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%TCIDATA{Created=Wed May 01 20:46:41 2002}
%TCIDATA{LastRevised=Wed May 01 20:55:11 2002}
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\input{tcilatex}
\begin{document}


\textbf{Corrig\'{e} Math\'{e}matiques 2 CCP 2002}

\medskip

\textbf{Partie I}

1. $\forall \theta \in J,\;V=\alpha -\left( \overrightarrow{i},%
\overrightarrow{u}\left( \theta \right) \right) $ modulo $2\pi $

$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=3\theta +\dfrac{\pi }{2}-\theta $ modulo $\pi $

D'o\`{u} :

\[
\frame{$V=2\theta +\dfrac{\pi }{2}$ modulo $\pi $} 
\]

\medskip

2. L'on sait que $V=2\theta +\dfrac{\pi }{2}$ modulo $\pi $ $\Leftrightarrow
\left| 
\begin{array}{ll}
f^{\prime }\left( \theta \right) & \cos \left( 2\theta +\dfrac{\pi }{2}%
\right) \\ 
f\left( \theta \right) & \sin \left( 2\theta +\dfrac{\pi }{2}\right)
\end{array}
\right| =0$ (puisque $\Gamma $ est r\'{e}guli\`{e}re et $\left( 
\begin{array}{l}
f^{\prime }\left( \theta \right) \\ 
f\left( \theta \right)
\end{array}
\right) \neq \left( 
\begin{array}{l}
0 \\ 
0
\end{array}
\right) )$

$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;%
\;\;\;\Leftrightarrow f^{\prime }\left( \theta \right) \cos \left( 2\theta
\right) +f\left( \theta \right) \sin \left( 2\theta \right) =0$ o\`{u} $f$
est une solution non nulle (courbe non r\'{e}duite au p\^{o}le). Donc :

\[
\frame{$V=2\theta +\dfrac{\pi }{2}$ modulo $\pi \Leftrightarrow f$ est une
solution non nulle de $\mathcal{E}$ : $f^{\prime }\left( \theta \right) \cos
\left( 2\theta \right) +f\left( \theta \right) \sin \left( 2\theta \right)
=0 $} 
\]

\medskip

3. $\mathcal{E}$ est une \'{e}quation diff\'{e}rentielle lin\'{e}aire du
premier ordre homog\`{e}ne. L'ensemble de ses solutions d\'{e}finies sur un
intervalle sur lequel $\cos (2\theta )$ ne s'annule pas est un espace
vectoriel de dimension $1$ engendr\'{e} par une solution ne s'annulant pas.

\medskip

Cherchons ses solutions d\'{e}finies sur $\left] -\dfrac{\pi }{4},\dfrac{\pi 
}{4}\right[ $ :

$\mathcal{E}\Leftrightarrow \left( f^{\prime }(\theta )+f(\theta )\tan
(2\theta )\right) \exp \left( -\dfrac{1}{2}\ln \left( \cos \left( 2\theta
\right) \right) \right) =0$

$\;\Leftrightarrow \left( \dfrac{f(\theta )}{\sqrt{\cos \left( 2\theta
\right) }}\right) ^{\prime }=0$

$\;\Leftrightarrow \exists C\in \Bbb{R},$ $\forall \theta \in \left] -\dfrac{%
\pi }{4},\dfrac{\pi }{4}\right[ ,$ $\dfrac{f(\theta )}{\sqrt{\cos \left(
2\theta \right) }}=C.$ d'o\`{u} \underline{les solutions ne s'annulant pas
de $\mathcal{E}$} :

\[
\frame{$
\begin{array}{l}
\left] -\dfrac{\pi }{4},\dfrac{\pi }{4}\right[ \rightarrow \Bbb{R} \\ 
\theta \rightarrow C\sqrt{\cos \left( 2\theta \right) }
\end{array}
$ o\`{u} $C\in \Bbb{R}^{*}.$} 
\]

