\font\titre=cmr12	\let\scr=\scriptstyle

\gdef\dis{\displaystyle}
\gdef\dism#1{\dis\mathop{#1}}
\gdef\un{\underline}
\gdef\z{\infty}
\gdef\donc{\Longrightarrow}
\gdef\fois{\hbox{$\scriptstyle\times$}}
\gdef\priv\'ede#1|{\setminus\left\{#1\right\}}

\gdef\souligne#1|{\setbox10=\vtop{#1}\dimen10=\wd10\vtop{
    \hbox{\enoncefaible\box10\vskip1mm|}
    \nointerlineskip
    \hbox to \dimen10{\hrulefill}}}

\gdef\={\,=\,} \gdef\<{\,<\,} \gdef\>{\,>\,} \gdef\-{\,-\,} \gdef\+{\,+\,} 

\gdef\frac#1 #2|{\dis{#1\over#2}}
\gdef\som#1 #2|{\dis\mathop{\Sigma}_{#1}^{#2}}	    \gdef\ser{\dism\Sigma}
\gdef\Som#1 #2|{\dis\mathop{\sum}_{#1}^{#2}}
\gdef\Int{\dis\int}

\gdef\qqs#1#2{\forall \hskip .7mm #1\!\in\! #2}
\gdef\exist#1#2{\exists\,#1\!\in{\!#2}}

\gdef\equ#1#2{\hbox{$\dis\mathop{\sim}_{#1\to #2}$}}
\gdef\neglig#1 #2|{\dis\mathop{\ll}_{#1\to#2}}

\gdef\fct#1#2#3#4{\vtop{\halign{##&##&##\cr
	\hfill$#1$\hfill&$\longrightarrow$&\hfill$#2$\hfill\cr
	\hfill$#3$\hfill&$\donne$&\hfill$#4$\hfill\cr}}}
\gdef\lim#1 #2|{\hbox{$\dis\mathop{lim}_{#1\to #2}\,$}}
\gdef\scal#1#2{<\!#1|#2\hskip-.8mm>\hskip.2mm}
\gdef\transp#1{\hskip .4mm ^t\hskip -.4mm #1}

\gdef\interventier#1#2{\hskip .2mm [\hskip -.3mm [ \hskip.3mm #1,#2
	\hskip .3mm ] \hskip -.3mm ] \hskip .2mm}
\gdef\r#1{\hbox{$\cal#1$}}

\gdef\tvi#1#2{\vrule height#1ptdepth#2ptwidth0pt}

\gdef\tend#1#2{\setbox10=\hbox{$\ \scriptstyle#1\to#2\,$}
   \setbox11=\hbox{\rightarrowfill}
   \,\dism{\box11}_{\box10}\,}

\gdef\enoncefaible#1|{\setbox20=\vtop{#1}\dimen20=\ht20\advance\dimen20by.4mm
   \tvi00\hbox{\vrule height\dimen20 depth\dp20 width.4pt\ \box20}}

\gdef\N{\hbox{\hsize=19.4pt\vrule height6.6ptdepth0pt
	width.6pt\hskip-.625pt{\bf N}}}
\gdef\K{\hbox{\hsize=19.4pt\vrule height6.6ptdepth0pt
	width.6pt\hskip-.625pt{\bf K}}}
\gdef\R{\hbox{\hsize=19.4pt\vrule height6.6ptdepth0pt
	width.6pt\hskip-.625pt{\bf R}}}
\gdef\C{\hbox{\hsize=18.4pt\hskip2pt\vrule height6.4ptdepth-.2pt
	width.6pt\hskip-3.4pt{\bf C}}}
\gdef\Q{\hbox{\hsize=18.4pt\hskip1.5pt\vrule height6.5ptdepth0pt
	width.6pt\hskip-3.35pt{\bf Q}\hskip.1pt}}
\gdef\Z{\hbox{\hskip-1.2mm\vtop{\vskip-6.5pt\hbox{\hskip6pt{\petitcar /}}
		\vskip-10pt\hbox{\bf \hskip2.9ptZ}}}}

%\documentstyle[fr]{article}
\documentstyle[francais]{article}
\begin{document}
\input upsnum.sty

\parindent=0pt%\hsize=15cm\vsize=26cm\parskip3mm

%\hoffset-2mm\voffset=-43mm     

{\titre\centerline{\hskip-6cmSP\'E TSI\qquad Corrig\'e de CCP 2002
  \quad$1^{\hbox{\`ere}}$ \'epreuve}}

\vskip4mm\leftskip-4cm

A\,1) \vtop{
  \hbox{$Tr$ est visiblement une application de $\r M_n\big(\R\big)$ vers
	\R.}
  \vskip.5mm
  \hbox{De plus :\quad$\qqs{(\alpha,\beta,A,B)}\R^2\fois
	\!\left[\r M_n\big(\R\big)\right]^2\quad
	Tr\,(\alpha A+\beta B)\=\som i=1 n|(\alpha a_{ii}+\beta b_{ii})
	\=\alpha\som i=1 n|a_{ii}\+\beta\som i=1 n|b_{ii}
	\=\alpha\,Tr\,A\+\beta\,Tr\,B$}
  \vskip1mm
  \hbox{Donc :\quad\un{$Tr$ est une forme lin\'eaire sur
	$\r M_n\big(\R\big).$}}}

\vskip2mm
A\,2) \vtop{
  \hbox{$\bullet$ \vtop{
    \hbox{On a :\quad$Tr\,\big(I_n\fois I_n\big)\=Tr\,I_n=\,n$\quad et\quad
	  $\big(Tr\,I_n\big)\fois\big(Tr\,I_n\big)\=n^2$}
    \vskip.5mm
    \hbox{Donc :\quad\un{$\qqs n\N^*\priv\'ede 1|\quad\exist{(A,B)}
	  \!\left[\r M_n\big(\R\big)\right]^2\ \big/\ Tr\,\big(AB\big)
	  \ne\big(Tr\,A\big)\fois\big(Tr\,B\big)$}}
    \vskip1mm
    \hbox{Par contre, visiblement :\quad$\qqs{(A,B)}
	  \!\left[\r M_1\big(\R\big)\right]^2\quad Tr\,\big(AB\big)\=AB
	  \=\big(Tr\,A\big)\fois\big(Tr\,B\big)$}}}
  \vskip1mm
  \hbox{$\bullet$ \vtop{
    \hbox{On a :\quad$\qqs{(A,B)}\!\left[\r M_n\big(\R\big)\right]^2\quad
	  Tr\big(AB\big)\=\som i=1 n|\left(\som k=1 n|a_{ik}b_{ki}\right)
	  \,=\som (i,k)\in\interventier1n^2 |\!a_{ik}b_{ki}$}
    \vskip.5mm
    \hbox{Donc $A$ et $B$ jouent le m\^eme r\^ole, donc :\quad\un{$\qqs{(A,B)}\!
	  \left[\r M_n\big(\R\big)\right]^2\quad Tr\big(AB\big)
	  \=Tr\big(BA\big)$}}}}}

\vskip2mm
A\,3) Donc :\quad\un{$\qqs{(A,P)}\r M_n\big(\R\big)\fois GL_n\big(\R\big)
  \quad Tr\,\big(P^{-1}AP\big)\=Tr\,\big[P^{-1}(AP)\big]
  \=Tr\,\big[(AP)P^{-1}\big]\=Tr\,\big[A(PP^{-1})\big]\=Tr\,A$}

