%  Corrig\'e de l'\'epreuve d'analyse des ENSI pos\'ee en 2002

% par Daniel GENOUD - Lyc\'ee La Martini\`ere-Monplaisir - LYON
% email : Daniel.Genoud@ac-lyon.fr

% LaTeX 2.09


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% Num\'erotation ups
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% Mise en page

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% Macros utilis\'ees pour ce corrig\'e

\def\num#1{\bigskip\hskip-7mm{\bf #1}.~~}
\def\snum#1{\medskip\hskip-7mm({#1})~}

\def\udl#1{\underline{#1}}
\def\Cc{{\bf C}}
\def\MnC{{\cal M}_n(\Cc)}
\def\C{{\cal C}}
\def\B{{\cal B}}
\def\dsum{\displaystyle\sum}
\def\dfrac{\displaystyle\frac}
\def\mat#1{Mat(#1,\B)}
\def\dim{{\rm dim}\,}
\def\im{{\rm Im}\,}
\def\ker{{\rm Ker}\,}
\def\rg{{\rm rg}\,}
\def\Id{{\rm I}d}

\begin{document}

\centerline{\fbox{{\bf 
~CORRIG\'E de l'\'epreuve de  MATHS 3 de E3A - 2002 - Fili\`ere MP }}}

\bigskip
\bigskip


\centerline{{\bf Autour du commutant d'un endomorphisme}}

\bigskip
\num{Partie 0. Un exemple}

\smallskip

\num{1} $M$ a pour terme g\'en\'eral $m_{i,j}=i\,\delta_{i,j}$.
~Soit $A\in\MnC$ de terme g\'en\'eral $a_{i,j}$.
\smallskip

\begin{tabular}{ll}
$\udl{A\in\C(M)}$ &$\iff A\,M=M\,A
\iff\forall\,(i,k)\in[\![1;n]\!]^2,~\dsum_{j=1}^na_{i,j}\,m_{j,k}=
\dsum_{j=1}^nm_{i,j}\,a_{j,k}$ \\
 &$\iff\forall\,(i,k)\in[\![1;n]\!]^2,~\dsum_{j=1}^n j\,a_{i,j}\,\delta_{j,k}=
\dsum_{j=1}^ni\,\delta_{i,j}\,a_{j,k}
 \iff\forall\,(i,k)\in[\![1;n]\!]^2,~k\,a_{i,k}=i\,a_{i,k}$\\
&$\iff\forall\,(i,k)\in[\![1;n]\!]^2,~(i\ne k\Longrightarrow a_{i,k}=0)
\iff\,\udl{A\hbox{ est diagonale}}.$
\end{tabular}

\num 2
En notant $\,(E_{i,j})_{1\le i,j\le n}\,$ la base canonique de $\MnC$,
on a :
\smallskip

\centerline{$A\in\C(M)\iff\exists\,(\alpha_1,\ldots,\alpha_n)\in\Cc^n~/~
A=\dsum_{i=1}^n\alpha_i\,E_{i,i}.$}
\smallskip


Une base de $\C(M)$ est donc : $(E_{1,1},E_{2,2},\ldots,E_{n,n})$,
~donc \udl{dim$\,\C(M)=n$}.
\bigskip
\smallskip

\num{Partie I. Commutant d'un endomorphisme diagonalisable}

\smallskip

\num 1
Soit $v\in\C(u)$ ~et~ $\udl{x\in E_{\lambda_i}(u)}$.
~Ainsi $~u(x)=\lambda_i.x$.

D'une part, $v\big(u(x)\big)=v(\lambda_i.x)=\lambda_i.v(x)$,
d'autre part,  $v\big(u(x)\big)=u\big(v(x)\big)$.

Donc $~u\big(v(x)\big)=\lambda_i.v(x)$, ce qui montre que 
$\udl{v(x)\in E_{\lambda_i}(u)}$.

Donc tous les sous-espaces propres  $E_{\lambda_i}(u)$
sont stables par $v$.

\num 2
On sait d'autre part que chaque $ E_{\lambda_i}(u)$
est stable par $u$, ce qui autorise \`a consid\'erer l'endomorphisme
$u_i$ induit par $u$ sur $ E_{\lambda_i}(u)$.
~\udl{$u_i$ n'est autre que l'homoth\'etie de rapport $\lambda_i$ 
de $E_{\lambda_i}(u)$}.

