\font\titre=cmr12	\font\petitcar=cmr6
\let\scr=\scriptstyle

\gdef\virgule{\,\raise.7mm\hbox{,}}	%virgule remont\'ee apr\`es fraction
\gdef\point{\,\raise.7mm\hbox{.}}	%point remont\'e apr\`es fraction
\let\.=\point
\gdef\dis{\displaystyle}
\gdef\dism#1{\dis\mathop{#1}}
\gdef\un{\underline}
\gdef\z{\infty}
\gdef\v{\overrightarrow}
\gdef\donc{\Longrightarrow}
\gdef\donne{\longmapsto}
\gdef\fois{\hbox{$\scriptstyle\times$}}
\gdef\priv\'ede#1|{\setminus\left\{#1\right\}}

\gdef\souligne#1|{\setbox10=\vtop{#1}\dimen10=\wd10\vtop{
    \hbox{\enoncefaible\box10\vskip1mm|}
    \nointerlineskip
    \hbox to \dimen10{\hrulefill}}}

\gdef\={\,=\,} \gdef\<{\,<\,} \gdef\>{\,>\,} \gdef\-{\,-\,} \gdef\+{\,+\,} 

\gdef\frac#1 #2|{\dis{#1\over#2}}
\gdef\ccoord#1 #2{\setbox20=\hbox{$\vcenter{\hbox{$#1$}\vskip-1mm\hbox{$#2$}}
   $}\dimen20=\ht20\advance\dimen20 by -1pt
   \,\vrule height\dimen20 depth\dp20 width.4pt\,\box20\,}
\gdef\som#1 #2|{\dis\mathop{\Sigma}_{#1}^{#2}}	    \gdef\ser{\dism\Sigma}
\gdef\Som#1 #2|{\dis\mathop{\sum}_{#1}^{#2}}
\gdef\Int{\dis\int}

\gdef\qqs#1#2{\forall \hskip .7mm #1\!\in\! #2}
\gdef\exist#1#2{\exists\,#1\!\in{\!#2}}

\gdef\equ#1#2{\hbox{$\dis\mathop{\sim}_{#1\to #2}$}}
\gdef\neglig#1 #2|{\dis\mathop{\ll}_{#1\to#2}}

\gdef\fct#1#2#3#4{\vtop{\halign{##&##&##\cr
	\hfill$#1$\hfill&$\longrightarrow$&\hfill$#2$\hfill\cr
	\hfill$#3$\hfill&$\donne$&\hfill$#4$\hfill\cr}}}
\gdef\lim#1 #2|{\hbox{$\dis\mathop{lim}_{#1\to #2}\,$}}

\gdef\r#1{\hbox{$\cal#1$}}

\gdef\tvi#1#2{\vrule height#1ptdepth#2ptwidth0pt}

\gdef\tend#1#2{\setbox10=\hbox{$\ \scriptstyle#1\to#2\,$}
   \setbox11=\hbox{\rightarrowfill}
   \,\dism{\box11}_{\box10}\,}

\def\encadrer#1#2{\setbox1=\hbox{\kern#1pt{#2}\kern#1pt}
   \dimen1=\ht1 \advance\dimen1 by #1pt \dimen2=\dp1 \advance\dimen2 by #1pt
   \setbox1=\hbox{\vrule height\dimen1 depth\dimen2\box1\vrule}
   \setbox1=\vbox{\hrule\box1\hrule}\advance\dimen1 by .4pt \ht1=\dimen1
   \advance\dimen2 by .4pt \dp1=\dimen2 \box1\relax}

\gdef\enoncefaible#1|{\setbox20=\vtop{#1}\dimen20=\ht20\advance\dimen20by.4mm
   \tvi00\hbox{\vrule height\dimen20 depth\dp20 width.4pt\ \box20}}

\gdef\N{\hbox{\hsize=19.4pt\vrule height6.6ptdepth0pt
	width.6pt\hskip-.625pt{\bf N}}}
\gdef\K{\hbox{\hsize=19.4pt\vrule height6.6ptdepth0pt
	width.6pt\hskip-.625pt{\bf K}}}
\gdef\R{\hbox{\hsize=19.4pt\vrule height6.6ptdepth0pt
	width.6pt\hskip-.625pt{\bf R}}}
\gdef\C{\hbox{\hsize=18.4pt\hskip2pt\vrule height6.4ptdepth-.2pt
	width.6pt\hskip-3.4pt{\bf C}}}
\gdef\Q{\hbox{\hsize=18.4pt\hskip1.5pt\vrule height6.5ptdepth0pt
	width.6pt\hskip-3.35pt{\bf Q}\hskip.1pt}}
\gdef\Z{\hbox{\hskip-1.2mm\vtop{\vskip-6.5pt\hbox{\hskip6pt{\petitcar /}}
		\vskip-10pt\hbox{\bf \hskip2.9ptZ}}}}

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\documentstyle[francais]{article}
\begin{document}
\input upsnum.sty

%\parindent=0pt\hsize=15cm\vsize=27cm\parskip3mm

%\hoffset-2mm\voffset=-45mm     

{\titre\centerline{\hskip-6cmSP\'E TSI\qquad Corrig\'e de CCP 2002
  \quad$2^{\hbox{\`eme}}$ \'epreuve}}