\vskip2mm
A\,4) \vtop{
  \hbox{$\bullet$ \vtop{
    \hbox{$A$ et $B$ sont semblables, soit donc $P$, \'el\'ement de
	  $GL_n\big(\R\big)$, tel que :\quad$B\=P^{-1}AP$.}
    \hbox{On a :\quad$\qqs\lambda\R\quad det\,(B-\lambda I_n)\,$\vtop{
      \hbox{$\=det\,\big(P^{-1}AP-\lambda P^{-1}P\big)
	    \=det\left[P^{-1}(A-\lambda I_n)P\right]
	    \=det\,\big(P^{-1}\big)\fois det\,(A-\lambda I_n)\fois det\,P$}
      \hbox{$\=\frac 1 det\,P|\fois det\,(A-\lambda I_n)\fois det\,P
	    \=det\,(A-\lambda I_n)$}}}
    \vskip1mm
    \hbox{Donc \un{deux matrices semblables ont m\^eme polyn\^ome
	  caract\'eristique.}}}}
  \vskip1mm
  \hbox{$\bullet$ \vtop{
    \hbox{En d\'eveloppant par rapport \`a sa premi\`ere colonne le d\'eterminant qui
	  d\'efinit $P_A(X)$, puis en recommen\c{c}ant avec chaque}
    \hbox{d\'eterminant obtenu jusqu'\`a avoir seulement des d\'eterminants d'ordre
	  1, on voit que les termes en $X^{n-1}$ de $P_A(X)$}
    \vskip-.5mm
    \hbox{viennent exclusivement de $\dism{\Pi}_{i=1}^n(a_{ii}-X)$.}
    \vskip1mm
    \hbox{Donc \un{$(-1)^{n-1}Tr\,A$ est le coefficient de $X^{n-1}$ dans
	  $P_A(X)$.}}}}
  \vskip1.5mm
  \hbox{$\bullet$ \vtop{
    \hbox{$A$ et $B$ sont deux matrices semblables, donc elles ont m\^eme
	  polyn\^ome caract\'eristique, donc,}
    \hbox{d'apr\`es l'alin\'ea ci-dessus :\quad
	  $(-1)^{n-1}Tr\,A\=(-1)^{n-1}Tr\,B$\quad donc \ $Tr\,A\=Tr\,B$.}
    \vskip.5mm
    \hbox{On retrouve ainsi que \un{deux matrices semblables ont m\^eme
	  trace.}}}}}

\vskip2mm
A\,5) \vtop{
  \hbox{D'apr\`es 1) et 2), on a :\quad
	$\qqs{(A,B)}\!\left[\r M_n\big(\R\big)\right]^2\quad
	Tr\big(AB-BA\big)\=Tr\,(AB)\-Tr\,(BA)\=Tr\,(AB)\-Tr\,(AB)\=0$}
  \vskip.5mm
  \hbox{Or :\quad$Tr\,(2I_n)\=2\fois Tr\,I_n\=2n$}
  \vskip.5mm
  \hbox{Donc :\quad\un{$\qqs{(A,B)}\!\left[\r M_n\big(\R\big)\right]^2\quad
	AB-BA\ne 2I_n$}}}

\vskip2mm
A\,6) \vtop{
  \hbox{Vu la d\'efinition de $Tr$, il est clair que :\quad
	$\qqs A\r M_n\big(\R\big)\quad Tr\transp A\=Tr\,A$.}
  \vskip.5mm
  \hbox{Donc :\quad\un{$\qqs AA_n\big(\R\big)\quad Tr\,A\=Tr\transp A
	\=Tr\,(-A)\=-Tr\,A$\quad donc\quad$Tr\,A\=0$.}}}

\vskip3mm
B\,1) \vtop{
  \hbox{$\ast$ \vtop{
    \hbox{Visiblement $<\,|\,>$ est une application de
	  $\left[\r M_n\big(\R\big)\right]^2$ vers \R.}
    \hbox{De plus : \ \vtop{
      \hbox{$\bullet\ \qqs{(A,B)}\!\left[\r M_n\big(\R\big)\right]^2\quad
	    \scal A B\=Tr\,(\transp AB)
	    \=Tr\left[{\tvi80}^t\big(\transp AB\big)\right]
	    \=Tr\,\big(\transp BA\big)\=\scal BA$}
      \hbox{$\bullet\ \qqs{(\alpha,\alpha',A,A',B)}\R^2\fois
	    \!\left[\r M_n\big(\R\big)\right]^3\quad
	    \scal {\alpha A+\alpha'A'}B\,$\vtop{
	\hbox{$\=Tr\left[\transp(\alpha A+\alpha'A')B\right]
	    =\,Tr\left[\big(\alpha\transp A+\alpha'\transp A'\big)B\right]$}
	\hbox{$\=Tr\left[\alpha\transp AB+\alpha'\transp A'B\right]
	      =\,\alpha\,Tr\,\big(\transp AB\big)
		+\alpha'Tr\,\big(\transp A'B\big)$}
	\hbox{$\=\alpha\scal AB\+\alpha'\scal {A'}B$}}}
      \hbox{$\bullet\ \qqs A\r M_n\big(\R\big)\quad$\vtop{
	\hbox{$\scal AA\,=\!\som (i,k)\in\interventier1n^2 |\!\!a_{ik}^2$ \
	      (cf. A\,2)\quad donc :\quad$\scal AA\ge0$}
	\hbox{et aussi :\quad$\scal AA=0
	      \iff\left(\qqs{(i,k)}\interventier1n^2\ \ a_{ik}=0\right)
	      \iff A=0_{\r M_n(\R)}$}}}}}
    \hbox{La sym\`etrie dispense de v\'erifier la lin\'earit\'e \`a droite, nous
	  pouvons donc conclure que $<\,|\,>$ est une forme bilin\'eaire}
    \hbox{sym\`etrique d\'efinie positive sur le \R-espace vectoriel
	  $\r M_n\big(\R\big)$.}
    \vskip.5mm
    \hbox{Autrement dit : \ \un{$<\,|\,>$ est un produit scalaire sur
	  l'espace vectoriel $\r M_n\big(\R\big)$.}}}}
  \vskip1.5mm
  \hbox{$\ast$ On a vu au passage :\quad\un{$\qqs A\r M_n\big(\R\big)\quad
	\|A\|^2=\,\scal AA\=\som i=1 n|\som j=1 n|a_{ij}^2.$}}}

%\vfill\eject
%				FIN DE LA PAGE 1
%\parindent=0pt\hsize=15cm\vsize=26cm\parskip3mm