\medskip

4. \underline{$C_{\lambda }$ a pour \'{e}quation $\rho =\lambda \sqrt{\cos
\left( 2\theta \right) },$ $\theta \in \left] -\dfrac{\pi }{4},\dfrac{\pi }{4%
}\right[ $}$.$

\underline{$C_{\mu }$ se d\'{e}duit alors de $C_{\lambda }$ par une
homoth\'{e}tie de centre $O$ et de rapport $\dfrac{\mu }{\lambda }.$}

\medskip

5. Si $f$ est une solution non nulle de $\mathcal{E}$ d\'{e}finie sur $\Bbb{R%
},$ il existe $\theta _{0}\in \Bbb{R}$ tel que $f(\theta _{0})\neq 0$ et
comme $f$ est d\'{e}rivable sur $\Bbb{R},$ elle est continue sur $\Bbb{R}$
et ne s'annule pas sur un voisinage de $\theta _{0},$ on peut donc supposer $%
\theta _{0}\neq \dfrac{\pi }{4}$ modulo $\dfrac{\pi }{2}$ et que $\theta
_{0}\in \left] -\dfrac{\pi }{4}+k\dfrac{\pi }{2},\dfrac{\pi }{4}+k\dfrac{\pi 
}{2}\right[ =I_{k}.$

$f_{\left| I_{k}\right. }$ est donc solution de $\mathcal{E}$ et $\exists
C\in \Bbb{R}^{*},$ $\forall \theta \in I_{k},$ $f(\theta )=C\sqrt{\left|
\cos (2\theta )\right| }.$

D'o\`{u} $\forall \theta \in I_{k},$ $f^{\prime }(\theta )=-C\varepsilon 
\dfrac{\sin (2\theta )}{\sqrt{\left| \cos (2\theta )\right| }}$ avec $%
\varepsilon =\pm 1$ et $\lim\limits_{\theta \rightarrow \left( \dfrac{\pi }{4%
}+k\dfrac{\pi }{2}\right) ^{-}}\left| f^{\prime }(\theta )\right| =+\infty .$
D'o\`{u} $f$ n'est pas d\'{e}rivable en $\dfrac{\pi }{4}+k\dfrac{\pi }{2}$,
ce qui contredit le fait que $f$ soit solution de $\mathcal{E}.$

Donc, \underline{il n'existe pas de solution non nulle de $\mathcal{E}$
d\'{e}finie sur $\Bbb{R}$}$.$

\medskip

6.1. L'on sait que les coefficients du d\'{e}veloppement en s\'{e}rie
enti\`{e}re sont ceux du d\'{e}veloppement limit\'{e} en $0$ de $f_{1}.$

On peut donc poser $\forall \theta \in \left] -\dfrac{\pi }{4},\dfrac{\pi }{4%
}\right[ ,$ $f_{1}\left( \theta \right) =1+b\theta +c\theta ^{2}+d\theta
^{3}+o(\theta ^{3}).($puisque $f_{1}(0)=1)$

On a alors :

$\forall \theta \in \left] -\dfrac{\pi }{4},\dfrac{\pi }{4}\right[ ,$ $%
f_{1}^{\prime }\left( \theta \right) \cos (2\theta )+f(\theta )\sin (2\theta
)=0\Rightarrow $

$\forall \theta \in \left] -\dfrac{\pi }{4},\dfrac{\pi }{4}\right[ ,$ $%
\left( b+2c\theta +3d\theta ^{2}+o(\theta ^{2})\right) \left( 1-\dfrac{%
4\theta ^{2}}{2}+o\left( \theta ^{2}\right) \right) +\left( 1+b\theta
+c\theta ^{2}+o(\theta ^{2})\right) (2\theta +o\left( \theta ^{2}\right)
)=0\Rightarrow $

$\forall \theta \in \left] -\dfrac{\pi }{4},\dfrac{\pi }{4}\right[ ,$ $%
b+\theta \left( 2c+2\right) +\theta ^{2}\left( -2b+3d+2b\right) +o(\theta
^{2})=0.$