\vskip4mm\leftskip-4cm

A\,1) \vtop{
  \hbox{On a :\quad$\qqs\theta J\quad\v T(\theta)\perp\v u(3\theta)\,$\vtop{
    \hbox{$\iff\widehat{\big(\v u(3\theta)\,,\!\v T(\theta)\big)}
		\=\frac{\pi} 2|\ [\pi]
	  \iff\widehat{\big(\v u(3\theta)\,,\!\v i\big)}
		\+\widehat{\big(\v i,\!\v u(\theta)\big)}
		\+\widehat{\big(\v u(\theta)\,,\!\v T(\theta)\big)}
		\=\frac{\pi} 2|\ [\pi]$}
    \hbox{$\iff V(\theta)\=\widehat{\big(\v i,\!\v u(3\theta)\big)}
		\-\widehat{\big(\v i,\!\v u(\theta)\big)}
		\+\frac{\pi} 2|\ [\pi]
	  \iff V(\theta)\=3\theta\-\theta\+\frac{\pi} 2|\ [\pi]$}}}
  \vskip1mm
  \hbox{\un{La condition impos\'ee \'equivaut donc bien \`a :\quad$\qqs\theta J
	\quad V(\theta)\=2\theta\+\frac{\pi} 2|\ [\pi]$}}}

\vskip2mm
A\,2) \vtop{
  \hbox{$\Gamma$ est bir\'eguli\`ere, donc r\'eguli\`ere, donc le premier vecteur
	d\'eriv\'e, $f'(\theta)\v u(\theta)
		\+f(\theta)\v u\!\left(\theta+{\pi\over2}\right)\!,$ ne
	s'annule pas et dirige la}
  \hbox{tangente \`a $\Gamma$ en $M(\theta)$ pour	tout $\theta$ de $J$ ; de
	plus ceci entra\^{\i}ne que $\big(f(\theta),f'(\theta)\big)$ n'est jamais
	$0_{\R^2}$.}
  \vskip.5mm
  \hbox{Soit donc $\theta$ fix\'e dans $J$.}
  \vskip1.5mm
  \hbox{\encadrer2{$1^{\hbox{er}}$ cas} \ $2\theta\ne0\ [\pi]$}
  \hbox{\qquad alors :\quad$V(\theta)\=2\theta\+\frac{\pi} 2|\ [\pi]\,$\vtop{
    \hbox{$\iff tan\,V(\theta)\=tan\left(2\theta+{\pi\over2}\right)
	  \iff\frac f(\theta) f'(\theta)|\=-\frac cos(2\theta) sin(2\theta)|$}
    \vskip-2mm
    \hbox{$\iff f'(\theta)\,cos(2\theta)\+f(\theta)\,sin(2\theta)\=0$\qquad
	  le retour est assur\'e car $\left\{\vcenter{
	  \hbox{ $\big(f(\theta),f'(\theta)\big)\ne0_{\R^2}$}\vskip-1mm
	  \hbox{\hskip-1mmet}\vskip-1mm\hbox{ \,$2\theta\ne0\ [\pi]$}}\right.$
	  }}}
  \vskip-4mm
  \hbox{\encadrer2{$2^{\hbox{\`eme}}$ cas} \ $2\theta=0\ [\pi]$}
  \hbox{\qquad alors :\quad$V(\theta)\=2\theta\+\frac{\pi} 2|\ [\pi]
	\iff V(\theta)\=\frac{\pi} 2|\ [\pi]\iff f'(\theta)\=0
	\iff f'(\theta)\,cos(2\theta)\+f(\theta)\,sin(2\theta)\=0$}
  \vskip1mm
  \hbox{Donc :\quad\un{$\left(\qqs\theta J
		\quad V(\theta)\=2\theta\+\frac{\pi} 2|\ [\pi]\right)
	\iff\left(\qqs\theta J\ \ \ \vcenter{
		\hbox{ \,$\big(f(\theta),f'(\theta)\big)\ne0_{\R^2}$}
		\vskip-1mm\hbox{\hskip-1mmet}\vskip-1mm
		\hbox{ \,$f'(\theta)\,cos(2\theta)
			\+f(\theta)\,sin(2\theta)\=0$}}\right)$}}}