\leftskip-4cm
B\,2) \vtop{
  \hbox{$\bullet$ \vtop{
    \hbox{Posons :\quad$\qqs A\r M_n\big(\R\big)\quad\varphi(A)\=A-\transp A
	  \quad$et\quad$\psi(A)\=A+\transp A$.}
    \hbox{La lin\'earit\'e de la transposition permet de conclure imm\`ediatement \`a
	  la lin\'earit\'e des applications $\varphi$ et $\psi$.}
    \hbox{De plus :\quad$S_n\big(\R\big)
	  \,=\left\{A\in\r M_n\big(\R\big)\,\big/\,A=\transp A\right\}
	  =\,Ker\,\varphi\quad$et$\quad A_n\big(\R\big)
	  \,=\left\{A\in\r M_n\big(\R\big)\,\big/\,A=-\transp A\right\}
	  =\,Ker\,\psi$.}
    \vskip.5mm
    \hbox{Donc \un{$S_n\big(\R\big)$ et $A_n\big(\R\big)$ sont deux
	  sous-espaces vectoriels de $\r M_n\big(\R\big)$.}}}}
  \vskip1mm
  \hbox{$\bullet$ \vtop{
    \hbox{On a :\quad$\qqs A\r M_n\big(\R\big)\quad
	  A\in S_n\big(\R\big)\cap A_n\big(\R\big)
	  \iff\cases{A=\transp A\cr A=-\transp A}\donc A=-A
	  \donc A=0_{\r M_n(\R)}$}
    \vskip.5mm
    \hbox{Donc :\quad\un{$S_n\big(\R\big)\cap A_n\big(\R\big)
	  \=\left\{0_{\r M_n(\R)}\right\}$}\quad
	  \big($0_{\r M_n(\R)}$ appartient \`a tout sous-espace vectoriel de 
	  $\r M_n(\R)$ !\big)}}}
  \vskip1mm
  \hbox{$\bullet$ \vtop{
    \hbox{De plus :\quad$\qqs A\r M_n\big(\R\big)\quad$\vtop{
      \hbox{$A\=\frac A+\transp A 2|\+\frac A-\transp A 2|$}
      \hbox{or :\quad\vtop{
	\hbox{${\tvi{12}0}^t\hskip-1mm\left(\frac A+\transp A 2|\right)
	      =\,\frac \transp A+A 2|\=\frac A+\transp A 2|$\quad donc\quad
	      $\frac A+\transp A 2|\in S_n\big(\R\big)$}
	\hbox{${\tvi{12}0}^t\hskip-1mm\left(\frac A-\transp A 2|\right)
	      =\,\frac \transp A-A 2|\=-\frac A-\transp A 2|$\quad donc\quad
	      $\frac A-\transp A 2|\in A_n\big(\R\big)$}}}}}
    \vskip1mm
    \hbox{Donc, en regroupant :\quad\un{$\qqs n\N^*\quad\r M_n\big(\R\big)
	  \=S_n\big(\R\big)\oplus A_n\big(\R\big)$}}}}}

\vskip2mm
B\,3) \vtop{
  \hbox{On a :\quad$\scal SA\,$\vtop{
    \hbox{$\=Tr\,\big(\transp SA\big)\=Tr\,(SA)\=Tr\,(AS)
	  \=Tr\left[{\tvi70}^t(AS)\right]=\,Tr\,\big(\transp S\transp A\big)
	  \=Tr\,\big[\transp S(-A)\big]
	  \=Tr\left[-\big(\transp SA\big)\right]$}
    \hbox{$\=-Tr\,\big(\transp SA\big)\=-\scal SA$}}}
  \vskip.5mm
  \hbox{Donc :\quad\un{$\qqs{(S,A)}S_n\big(\R\big)\fois A_n\big(\R\big)\quad
	\scal SA\=0$.}}
  \vskip.5mm
  \hbox{Donc :\quad$A_n\big(\R\big)\subset\left[S_n\big(\R\big)\right]^\perp
	$}
  \hbox{Or :\quad$\r M_n\big(\R\big)\=S_n\big(\R\big)\oplus A_n\big(\R\big)
	\quad$donc :\quad$dim\,A_n\big(\R\big)
	\=dim\,\r M_n\big(\R\big)\-dim\,S_n\big(\R\big)
	\=dim\left(\left[S_n\big(\R\big)\right]^\perp\right)$}
  \vskip.5mm
  \hbox{L'inclusion et l'\'egalit\'e des dimensions nous permettent d'affirmer
	:\quad\un{$A_n\big(\R\big)\=\left[S_n\big(\R\big)\right]^\perp$}}}

\vskip2mm
B\,4) \vtop{
  \hbox{$\bullet$ \vtop{
    \hbox{On a :\quad$\qqs M S_n\big(\R\big)\quad$\vtop{
      \hbox{$\|A-M\|^2=\,\|A'+A"-M\|^2=\,\|A"+(A'-M)\|^2$}
      \hbox{or :\quad$A"\in A_n\big(\R\big),\ \ A'-M\in S_n\big(\R\big),\ \
	    A_n\big(\R\big)\,=\left[S_n\big(\R\big)\right]^\perp$}}}
    \vskip.5mm
    \hbox{Donc, d'apr\`es le th\'eor\`eme de Pythagore :\quad
	  \un{$\qqs M S_n\big(\R\big)\quad\|A-M\|^2=\,\|A"\|^2+\,\|A'-M\|^2
	  \ge\|A"\|^2=\,\|A-A'\|^2$}}}}
  \vskip1mm
  \hbox{$\bullet$ \vtop{
    \hbox{D'apr\`es B\,1) :\quad
	  $\dism{Inf}_{M\in S_n(\R)}\som i=1 n|\som j=1 n|(a_{ij}-m_{ij})^2
	  \=\dism{Inf}_{M\in S_n(\R)}\|A-M\|^2$}
    \vskip.5mm
    \hbox{Or \,$A'\in S_n\big(\R\big)$ \,donc \,
	  $\dism{Inf}_{M\in S_n(\R)}\|A-M\|^2\le\,\|A-A'\|^2$\quad et,
	  d'apr\`es le $1^{\hbox{er}}$ alin\'ea \,
	  $\dism{Inf}_{M\in S_n(\R)}\|A-M\|^2\ge\,\|A-A'\|^2$}
    \hbox{Donc :\quad$\dism{Inf}_{M\in S_n(\R)}\|A-M\|^2\=\|A-A'\|^2$}
    \vskip-2mm
    \hbox{Par ailleurs, on a vu en B\,2) :\quad$A'\=\frac A+\transp A 2|\quad
	  $donc\quad$A-A'\=\frac A-\transp A 2|$}
    \vskip.5mm
    \hbox{Donc, en regroupant :\quad\un{$\dism{Inf}_{M\in S_n(\R)}
	  \som i=1 n|\som j=1 n|(a_{ij}-m_{ij})^2
	  =\,\left\|\frac A-\transp A 2|\right\|^2$}}}}}

\vskip2mm
B\,5) \vtop{
  \hbox{On a :\quad$\qqs{(x,y,z)}\R^3\quad f(x,y,z)\,$\vtop{
    \hbox{$\=(1-x)^2+\,(4-z)^2+\,13-10y+2y^2
	  \=(1-x)^2+\,(4-z)^2+\,2\left[y^2-5y+{{13}\over2}\right]$}
    \hbox{$\=(1-x)^2+\,(4-z)^2+\,2\left[\left(y-{5\over2}\right)^2
		\!-{{25}\over4}+{{13}\over2}\right]
	  \=(1-x)^2+\,(4-z)^2+\,2\left(y-{5\over2}\right)^2+\,{1\over2}$}}}
  \hbox{Donc :\quad\un{$\qqs{(x,y,z)}\R^3\priv\'ede\left(1,{5\over2},4\right)|
	\quad f(x,y,z)\,>\,\frac 1 2|\=f$$\left(1,{5\over2},4\right)$}}
  \vskip1mm
  \hbox{\qquad\big(\,on aurait pu traiter cette question comme une
	cons\'equence de B\,4)\,\big)}}