\num 3
Soit $\B$ une base adapt\'ee \`a la somme directe 
$\,E=\displaystyle\bigoplus_{i=1}^p E_{\lambda_i}(u)$.
\smallskip

\hskip-2mm$\bullet$
\udl{Si $v\in\C(u)$}, comme chaque $E_{\lambda_i}(u)$ est stable par $v$,
on sait que $B=\mat v$ est diagonale par blocs de la forme
\smallskip

\centerline{$B=\pmatrix{
     V_1    &  0       &  \ldots  &  0  \cr
        0   &  V_2     &  \ddots  &   \vdots \cr
    \vdots  &   \ddots &  \ddots  &   0 \cr
         0  &  \ldots  &  0       &  V_p  \cr}$
~avec $V_i\in{\cal M}_{n_i}(\Cc)$.}

\smallskip

\hskip-2mm$\bullet$
\udl{R\'eciproquement}, supposons que $B=\mat v $ soit de la forme
$B=\pmatrix{
     V_1    &  0       &  \ldots  &  0  \cr
        0   &  V_2     &   \ddots &   \vdots \cr
    \vdots  &   \ddots &  \ddots  &   0 \cr
         0  &  \ldots  &  0       &  V_p  \cr}$
~avec $V_i\in{\cal M}_{n_i}(\Cc)$.

\smallskip

$\B$ \'etant en particulier une base de vecteurs propres de $u$,
alors $A=\mat u $ est diagonale et on peut la d\'ecomposer en blocs
sous la forme 
$A=\pmatrix{
     D_1    &  0       &  \ldots  &  0  \cr
        0   &  D_2     &   \ddots &   \vdots \cr
    \vdots  &  \ddots  &  \ddots  &   0 \cr
         0  &  \ldots  &  0       &  D_p  \cr}$
~avec $D_i=\lambda_i.I_{n_i}$
(puisque $u_i$ est une homoth\'etie).
\smallskip

Comme $\,\forall\, i\in[\![1;p]\!],~D_i\,V_i=(\lambda_i.I_{n_i})\,V_i
=V_i\,(\lambda_i.I_{n_i})=V_i\,D_i$, alors $A\,B=B\,A$,
donc $u\circ v=v\circ u$, ~d'o\`u $\,\udl{v\in\C(u)}$.

\num 4
Par l'isomorphisme $\,v\longmapsto \mat v\,$ de ${\cal L}(E)$
dans $\MnC$, on obtient que $\C(v)$ a la m\^eme dimension que
le sous-espace vectoriel de $\MnC$ constitu\'e des matrices ayant
 la forme de $B$.

Ces matrices d\'ependent de $\,\dsum_{i=1}^p(n_i)^2\,$ coefficients arbitraires,
donc peuvent s'\'ecrire comme combinaison lin\'eaire de $\,\dsum_{i=1}^p(n_i)^2\,$
matrices $E_{j,k}$ de la base canonique de $\MnC$.
Donc ~\fbox{ $\dim\C(u)=\dsum_{i=1}^p(n_i)^2$. }

\num 5
Comme $\,\forall\, i\in[\![1;p]\!],~(n_i)^2\ge n_i$,
~alors $\dim\C(u)\ge\dsum_{i=1}^p n_i=\dim E=n$
(en effet $u$ \'etant diagonalisable, $n$ est \'egal \`a la somme des dimensions 
des sous-espaces propres de $u$).

\num 6
Soit $\B$ une base quelconque de $E$.
L'endomorphisme $u$ de $E$ repr\'esent\'e dans la base $\B$ par la matrice
$M$ de la partie {\bf 0} est tel que
$~\dim \C(u)=\dim\C(M)=n$.

\bigskip
\smallskip

\num{Partie II. Commutant d'un endomorphisme nilpotent d'indice 2}
\smallskip


\num 1
Supposons que $\,u\circ u=0$. ~Soit $y\in\im u$.
Alors $\exists\, x\in E~/~y=u(x)$.
Donc $\,u(y)=u\big(u(x)\big)=u^2(x)=0$, d'o\`u $\,y\in\ker u$.
\smallskip

Ainsi $~\udl{\im u\subset\ker u}$.
~De plus, $~\rg u=\dim(\im u)\le\dim(\ker u)=n-\rg u$,
~donc $~2\,\rg u\le n$, ~d'o\`u $~r\le\dfrac n2$.

\num 2
On remarque d'abord que puisque $G$ est un suppl\'ementaire de $\ker u$,
alors $\dim G=n-\dim(\ker u)=\rg u=r$, donc il est l\'egitime de noter 
$(e'_1,\ldots,e'_r)$ une base de $G$ 

On sait que $u$ induit un isomorphisme $\tilde u$ de $G$ sur $\im u$.
Ainsi l'image de la base $(e'_1,\ldots,e'_r)$ de $G$ est une base de
$\im u$.
\smallskip

Red\'emontrons le th\'eor\`eme d'isomorphisme utilis\'e ci-dessus.
Consid\'erons $~\tilde u:$
\begin{tabular}{ccc} $x$ & $\longrightarrow$ & $u(x)$\\
                     $G$ &                    & $\im u$
\end{tabular} 
qui est lin\'eaire.