\vskip2mm
A\,3) \vtop{
  \souligne
    \hbox{$(E)$ est une \'equation diff\'erentielle lin\'eaire du premier ordre
	  homog\`ene.}
    \hbox{L'ensemble des solutions de $(E)$ est donc un \R-espace vectoriel.}
    \hbox{Si $J$ est un intervalle de longueur non nulle sur lequel
	  $cos(2\theta)$ ne s'annule pas, alors l'ensemble des solutions de
	  $(E)$}
    \hbox{sur $J$ est un \R-espace vectoriel de dimension 1, plus
	  pr\'ecis\'ement, on a \un{alors} :}
    \vskip.5mm
    \hbox{\hskip45mm$\big(\,\qqs\theta J\quad
		f'(\theta)\,cos(2\theta)\+f(\theta)\,sin(2\theta)\=0
		\,\big)
	  \iff\big[\,\exist\alpha\R\,\big/\,\qqs\theta J\quad f(\theta)
		\=\alpha\,exp\big(g(\theta)\big)\,\big]$ }
    \hbox{\hskip46mmo\`u $g$ est une primitive sur $J$ de
	  $\theta\donne-\frac sin(2\theta) cos(2\theta)|$}|
  \vskip2mm
  \hbox{On peut remarquer que, $J$ \'etant toujours un intervalle de longueur
	non nulle sur lequel $cos(2\theta)$ ne s'annule pas, dire "$f$ est}
  \hbox{une solution de $(E)$ sur $J$ autre que la fonction nulle" \'equivaut \`a
	dire "$f$ est une solution de $(E)$ sur $J$ telle que $f$ ne}
  \hbox{s'annule pas" et cela \'equivaut donc encore \`a dire "$f$ est une
	solution de $(E)$ sur $J$ telle que le couple $(f,f')$ ne s'annule}
  \hbox{pas", tout ceci car $exp$ ne s'annule pas sur \R ; ce qui pr\'ecise la
	conclusion de 2).}
  \vskip1.5mm
  \hbox{Sur $\left]-\frac{\pi} 4|\virgule\frac{\pi} 4|\right[$\,:\quad
	$-\Int\frac sin(2\theta) cos(2\theta)|\,d\theta
	\=\Int\frac d\,\big(cos(2\theta)\big) 2\,cos(2\theta)|
	\=\frac 1 2|\,ln|cos(2\theta)|\+cste$}
  \vskip1mm
  \hbox{Donc :\quad\un{$
	\left(\qqs\theta\left]-\frac{\pi} 4|\virgule\frac{\pi} 4|\right[\quad
		f'(\theta)\,cos(2\theta)\+f(\theta)\,sin(2\theta)\=0\right)
	  \iff\left(\,\exist\alpha\R\,\big/\,\qqs\theta
		\left]-\frac{\pi} 4|\virgule\frac{\pi} 4|\right[\quad
		f(\theta)\=\alpha\,\sqrt{\tvi90cos(2\theta)}\right)$}}}

\vskip2mm
A\,4) \vtop{
  \hbox{On a imm\`ediatement :\quad$\qqs{(\lambda,\mu)}{{\R^*}^2}\!,\
	\qqs\theta\left]-{\pi\over4}\virgule{\pi\over4}\right[\quad
	f_\lambda(\theta)\=\lambda\,\sqrt{cos(2\theta)}$ \ et \,
	$f_\mu(\theta)\=\mu\,\sqrt{cos(2\theta)}$}
  \vskip.5mm
  \hbox{Donc :\quad$\qqs{(\lambda,\mu)}{{\R^*}^2}\!,\
	\qqs\theta\left]-{\pi\over4}\virgule{\pi\over4}\right[\quad
	f_\mu(\theta)\v u(\theta)
	\=\frac{\mu} \lambda|\,f_\lambda(\theta)\v u(\theta)$}
  \vskip1mm
  \hbox{\un{Donc, pour tout couple $(\lambda,\mu)$ de ${\R^*}^2\!$,
	$\r C_\mu$ est l'image de $\r C_\lambda$ par l'homoth\'etie de centre
	$O$ et de rapport $\frac{\mu} \lambda|\.$}}}

\vskip2mm
A\,5) \vtop{
  \hbox{Soit $\lambda$ fix\'e dans $\R^*\!.$\qquad
	On a :\quad$\lim {\theta} {{\pi\over4}}|f_\lambda(\theta)\=0$}
  \vskip-2mm
  \hbox{De plus :\quad$\qqs\theta\left]-\frac{\pi} 4|\virgule\frac{\pi} 4|
	\right[\quad\frac f_\lambda(\theta)\-0 \theta\-{\pi\over4}|\,$\vtop{
    \hbox{$\=\frac \lambda\,\sqrt{\tvi90cos(2\theta)} \theta\-{\pi\over4}|
	  \=\frac \lambda\,\sqrt{cos\left({\pi\over2}\scr-2u\right)} -u|
	  \=\frac \lambda\,\sqrt{\tvi90sin(2u)} -u|$\qquad on a pos\'e \,
	  $\theta={\pi\over4}-u$}
    \hbox{$\equ{\theta} {{\pi\over4}^-}\lambda\,\frac\sqrt{2u} -u|
	  \=-\frac \lambda\sqrt2 \sqrt u|\tend{\theta} {{\pi\over4}^-}
	  -\z\fois sgn\,\lambda$}}}
  \vskip.5mm
  \hbox{Donc $f_\lambda$ n'admet pas de prolongement d\'erivable en
	${\pi\over4}\.$}
  \vskip.5mm
  \hbox{Donc, parmi les solutions de $(E)$ sur $\left]\hbox{-}{\pi\over4}
	\virgule{\pi\over4}\right[$, seule la fonction nulle admet un
	prolongement d\'erivable en ${\pi\over4}\.$}
  \vskip1mm
  \hbox{On aurait pu r\'esoudre $(E)$ sur $\left]\hbox{-}{\pi\over4}{\scr+}
	{{k\pi}\over2}\virgule{\pi\over4}{\scr+}{{k\pi}\over2}\right[$ pour
	tout $k$ de \Z\ de la m\^eme fa\c{c}on qu'en 3) \`a la seule condition de}
  \hbox{remplacer $\sqrt{\tvi90cos(2\theta)}$ par
	$\sqrt{|\tvi90cos(2\theta)|}$.}
  \vskip.5mm
  \hbox{En reprenant le raisonnement ci-dessus, on obtient de m\^eme que, parmi
	les solutions de $(E)$ sur $\left]\hbox{-}{\pi\over4}{\scr+}{{k\pi}
	\over2}\virgule{\pi\over4}{\scr+}{{k\pi}\over2}\right[$ seule}
  \hbox{la fonction nulle admet un prolongement d\'erivable en ${\pi\over4}
	{\scr+}{{k\pi}\over2}$ ; ceci pour tout $k$ de \Z.}
  \vskip1mm
  \hbox{\un{Ceci suffit pour conclure que $(E)$ a une seule solution sur \R,
	la fonction nulle.}}}