\vskip2mm
B\,6) \vtop{
  \hbox{On a :\quad$\|AC-CB\|^2\,$\vtop{
    \hbox{$\=Tr\left[{\tvi70}^t\big(AC-CB\big)\big(AC-CB\big)\right]
	  =\,Tr\left[\left(\transp C\transp A-\transp B\transp C\right)
		\big(AC-CB\big)\right]$}
    \vskip.5mm
    \hbox{$\=Tr\left[\transp C\transp AAC-\transp C\transp ACB
		-\transp B\transp CAC+\transp B\transp CCB\right]$}
    \vskip.5mm
    \hbox{$\=Tr\left(\transp C\transp AAC\right)
		-\,Tr\left(\transp C\transp ACB\right)
		-\,Tr\left(\transp B\transp CAC\right)
		+\,Tr\left(\transp B\transp CCB\right)$}}}
  \vskip.5mm
  \hbox{De m\^eme :\quad$\|\transp AC-C\transp B\|^2
	\=Tr\left(\transp CA\transp AC\right)
		-\,Tr\left(\transp CAC\transp B\right)
		-\,Tr\left(B\transp C\transp AC\right)
		+\,Tr\left(B\transp CC\transp B\right)$}
  \vskip.5mm
  \hbox{Or : \ \vtop{
    \hbox{$Tr\left(\transp CA\transp AC\right)
	  \!=Tr\left(\transp C\transp AAC\right)$\quad car \ $\transp AA=
	  A\transp A$}
    \vskip.5mm
    \hbox{$Tr\left(\transp CAC\transp B\right)
	  \!=Tr\left[\big(\transp CAC\big)\transp B\right]
	  \!=Tr\left(\transp B\transp CAC\right)$ \ et \
	  $Tr\left(B\transp C\transp AC\right)
	  \!=Tr\left[B\big(\transp C\transp AC\big)\right]
	  \!=Tr\left(\transp C\transp ACB\right)$\quad d'apr\`es A\,2)}
    \vskip.5mm
    \hbox{$Tr\left(B\transp CC\transp B\right)
	  \!=Tr\left[\big(B\transp C\big)\big(C\transp B\big)\right]
	  \!=Tr\left(C\transp BB\transp C\right)
	  \!=Tr\left(CB\transp B\transp C\right)
	  \!=Tr\left[(CB)\big(\transp B\transp C\big)\right]
	  \!=Tr\left(\transp B\transp CCB\right)$}
    \vskip.5mm
    \hbox{\hskip2cm On a utilis\'e A\,2), puis $\transp BB=B\transp B$, puis
	  \`a nouveau A\,2).}}}
  \vskip1.5mm
  \hbox{Donc :\quad\un{$\|AC-CB\|^2-\,\|\transp AC-C\transp B\|^2=\,0$}}}

%\vfill\eject
%				FIN DE LA PAGE 2
%\parindent=0pt\hsize=15cm\vsize=26cm\parskip3mm

\leftskip-4cm
B\,6) \vtop{
  \hbox{Donc :\quad$AC\=CB\,$\vtop{
    \hbox{$\iff AC-CB\=0_{\r M_n(\R)}\iff \|AC-CB\|\=0\iff\|AC-CB\|^2=\,0$}
    \hbox{$\iff\|\transp AC-C\transp B\|^2=\,0
	  \iff\|\transp AC-C\transp B\|\=0
	  \iff \transp AC-C\transp B\=0_{\r M_n(\R)}$}}}
  \vskip1mm
  \hbox{Donc :\quad\un{$AC\=CB\iff\transp AC\=C\transp B$}}}

\vskip3mm
C\,1) \vtop{
  \hbox{Toute matrice de $\r M_1\big(\R\big)$ est diagonale et sym\`etrique, 
	de plus la multiplication est commutative dans $\r M_1\big(\R\big)$.}
  \hbox{Donc :\quad$\qqs{(S,S')}\left[\r M_1\big(\R\big)\right]^2\quad
	SS'=\,S'S$\quad et\quad$I_1^{-1}SI_1$ et $I_1^{-1}S'I_1$ sont
	diagonales, et enfin \ $I_1\in\r O_1\big(\R\big)$.}
  \vskip1mm
  \hbox{En d'autres termes, \un{A(1) est trivialement v\'erifi\'ee.}}}

\vskip2mm
C\,2.1) Si $S_1,\dots,S_p$ sont toutes diagonales alors :\quad
  $\qqs i\interventier1p\quad I_n^{-1}S_iI_n$ est diagonale et \
  $I_n\in\r O_n\big(\R\big)$.

\vskip2mm
C\,2.2) \vtop{
  \hbox{Munissons $\R^n$ de sa structure euclidienne canonique.}
  \vskip1mm
  \hbox{$S_1$ est une matrice sym\`etrique r\'eelle, soit donc $(V_1,\dots,V_n)$
	une base orthonormale de $\R^n$ form\'ee de vecteurs propres}
  \hbox{de $S_1$ et $\lambda_1,\dots,\lambda_n$ les valeurs propres
	correspondantes.}
  \hbox{Nommons $r$ l'ordre de multiplicit\'e de $\lambda_1$, \`a priori on a 
	:\quad$r\in\interventier1n$.}
  \vskip1mm
  \hbox{$S_1$ \'etant diagonalisable $r$ est aussi
	$dim\,Ker\,(S_1-\lambda_1I_n)$.}
  \hbox{$S_1$ n'est pas diagonale donc\quad
	$S_1-\lambda_1I_n\ne0_{\r M_n(\R)}$\quad donc\quad
	$rg\,(S_1-\lambda_1I_n)>0$}
  \hbox{donc\quad$dim\,Ker\,(S_1-\lambda_1I_n)\=n\-rg\,(S_1-\lambda_1I_n)<n
	$\quad donc\quad$r\in\interventier1{n-1}$.}
  \vskip1mm
  \hbox{$S_1$ est diagonalisable, $r$ est l'ordre de multiplicit\'e de la
	valeur propre $\lambda_1$ et $(V_1,\dots,V_n)$ est une base de $\R^n$
	form\'ee de}
  \hbox{vecteurs propres de $S_1$, donc, parmi les $V_i$, il y a exactement
	$r$ vecteurs dont la valeur propre est $\lambda_1$ ;}
  \hbox{quitte \`a permuter les $V_i$ imposons donc:\quad
	$\lambda\=\lambda_1=\cdots=\,\lambda_r$\quad et\quad
	$\qqs i\interventier{r+1}n\ \ \lambda_i\ne\lambda_1=\,\lambda$.}
  \vskip1mm
  \hbox{Soit $\Omega_1$ la matrice de passage de la base canonique de $\R^n$
	\`a $(V_1,\dots,V_n)$.}
  \hbox{Alors :\quad\vtop{
    \hbox{$\Omega_1\in\r O_n\big(\R\big)$ \ car \ les deux bases en question
	  sont orthonormales,}
    \hbox{$\Omega_1^{-1}S_1\Omega_1=\,\pmatrix{
		\hskip-2mm\lambda_1&&\cr\noalign{\vskip-2mm}
		\hskip-2mm\raise-1.5mm\hbox{\hskip2mm$(0)$}&\hskip-6mm\ddots
			&\hskip-3mm\raise2mm\hbox{\hskip-2mm$(0)$}\cr
		\noalign{\vskip-2.5mm}&&\hskip-4mm\lambda_n}
	  =\pmatrix{\hskip-.5mm\lambda I_r&\hskip-2mm(0)\cr
		\hskip-.5mm(0)&\hskip-2mm\Delta}\quad$avec\quad
	  $\Delta\,=\pmatrix{
		\hskip-1mm\lambda_{r+1}&&\cr\noalign{\vskip-2mm}
		\hskip-1mm\raise-1.5mm\hbox{\hskip2mm$(0)$}&\hskip-6mm\ddots
			&\hskip-3mm\raise2mm\hbox{\hskip-2mm$(0)$}\cr
		\noalign{\vskip-2.5mm}&&\hskip-4mm\lambda_n}$}}}
  \vskip1.5mm
  \hbox{Donc : \souligne
    \hbox{si $S_1$ appartient \`a $S_n\big(\R\big)$ et si $S_1$ n'est pas
	  diagonale, alors :}
    \hbox{$\exist{(r,\lambda,\Delta,\Omega_1)}
	  \N\fois\R\fois\r M_n\big(\R\big)\fois\r O_n\big(\R\big)\ \left/
	  \vcenter{
	    \hbox{ $1\le r\le n$\quad et\quad
		  $\Omega_1^{-1}S_1\Omega_1=\,\pmatrix{
			\hskip-.5mm\lambda I_r&\hskip-2mm(0)\cr
			\hskip-.5mm(0)&\hskip-2mm\Delta}$}
	    \hbox{\hskip-1mm$\Delta$ est une matrice diagonale d'ordre
		  $n-r$, }
	    \hbox{\hskip-2mm$\lambda$ ne figure pas sur la diagonale de
		  $\Delta$.}}\right.$}|}}

