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\begin{document}

%Source m02pt1e

%Numerotation
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%Macros
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\renewcommand{\geq}{\geqslant}
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\newcommand{\somme}[3]{\sum_{#1}^{#2}\limits{#3}}
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\textbf{SESSION 2002} \hfill \textbf{TSIM104}

\begin{center}CONCOURS COMMUNS POLYTECHHNlQUES\end{center}

\begin{center}
\textbf{{\large EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE TSI}}
\end{center}

\begin{center}\rule{5cm}{1pt}\end{center}


\begin{center}
\textbf{{\Large MATHEMATIQUES 1}}

\bigskip
\textbf{Dur{\'e}e : 4 heures}
\end{center}

\hrule

\begin{center}\textit{Les calculatrices sont interdites.}\end{center}

\textit{NB. : Le candidat attachera la plus grande importance {\`a} la clart{\'e}, {\`a} la pr{\'e}cision et {\`a} la concision de la r{\'e}daction.}

\textit{Si un candidat est amen{\'e} {\`a} rep{\'e}rer ce qui peut lui sembler {\^e}tre une erreur d'{\'e}nonc{\'e}, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a {\'e}t{\'e} amen{\'e} {\`a} prendre.}

\bigskip
\underline{\textbf{Notations du probl{\`e}me}}

Soit $n$ un entier naturel non nul, $\mathscr{M}_{n}(\R)$ l'alg{\`e}bre des matrices carr{\'e}es d'ordre $n$ {\`a} coefficients r{\'e}els.

Soit $A = [a_{i,j}]_{\substack{1 \leq i \leq n \\ 1 \leq j \leq n}}$ un {\'e}l{\'e}ment de $\mathscr{M}_{n}(\R)$.

$i$ indique le num{\'e}ro de la ligne de $a_{i,j}$.

$j$ indique le num{\'e}ro de la colonne de $a_{i,j}$.

On appelle trace de $A$ et on note $\trace{A}$ le nombre r{\'e}el $\trace{A} = \somme{i=1}{n}{a_{i,i}}$.

$\transpose{A}$ d{\'e}signe la transpos{\'e}e de la matrice $A$.

$GL_{n}(\R)$ est l'ensemble des matrices carr{\'e}es inversibles de $\mathscr{M}_{n}(\R)$.

$I_{n}$ d{\'e}signe la matrice unit{\'e} d'ordre $n$.


$S_{n}(\R)$ est l'ensemble des matrices sym{\'e}triques.

$A_{n}(\R)$ est l'ensemble des matrices antisym{\'e}triques, c'est-{\`a}-dire telles que $\transpose{A} = -A$.


\begin{center}\underline{\textbf{PARTIE I}}\end{center}

\begin{enumerate}
\item %I.1)
Montrer que l'application tr est une application lin{\'e}aire.

\item %I.2)
Soit $A$ et $B$ dans $\mathscr{M}_{n}(\R)$.

Est-ce que l'on a $\trace{AB} = \trace{A} \trace{B}$ ?

Montrer que $\trace{AB} = \trace{BA}$.

\item %I.3)
Soit $P$ dans $GL_{n}(\R)$ et $A$ dans $\mathscr{M}_{n}(\R)$.
Montrer que $\trace{P^{-1} A P} = \trace{A}$.

\item %I.4)
Soit $A$ et $B$, 2 matrices semblables.

Que peut-on dire de leurs polyn{\^o}mes caract{\'e}ristiques ?

Que repr{\'e}sente $\trace{A}$ relativcrnent aux coefficients du polyn{\^o}me caract{\'e}ristique $P_{A}'X$ de $A$ ?

Retrouver ainsi le r{\'e}sultat de la question 3).

\item %I.5)
Existe-t-il des matrices $A$ et $B$ dans $\mathscr{M}_{n}(\R)$ telles que $AB - BA = 2 I_{n}$ ?

\item %I.6)
Soit $A \in A_{n}(\R)$. Montrer que $\trace{A} = 0$.
\end{enumerate}

\begin{center}\underline{\textbf{PARTIE II}}\end{center}

Soit $A$ et $B$ dans $\mathscr{M}_{n}(\R)$.
On d{\'e}finit $\scal{A}{B} = \trace{\transpose{A} B}$.

\begin{enumerate}
\item %II.1)
Montrer que l'application $\mathscr{M}_{n}(\R) \times \mathscr{M}_{n}(\R) \rightarrow \R, (A, B) \mapsto \scal{A}{B}$ est un produit scalaire sur l'espace vectoriel $\mathscr{M}_{n}(\R)$.