%\vfill\eject
%				FIN DE LA PAGE 1
%\parindent=0pt\hsize=15cm\vsize=27cm\parskip3mm

\leftskip-4cm
A\,6.1) \vtop{
  \hbox{On admet que toute solution de $(E)$ sur $\left]\hbox{-}{\pi\over4}
	\virgule{\pi\over4}\right[$ est d\'eveloppable en s\'erie enti\`ere ; soit
	donc $\alpha$, fix\'e dans $\left]0,{\pi\over4}\right[$,}
  \hbox{et ${(a_n)}_{n\in\N}$, suite r\'eelle, tels que :\quad$\qqs\theta\
	]\hbox{-}\alpha,\alpha[\quad f_1(\theta)\=\som n=0 +\z|a_n\theta^n$}
  \vskip.5mm
  \hbox{On a :\quad$f_1(0)\=1$\quad donc\quad\un{$a_0=\,1$}}
  \vskip.5mm
  \hbox{De plus :\quad$\qqs\theta\ ]\hbox{-}\alpha,\alpha[\quad 0\,$\vtop{
    \hbox{$\=f'_1(\theta)\,cos(2\theta)\+f_1(\theta)\,sin(2\theta)
	  \,=\left(\som n=1 +\z|na_n\theta^{n-1}\right)cos(2\theta)
		\,+\left(\som n=0 +\z|a_n\theta^n\right)sin(2\theta)$}
    \hbox{$\,=\left(\som n=1 +\z|na_n\theta^{n-1}\right)
		\left(\Som n=0 +\z|\frac (-1)^n2^{2n}\theta^{2n} (2n)!|\right)
		\,+\left(\som n=0 +\z|a_n\theta^n\right)
		\left(\Som n=0 +\z|\frac (-1)^n2^{2n+1}\theta^{2n+1} (2n+1)!|
			\right)$}
    \hbox{$\=\big(a_1+2a_2\theta+3a_3\theta^2\big)
			\left(1-\frac 4\theta^2 2|\right)
		+\,\big(a_0+a_1\theta\big)\fois2\theta\+o(\theta^2)$}
    \hbox{$\=a_1\+(2a_2+2a_0)\,\theta\+(-2a_1+3a_3+2a_1)\,\theta^2
		\+o(\theta^2)$}}}
  \vskip1.5mm
  \hbox{Donc :\quad$\cases{a_1=0\cr2(a_0+a_2)=0\cr3a_3=0}$\quad donc\quad
	$\cases{a_1=0\cr a_2=-a_0\cr a_3=0}$\quad donc\quad
	$\cases{a_1=a_3=0\cr a_2=-a_0=-1}$}
  \vskip.5mm
  \hbox{Donc :\quad\un{$\qqs\theta\ ]\hbox{-}\alpha,\alpha[\quad f_1(\theta)
	\=1\-\theta^2\+\som n=4 +\z|a_n\theta^n$}}}

\vskip2mm
A\,6.2) \vtop{
  \hbox{On a :\quad\un{$\qqs p\N\quad cos(2x)
	\=\som n=0 p|\frac (-1)^n2^{2n}x^{2n} (2n)!|\+o(x^{2p+1})$}}
  \hbox{Et :\quad$\qqs p\N^*\quad (1+u)^{1/2}\,$\vtop{
    \hbox{$\=1\+\Som n=1 p|\Big[\dism{\hbox{$\prod$}}_{k=1}^n$$
		\left({1\over2}-k+1\right)\Big]\!\fois\frac u^n n!|\+o(u^p)
	  \=1\+\Som n=1 p|\Big[\dism{\hbox{$\prod$}}_{k=1}^n(-1+2k-2)\Big]
		\!\fois\frac (-1)^nu^n 2^{n\tvi04}n!|\+o(u^p)$}
    \hbox{$\=1\+\Som n=1 p|\Big[\dism{\hbox{$\prod$}}_{k=1}^n(2k-3)\Big]
		\!\fois\frac (-1)^nu^n 2^{n\tvi04}n!|\+o(u^p)$}
    \hbox{$\=1\+\frac u 2|\+\Som n=2 p|\Big[\dism{\hbox{$\prod$}}_{k=2}
		^n(2k-3)\Big]\!\fois\frac (-1)^{n-1\tvi05}u^n 2^{n\tvi04}n!|
		\+o(u^p)$}
    \hbox{$\=1\+\frac u 2|\+\Som n=2 p|\frac (2n-2)!\,(-1)^{n-1\tvi05}u^n
	      2^{n\tvi04}n!\dism{\hbox{$\prod$}}_{k=1}^{n-1}(2k)|\+o(u^p)$}}}
  \hbox{Donc :\quad\un{$\qqs p\N^*\quad (1+u)^{1/2}
	\=1\+\frac u 2|\+\Som n=2 p|\frac (2n-2)!\,(-1)^{n-1\tvi05}u^n
		2^{2n-1\tvi05}n!\,(n-1)!|\+o(u^p)$}}
  \vskip1mm
  \hbox{De plus :\quad$f_1(\theta)\=\sqrt{\tvi80cos(2\theta)}
	\,=\left(1\-\frac 2^2\theta^2 2!|\+o(\theta^3)\right)^{1/2}
	=\,\big[1\-2\theta^2\+o(\theta^3)\big]^{1/2}
	=\,1-\theta^2\+o(\theta^3)$}
  \vskip1mm
  \hbox{Or la partie r\'eguli\`ere du d\'eveloppement limit\'e de $f_1$ est aussi le
	d\'ebut de son d\'eveloppement en s\'erie enti\`ere,}
  \hbox{donc :\quad\un{$\qqs\theta\ ]\hbox{-}\alpha,\alpha[\quad f_1(\theta)
	\=1\-\theta^2\+\som n=4 +\z|a_n\theta^n$}}}