D'o\`{u}, par unicit\'{e} du d\'{e}veloppement limit\'{e} :

\[
\frame{$\forall \theta \in \left] -r,r\right[ ,$ $f(\theta
)=\sum\limits_{k=0}^{+\infty }a_{k}\theta ^{k}$ avec $a_{0}=1,$ $a_{1}=0,$ $%
a_{2}=-1,$ $a_{3}=0.$} 
\]

\medskip

6.2. L'on sait que :

$\forall x\in \Bbb{R},$ $\forall n\in \Bbb{N},\;\cos
(2x)=\sum\limits_{k=0}^{n}\left( -1\right) ^{k}\dfrac{(2x)^{2k}}{(2k)!}%
+o(x^{2n+1})$

$\forall u\in \left] -1,+\infty \right[ ,$ $\forall n\in \Bbb{N}%
,\;(1+u)^{1/2}=1+\sum\limits_{k=1}^{n}\dfrac{1}{2}\dfrac{-1}{2}...\dfrac{3-2k%
}{2}\dfrac{u^{k}}{k!}+o(u^{n})$

D'o\`{u} : 
\[
\frame{$\forall u\in \left] -1,+\infty \right[ ,$ $\forall n\in \Bbb{N}%
,\;(1+u)^{1/2}=1+\sum\limits_{k=1}^{n}\left( -1\right) ^{k-1}\dfrac{\left(
2k\right) !}{2^{2k}\left( k!\right) ^{2}\left( 2k-1\right) }u^{k}+o(u^{n})$} 
\]

L'on en d\'{e}duit que :

$\forall \theta \in \left] -\dfrac{\pi }{4},\dfrac{\pi }{4}\right[ ,$ $%
f_{1}\left( \theta \right) =\sqrt{\cos \left( 2\theta \right) }=\sqrt{%
1-2\theta ^{2}+o\left( \theta ^{3}\right) }$

$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=1-\theta ^{2}+o\left(
\theta ^{3}\right) $

\underline{On a retrouv\'{e} les coefficients de la question 6.1.}

\medskip

6.3. $f_{1}$ \'{e}tant $C^{\infty }$ sur un voisinage de $0,$ on a 
\underline{$f_{1}\left( 0\right) =1,$ $f_{1}^{\prime }\left( 0\right) =0,$ $%
f_{1}^{(2)}\left( 0\right) =-2$ et $f_{1}^{(3)}\left( 0\right) =0$}$,$ ces
d\'{e}riv\'{e}es \'{e}tant donn\'{e}es par les coefficients du
d\'{e}veloppement limit\'{e} en $0.$

\medskip

\textbf{Partie II}

\medskip

1.1. $\rho $ est d\'{e}fini sur $\left] -\dfrac{\pi }{4},\dfrac{\pi }{4}%
\right[ .$

$\forall \theta \in \left] -\dfrac{\pi }{4},\dfrac{\pi }{4}\right[ ,$ $\rho
\left( -\theta \right) =\rho \left( \theta \right) ,$ ce qui montre : $%
\left\{ 
\begin{array}{l}
-\;\text{on peut r\'{e}duire l'\'{e}tude \`{a} }\left[ 0,\dfrac{\pi }{4}%
\right[ \\ 
-\;C_{1}\;\text{est sym\'{e}trique par rapprt \`{a} }\left( Ox\right)
\end{array}
\right. $

$\rho $ est $C^{\infty }$ sur $\left[ 0,\dfrac{\pi }{4}\right[ $ et $\forall
\theta \in \left[ 0,\dfrac{\pi }{4}\right[ ,$ $\rho ^{\prime }\left( \theta
\right) =-\dfrac{\sin \left( 2\theta \right) }{\sqrt{\cos (2\theta )}}.$

