\documentclass[11pt]{article}
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\begin{document}

\noindent

\begin{center}
{\Large{CCP PSI 2002 - Maths 2}}

Dur\'{e}e : 4 heures

\hrulefill

\bigskip

\emph{Les calculatrices sont autoris\'{e}es}

\medskip

***

{\footnotesize{
\emph{N.B. : Le candidat attachera la plus grande importance \`{a} la
clart\'{e}, \`{a} la pr\'{e}cision et \`{a} la concision de la
r\'{e}daction. }

\emph{Si un candidat est amen\'{e} \`{a} rep\'{e}rer ce qui peut lui sembler
\^{e}tre une erreur d'\'{e}nonc\'{e}, il le signalera sur sa copie et devra
poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a
\'{e}t\'{e} amen\'{e} \`{a} prendre.}
}}
\medskip

***
\end{center}

\bigskip

On d\'{e}signe par \textbf{N} l'ensemble des entiers naturels, par \textbf{N}%
$^{*}$ l'ensemble \textbf{N} priv\'{e} de 0, par \textbf{Z} l'ensemble des
entiers relatifs, par \textbf{Q} l'ensemble des nombres rationnels et par 
\textbf{R} l'ensemble des nombres r\'{e}els.

\medskip

Etant donn\'{e} un entier naturel $n$, on note $[\![0,n]\!]$ l'ensemble des
entiers naturels $k$ tels que $0\le k\le n$.

\bigskip

Cette \'{e}preuve comporte trois parties.

\medskip

Dans la premi\`{e}re partie, on \'{e}tudie les solutions d\'{e}veloppables
en s\'{e}rie enti\`{e}re d'une \'{e}quation diff\'{e}rentielle.

\medskip

Dans la deuxi\`{e}me partie, qui est ind\'{e}pendante de la premi\`{e}re
partie, on \'{e}tudie des suites num\'{e}riques d\'{e}finies par des
relations de r\'{e}currence.

\medskip

La troisi\`{e}me partie utilise les r\'{e}sultats des parties
pr\'{e}c\'{e}dentes pour obtenir un encadrement de $\dfrac 1{th(1)}$ par des
nombres rationnels ($th$ d\'{e}signant la fonction tangente hyperbolique).

\bigskip

\begin{center}
\textbf{PARTIE I}
\end{center}

\bigskip

Pour $n\in \mathbf{N}$, on consid\`{e}re les \'{e}quations
diff\'{e}rentielles $\left( E_n\right) \;x^2y^{\prime \prime }+\left(
n-n^2-x^2\right) y=0$, o\`{u} $x$ d\'{e}signe une variable r\'{e}elle et $%
y=y(x)$ une fonction deux fois d\'{e}rivable.

On remarque que $\left( E_0\right) $ et $\left( E_1\right) $ sont les
m\^{e}mes \'{e}quations.

\bigskip

\textbf{I.1. }On prend $n=0$ et on \'{e}tudie l'\'{e}quation
diff\'{e}rentielle $\left( E_0\right) $.

\medskip

\hspace{10mm}\textbf{I.1.1. }D\'{e}terminer les solutions de $\left(
E_0\right) $ sur chacun des intervalles $\left] -\infty ,0\right[ $, $\left]
0,+\infty \right[ $.

\medskip

\hspace{10mm}\textbf{I.1.2. }L'\'{e}quation $\left( E_0\right) $ a-t-elle
des solutions sur \textbf{R} ?

\bigskip 

\textbf{I.2. }On prend $n\ge 2$ et on suppose que l'\'{e}quation
diff\'{e}rentielle $\left( E_n\right) $ a une solution d\'{e}veloppable en
s\'{e}rie enti\`{e}re $y(x)=\dsum\limits_{k=0}^{+\infty }u_kx^k$, de rayon
de convergence $R>0$.

\medskip

\hspace{10mm}\textbf{I.2.1. }Calculer $u_0$ et $u_1$.

\medskip

\hspace{10mm}\textbf{I.2.2. }Pour $k\ge 2$, donner une relation entre $u_k$
et $u_{k-2}$.

\medskip

\hspace{10mm}\textbf{I.2.3. }Calculer les coefficients $u_k$ pour $k\in
[\![0,n-1]\!]$.

\medskip

\hspace{10mm}\textbf{I.2.4. }Pour $p\in \mathbf{N}$, calculer les
coefficients $u_{n+2p+1}$.

\medskip

\hspace{10mm}\textbf{I.2.5. }Peut-on calculer $u_n$ ? On justifiera la
r\'{e}ponse.

\medskip

\hspace{10mm}\textbf{I.2.6. }D\'{e}terminer le rayon de convergence $R$ de
la s\'{e}rie enti\`{e}re.