\vskip1mm
A\,6.3) \vtop{
  \hbox{On a donc :\quad$f_1(\theta)\=1\-\theta^2\+o(\theta^3)
	\,=\Som n=0 3|\frac f_1^{(n)}(0) n!|\,\theta^n\+o(\theta^3)$}
  \vskip.5mm
  \hbox{Donc :\quad\un{$f_1(0)\=1,\quad f_1'(0)\=f_1^{(3)}(0)\=0,\quad
	f_{1\tvi60}\!\!"(0)\=-2$}}}

\vskip1mm
B\,1.1) \vtop{
  \hbox{$\rho$ est manifestement paire, il suffit donc d'\'etudier $\r C_1$ sur
	$\left[0,{\pi\over4}\right[$ et on compl\`etera par sym\`etrie par
	rapport \`a $Ox$.}
  \hbox{On a d\'ej\`a vu :\quad$\lim{\theta} {\pi\over4}^{\tvi03-}|
	\sqrt{\tvi80cos(2\theta)}\=0.$}
  \hbox{On peut donc prolonger continument $\r C_1$ en posant :\quad
	$M\left({\pi\over4}\right)=M\left(\hbox{-}{\pi\over4}\right)=\,O$}
  \vskip1.5mm
  \hbox{De plus :\quad$\qqs\theta\left[0,{\pi\over4}\right[\quad V(\theta)
	\=2\theta+{\pi\over2}\ [\pi]\tend\theta{{\pi\over4}^{\tvi03-}}\pi\ 
	[\pi]$}
  \vskip-.5mm
  \hbox{La demi-tangente \`a $\r C_1$ en $M\left({\pi\over4}\right)$ est donc
	dirig\'ee par $\v u\left({\pi\over4}\right)$, donc par $\vec i+\vec j$, par sym\`etrie, la demi-tangente en}
  \vskip-.5mm
  \hbox{$M\left(\hbox{-}{\pi\over4}\right)$ est dirig\'ee par $\vec i-\vec j$.}
  \hbox{\vtop{\halign{$#$&\ \tvi{11}5\vrule\ #&$#$&\hfil#\hfil&\hfil$#$\hfil
			\cr
	\theta&&0&\qquad&\pi/4\cr
	\noalign{\hrule}\cr
	\rho&&1&\ +&0\cr}}}}

%\vfill\eject
%				FIN DE LA PAGE 2
%\parindent=0pt\hsize=15cm\vsize=27cm\parskip3mm

\leftskip-4cm
B\,1.2) \vtop{
  \hbox{On a :\quad$\qqs\theta\left]\hbox{-}{\pi\over4}\virgule{\pi\over4}
	\right[\quad V(\theta)\=2\theta+{\pi\over2}\ [\pi]$}
  \hbox{Donc :\quad\vtop{
    \hbox{$\left(\vcenter{\hbox{La tangente en}
			  \hbox{$M(\theta)$ est verticale}}\right)
	  \iff V(\theta)+\theta={\pi\over2}\ [\pi]
	  \iff 3\theta+{\pi\over2}={\pi\over2}\ [\pi]
	  \iff\theta=0\ \left[{\pi\over3}\right]\iff\theta=0$}
    \vskip1mm
    \hbox{$\left(\vcenter{\hbox{La tangente en}
			  \hbox{$M(\theta)$ est horizontale}}\right)
	  \iff V(\theta)+\theta=0\ [\pi]
	  \iff 3\theta+{\pi\over2}=0\ [\pi]
	  \iff\theta=-{\pi\over6}\ \left[{\pi\over3}\right]
	  \iff\theta=\pm{\pi\over6}$}}}    
  \hbox{Or :\quad\vtop{
    \hbox{$f_1(0)=1,\quad f_1\left({\pi\over6}\right)
	  =\,\sqrt{cos\left(2\fois{\pi\over6}\right)}
	  =\,\sqrt{cos\left({\pi\over3}\right)}=\,\sqrt{1\over2}
	  \={\sqrt2\over2}\simeq0,707$}
    \hbox{$f_1\left({\pi\over6}\right)\!\fois cos\left({\pi\over6}\right)
	  =\,{1\over\sqrt2}\fois{\sqrt3\over2}\={\sqrt3\over{2\sqrt2}}
	  \simeq0,612\,,\quad
	  f_1\left({\pi\over6}\right)\!\fois sin\left({\pi\over6}\right)
	  =\,{1\over\sqrt2}\fois{1\over2}\={1\over{2\sqrt2}}\simeq0,354$}}}
  \vskip1mm
  \hbox{Donc :\quad\souligne
    \hbox{$\r C_1$ pr\'esente un point \`a tangente verticale et un seul,
	  $M(0)\ccoord 1 0$ ;}
    \vskip1mm
    \hbox{$\r C_1$ pr\'esente deux points \`a tangente horizontale :
	  \ \vtop{
      \hbox{$M\left({\pi\over6}\right)$, 
	    $\rho\left({\pi\over6}\right)=\,{1\over\sqrt2}$, coordonn\'ees
	    approch\'ees $(0,612\,;\,0,354)$}
      \hbox{et $M\left(\hbox{-}{\pi\over6}\right)$, sym\`etrique de
	    $M\left({\pi\over6}\right)$ par rapport \`a $Ox$.}}}|}}