\vskip2mm
C\,2.3) \vtop{
  \hbox{$\Omega_1$ appartient \`a $\r O_n\big(\R\big)$ donc :\quad
	$\Omega_1^{-1}=\transp\Omega_1$.}
  \hbox{Donc :\quad$\qqs i\interventier 1p\quad
	{\tvi70}^t\big(\Omega_1^{-1}S_i\Omega_1\big)
	\,={\tvi70}^t\big(\transp\Omega_1S_i\Omega_1\big)
	\,=\transp\Omega_1\transp S_i\Omega_1\big)
	\=\Omega_1^{-1}S_i\Omega_1$\quad car $S_i$ est sym\`etrique.}
  \hbox{Donc :\quad$\qqs i\interventier 1p\quad
	\pmatrix{A_i&\hskip-2mmB_i\cr D_i&\hskip-2mmC_i}
	={\tvi{12}0}^t\hskip-1mm\pmatrix{A_i&\hskip-2mmB_i\cr
					 D_i&\hskip-2mmC_i}
	=\pmatrix{\transp A_i&\hskip-2mm\transp D_i\cr
		  \transp B_i&\hskip-2mm\transp C_i}$}
  \vskip1mm
  \hbox{Donc :\quad\un{$\qqs i\interventier 1p\quad A_i=\transp A_i,\ \
	C_i=\transp C_i,\ \ D_i=\transp B_i$.}}}

\vskip2mm
C\,2.4) \vtop{
  \hbox{$\bullet$ \vtop{
    \hbox{On a :\quad$\qqs i\interventier 1p\quad S_1S_i=\,S_iS_1$\vtop{
      \hbox{$\iff\!\Omega_1^{-1}S_1S_i\Omega_1=\,\Omega_1^{-1}S_iS_1\Omega_1
	    \!\iff\!\big(\Omega_1^{-1}S_1\Omega_1\big)
		\big(\Omega_1^{-1}S_i\Omega_1\big)
		=\big(\Omega_1^{-1}S_i\Omega_1\big)
		\big(\Omega_1^{-1}S_1\Omega_1\big)$}
      \hbox{$\iff\pmatrix{\hskip-.5mm\lambda I_r&\hskip-2mm(0)\cr
			  \hskip-.5mm(0)&\hskip-2mm\Delta}
	    \pmatrix{A_i&\hskip-2mmB_i\cr D_i&\hskip-2mmC_i}
	    =\pmatrix{A_i&\hskip-2mmB_i\cr D_i&\hskip-2mmC_i}
	    \pmatrix{\hskip-.5mm\lambda I_r&\hskip-2mm(0)\cr
		     \hskip-.5mm(0)&\hskip-2mm\Delta}$}
      \hbox{$\iff\pmatrix{\lambda A_i&\hskip-2mm\lambda B_i\cr
		\Delta D_i&\hskip-2mm\Delta C_i}
		=\pmatrix{\lambda A_i&\hskip-2mmB_i\Delta\cr
		\lambda D_i&\hskip-2mmC_i\Delta}
	    \iff\cases{\lambda B_i=\,B_i\Delta\cr\lambda D_i=\,\Delta D_i\cr
			\Delta C_i=\,C_i\Delta\cr}$}}}
    \hbox{Or :\quad$\qqs i\interventier 1p\quad$\vtop{
      \hbox{$\lambda B_i=\,B_i\Delta
	    \donc{\tvi70}^t(\lambda B_i)\,={\tvi70}^t(B_i\Delta)
	    \donc\lambda\transp B_i=\transp\Delta\transp B_i
	    \donc\lambda D_i=\,\Delta D_i$}
      \hbox{car, d'apr\`es C\,2.3) \ $D_i=\transp B_i$ \ et, d'apr\`es C\,2.2),
	    $\Delta$ est diagonale donc \ $\transp\Delta\=\Delta$.}}}
    \vskip1mm
    \hbox{Donc :\quad\un{$\qqs i\interventier 1p\quad S_1S_i=\,S_iS_1\iff
	  \cases{\ \,\lambda B_i=\,B_i\Delta\cr\noalign{\vskip-2mm}
		 \hskip-1mm$et$\cr\noalign{\vskip-2mm}
		 \ \,\Delta C_i=\,C_i\Delta}$}}}}
  \vskip1mm
  \hbox{$\bullet$ \vtop{
    \hbox{Soit $i$ fix\'e dans $\interventier1p$.
	  Par hypoth\`ese \ $S_1S_i=\,S_iS_1$ \ donc, d'apr\`es le premier alin\'ea
	  \ $\lambda B_i=\,B_i\Delta$.}
    \vskip-2mm
    \hbox{Soit $(k,l)$ fix\'e dans $\interventier1r\fois\interventier1{n-r}$,
	  appelons $b_{kl}$ le terme de ligne $k$ colonne $l$ de $B_i$ et
	  posons \ $\Delta\,=\pmatrix{
		\hskip-1mm\lambda_{r+1}&&\cr\noalign{\vskip-2mm}
		\hskip-1mm\raise-1.5mm\hbox{\hskip2mm$(0)$}&\hskip-6mm\ddots
			&\hskip-3mm\raise2mm\hbox{\hskip-2mm$(0)$}\cr
		\noalign{\vskip-2.5mm}&&\hskip-4mm\lambda_n}$}
    \hbox{Les termes de ligne $k$ colonne $l$ de $\lambda B_i$ et $B_i\Delta$
	  sont respectivement $\lambda b_{kl}$ et $b_{kl}\lambda_{r+l}$ car
	  le $l^{\hbox{\`eme}}$ terme de la $k^{\hbox{\`eme}}$ ligne}
    \hbox{de $B_i$ est $b_{kl}$ et tous les termes de la $l^{\hbox{\`eme}}$
	  colonne de $\Delta$ sont nuls saul le $l^{\hbox{\`eme}}$ qui vaut
	  $\lambda_{r+l}$.}
    \vskip.5mm
    \hbox{Donc \ $\lambda b_{kl}=\,b_{kl}\lambda_{r+l}$ \ donc \
	  $(\lambda-\lambda_{r+l})\,b_{kl}=\,0$ \ donc \ $b_{kl}=\,0$\quad
	  \big(\,d'apr\`es C\,2.2), $\lambda$ ne figure pas sur la diagonale de
	  $\Delta$\,\big).}
    \vskip.5mm
    \hbox{Donc :\quad$\qqs{(k,l)}\interventier1r\fois\interventier1{n-r}\quad
	  b_{kl}=\,0$\quad donc\quad$B_i=\,0_{\r M_{r,n-r}(\R)}$}
    \vskip.5mm
    \hbox{Donc :\quad\un{$\qqs i\interventier1p\quad
	  B_i=\,0_{\r M_{r,n-r}(\R)}\quad$et\quad$
	  D_i=\transp B_i=\,0_{\r M_{n-r,r}(\R)}$}}}}}