D'o\`{u} le tableau de variations de $\rho $ :

\[
\begin{tabular}{|c||c||}
\hline
$\theta $ & $0\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\pi /4$ \\ \hline
$\rho ^{\prime }\left( \theta \right) $ & $0\;\;\;\;\;\;\;\;\;-\;\;\;\;\;\;%
\;\;\;\;\;$ \\ \hline
$\rho \left( \theta \right) $ & $1\;\;\;\;\;\;\;\;\;\searrow
\;\;\;\;\;\;\;\;\;0$ \\ \hline
\end{tabular}
\]

$\rho $ se prolonge par continuit\'{e} en $\dfrac{\pi }{4}^{-}$ par $0.$
Donc \underline{$O$ est un point d'arr\^{e}t de $C_{1}$} (passage au
p\^{o}le) et \underline{la tangente} en ce point a pour \'{e}quation polaire 
$\theta =\dfrac{\pi }{4}$ : c'\underline{est la premi\`{e}re bissectrice}.

D'o\`{u} la repr\'{e}sentation de $C_{1}:$

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%"0";croptop "1";cropright "1";cropbottom "0";filename
%'C:/SWP25/fichiers/devoirs/CCP2_02_fig1.wmf';file-properties "XNPEU";}}

\medskip
\centerline{\psfig{file=m02pt2fb.eps,height=8.8041cm}}
\medskip 

1.2. L'on a vu que les points de $C_{1}$ \'{e}taient caract\'{e}ris\'{e}s
par la proprit\'{e} $\alpha =3\theta +\dfrac{\pi }{2}$ modulo $\pi .$ Cela
est encore vrai pour $\theta =\pm \dfrac{\pi }{4}$, valeurs pour les quelles
on obtient $\alpha =\dfrac{5\pi }{4}$ ou $\alpha =-\dfrac{\pi }{4}.$

D'o\`{u}, pout tout $\theta \in \left[ -\dfrac{\pi }{4},\dfrac{\pi }{4}%
\right] ,$ $M\left( \theta \right) $ est \`{a} tangente horizontale $%
\Leftrightarrow 3\theta +\dfrac{\pi }{2}=0$ modulo $\pi $

$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;%
\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\Leftrightarrow \theta
=-\dfrac{\pi }{6}$ modulo $\dfrac{\pi }{3}$

$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;%
\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\Leftrightarrow \;$%
\underline{$\theta =\pm \dfrac{\pi }{6}$} puisque $\theta \in \left[ -\dfrac{%
\pi }{4},\dfrac{\pi }{4}\right] $

Ces points ont pour rayon vecteur $\sqrt{\cos \left( \dfrac{\pi }{3}\right) }%
=$\underline{$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$}

De m\^{e}me, pout tout $\theta \in \left[ -\dfrac{\pi }{4},\dfrac{\pi }{4}%
\right] ,$ $M\left( \theta \right) $ est \`{a} tangente verticale $%
\Leftrightarrow 3\theta +\dfrac{\pi }{2}=\dfrac{\pi }{2}$ modulo $\pi $

$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;%
\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\Leftrightarrow \theta
=0$ modulo $\dfrac{\pi }{3}$

$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;%
\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\Leftrightarrow \;$%
\underline{$\theta =0$}

\underline{Ce point a pour coordonn\'{e}es cart\'{e}siennes $(1,0)$}$.$

\medskip

1.3. $C_{1}$ est $C^{\infty }$ sur $\left] -\dfrac{\pi }{4},\dfrac{\pi }{4}%
\right[ $ et $\forall \theta \in \left] -\dfrac{\pi }{4},\dfrac{\pi }{4}%
\right[ ,$ $\rho \left( \theta \right) =1-\theta ^{2}+o\left( \theta
^{2}\right) $

On a vu que $\rho \left( 0\right) =1,$ $\rho ^{\prime }\left( 0\right) =0,$ $%
\rho ^{(2)}\left( 0\right) =-2$