\vskip1.5mm
B\,1.3) \vtop{
  \hbox{La tangente en $M(0)$ est verticale donc $\v T(0)$ est $\pm\vec j$ ;
	l'orientation de la courbe impose :\quad\un{$\v T(0)\=\vec j$}}
  \hbox{Donc :\quad\un{$\v N(0)\=-\vec i$}}
  \vskip1mm
  \hbox{On a :\quad$\qqs\theta\left]\hbox{-}{\pi\over4}\virgule{\pi\over4}
	\right[\quad s'^2(\theta)\=\rho^2(\theta)\+\rho'^2(\theta)
	\=cos(2\theta)\+\frac sin^2(2\theta) cos(2\theta)|
	\=\frac cos^2(2\theta)+sin^2(2\theta) cos(2\theta)|
	\=\frac 1 cos(2\theta)|$}
  \hbox{De plus :\quad$\qqs\theta\left]\hbox{-}{\pi\over4}\virgule{\pi\over4}
	\right[\quad\alpha(\theta)
	\=\theta\+V(\theta)\=3\theta+{\pi\over2}\ [\pi]$}
  \vskip.5mm
  \hbox{Donc :\quad$s'^2(0)\=1$ \ et \ $\alpha'(0)\=3,$\qquad donc \
	$R(0)\=\frac ds d\alpha|(0)\=\frac 1 3|$}
  \vskip.5mm
  \hbox{\un{Le centre de courbure de $\r C_1$ en $M(0)$ est donc 
	$\Omega(0)\ccoord {2/3\tvi07} {\ 0}$}\quad$\big(\Omega=M+R\v N\big)$}}

\vskip2mm
B\,2) \vtop{
  \hbox{On a :\quad\vtop{
    \hbox{$\bullet\ \theta\donne{1\over\sqrt{cos(2\theta)}}$ est continue sur 
	  $\left]\hbox{-}{\pi\over4}\virgule{\pi\over4}\right[$}
    \hbox{$\bullet\ {1\over\sqrt{cos(2\theta)}}
	  \={1\over\sqrt{cos\left[2\left({\scr\pi\over\scr4}-u\right)\right]}}
	  \={1\over\sqrt{sin(2u)}}\equ u 0{1\over{\sqrt2\,u^{1/2}}}\quad
	  \big(\theta={\pi\over4}-u\big)$}
    \hbox{$\bullet\ \theta\donne{1\over\sqrt{cos(2\theta)}}$ est paire.}}}
  \vskip1mm
  \hbox{Donc, d'apr\`es la r\`egle de l'\'equivalence et les int\'egrales de Riemann,
	\un{$I$ converge.}}}

\vskip2mm
B\,3) On a :\quad\un{$
  L\=\lim{\alpha} {{\pi\over4}\tvi60}^-|\int_{\hbox{-}\alpha}^{\,\alpha}
	 s'(\theta)\,d\theta
  \=\lim{\alpha} {{\pi\over4}\tvi60}^-|\Int_{\hbox{-}\alpha}^{\,\alpha}
	{{d\theta}\over\sqrt{cos(2\theta)}}\=I$}

\vskip1.5mm
B\,4.1) \vtop{
  \hbox{$L\=I\=\Int_{\hbox{-}{\pi\over4}}^{\,{\pi\over4}}
		{{d\theta}\over\sqrt{cos(2\theta)}}
	\=\Int_0^{\pi\over4}\hskip-2mm{{d\theta}\over\sqrt{cos(2\theta)}}
		\+\Int_{\hbox{-}{\pi\over4}}^{\,0}
			{{d\theta}\over\sqrt{cos(2\theta)}}
	\=\Int_0^{\pi\over4}\hskip-2mm{{d\theta}\over\sqrt{cos(2\theta)}}
		\+\Int_{\pi\over4}^{\,0}{{-d\psi}\over\sqrt{cos(-2\psi)}}
	\=2\Int_0^{\pi\over4}\hskip-2mm{{d\theta}\over\sqrt{cos(2\theta)}}$}
  \vskip1mm
  \hbox{Donc :\quad\un{$L
	\=\Int_0^{\pi\over2}\hskip-2mm{{d\varphi}\over\sqrt{cos\,\varphi}}$}
	\qquad\big(on a pos\'e successivement \,$\psi=-\theta,\ \ \theta=\psi,\
	\ \varphi=2\theta$\big)}}

\vskip2mm
B\,4.2) \vtop{
  \hbox{Posons :\quad$u=\sqrt{\tvi80cos\,\varphi}$, \ alors \
	$u^2=\,cos\,\varphi$
	\ et \ $2u\,du\=-sin\,\varphi\,d\varphi$}
  \vskip.5mm
  \hbox{On a :\quad\un{$L\=\Int_1^0\frac -2u\,du \sin\,\varphi\fois u|
	\=2\Int_0^1\frac du sin\,\varphi|
	\=2\Int_0^1\frac du \sqrt{1-cos^2\varphi}|
	\=2\Int_0^1\frac du \sqrt{1-u^4}|$}}}