%\vfill\eject
%				FIN DE LA PAGE 3
%\parindent=0pt\hsize=15cm\vsize=26cm\parskip3mm

\leftskip-4cm
C\,2.5) \vtop{
  \hbox{Donc :\quad$\qqs{(i,j)}\interventier1p^2$}
  \vskip.5mm
  \hbox{\quad$S_iS_j=\,S_jS_i$\vtop{
    \hbox{$\iff\Omega_1^{-1}S_iS_j\Omega_1=\,\Omega_1^{-1}S_jS_i\Omega_1
	  \iff\big(\Omega_1^{-1}S_i\Omega_1\big)
		\big(\Omega_1^{-1}S_j\Omega_1\big)
		=\big(\Omega_1^{-1}S_j\Omega_1\big)
		\big(\Omega_1^{-1}S_i\Omega_1\big)$}
    \hbox{$\iff\!\pmatrix{A_i&\hskip-2mm(0)\cr(0)&\hskip-2mmC_i}
	  \pmatrix{A_j&\hskip-2mm(0)\cr(0)&\hskip-2mmC_j}
	  =\pmatrix{A_j&\hskip-2mm(0)\cr(0)&\hskip-2mmC_j}
	  \pmatrix{A_i&\hskip-2mm(0)\cr(0)&\hskip-2mmC_i}
	  \!\iff\!\pmatrix{A_iA_j&\hskip-2mm(0)\cr(0)&\hskip-2mmC_iC_j}
	  =\pmatrix{A_jA_i&\hskip-2mm(0)\cr(0)&\hskip-2mmC_jC_i}$\quad cf.
	  C\,2.4)}}}
  \vskip1mm
  \hbox{Donc :\quad\un{$\qqs{(i,j)}\interventier1p^2\quad S_iS_j=\,S_jS_i
	\iff\cases{A_iA_j=\,A_jA_i\cr C_iC_j=\,C_jC_i}$}}}

\vskip2mm
C\,2.6) \vtop{
  \hbox{D'apr\`es C\,2.3), $\left\{A_1,\dots,A_p\right\}\subset S_r\big(\R\big)
	$ \ et \ $\left\{C_1,\dots,C_p\right\}\subset S_{n-r}\big(\R\big)$.}
  \hbox{D'apr\`es C\,2.2) :\quad$r\in\interventier1{n-1}$ \ donc \
	$n-r\in\interventier1{n-1}$.}
  \hbox{Par hypoth\`ese \ $\qqs{(i,j)}\interventier1p^2\ \ S_iS_j=\,S_jS_i$ \
	donc, d'apr\`es C\,2.5), \ $A_iA_j=\,A_jA_i$ \ et $C_iC_j=\,C_jC_i$.}
  \vskip.5mm
  \hbox{Donc, puisque nous avons suppos\'e la propri\'et\'e vraie du rang 1 au rang
	$n-1$, nous pouvons choisir $\Omega'$ dans $\r O_r\big(\R\big)$ et}
  \hbox{$\Omega"$ dans $\r O_{n-r}\big(\R\big)$ telles que :\quad
	$\qqs i\interventier 1p\quad\Omega'^{-1}A_i\Omega'$ et
	$\Omega"^{-1}C_i\Omega"$ soient diagonales.}
  \hbox{Alors :\quad$
	\pmatrix{\Omega'^{-1}&\hskip-2mm(0)\cr(0)&\hskip-2mm\Omega"^{-1}}
	\pmatrix{\Omega'&\hskip-2mm(0)\cr(0)&\hskip-2mm\Omega"}
	=\pmatrix{\Omega'^{-1}\Omega'&\hskip-2mm(0)\cr
		(0)&\hskip-2mm\Omega"^{-1}\Omega"}
	=\pmatrix{I_r&\hskip-2mm(0)\cr(0)&\hskip-2mmI_{n-r}}=\,I_n$\quad
	donc\quad
	$\pmatrix{\Omega'^{-1}&\hskip-2mm(0)\cr(0)&\hskip-2mm\Omega"^{-1}}
	=\pmatrix{\Omega'&\hskip-2mm(0)\cr(0)&\hskip-2mm\Omega"}^{-1}$}
  \hbox{Donc :\quad
	$\pmatrix{\Omega'^{-1}&\hskip-2mm(0)\cr(0)&\hskip-2mm\Omega"^{-1}}
		\Omega_1^{-1}
	=\pmatrix{\Omega'&\hskip-2mm(0)\cr(0)&\hskip-2mm\Omega"}^{-1}
		\hskip-3mm\Omega_1^{-1}
	=\left[\Omega_1\pmatrix{\Omega'&\hskip-2mm(0)\cr(0)
		&\hskip-2mm\Omega"}\right]^{-1}$}
  \vskip1mm
  \hbox{Donc :\quad$\qqs i\interventier1p$}
  \hbox{\quad$\left[\Omega_1\pmatrix{\Omega'&\hskip-2mm(0)\cr(0)
		&\hskip-2mm\Omega"}\right]^{-1}\hskip-2mmS_i
	\left[\Omega_1\pmatrix{\Omega'&\hskip-2mm(0)\cr(0)
		&\hskip-2mm\Omega"}\right]$\vtop{
    \hbox{$=\pmatrix{\Omega'^{-1}&\hskip-2mm(0)\cr(0)&\hskip-2mm\Omega"^{-1}}
		\left(\Omega_1^{-1}\hskip-.5mmS_i\Omega_1\right)
		\pmatrix{\Omega'&\hskip-2mm(0)\cr(0)&\hskip-2mm\Omega"}
	  =\pmatrix{\Omega'^{-1}&\hskip-2mm(0)\cr(0)&\hskip-2mm\Omega"^{-1}}
		\pmatrix{A_i&\hskip-2mmB_i\cr D_i&\hskip-2mmC_i}
		\pmatrix{\Omega'&\hskip-2mm(0)\cr(0)&\hskip-2mm\Omega"}$}	
    \hbox{$=\pmatrix{\Omega'^{-1}&\hskip-2mm(0)\cr(0)&\hskip-2mm\Omega"^{-1}}
		\pmatrix{A_i&\hskip-2mm(0)\cr(0)&\hskip-2mmC_i}
		\pmatrix{\Omega'&\hskip-2mm(0)\cr(0)&\hskip-2mm\Omega"}
	  =\pmatrix{\Omega'^{-1}A_i&\hskip-2mm(0)\cr(0)&\hskip-2mm
		\Omega"^{-1}C_i}
		\pmatrix{\Omega'&\hskip-2mm(0)\cr(0)&\hskip-2mm\Omega"}$}	
    \hbox{$=\pmatrix{\Omega'^{-1}A_i\Omega'&\hskip-2mm(0)\cr(0)&\hskip-2mm
		\Omega"^{-1}C_i\Omega"}\qquad\vcenter{
	  \hbox{cette matrice est diagonale car $\Omega'^{-1}A_i\Omega'$}
	  \hbox{et $\Omega"^{-1}C_i\Omega"$ le sont.}}$}}}
  \vskip1mm
  \hbox{De plus :\quad${\tvi{12}0}^t\hskip-1mm\left[\Omega_1\pmatrix
		{\Omega'&\hskip-2mm(0)\cr(0)&\hskip-2mm\Omega"}\right]
	={\tvi{12}0}^t\hskip-1mm\pmatrix{\Omega'&\hskip-2mm(0)\cr(0)
		&\hskip-2mm\Omega"}\hskip-1mm\transp\Omega_1
	=\pmatrix{\transp\Omega'&\hskip-2mm(0)\cr(0)
		&\hskip-2mm\transp\Omega"}\hskip-1mm\transp\Omega_1
	=\pmatrix{\Omega'^{-1}&\hskip-2mm(0)\cr(0)&\hskip-2mm\Omega"^{-1}}
		\Omega_1^{-1}
	=\left[\Omega_1\pmatrix{\Omega'&\hskip-2mm(0)\cr(0)
		&\hskip-2mm\Omega"}\right]^{-1}$}
  \hbox{\qquad(\,on a utilis\'e le fait que $\Omega_1$, $\Omega'$ et $\Omega"$
	soient orthogonales\,)}
  \hbox{donc $\Omega_1\pmatrix{\Omega'&\hskip-2mm(0)\cr(0)&\hskip-2mm\Omega"}
	$ est une matrice orthogonale.}
  \vskip1mm
  \hbox{Donc :\quad$\exist\Omega{\r O}_n\big(\R\big)\,\big/\,
	\qqs i\interventier1p\quad\Omega^{-1}S_i\Omega$ soit diagonale.}
  \vskip1mm
  \hbox{\un{R\'ecapitulons :} \ \vtop{
    \hbox{$\bullet$ la propri\'et\'e A(1) est vraie,}
    \hbox{$\bullet$ nous avons prouv\'e : \ $\qqs n\N^*\priv\'ede 1|\ \
	  \big(\hbox{A(1),A(2),\dots,A(n-1) sont vraies}\big)
	  \donc\big(\hbox{A(n) est vraie}\big)$}}}
  \vskip1mm
  \hbox{Nous pouvons donc conclure :\quad\un{$\qqs n\N^*\quad$A(n) est
	vraie.}}}