Cela montre que, au point d'angle polaire $0,$ $\overrightarrow{T}=\dfrac{%
\overrightarrow{M^{\prime }(0)}}{\left\| \overrightarrow{M^{\prime }(0)}%
\right\| }=\overrightarrow{j},$ $\overrightarrow{N}=-\overrightarrow{i}$ et $%
C=\dfrac{d\alpha }{ds}=\dfrac{d\alpha }{d\theta }\times \left( \dfrac{ds}{%
d\theta }\right) ^{-1}=3.$

\underline{Le rep\`{e}re de Fr\'{e}net en $M(0)$ est donc : $\left( M(0),%
\overrightarrow{j},-\overrightarrow{i}\right) $}

D'o\`{u} le rayon de courbure en $M(0)$ vaut \underline{$R=\dfrac{1}{3}$} et 
\underline{le centre de courbure $I$} d\'{e}fini par $\overrightarrow{%
M\left( 0\right) I}=R\overrightarrow{N}$ \underline{a pour coordonn\'{e}es $%
\left( \dfrac{2}{3},0\right) $}$.$

\medskip

2. Soit $\varphi $ : $\theta \rightarrow \dfrac{1}{\sqrt{\cos \left( 2\theta
\right) }},$ $\varphi $ est continue sur $\left] -\dfrac{\pi }{4},\dfrac{\pi 
}{4}\right[ $ et paire. Posons $h=\dfrac{\pi }{4}-\theta .$ On a alors :

$\varphi \left( \theta \right) =\dfrac{1}{\sqrt{\cos \left( 2\left( \dfrac{%
\pi }{4}-h\right) \right) }}=\dfrac{1}{\sqrt{\sin \left( 2h\right) }}%
\stackunder{h\rightarrow 0^{+}}{\sim }\dfrac{1}{\sqrt{2h}}$

$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\stackunder{%
\theta \rightarrow \dfrac{\pi }{4}^{-}}{\sim }\dfrac{1}{\sqrt{2}\sqrt{\dfrac{%
\pi }{4}-\theta }}.$ D'o\`{u} :

$\int\nolimits_{0}^{\pi /4}\varphi \left( \theta \right) d\theta $ converge
et comme $\varphi $ est paire, \underline{$I$ converge.}

\medskip

3. Notons $L_{\alpha }$ la longueur de $C_{1\left| \left[ -\alpha ,\alpha
\right] \right. }.$ On a lors $L_{\alpha }=\int\nolimits_{-\alpha }^{\alpha
}\left\| \overrightarrow{M^{\prime }\left( \theta \right) }\right\| d\theta
. $

Or $\forall \theta \in \left] -\dfrac{\pi }{4},\dfrac{\pi }{4}\right[
,\;\left\| \overrightarrow{M^{\prime }\left( \theta \right) }\right\| =\sqrt{%
\cos \left( 2\theta \right) +\dfrac{\left( \sin \left( 2\theta \right)
\right) ^{2}}{\cos \left( 2\theta \right) }}=\dfrac{1}{\sqrt{\cos \left(
2\theta \right) }}.$

D'o\`{u} $L_{\alpha }=\int\nolimits_{-\alpha }^{\alpha }\dfrac{1}{\sqrt{\cos
\left( 2\theta \right) }}d\theta .$ d'apr\`{e}s la question
pr\'{e}c\'{e}dente, \underline{$L$ existe et vaut $I$}.

\medskip

4.1. Gr\^{a}ce au changement de variables $\varphi =2\theta $ (justifi\'{e}
car $\theta \rightarrow 2\theta $ est un diff\'{e}omorphisme de classe $%
C^{1} $ de $\left] -\dfrac{\pi }{4},\dfrac{\pi }{4}\right[ $ sur $\left] -%
\dfrac{\pi }{2},\dfrac{\pi }{2}\right[ ),$ on obtient :

\underline{$L=$}$\int\nolimits_{-\pi /2}^{\pi /2}\dfrac{1}{2\sqrt{\cos
\left( \varphi \right) }}d\varphi =\underline{\int\nolimits_{0}^{\pi /2}%
\dfrac{1}{\sqrt{\cos \left( \varphi \right) }}d\varphi }.$