\bigskip

Pour $k$ et $n$ dans \textbf{N}, on note $C_{k,n}=\dfrac{%
2^n(k+n)!}{k!(2k+2n)!}$ et on consid\`{e}re les fonctions $\varphi _n$
d\'{e}finies pour $x$ r\'{e}el par $\varphi
_n(x)=\dsum\limits_{k=0}^{+\infty }C_{k,n}x^{2k+n}$ lorsque la s\'{e}rie
converge.

\bigskip

\textbf{I.3.}

\hspace{10mm}\textbf{I.3.1.} Exprimer $\varphi _0(x)$ et $\varphi _1(x)$
\`{a} l'aide des fonctions usuelles.

\medskip

\hspace{10mm}\textbf{I.3.2.} Montrer que les fonctions $\varphi _n$ sont
ind\'{e}finiment d\'{e}rivables sur \textbf{R}.

\bigskip

\textbf{I.4.}

\hspace{10mm}\textbf{I.4.1.} Calculer le quotient $\dfrac{C_{k,n+1}}{C_{k,n}}
$.

\medskip

\hspace{10mm}\textbf{I.4.2.} En d\'{e}duire l'expression de $%
C_{k,n}-(2n+1)C_{k,n+1}$ en fonction de $k$ et de $C_{k,n+1}$.

\medskip

\hspace{10mm}\textbf{I.4.3.} Pour $x\neq 0$, exprimer $\varphi _n(x)-\dfrac{%
2n+1}x\varphi _{n+1}(x)$ en fonction de $\varphi _{n+2}(x)$.

\medskip

\hspace{10mm}\textbf{I.4.4.} On admet que pour tout $n\in \mathbf{N}$, la
fonction $\varphi _n$ est solution sur \textbf{R} de l'\'{e}quation $\left(
E_n\right) $. En reprenant la notation de \textbf{I.2.}, on \'{e}crit $%
\varphi _n(x)=y(x)=\dsum\limits_{k=0}^{+\infty }u_kx^k$. Quelle est la
valeur de $u_n$ ?

\bigskip

\textbf{I.5.} Dans cette question on suppose $x\neq 0$.

\medskip

\hspace{10mm}\textbf{I.5.1.} Montrer que pour tout $n\in \mathbf{N}$, on a $%
\varphi _n(x)\neq 0$.

\medskip

\hspace{10mm}Pour $n\in \mathbf{N}$ et $x\neq 0$, on d\'{e}finit $\gamma
_n(x)=\dfrac{\varphi _n(x)}{\varphi _{n+1}(x)}$. Dans la suite de la
question, on pourra utiliser \textbf{I.4.3.}

\medskip

\hspace{10mm}\textbf{I.5.2.} On suppose $0<x\le 1$, montrer
l'in\'{e}galit\'{e} $\gamma _n(x)>1$.

\medskip

\hspace{10mm}\textbf{I.5.3.} Montrer la relation $\gamma _n(x)=\dfrac{2n+1}%
x+\dfrac 1{\gamma _{n+1}(x)}$.

\bigskip

\begin{center}
\textbf{PARTIE II}
\end{center}

\bigskip

On note $S$ l'ensemble des suites $a=\left( a_n\right) _{n\in \mathbf{N}}$
v\'{e}rifiant : $a_0\in \mathbf{Z}$ et pour tout $n\ge 1$, $a_n\in \mathbf{N}%
^{*}$.

Etant donn\'{e} une suite $a=\left( a_n\right) _{n\in \mathbf{N}}$ de $S$,
on d\'{e}finit les suites $\left( p_n\right) _{n\in \mathbf{N}}$ et $\left(
q_n\right) _{n\in \mathbf{N}}$ par :
\[
p_0=a_0\;,\;p_1=a_0a_1+1\;,\;q_0=1\;,\;q_1=a_1
\]
puis, pour $n\ge 2$, par :
\[
p_n=a_np_{n-1}+p_{n-2}\quad \text{et}\quad q_n=a_nq_{n-1}+q_{n-2}.
\]

\bigskip

\textbf{II.1.} Montrer que pour tout $n\in \mathbf{N}$ on a $q_n\ge n$.

\bigskip

\textbf{II.2.} Relations entre les $p_n$ et les $q_n$.

\medskip

\hspace{10mm}\textbf{II.2.1.} Pour $n\ge 1$, calculer $p_nq_{n-1}-q_np_{n-1}$%
.

\medskip

\hspace{10mm}\textbf{II.2.2.} Pour $n\ge 2$, calculer $p_nq_{n-2}-q_np_{n-2}$%
.

\medskip

\hspace{10mm}Pour $n\in \mathbf{N}$, on d\'{e}finit $x_n=\dfrac{p_n}{q_n}$.