\vskip2mm
C\,3.1) \vtop{
  \hbox{$\bullet$ \vtop{
    \hbox{Tout d'abord, d'\'evidence, \un{$A_1,A_2,A_3,C_1,C_2,C_3$ sont des
	  matrices r\'eelles carr\'ees d'ordre 2 sym\`etriques.}}
    \vskip1mm
    \hbox{Posons : \ $A'=\pmatrix{0&\hskip-2mm\sqrt3\cr\sqrt3&\hskip-2mm2}$
	  et $C'=\pmatrix{0&\hskip-2mm1\cr1&\hskip-2mm0}$}
    \hbox{On a : \ $A_1={1\over4}\,I_2+\,{1\over4}\,A',\ \,
	  A_2={5\over4}\,I_2+{1\over4}\,A',\ \,A_3=0\,I_2+0\,A',\ \,
	  C_1={1\over2}\,I_2+{1\over2}\,C',\ \,
	  C_2={3\over2}\,I_2+{1\over2}\,C',\ \,
	  C_3={3\over2}\,I_2-{1\over2}\,C'$}
    \vskip.5mm
    \hbox{Donc $A_1$, $A_2$ et $A_3$ sont des combinaisons lin\'eaires de $I_2$
	  et $A'$ qui commutent, et, de m\^eme, $C_1$, $C_2$ et $C_3$ sont des}
    \hbox{combinaisons lin\'eaires de $I_2$ et $C'$ qui commutent.}
    \vskip.5mm
    \hbox{Donc $A_1,A_2,A_3$ commutent deux \`a deux et $C_1,C_2,C_3$ commutent
	  deux \`a deux.}
    \vskip.5mm
    \hbox{Donc \un{$\big\{A_1,A_2,A_3\big\}$ et $\big\{C_1,C_2,C_3\big\}$
	  v\'erifient l'hypoth\`ese figurant dans A(2).}}}}
  \vskip1mm
  \hbox{$\bullet$ \vtop{
    \hbox{De plus :\quad$\qqs\lambda\R\ \ det\,(A'-\lambda I_2)\,
	  =\left|\matrix{-\lambda&\hskip-2mm\sqrt3\cr\sqrt3
		&\hskip-2mm2-\lambda}\right|
	  =\,\lambda^2-2\lambda-3\=(\lambda-1)^2-\,4
	  \=(\lambda-3)(\lambda+1)$}
    \hbox{Et :\quad$\qqs{(x,y)}\R^2\quad A'\pmatrix{x\cr y}=-\pmatrix{x\cr y}
	  \iff\cases{y\sqrt3=-x\cr x\sqrt3+2y=-y}
	  \iff\cases{x+y\sqrt3=0\cr x\sqrt3+3y=0}\iff x=-y\sqrt3$}
    \vskip1mm
    \hbox{Donc \,$A'\pmatrix{\sqrt3\cr-1}=\pmatrix{-\sqrt3\cr1}$ \ et \,
	  $A'\pmatrix{1\cr\sqrt3}=\pmatrix{3\cr3\sqrt3}
	  =\,3\pmatrix{1\cr\sqrt3}\qquad\vcenter{
	  \hbox{on a utilis\'e l'orthogonalit\'e des sous-espaces}
	  \hbox{propres de $A'$}}$}
    \hbox{Posons donc :\quad\un{$\Omega_2=\,\frac 1 2|
	  \pmatrix{1&\hskip-2mm\sqrt3\cr\sqrt3&\hskip-2mm-1}$}\quad
	  alors\quad\un{$\Omega_2\in\r O_2\big(\R\big)$}\quad et\quad
	  $\Omega_2^{-1}A'\Omega_2=\pmatrix{3&\hskip-2mm0\cr0&\hskip-2mm-1}$}
    \hbox{Donc :\quad\souligne
      \hbox{$\Omega_2^{-1}A_1\Omega_2
	    =\,\Omega_2^{-1}\left({1\over4}\,I_2+{1\over4}\,A'\right)\Omega_2
	    =\,\frac 1 4|\left[I_2+\pmatrix{3&\hskip-2mm0\cr0&\hskip-2mm-1}
		\right]
	    =\pmatrix{1&\hskip-2mm0\cr0&\hskip-2mm0}$}
      \hbox{$\Omega_2^{-1}A_2\Omega_2
	    =\,\Omega_2^{-1}\left({5\over4}\,I_2+{1\over4}\,A'\right)\Omega_2
	    =\,\frac 1 4|\left[5I_2+\pmatrix{3&\hskip-2mm0\cr0&\hskip-2mm-1}
		\right]
	    =\pmatrix{2&\hskip-2mm0\cr0&\hskip-2mm1}$}
      \hbox{et, bien s\^ur :\quad$\Omega_2^{-1}A_3\Omega_2=\,0_{\r M_2(\R)}$}|}
}}}