\medskip

4.2. Gr\^{a}ce au changement de variables $u=\sqrt{\cos \left( \varphi
\right) }$ (justifi\'{e} car $\varphi \rightarrow \sqrt{\cos \left( \varphi
\right) }$ est un diff\'{e}omorphisme de classe $C^{1}$ de $\left] 0,\dfrac{%
\pi }{2}\right[ $ sur $\left] 0,1\right[ ),$ on obtient :

$L=\int\nolimits_{1}^{0}\dfrac{1}{u}\times \dfrac{-2u}{\sqrt{1-u^{4}}}du$
car $du=-\dfrac{\sin \left( \varphi \right) }{2\sqrt{\cos \left( \varphi
\right) }}d\varphi =-\dfrac{\sqrt{1-u^{4}}}{2u}d\varphi $

D'o\`{u} :

\[
\frame{$L=2\int\nolimits_{0}^{1}\dfrac{du}{\sqrt{1-u^{4}}}$} 
\]

\medskip

5. $A=\iint_{\Delta }dxdy=\int\nolimits_{-\pi /4}^{\pi /4}\left(
\int\nolimits_{0}^{\sqrt{\cos \left( 2\theta \right) }}\rho d\rho \right)
d\theta $

$\;\;\;\;=\dfrac{1}{2}\int\nolimits_{-\pi /4}^{\pi /4}\left[ \rho
^{2}\right] _{0}^{\sqrt{\cos \left( 2\theta \right) }}d\theta $

$\;\;\;\;=\int\nolimits_{0}^{\pi /4}\cos \left( 2\theta \right) d\theta $

$\;\;\;\;=\left[ \dfrac{\sin \left( 2\theta \right) }{2}\right] _{0}^{\pi
/4}.$ D'o\`{u} :

\[
\frame{$A=\dfrac{1}{2}$} 
\]

\medskip

\textbf{Partie III}

\medskip

1. $t\stackrel{\Psi }{\rightarrow }t^{\alpha -1}\left( 1-t\right) ^{\beta
-1} $ est continue sur $\left] 0,1\right[ .$

$\Psi (t)\stackunder{0^{+}}{\sim }\dfrac{1}{t^{1-\alpha }}$ et $%
\int_{0}^{1/2}\Psi (t)dt$ converge $\Leftrightarrow 1-\alpha
<1\Leftrightarrow \alpha >0$

$\Psi (t)\stackunder{1^{-}}{\sim }\dfrac{1}{\left( 1-t\right) ^{1-\beta }}$
et $\int_{1/2}^{1}\Psi (t)dt$ converge $\Leftrightarrow 1-\beta
<1\Leftrightarrow \beta >0.$ Donc :

\[
\frame{$B\left( \alpha ,\beta \right) $ converge $\Leftrightarrow \alpha >0$
et $\beta >0$} 
\]

\medskip

2. $t\rightarrow u=1-t$ est un diff\'{e}omorphisme de classe $C^{1}$ de $%
\left] 0,1\right[ $ sur $\left] 0,1\right[ .$ D'o\`{u} :

$B\left( \alpha ,\beta \right) =-\int_{1}^{0}\left( 1-u\right) ^{\left(
\alpha -1\right) }u^{\left( \beta -1\right) }du$

$\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\int_{0}^{1}\left( 1-u\right) ^{\left( \alpha -1\right)
}u^{\left( \beta -1\right) }du\Rightarrow $

\[
\frame{$B\left( \alpha ,\beta \right) =B\left( \beta ,\alpha \right) $} 
\]

\medskip

3. $\theta \rightarrow \sin ^{2}\left( \theta \right) $ est un
diff\'{e}omorphisme de classe $C^{1}$ de $\left] 0,\dfrac{\pi }{2}\right[ $
sur $\left] 0,1\right[ .$ D'o\`{u} :

