
q_5}{q_4}<\alpha <x_5=\dfrac{q_6}{q_5}$ et $x_5-x_4=\dfrac 1{q_4q_5}$,
d'o\`{u} 
\[
\begin{tabular}{|c|}
\hline
$\dfrac{360}{109}<\alpha <\dfrac{1\,189}{360}$. \\ \hline
\end{tabular}
\]
\textbf{N.B.} Je constate que $\dfrac{360}{109}\approx 3,30275$, $\dfrac{%
1\,189}{360}\approx 3,30278$ et $\alpha =r_2=\dfrac{3+\sqrt{13}}2\approx
3,30278$.
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}
\textbf{PARTIE III}
\end{center}

\bigskip

\begin{enumerate}
\item[\textbf{III.1.1.}]  En appliquant la d\'{e}finition : 
\[
\begin{tabular}{|c|}
\hline
$\left[ a_0,a_1\right] =\dfrac{a_0a_1+1}{a_1}=\dfrac{p_1}{q_1}\quad \text{et}%
\quad \left[ a_0,a_1,a_2\right] =\dfrac{a_0a_1a_2+a_0+a_2}{a_1a_2+1}=\dfrac{%
p_2}{q_2}$. \\ \hline
\end{tabular}
\]

\item[\textbf{III.1.2.}]  On suppose ici $\left[ a_0,\dots ,a_n\right] =\dfrac{p_n}{%
q_n}=\dfrac{a_np_{n-1}+p_{n-2}}{a_nq_{n-1}+q_{n-2}}$, o\`{u} $%
p_{n-1},p_{n-2},q_{n-1},q_{n-2}$ ne d\'{e}pendent que de $a_0,\dots ,a_{n-1}$
; remplacer $a_n$ par $a_n+\dfrac 1{a_{n+1}}$ conduira donc \`{a} 
\[
\left[ a_0,\dots ,a_{n-1},a_n+\frac 1{a_{n+1}}\right] =\frac{\left(
a_n+\frac 1{a_{n+1}}\right) p_{n-1}+p_{n-2}}{\left( a_n+\frac
1{a_{n+1}}\right) q_{n-1}+q_{n-2}}=\frac{a_{n+1}\left(
a_np_{n-1}+p_{n-2}\right) +p_{n-1}}{a_{n+1}\left( a_nq_{n-1}+q_{n-2}\right)
+q_{n-1}},
\]
soit, par d\'{e}finition des suites $\left( p_n\right) $ et $\left(
q_n\right) $ : 
\[
\begin{tabular}{|c|}
\hline
Si $\left[ a_0,\dots ,a_n\right] =\dfrac{p_n}{q_n}$, alors $\left[ a_0,\dots
,a_{n-1},a_n+\dfrac 1{a_{n+1}}\right] =\dfrac{p_{n+1}}{q_{n+1}}$. \\ \hline
\end{tabular}
\]

\item[\textbf{III.1.3.}]  Les deux questions pr\'{e}c\'{e}dentes constituent la
preuve --- par r\'{e}currence sur $n$ --- que 
\[
\begin{tabular}{|c|}
\hline
$\forall n\in \mathbf{N}\quad \left[ a_0,\dots ,a_n\right] =\dfrac{p_n}{q_n}%
=x_n$. \\ \hline
\end{tabular}
\]

\item[\textbf{III.1.4.}]  Je montre l\`{a} encore le r\'{e}sultat par r\'{e}currence : 
soit $T$ l'ensemble des suites $b=\left( b_n\right) $ de r\'{e}els telles que, pour
tout $n\ge 1$, $b_n>0$ ; je d\'{e}finis, pour tout $n$ de $\mathbf{N}^{*}$,
le pr\'{e}dicat :
\[
\mathcal{P}_n \  : \ `` \ \forall b \in T \quad \left[ b_0,\dots ,b_n\right] =b_0+\dfrac 1{\left[
b_1,\dots ,b_n\right]} \text{ ''.}
\]
$\mathcal{P}_1$ est vrai, puisque j'ai bien par d\'{e}finition, pour tout $b$ de $T$ : 
\[
\left[ b_0,b_1\right] =b_0+\frac 1{b_1} =b_0+\frac 1{\left[ b_1\right] }.
\]
Je suppose alors $n\ge 1$ tel que $\mathcal{P}_n$ soit vrai et je considère $b \in T$ ; 
j'ai, gr\^{a}ce \`{a} $\mathcal{P}_n$ appliqué à la suite de $T$ obtenue à partir de $b$ 
en remplaçant $b_n$ par $b_n+\dfrac 1{b_{n+1}}$
\[
\left[ b_0,\dots ,b_n,b_{n+1}\right] =\left[ b_0,\dots ,b_{n-1},b_n+\frac
1{b_{n+1}}\right] =b_0+\dfrac 1{\left[ b_1,\dots ,b_n+\dfrac
1{b_{n+1}}\right] }=b_0+\dfrac 1{\left[ b_1,\dots ,b_{n+1}\right] }\;;
\]
ainsi $\mathcal{P}_{n+1}$ est vrai, ce qui ach\`{e}ve la preuve. Donc, en
particulier pour une suite $a$ de $S$ : 
\[
\begin{tabular}{|c|}
\hline
$\forall n\in \mathbf{N}^{*}\quad \left[ a_0,\dots ,a_n\right] =a_0+\dfrac
1{\left[ a_1,\dots ,a_n\right] }$. \\ \hline
\end{tabular}
\]