On consid{\`e}rera l'espace vectoriel euclidien $\left(\mathscr{M}_{n}(\R), \scal{\ }{\ }\right)$ pour toute la suite et $\norme{A} = \sqrt{\scal{A}{A}}$ la norme associ{\'e}e.

On v{\'e}rifiera que $\norme{A}^{2} = \somme{i=1}{n}{\somme{j=1}{n}{a_{i,j}^{2}}}$.

\item %II.2)
Montrer que $S_{n}(\R)$ et $A_{n}(\R)$ sont deux sous-espaces vectoriels suppl{\'e}mentaires de $\mathscr{M}_{n}(\R)$.

\item %II.3)
Soit $S \in S_{n}(\R)$ et $A \in A_{n}(\R)$.
Montrer que $\scal{S}{A} = 0$.

En d{\'e}duire que $A_{n}(\R) = \orth{\left(S_{n}(\R)\right)}$ est le suppl{\'e}mentaire orthogonal de $S_{n}(\R)$ dans $\mathscr{M}_{n}(\R)$.

\item %II.4)
Soit $A \in \mathscr{M}_{n}(\R)$ et $A = A' + A''$ l'unique d{\'e}composition de $A$ selon la somme directe $S_{n}(\R) \oplus A_{n}(\R)$.
Justifier que $\forall M, M \in S_{n}(\R), \norme{A-M}^{2}  \geq  \norme{A-A'}^{2}$.

En d{\'e}duire que

\centerline{$\binf{M\in S_{n}(\R)}{\somme{i=1}{n}{\somme{j=1}{n}{(a_{i,j} - m_{i,j})^{2}}}} = \norme{\dfrac{\transpose{A} - A}{2}}^{2}$.}

\item %II.5)
Soit $f$ la fonction de $\R^{3}$ vers $\R$ d{\'e}finie par $f(x, y, z) = (1-x)^{2} + (4-z)^{2} + (2-y)^{2} + (3-y)^{2}$.

Montrer que $f$ a un minimum absolu que l'on calculera.
On pr{\'e}cisera en quel point ce minimum est atteint.

\item %II.6)
Soit $A$, $B$, $C$ dans $\mathscr{M}_{n}(\R)$ telles que $\transpose{A} A = A \transpose{A}$ et $\transpose{B} B = B \transpose{B}$.

Calculer $\norme{AC - CB}^{2}$ et $\norme{\transpose{A} C - C \transpose{B}}^{2}$.

{\`A} l'aide de I.2) v{\'e}rifier que

\centerline{$\norme{\transpose{A} C - C \transpose{B}}^{2} - \norme{AC - CB}^{2} = 0$.}

En d{\'e}duire que $\left(AC = CB\right) \Leftrightarrow \left(\transpose{A} C = C \transpose{B}\right)$.
\end{enumerate}

\begin{center}\underline{\textbf{PARTIE III}}\end{center}

L'objectif de cette partie est d'{\'e}tablir la propri{\'e}t{\'e} suivante par r{\'e}currence sur $n$.

$\mathscr{A}(n)$ : soit $\set{S_{1}, S_{2}, {\dots}, S_{p}}$ un ensemble de $p$ matrices carr{\'e}es d'ordre $n$ sym{\'e}triques permutant $2$ {\`a} $2$ :

\centerline{$\forall (i, j) \in \set{1, {\dots}, p}^{2}, S_{i} S_{j} = S_{j} S_{i}$.}

Alors il existe une matrice orthogonale $\Omega$ d'ordre $n$ telle que

$\forall i \in \set{1, {\dots}, p}, \Omega^{-1} S_{i} \Omega$ soit une matrice diagonale.

\begin{enumerate}
\item %III.1)
Que peut-on dire de la propri{\'e}t{\'e} pour $n = 1$ ?
\item %III.2)
On suppose que $n$ est sup{\'e}rieur ou {\'e}gal {\`a} $2$ et que la propri{\'e}t{\'e} est vraie jusqu'au rang $(n- 1)$.
Les matrices sym{\'e}triques $S_{1}$, {\dots}, $S_{p}$ d'ordre $n$ permutent $2$ {\`a} $2$.
\begin{enumerate}
\item %III.2.1)
Que peut-on dire si toutes les matrices $S_{1}$, {\dots}, $S_{p}$ sont diagonales ?