$B\left( \alpha ,\beta \right) =\int_{0}^{\pi /2}\sin ^{2\left( \alpha
-1\right) }\left( \theta \right) \left( 1-\sin ^{2}\left( \theta \right)
\right) ^{\left( \beta -1\right) }2\sin \left( \theta \right) \cos \left(
\theta \right) d\theta \Rightarrow $

\[
\frame{$B\left( \alpha ,\beta \right) =2\int_{0}^{\pi /2}\sin ^{2\alpha
-1}\left( \theta \right) \cos ^{2\beta -1}\left( \theta \right) d\theta $} 
\]

\medskip

4. $B\left( \dfrac{1}{2},\dfrac{1}{4}\right) =2\int_{0}^{\pi /2}\cos
^{-1/2}\left( \theta \right) d\theta ,$ d'o\`{u} d'apr\`{e}s II.4.1.,

\[
\frame{$L=\dfrac{1}{2}B\left( \dfrac{1}{2},\dfrac{1}{4}\right) $} 
\]

\medskip

\textbf{Partie IV}

\medskip

1.1. Pour $n=1,$ on a $\left\{ 
\begin{array}{l}
M_{0}^{1},\text{d'angle polaire }0\text{,a pour coordonn\'{e}es
cart\'{e}siennes }\left( 1,0\right) . \\ 
M_{1}^{1},\text{d'angle polaire }\dfrac{\pi }{4}\text{,a pour
coordonn\'{e}es cart\'{e}siennes }\left( 0,0\right)
\end{array}
\right. .$ on a alors :

\underline{$2L1=2$}$.$

\medskip

Pour $n=2,$ on a $\left\{ 
\begin{array}{l}
M_{0}^{2},\text{d'angle polaire }0\text{,a pour coordonn\'{e}es
cart\'{e}siennes }\left( 1,0\right) . \\ 
M_{1}^{2},\text{d'angle polaire }\dfrac{\pi }{8}\text{,a pour
coordonn\'{e}es cart\'{e}siennes }\left( x,y\right) \\ 
M_{2}^{2},\text{d'angle polaire }\dfrac{\pi }{4}\text{,a pour
coordonn\'{e}es cart\'{e}siennes }\left( 0,0\right)
\end{array}
\right. .$

avec $x=\rho \left( \dfrac{\pi }{8}\right) \cos \left( \dfrac{\pi }{8}%
\right) $ et $y=\rho \left( \dfrac{\pi }{8}\right) \sin \left( \dfrac{\pi }{8%
}\right) .$

Or $\rho \left( \dfrac{\pi }{8}\right) =\sqrt{\cos \left( \dfrac{\pi }{4}%
\right) }=\sqrt{\dfrac{\sqrt{2}}{2}},$ $\cos \left( \dfrac{\pi }{8}\right) =%
\sqrt{\dfrac{1+\cos \left( \dfrac{\pi }{4}\right) }{2}}=\sqrt{\dfrac{1+%
\dfrac{\sqrt{2}}{2}}{2}}=\sqrt{\dfrac{2+\sqrt{2}}{4}}$ et de m\^{e}me :

$\sin \left( \dfrac{\pi }{8}\right) =\sqrt{\dfrac{2-\sqrt{2}}{4}}.$ D'o\`{u}

$M_{1}^{2}$ a pour coordonn\'{e}es cart\'{e}siennes $\left( \sqrt{\dfrac{%
\sqrt{2}}{2}}\sqrt{\dfrac{2+\sqrt{2}}{4}},\sqrt{\dfrac{\sqrt{2}}{2}}\sqrt{%
\dfrac{2+\sqrt{2}}{4}}\right) =$

\[
\frame{$\left( \dfrac{\sqrt{1+\sqrt{2}}}{2},\dfrac{\sqrt{\sqrt{2}-1}}{2}%
\right) $} 
\]

Une valeur approch\'{e}e de $2L_{2}$ est alors :