\bigskip

\item[\textbf{III.2.1.}]  D'apr\`{e}s \textbf{II.}, $x_0=a_0<\alpha <x_1=a_0+\dfrac
1{a_1}$, or $a_1\ge 1$, donc $a_0\in \mathbf{Z}$ et $a_0\le \alpha <a_0+1$~:
\[
\begin{tabular}{|c|}
\hline
$x_0<\alpha <x_1\quad \text{et}\quad a_0=E(\alpha )$. \\ \hline
\end{tabular}
\]

\item[\textbf{III.2.2.}]  D'apr\`{e}s les r\'{e}sultats du \textbf{III.1.},
\[
\forall n\in \mathbf{N}^{*}\quad x_n=\left[ a_0,\dots ,a_n\right] =a_0+\frac
1{\left[ a_1,\dots ,a_n\right] },
\]
d'o\`{u}, par unicit\'{e} de la limite, pour $n$ tendant vers l'infini : $%
\alpha =a_0+\dfrac 1{\alpha_1}$. En appliquant, pour $k$ fix\'{e} dans 
\textbf{N}, ce m\^{e}me r\'{e}sultat \`{a} la suite $\left( a_{k+n}\right)_{n\in \mathbf{N}}$%
, qui est aussi dans $S$, j'obtiens :
\[
\begin{tabular}{|c|}
\hline
$\forall k\in \mathbf{N}\quad \alpha_k=a_k+\dfrac 1{\alpha_{k+1}}$. \\ 
\hline
\end{tabular}
\]

\item[\textbf{III.2.3.}]  J'en d\'{e}duis comme au \textbf{III.2.1.} que $%
a_k=E(\alpha_k)$ pour tout $k$. Ainsi, \`{a} partir de la valeur de $\alpha 
$, la suite $\left( a_n\right) $ se construit par r\'{e}currence,
parall\`{e}lement \`{a} la suite $\left( \alpha_n\right) $, gr\^{a}ce aux
relations suivantes :
\[
\begin{tabular}{|c|}
\hline
$\alpha_0=\alpha \;,\;a_0=E(\alpha )\quad \text{et}\quad \forall k\in 
\mathbf{N}\quad \alpha_{k+1}=\dfrac 1{\alpha_k-a_k}\;,\;a_{k+1}=E(\alpha
_{k+1})$. \\ \hline
\end{tabular}
\]
Cela montre, pour $\alpha $ donn\'{e}, l'unicit\'{e} de la suite $a$ telle $%
\alpha =F(a)$ (dont on a admis l'existence). Par cons\'{e}quent~:
\[
\begin{tabular}{|c|}
\hline
$F$ est bijective. \\ \hline
\end{tabular}
\]

\bigskip

\item[\textbf{III.3.1.}]  Reprenant les notations du \textbf{I.5.}, avec $x=\dfrac
1\mu $, je pose :
\[
\forall k\in \mathbf{N}\quad \alpha_k=\gamma_k\left( \frac 1\mu \right) 
\]
et, d'apr\`{e}s les r\'{e}sultats du \textbf{I.3.} et du \textbf{I.5.}, j'ai
:
\[
\alpha_0=\frac 1{\limfunc{th}(1/\mu )}\quad ;\quad \forall n\in \mathbf{N}\quad
\alpha_n>1\quad \text{et}\quad \alpha_n=(2n+1)\mu +\frac 1{\alpha_{n+1}}.
\]
Soit alors la suite $a=\left( (2n+1)\mu \strut\right)_{n\in \mathbf{N}}$. D'après 
\textbf{II.3.} et \textbf{III.1.}, la suite de terme général $x_n=\left[ a_0,\dots ,a_n\right]$ 
converge vers le nombre irrationnel $\alpha=F(a)$.