\vskip2mm
B\,5) \vtop{
  \hbox{$\Delta$ est d\'efini par les conditions polaires $\cases{
	-{\pi\over4}\le\theta\le{\pi\over4}\cr
	0\le\rho\le\sqrt{cos(2\theta)}}$}
  \vskip.5mm
  \hbox{Donc :\quad$A
	\,=\Int_{\theta=\hbox{-}{\pi\over4}}^{\pi\over4}\hskip-1mm
	    \Int_{\rho=0}^{\sqrt{cos(2\theta)}}\hskip-5mm\rho\,d\rho\,d\theta
	\,=\Int_{\theta=\hbox{-}{\pi\over4}}^{\pi\over4}\hskip-1mm\left[
	 \frac\rho^2 2|\right]_{\,0}^{\!\sqrt{cos(2\theta)}}\hskip-5mmd\theta
	\,=\Int_{\hbox{-}{\pi\over4}}^{\pi\over4}\frac cos(2\theta) 2|\,
		d\theta
	\,=\left[\frac sin(2\theta) 4|\right]_{\hbox{-}{\pi\over4}}
		^{\pi\over4}$}
  \vskip.5mm
  \hbox{Donc :\quad\un{$A\=\frac 1 2|$}}}

\vskip2mm
C\,1) \vtop{
  \hbox{Quels que soient les r\'eels $\alpha$ et $\beta$ :\quad\vtop{
    \hbox{$\bullet\ t\donne t^{\alpha-1}(1-t)^{\beta-1}$ est continue sur \,
	  $]0,1[$}
    \hbox{$\bullet\ t^{\alpha-1}(1-t)^{\beta-1}\equ t {0^+}\,
	  \frac 1 t^{1-\alpha}|$}
    \hbox{$\bullet\ t^{\alpha-1}(1-t)^{\beta-1}\equ t {1^-}\,
	  \frac 1 (1-t)^{1-\beta}|$}}}
  \hbox{Donc, d'apr\`es la r\`egle de l'\'equivalence et les s\'eries de Riemann
	:\quad\un{$\qqs{(\alpha,\beta)}\R^2\quad
	\big(\,B(\alpha,\beta)$ converge\,\big)$\iff(\alpha,\beta)
	\in{\R^{*+}}^2$}}}

%\vfill\eject
%				FIN DE LA PAGE 3
%\parindent=0pt\hsize=15cm\vsize=27cm\parskip3mm

\leftskip-4cm
C\,2) On a :\quad\un{$\qqs{(\alpha,\beta)}{{\R^{*+}}^2}\quad
  B(\alpha,\beta)\,=\int_0^1t^{\alpha-1}(1-t)^{\beta-1}dt
  \,=\int_1^0(1-u)^{\alpha-1}u^{\beta-1}(-du)
  \,=\int_0^1u^{\beta-1}(1-u)^{\alpha-1}du\=B(\beta,\alpha)$}

\vskip2mm
C\,3) \vtop{
  \hbox{On a :\quad$\qqs{(\alpha,\beta)}{{\R^{*+}}^2}\quad
	B(\alpha,\beta)\,=\int_0^1t^{\alpha-1}(1-t)^{\beta-1}dt
	\,=\Int_0^{\pi\over2}sin^{2\alpha-2\tvi04}\hskip-.5mm\theta\,
	    {(1-sin^2\theta)}^{\beta-1}2\,sin\,\theta\,cos\,\theta\,d\theta$}
  \hbox{Donc :\quad\un{$\qqs{(\alpha,\beta)}{{\R^{*+}}^2}\quad
	B(\alpha,\beta)\=2\Int_0^{\pi\over2}sin^{2\alpha-1\tvi04}\hskip-.5mm
		\theta\,cos^{2\beta-1\tvi04}\hskip-.5mm\theta\,d\theta$}}}

\vskip2mm
C\,4) Donc :\quad$B\left({1\over2},{1\over4}\right)
  \=2\Int_0^{\pi\over2}cos^{{1\over2}-1}\hskip-.5mm\theta\,d\theta
  \=2\Int_0^{\pi\over2}\frac{d\theta} \sqrt{cos^2\theta}|\=2L$\quad
  d'apr\`es B\,4.1),\quad 
  donc :\quad\un{$L\=\frac 1 2|\,$$B\left({1\over2},{1\over4}\right)$}

\vskip2mm
D\,1.1) \vtop{
  \hbox{$M_0^1$ est le point de $\r C_1$ d'angle polaire $0$,
	\un{$M_0^1$ a donc pour coordonn\'ees cart\'esiennes (1,0).}}
  \vskip.5mm
  \hbox{$M_1^1$ est le point de $\r C_1$ d'angle polaire ${\pi\over4}$,
	\un{$M_1^1$ a donc pour coordonn\'ees cart\'esiennes (0,0).}}
  \vskip.5mm
  \hbox{Donc :\quad\un{$2\,L_1\=2\,M_0^1M_1^1\=2$}}}