\bigskip

\textbf{II.3.} Etude de la suite $\left( x_n\right) _{n\in \mathbf{N}}$.

\medskip

\hspace{10mm}\textbf{II.3.1.} Pour $n\ge 1$, calculer $x_n-x_{n-1}$ et pour $%
n\ge 2$, calculer $x_n-x_{n-2}$ en fonction des $a_k$ et des $q_k$.

\medskip

\hspace{10mm}\textbf{II.3.2.} En d\'{e}duire que les suites $\left(
x_{2n}\right) _{n\in \mathbf{N}}$ et $\left( x_{2n+1}\right) _{n\in \mathbf{N%
}}$ sont adjacentes.

\medskip

\hspace{10mm}\textbf{II.3.3.} On note $\alpha $ la limite de la suite $%
\left( x_n\right) _{n\in \mathbf{N}}$. On se propose de d\'{e}montrer par
l'absurde que $\alpha $ est un nombre irrationnel.

En supposant que $\alpha =\dfrac cd\in \mathbf{Q}$, avec $d\in \mathbf{N}^{*}
$, et en utilisant l'encadrement $0<\alpha -x_{2n}<x_{2n+1}-x_{2n}$,
d\'{e}terminer un entier $k_n$ v\'{e}rifiant $0<k_n<\dfrac d{q_{2n+1}}$. En
d\'{e}duire que $\alpha $ n'est pas rationnel.

\bigskip

Soit $\lambda \in \mathbf{N}^{*}$ un entier naturel non nul fix\'{e} ; on
consid\`{e}re la fonction $f$ d\'{e}finie pour tout $t$ r\'{e}el par $%
f(t)=t^2-\lambda t-1$.

\bigskip

\textbf{II.4.} Etude de la fonction $f$.

\medskip

\hspace{10mm}\textbf{II.4.1.} Tracer le graphe de la fonction $f$ sur
l'intervalle $\left[ -1,\lambda +1\right] $.

\medskip

\hspace{10mm}\textbf{II.4.2.} On note $r_1$ et $r_2$, avec $r_1<r_2$, les
deux racines de $f$. D\'{e}terminer le signe et la partie enti\`{e}re de
chacune des racines.

\bigskip

\textbf{II.5.} Pour tout $n\in \mathbf{N}$, on prend $a_n=\lambda $ et on
consid\`{e}re la suite $a=\left( a_n\right) _{n\in \mathbf{N}}$.

\medskip

\hspace{10mm}\textbf{II.5.1.} Pour $i\in [\![0,3]\!]$, calculer $p_i$ et $q_i
$.

\medskip

\hspace{10mm}\textbf{II.5.2.} Pour $n\ge 1$, exprimer $q_n$ en fonction des $%
p_k$ pour $k\in \mathbf{N}$. En d\'{e}duire une expression de $x_n$ en
fonction des $q_k$ pour $k\in \mathbf{N}$.

\medskip

\hspace{10mm}\textbf{II.5.3.} Exprimer $q_n$ en fonction de $r_1$, $r_2$ et $%
n$.

\medskip

\hspace{10mm}\textbf{II.5.4.} D\'{e}duire des questions pr\'{e}c\'{e}dentes
une expression de $x_n$ en fonction de $r_1$, $r_2$ et $n$.

\medskip

\hspace{10mm}\textbf{II.5.5.} En d\'{e}duire la valeur de la limite $\alpha $
de la suite $\left( x_n\right) _{n\in \mathbf{N}}$ en fonction de $r_1$ et $%
r_2$.

\medskip

\hspace{10mm}\textbf{II.5.6.} On prend $\lambda =3$. Calculer $q_n$ pour $%
n\in [\![0,6]\!]$. En d\'{e}duire deux nombres rationnels qui encadrent $%
\alpha $ \`{a} $10^{-4}$ pr\`{e}s.

\bigskip

\begin{center}
\textbf{PARTIE III}
\end{center}

\bigskip

Etant donn\'{e} une suite de nombres r\'{e}els $\left( b_n\right) _{n\in 
\mathbf{N}}$, telle que pour tout $n\ge 1$ on ait $b_n>0$, on d\'{e}finit la
suite dont le terme g\'{e}n\'{e}ral d'indice $n$ est not\'{e} $\left[
b_0,b_1,\dots ,b_n\right] $ par :
\[
\left[ b_0\right] =b_0\;,\;\left[ b_0,b_1\right] =b_0+\frac 1{b_1}\;,\;\text{%
puis pour }n\ge 1,\;\left[ b_0,\dots ,b_n,b_{n+1}\right] =\left[ b_0,\dots
,b_{n-1},b_n+\frac 1{b_{n+1}}\right] .
\]
En particulier $\left[ b_0,b_1,b_2\right] =\left[ b_0,b_1+\dfrac
1{b_2}\right] $.