Pour montrer que $\alpha $ n'est autre que $\alpha _0$, j'\'{e}tablis d'abord par r\'{e}currence sur $n$ que
\[
\forall n\in \mathbf{N}^{*}\quad \alpha _0=\left[ a_0,a_1,\dots ,a_{n-1},\alpha _n\right] .
\]
Ayant : $\forall n\in \textbf{N}\quad \alpha_n=a_n+\dfrac 1{\alpha _{n+1}}$, j'ai bien, pour $n=1$, 
$\alpha _0=a_0+\dfrac 1{\alpha _1}=\left[ a_0,\alpha _1\right] $ ; de plus, si je suppose $n\ge 1$ tel que
 $\alpha _0=\left[ a_0,a_1,\dots ,a_{n-1},\alpha _n\right] $, j'en d\'{e}duis, d'apr\`{e}s les d\'{e}finitions du 
d\'{e}but du \textbf{III.} :
\[
\alpha _0=\left[ a_0,a_1,\dots ,a_{n-1},a_n+\frac 1{\alpha _{n+1}}\right] =\left[ a_0,a_1,\dots ,a_n,\alpha _{n+1}\right],
\]
ce qui ach\`{e}ve la preuve. J'en d\'{e}duis,
 en notant $\left( p_n\right) $ et $\left( q_n\right) $ les suites associ\'{e}es \`{a} $a$ comme au \textbf{II.}, 
et par le m\^{e}me raisonnement qu'au \textbf{III.1.2.}, que
\[
\forall n\ge 2\quad \alpha _0=\left[ a_0,a_1,\dots ,a_{n-1},\alpha _n\right] 
=\frac{\alpha _np_{n-1}+p_{n-2}}{\alpha _nq_{n-1}+q_{n-2}}.
\]
Il vient alors, tous calculs faits :
\[
\forall n\ge 2\quad \alpha _0-x_n=\frac{\alpha _np_{n-1}+p_{n-2}}
{\alpha _nq_{n-1}+q_{n-2}}-\frac{a_np_{n-1}+p_{n-2}}{a_nq_{n-1}+q_{n-2}}=
\frac{\left( \alpha _n-a_n\right) \left( p_{n-1}q_{n-2}-p_{n-2}q_{n-1}\right) }
{\left( \alpha _nq_{n-1}+q_{n-2}\right) \left( a_nq_{n-1}+q_{n-2}\right) }.
\]
Or les $q_k$ sont dans $\textbf{N}^{*}$, $a_n$ et $\alpha _n$ sont au moins \'{e}gaux \`{a} 1, 
$\alpha _n-a_n=\dfrac 1{\alpha _{n+1}}\in \left] 0,1\right[ $ et, d'apr\`{e}s les r\'{e}sultats du \textbf{II.},  
$\left| p_{n-1}q_{n-2}-p_{n-2}q_{n-1}\right| =1$ et $q_{n-1}+q_{n-2}\stackunder{n\rightarrow \infty }
{\longrightarrow }+\infty $, d'o\`{u}
\[
\forall n\ge 2\quad \left| \alpha _0-x_n\right| \le \frac 1{\left( q_{n-1}+q_{n-2}\right) ^2}
\stackunder{n\rightarrow \infty }{\longrightarrow }0.
\]
Il en r\'{e}sulte, par unicit\'{e} de la limite de la suite $\left( x_n\right) $,
 que $\alpha _0=\alpha=F(a) $ d'o\`{u} finalement
\[
\begin{tabular}{|c|}
\hline
$a=\left( (2n+1)\mu \strut\right)_{n\in \mathbf{N}}$ est la suite de $S$
telle que $F(a)=\dfrac 1{\limfunc{th}(1/\mu )}$. \\ \hline
\end{tabular}
\]

\item[\textbf{III.3.2.}]  J'applique les d\'{e}finitions :
\[
\begin{tabular}{|c||c|c|c|c|c|}
\hline
$n$ & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\ \hline
$a_n$ & 1 & 3 & 5 & 7 & 9 \\ \hline
$p_n$ & 1 & 4 & 21 & 151 & 1\thinspace 380 \\ \hline
$q_n$ & 1 & 3 & 16 & 115 & 1\thinspace 051 \\ \hline
\end{tabular}
\]
De m\^{e}me qu'au \textbf{II.5.6.}, comme $\dfrac 1{q_3q_4}<10^{-4}$,
l'encadrement $x_4<\alpha <x_3$ convient : 
\[
\begin{tabular}{|c|}
\hline
$\dfrac{1\,380}{1\,051}<\dfrac 1{th(1)}<\dfrac{151}{115}$. \\ \hline
\end{tabular}
\]
\textbf{N.B.} Ces trois nombres admettent pour valeur approch\'{e}e arrondie
\`{a} $10^{-5}$ pr\`{e}s $1,31304$.
\end{enumerate}

\end{document}