\item %III.2.2)
On suppose dans toute la suite que $S_{1}$ n'est pas une matrice diagonale. Justifier l'existence d'un entier $r$, d'un r{\'e}el $\lambda$, d'une matrice diagonale $\Delta$ d'ordre $n-r$ et d'une matrice orthogonale $\Omega_{1}$ d'ordre $n$ tels que : $1  \leq  r  \leq  n-1$, $\Omega_{1}^{-1} S_{1} \Omega_{1} = \matrice{\lambda I_{r} & 0 \\ 0 & \Delta}$ o{\`u} $0$ d{\'e}signe des blocs nuls et o{\`u} $\lambda$ ne figure pas sur la diagonale de $\Delta$.

\item %III.2.3)
Pour $1  \leq  i  \leq  p$, on {\'e}crit la matrice $\Omega_{1}^{-1} S_{i} \Omega_{1} = \matrice{A_{i} & B_{i} \\ D_{i} & C_{i}}$ sous forme de $4$ blocs o{\`u} $A_{i}$ est carr{\'e} d'ordre $r$ et $C_{i}$ carr{\'e} d'ordre $n-r$.

Montrer que $D_{i} = \transpose{B_{i}}$ et que $A_{i}$ et $C_{i}$ sont sym{\'e}triques.

\item %III.2.4)
Pour $1  \leq  i  \leq  p$, montrer que $S_{1} S_{i} = S_{i} S_{1}\Leftrightarrow \systeme{\lambda B_{i} = B_{i} \Delta \\ \Delta C_{i} = C_{i} \Delta}$

En d{\'e}duire que $B_{i}$ et $D_{i}$ sont des blocs nuls.

\item %III.2.5)
Montrer que $\forall (i, j) \in \set{1, {\dots}, p}^{2}, S_{i} S_{j} = S_{j} S_{i} \Leftrightarrow \systeme{A_{i} A_{j} = A_{j} A_{i} \\ C_{i} C_{j} = C_{j} C_{i}}$

\item %III.2.6)
En appliquant l'hypoth{\`e}se de r{\'e}currence {\`a} $\set{A_{1}, {\dots}, A_{p}}$ et {\`a} $\set{C_{1}, {\dots}, C_{p}}$ terminer la d{\'e}monstration.
\end{enumerate}

\item %III.3)
On consid{\`e}re les deux ensembles de matrices d'ordre deux $\set{A_{1}, A_{2}, A_{3}}$ et $\set{C_{1}, C_{2}, C_{3}}$ d{\'e}finis par :

\begin{tabular}{lll}
$A_{1} = \matrice{\frac{1}{4} & \frac{\sqrt{3}}{4} \\ \frac{\sqrt{3}}{4} & \frac{3}{4}}$
&
$A_{2} = \matrice{\frac{5}{4} & \frac{\sqrt{3}}{4} \\ \frac{\sqrt{3}}{4} & \frac{7}{4}}$
&
$A_{3} = \matrice{0 & 0 \\ 0 & 0}$
\\
$C_{1} = \matrice{\frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2}}$
&
$C_{2} = \matrice{\frac{3}{2} & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & \frac{3}{2}}$
&
$C_{3} = \matrice{\frac{3}{2} & -\frac{1}{2} \\ -\frac{1}{2} & \frac{3}{2}}$
\end{tabular}
\begin{enumerate}
\item %III.3.1)
V{\'e}rifier que ces deux ensembles v{\'e}rifient l'hypoth{\`e}se figurant dans $\mathscr{A}(n)$ au d{\'e}but de la partie III et donner un exemple de matrices orthogonales $\Omega_{2}$ et $\Omega'_{2}$ telles que $\Omega_{2}^{-1} A_{i} \Omega_{2}$ et $(\Omega'_{2})^{-1} C_{i} \Omega'_{2}$ soient des matrices diagonales {\`a} pr{\'e}ciser.

\item %III.3.2)
Soit les matrices d'ordre $4$ {\'e}crites par blocs $S_{i} = \matrice{A_{i} & 0 \\ 0 & C_{i}}$, $1  \leq  i  \leq  3$.

Donner une base orthonorm{\'e}e de $\R^{4}$ form{\'e}e de vecteurs propres communs {\`a} $S_{1}$, $S_{2}$, $S_{3}$ et indiquer les valeurs propres correspondantes pour chaque matrice.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\begin{center}
\rule{3cm}{1pt}

Fin de l'{\'e}nonc{\'e}
\end{center}

\end{document}