\vskip2mm
D\,1.2) \vtop{
  \hbox{$M_0^2$ est le point de $\r C_1$ d'angle polaire $0$,
	\un{$M_0^2$ \'egale donc $M_0^1$ et a donc pour coordonn\'ees
	cart\'esiennes (1,0).}}
  \vskip.5mm
  \hbox{$M_2^2$ est le point de $\r C_1$ d'angle polaire ${\pi\over4}$,
	\un{$M_2^2$  \'egale donc $M_1^1$ et a donc pour coordonn\'ees
	cart\'esiennes (0,0).}}
  \vskip.5mm
  \hbox{$M_1^2$ est le point de $\r C_1$ d'angle polaire ${\pi\over8}\.$}
  \hbox{Or :\quad\vtop{
    \hbox{$f_1\left({\pi\over8}\right)=\,\sqrt{cos\,{\pi\over4}}
	  \=2^{\hbox{-}1/4},\quad
	  cos\,{\pi\over8}\=\sqrt{\frac 1\+cos\,{\pi\over4} 2|}
	  \=\sqrt{\frac 1\+{1\over\sqrt2} 2|}
	  \=\sqrt{\frac \sqrt2\+1 2\sqrt2|}
	  \=\frac \sqrt{\sqrt2\+1} 2^{3/4}|$}
    \hbox{$sin\,{\pi\over8}\=\sqrt{\frac 1\-cos\,{\pi\over4} 2|}
	  \=\sqrt{\frac 1\-{1\over\sqrt2} 2|}
	  \=\sqrt{\frac \sqrt2\-1 2\sqrt2|}
	  \=\frac \sqrt{\sqrt2\-1} 2^{3/4}|$}}}
  \hbox{\un{Les coordonn\'ees cart\'esiennes de $M_1^2$ sont donc
	$\left(\frac \sqrt{\sqrt2\+1} 2|\virgule\frac \sqrt{\sqrt2\-1} 2|
		\right)$, soit \`a $10^{-3}$ pr\`es $(0,777;0,322)$.}}
  \vskip1mm
  \hbox{Donc :\quad$2\,L_2\,$\vtop{
    \hbox{$\=2\,\big(M_0^2M_1^2+M_1^2M_2^2\,\big)
	  \=2\sqrt{\left({{\sqrt{\sqrt2\+1}}\over2}-1\right)^2
		+\left({{\sqrt{\sqrt2\-1}}\over2}\right)^2}
		+\,2\sqrt{\left({{\sqrt{\sqrt2\+1}}\over2}\right)^2
		+\left({{\sqrt{\sqrt2\-1}}\over2}\right)^2}$}
    \hbox{$\=2\sqrt{{{\sqrt2+1}\over4}\+1\-\sqrt{\sqrt2+1}
		\+{{\sqrt2-1}\over4}}
		\+2\sqrt{{{\sqrt2+1}\over4}\+{{\sqrt2-1}\over4}}
	  \=2\sqrt{{\sqrt2\over2}\+1\-\sqrt{\sqrt2+1}}
		\+2\sqrt{{\sqrt2\over2}}$}}}
  \vskip1mm
  \hbox{Donc :\quad\un{$2\,L_2\=2\sqrt{{1\over\sqrt2}\+1\-\sqrt{\sqrt2+1}}
		\+2^{3/4}\simeq2,464\,947\pm10^{-6}$}}}

\vskip2mm
D\,1.3) \vtop{
  \hbox{$M_0^4$ est le point de $\r C_1$ d'angle polaire $0$,
	\un{$M_0^4$ \'egale donc $M_0^1$ et a donc pour coordonn\'ees
	cart\'esiennes (1,0).}}
  \vskip.5mm
  \hbox{$M_4^4$ est le point de $\r C_1$ d'angle polaire ${\pi\over4}$,
	\un{$M_4^4$  \'egale donc $M_1^1$ et a donc pour coordonn\'ees
	cart\'esiennes (0,0).}}
  \vskip.5mm
  \hbox{\souligne
    \hbox{$M_2^4$ est le point de $\r C_1$ d'angle polaire ${\pi\over8}$,
	  $M_2^4$  \'egale donc $M_1^2$ et a donc pour coordonn\'ees
	  cart\'esiennes }
    \hbox{\`a $10^{-3}$ pr\`es $(0,777;0,322)$.}|}
  \vskip1.5mm
  \hbox{$M_1^4$ et $M_3^4$ sont les points de $\r C_1$ d'angles polaires
	respectifs ${\pi\over{16}}$ et ${{3\pi}\over{16}}\.$}
  \vskip1.5mm
  \hbox{Or :\quad\vtop{
    \hbox{$f_1\left({\pi\over{16}}\right)cos\,{\pi\over{16}}
		\=\sqrt{cos\,{\pi\over8}}\ cos\,{\pi\over{16}}
		\simeq 0,943\pm10^{-3},\quad
	  f_1\left({\pi\over{16}}\right)sin\,{\pi\over{16}}
		\=\sqrt{cos\,{\pi\over8}}\ sin\,{\pi\over{16}}
		\simeq 0,188\pm10^{-3}$}
    \hbox{$f_1\left({{3\pi}\over{16}}\right)cos\,{{3\pi}\over{16}}
		\=\sqrt{cos\,{{3\pi}\over8}}\ cos\,{{3\pi}\over{16}}
		\simeq 0,514\pm10^{-3},\quad
	  f_1\left({{3\pi}\over{16}}\right)sin\,{{3\pi}\over{16}}
		\=\sqrt{cos\,{{3\pi}\over8}}\ sin\,{{3\pi}\over{16}}
		\simeq 0,344\pm10^{-3}$}}}
  \vskip1mm
  \hbox{\un{Les coordonn\'ees cart\'esiennes \`a $10^{-3}$ pr\`es de $M_1^4$ et
	$M_3^4$ sont donc respectivement $(0,943;0,188)$ et $(0,514;0,344)$.
	}}}
\end{document}