$2\left( \sqrt{\left( \dfrac{\sqrt{1+\sqrt{2}}}{2}\right) ^{2}+\left( \dfrac{%
\sqrt{\sqrt{2}-1}}{2}\right) ^{2}}+\sqrt{\left( \dfrac{\sqrt{1+\sqrt{2}}}{2}%
-1\right) ^{2}+\left( \dfrac{\sqrt{\sqrt{2}-1}}{2}\right) ^{2}}\right) $

\[
\frame{$\simeq 2.4649$} 
\]

\medskip

3. Pour $n=4,$ une calculatrice donne les coordonn\'{e}es cart\'{e}siennes
des $M_{i}^{4},$ $i=0,..,4.$

\[
\begin{tabular}{|l|c|c|c|c|c|}
\hline
$k$ & $0$ & $1$ & $2$ & $3$ & $4$ \\ \hline
$\theta $ & $0$ & $\dfrac{\pi }{16}$ & $\dfrac{\pi }{8}$ & $\dfrac{3\pi }{16}
$ & $\dfrac{\pi }{4}$ \\ \hline
$\rho \left( \theta \right) $ & $1$ & $0.96$ & $0.84$ & $0.62$ & $0$ \\ 
\hline
$x\left( \theta \right) $ & $1$ & $0.94$ & $0.78$ & $0.51$ & $0$ \\ \hline
$y\left( \theta \right) $ & $0$ & $0.19$ & $0.32$ & $0.34$ & $0$ \\ \hline
\end{tabular}
\]

D'o\`{u} le dessin demand\'{e}.

%\FRAME{dtbpF}{12.1935cm}{9.0479cm}{0pt}{}{}{ccp2_02_fig2.wmf}{%
%\special{language "Scientific Word";type "GRAPHIC";maintain-aspect-ratio
%TRUE;display "USEDEF";valid_file "F";width 12.1935cm;height 9.0479cm;depth
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%"1";cropright "1";cropbottom "0";filename
%'C:/SWP25/fichiers/devoirs/CCP2_02_fig2.wmf';file-properties "XNPEU";}}

\medskip
\centerline{\psfig{file=m02pt2fc.eps,height=9.0479cm}}
\medskip

4. Avec MAPLE :

$f:=t->sqrt(cos(2*t)):$

$with(linalg):$

$p:=0:L1:=1:L2:=0:$

$while\;abs(2*L1-2*L2)>10\symbol{94}(-3)\;do$

$\;\;L2:=L1;\;B:=[1,0];\;p:=p+1;\;r:=2\symbol{94}p;\;L1:=0;$

$\;\;for\;k\;from\;1\;to\;r\;do$

$\;\;\;\;\;h:=k*Pi/4/r;$

$\;\;\;\;\;A:=evalf([f(h)*cos(h),f(h)*sin(h)]);$

$\;\;\;\;\;L1:=L1+norm(B-A,2);$

$\;\;\;\;\;B:=A;$

$\;\;od;$

$od:$

$n=2\symbol{94}p;\;I=2*L1;$

\medskip

\begin{center}
$n=64$

$I=2.621908274$
\end{center}

$\medskip $

$evalf(int(1/f(t),t=-Pi/4..Pi/4));$

$\medskip $

\begin{center}
$2.622057553$ (valeur approch\'{e}e \`{a} $1/2.10^{-9}$ pr\`{e}s$)$

$\Delta \Delta \Delta $
\end{center}

R\'{e}dig\'{e} par

\[
\begin{array}{l}
Pierre\;Bron,\;professeur\;de\;Sp\acute{e}ciales\;TSI \\ 
Lyc\acute{e}e\;Chaptal,\;6,\;all\acute{e}e\;Chaptal,\;22000\;StBrieuc \\ 
Tel.\;0296639414 \\ 
Adresse\;\acute{e}lectronique:BRON.Pierre@wanadoo.fr
\end{array}
\]

\`{a} l'aide de Scientific Workplace

\end{document}