%\vfill\eject
%				FIN DE LA PAGE 4
%\parindent=0pt\hsize=15cm\vsize=26cm\parskip3mm

\leftskip-4cm
C\,3.1) $\bullet$ \vtop{
  \hbox{Enfin :\quad$C'\pmatrix{1\cr1}=\pmatrix{1\cr1}$ \ et \
	$C'\pmatrix{1\cr-1}=\pmatrix{-1\cr1}$}
  \hbox{Posons donc :\quad
	\un{$\Omega'_2=\,\frac 1 \sqrt2|\pmatrix{1&\hskip-2mm-1\cr1
		&\hskip-2mm1}$}\quad alors\quad
	\un{$\Omega'_2\in\r O_2\big(\R\big)$}\quad et\quad
	${\Omega'_2}^{-1}C'\Omega'_2=\pmatrix{1&\hskip-2mm0\cr0&\hskip-2mm-1}$}
  \hbox{Donc :\quad\souligne
      \hbox{${\Omega'_2}^{-1}C_1\Omega_2
	    =\,{\Omega'_2}^{-1}\left({1\over2}\,I_2+{1\over2}\,C'\right)
		\Omega'_2
	    =\,\frac 1 2|\left[I_2+\pmatrix{1&\hskip-2mm0\cr0&\hskip-2mm-1}
		\right]
	    =\pmatrix{1&\hskip-2mm0\cr0&\hskip-2mm0}$}
      \vskip.5mm
      \hbox{${\Omega'_2}^{-1}C_2\Omega_2
	    =\,{\Omega'_2}^{-1}\left({3\over2}\,I_2+{1\over2}\,C'\right)
		\Omega'_2
	    =\,\frac 1 2|\left[3I_2+\pmatrix{1&\hskip-2mm0\cr0&\hskip-2mm-1}
		\right]
	    =\pmatrix{2&\hskip-2mm0\cr0&\hskip-2mm1}$}
      \vskip.5mm
      \hbox{${\Omega'_2}^{-1}C_3\Omega_2
	    =\,{\Omega'_2}^{-1}\left({3\over2}\,I_2-{1\over2}\,C'\right)
		\Omega'_2
	    =\,\frac 1 2|\left[3I_2-\pmatrix{1&\hskip-2mm0\cr0&\hskip-2mm-1}
		\right]
	    =\pmatrix{1&\hskip-2mm0\cr0&\hskip-2mm2}$}|}}

\vskip2mm
C\,3.2) \vtop{
  \hbox{Posons :\quad$U_1=\,\frac 1 2|\pmatrix{1\cr\sqrt3},\ \
	U_2=\,\frac 1 2|\pmatrix{\sqrt3\cr-1},\ \
	U_3=\,\frac 1 \sqrt2|\pmatrix{1\cr1},\ \
	U_4=\,\frac 1 \sqrt2|\pmatrix{1\cr-1}$}
  \vskip1.5mm
  \hbox{D'apr\`es C\,3.1), on a :\quad\vtop{
    \hbox{$A_1U_1=\,U_1,\ \ A_1U_2=\,0_{\R^2},\ \ A_2U_1=\,2U_1,\ \ 
	  A_2U_2=\,U_2,$}
    \vskip.5mm
    \hbox{$C_1U_3=\,U_3,\ \ C_1U_4=\,0_{\R^2},\ \ C_2U_3=\,2U_3,\ \ 
	  C_2U_4=\,U_4,\ \ C_3U_3=\,U_3,\ \ C_3U_4=\,2U_4$}}}
  \vskip.5mm
  \hbox{Posons :\quad$V_1=\,\frac 1 2|\pmatrix{1\cr\sqrt3\cr0\cr0},\ \
	V_2=\,\frac 1 2|\pmatrix{\sqrt3\cr-1\cr0\cr0},\ \
	V_3=\,\frac 1 \sqrt2|\pmatrix{0\cr0\cr1\cr1},\ \
	V_4=\,\frac 1 \sqrt2|\pmatrix{0\cr0\cr1\cr-1}$}
  \vskip.5mm
  \hbox{Visiblement, $(V_1,V_2,V_3,V_4)$ est une famille
	orthonormale de $\R^4$, donc \un{$(V_1,V_2,V_3,V_4)$ est une base
	ortonormale de $\R^4$.}}
  \vskip.5mm
  \hbox{De plus :\quad$\qqs i\{1,2,3\}$\quad\vtop{
    \hbox{$S_iV_1=\frac 1 2|\pmatrix{A_i&\hskip-2mm(0)\cr(0)&\hskip-2mmC_i}
		\pmatrix{1\cr\sqrt3\cr0\cr0}=\pmatrix{A_iU_1\cr0\cr0}$\quad
	  donc\quad\un{$S_1V_1=\,V_1,\ \ S_2V_1=\,2V_1,\ \
		S_3V_1=\,0_{\R^4}$}}
    \vskip.5mm
    \hbox{$S_iV_2=\frac 1 2|\pmatrix{A_i&\hskip-2mm(0)\cr(0)&\hskip-2mmC_i}
		\pmatrix{\sqrt3\cr-1\cr0\cr0}=\pmatrix{A_iU_2\cr0\cr0}$\quad
	  donc\quad\un{$S_1V_2=\,0_{\R^4},\ \ S_2V_2=\,V_2,\ \
		S_3V_2=\,0_{\R^4}$}}
    \vskip.5mm
    \hbox{$S_iV_3=\frac 1 \sqrt2|\pmatrix{A_i&\hskip-2mm(0)\cr(0)
		&\hskip-2mmC_i}
		\pmatrix{0\cr0\cr1\cr1}=\pmatrix{0\cr0\cr C_iU_3}$\quad
	  donc\quad\un{$S_1V_3=\,V_3,\ \ S_2V_3=\,2V_3,\ \ S_3V_3=\,V_3$}}
    \vskip.5mm
    \hbox{$S_iV_4=\frac 1 \sqrt2|\pmatrix{A_i&\hskip-2mm(0)\cr(0)
		&\hskip-2mmC_i}
		\pmatrix{0\cr0\cr1\cr-1}=\pmatrix{0\cr0\cr C_iU_4}$\quad
	  donc\quad\un{$S_1V_4=\,0_{\R^4},\ \ S_2V_4=\,V_4,\ \
		S_3V_4=\,2V_4$}}}}}
\end{document}