\bigskip

\textbf{III.1.} Soit $a=\left( a_n\right) _{n\in \mathbf{N}}$ un
\'{e}l\'{e}ment de $S$. On lui associe les suites $\left( p_n\right) _{n\in 
\mathbf{N}}$, $\left( q_n\right) _{n\in \mathbf{N}}$ et $\left( x_n\right)
_{n\in \mathbf{N}}$ d\'{e}finies dans \textbf{II}.

\medskip

\hspace{10mm}\textbf{III.1.1.} Ecrire $\left[ a_0,a_1\right] $ et $\left[
a_0,a_1,a_2\right] $ sous forme de fractions en fonction des $a_i$.

\medskip

\hspace{10mm}\textbf{III.1.2.} On suppose que, pour un entier $n\ge 2$
fix\'{e}, on a $\left[ a_0,\dots ,a_n\right] =\dfrac{p_n}{q_n}$.

Quel nombre rationnel obtient-on en rempla\c {c}ant dans $\left[ a_0,\dots
,a_{n-1},a_n\right] $, le terme $a_n$ par $a_n+\dfrac 1{a_{n+1}}$ ?

\medskip

\hspace{10mm}\textbf{III.1.3.} Montrer que pour tout $n\in \mathbf{N}$ on a $%
\left[ a_0,\dots ,a_n\right] =x_n$.

\medskip

\hspace{10mm}\textbf{III.1.4.} Pour $n\in \mathbf{N}^{*}$, montrer $\left[
a_0,\dots ,a_n\right] =a_0+\dfrac 1{\left[ a_1,\dots ,a_n\right] }$.

\bigskip

Dans \textbf{II.3.}, on a montr\'{e} que la suite $\left( x_n\right) _{n\in 
\mathbf{N}}$ converge vers un nombre irrationnel $\alpha $. On note $\alpha
=\left[ a_0,a_1,\dots \right] $ et on note $F$ l'application de $S$ dans
l'ensemble des nombres irrationnels d\'{e}finie par $F\left( a\right)
=\alpha =\left[ a_0,a_1,\dots \right] $. On admet que $F$ est surjective.

\bigskip

\textbf{III.2.} Soit $\alpha $ un nombre irrationnel et soit $a\in S$ une
suite telle que $\alpha =F\left( a\right) =\left[ a_0,a_1,\dots \right] $.

\medskip

\hspace{10mm}\textbf{III.2.1.} Comparer $x_0$, $x_1$ et $\alpha $. En
d\'{e}duire que $a_0$ est la partie enti\`{e}re de $\alpha $.

\medskip

\hspace{10mm}\textbf{III.2.2.} Pour $k\in \mathbf{N}$, on note $\alpha
_k=\left[ a_k,a_{k+1},\dots \right] $. Montrer l'\'{e}galit\'{e} $\alpha
=\alpha _0=a_0+\dfrac 1{\alpha _1}$. Donner une relation entre $\alpha _k$, $%
\alpha _{k+1}$ et $a_k$.

\medskip

\hspace{10mm}\textbf{III.2.3.} D\'{e}crire un algorithme qui donne la suite $%
\left( a_n\right) _{n\in \mathbf{N}}$. En d\'{e}duire que $F$ est bijective.

\medskip

\hspace{10mm}\textbf{III.2.4.} On prend $\alpha =\sqrt{3}$ et on note $%
a=\left( a_n\right) _{n\in \mathbf{N}}\in S$ la suite v\'{e}rifiant $F\left(
a\right) =\sqrt{3}$. Calculer $a_0,a_1,a_2,a_3$ et exprimer $\alpha
_1,\alpha _2$ et $\alpha _3$ en fonction de $\sqrt{3}$. D\'{e}terminer la
suite $a=\left( a_n\right) _{n\in \mathbf{N}}$.

\bigskip

\textbf{III.3.} Soit $\mu \in \mathbf{N}^{*}$. On note $th$ la fonction
tangente hyperbolique.

\medskip

\hspace{10mm}\textbf{III.3.1.} D\'{e}duire des parties pr\'{e}c\'{e}dentes
qu'il existe une suite $a\in S$ telle que $F\left( a\right) =\dfrac
1{th\left( \dfrac 1\mu \right) }$ et expliciter les termes de cette suite
(on pourra utiliser les r\'{e}sultats du \textbf{I}).

\medskip

\hspace{10mm}\textbf{III.3.2.} On choisit $\mu =1$. Pour $n\in [\![0,4]\!]$
donner le tableau des entiers $a_n,p_n,q_n$. En d\'{e}duire deux nombres
rationnels qui donnent un encadrement de $\dfrac 1{th(1)}$ \`{a} $10^{-4}$
pr\`{e}s.

\end{document}