. $\ker \tilde u=\ker u\cap G=\{0\}$, 
~donc $\,\tilde u$ est injective.

. $\im u=u(E)=u(G+ \ker u)=u(G)+u(\ker u)=u(G)=\tilde u(G)$,
~donc $\,\tilde u$ est surjective, donc bijective.

\num 3
$E=\ker u \oplus G=\im u\oplus H\oplus G$.
~On a donc $\dim(\im u)=\dim G=r$ ~et~ $\dim H=n-2r=s$.

Soit $(e'_{r+1},\ldots,e'_{r+s})$ une base de $H$.
Consid\'erons la famille $\B'=\big(u(e'_1),\ldots,u(e'_r),e'_{r+1},\ldots,e'_{r+s},e'_1,\ldots,e'_r)$.

Il s'agit d'une base de $E$ adapt\'ee \`a la somme directe $E=\im u\oplus H\oplus G$.

Alors $u(\B')=\big(0,\ldots 0,0,\ldots, 0,u(e'_1),\ldots,u(e'_r)\big)$,
~donc $~Mat(u,\B')= \matrix{
\pmatrix{0 & 0 & I_r\cr 0& 0& 0 \cr 0& 0& 0 \cr} & 
\hskip-3mm\matrix{\updownarrow \,r\cr \updownarrow \,s\cr\updownarrow \,r\cr} \cr
\matrix{\mathop{\leftrightarrow}\limits_{r} &
\mathop{\leftrightarrow}\limits_{s} &
 \mathop{\leftrightarrow}\limits_{r}\cr} & \cr}$

\num 4
$v\in\C(u)\iff\pmatrix{0 & 0 & I_r\cr 0& 0& 0 \cr 0& 0& 0 \cr} 
\pmatrix{A_1 & A_2 & A_3\cr A_4& A_5& A_6 \cr A_7& A_8& A_9 \cr} 
=
\pmatrix{A_1 & A_2 & A_3\cr A_4& A_5& A_6 \cr A_7& A_8& A_9 \cr} 
\pmatrix{0 & 0 & I_r\cr 0& 0& 0 \cr 0& 0& 0 \cr}$

$v\in\C(u)\iff
\pmatrix{0 & 0 & A_1\cr 0& 0& A_4 \cr 0& 0& A_7 \cr} 
=\pmatrix{A_7 & A_8 & A_9\cr 0& 0& 0 \cr 0& 0& 0 \cr} 
\iff\cases{A_4=0_{s,r}&\cr A_7=0_{r,r}&\cr A_8=0_{r,s}&\cr
A_9=A_1&\cr}$.
\smallskip

Ainsi $\,v\in\C(u)$ si et seulement si $Mat(v,\B')$ de la forme
$\pmatrix{A_1 & A_2 & A_3\cr 0& A_5& A_6 \cr 0& 0& A_1 \cr} $.


\num 5
Le nombre de coefficient arbitraires de cette matrice est \'egal 
\`a $r\,n+s\,(s+r)=n\,r+(n-2r)\,(n-r)=n^2+2\,r^2-2\,r\,n$.

Ainsi ~\udl{$\dim \C(u)=(n-r)^2+r^2$}.

\smallskip
En posant $f_n(x)=2\,x^2-2\,n\,x+n^2$, alors $f'_n(x)=2\,(2\,x-n)$,
donc $f_n$ admet un minimum pour $x=\dfrac n 2$ \'egal \`a $\dfrac{n^2}2$.
~Ainsi \udl{$\dim \C(u)\ge\dfrac{n^2}2$}.



\bigskip
\bigskip

\num{Partie III. Commutant d'un endomorphisme v\'erifiant la relation (1)}

\medskip

\num 1
Les polyn\^omes $P_1=X-1$ ~et~ $P_2=(X-2)^2$ sont premiers entre eux.

De plus $(P_1P_2)(u)=P_1(u)\circ P_2(u)=(u-\Id)\circ (u-2\,\Id)^2=0$.

Le \udl{th\'eor\`eme de d\'ecomposition des noyaux} donne :
$\ker \big((P_1\,P_2)(u)\big)=\ker\big(P_1(u)\big)\oplus
\ker\big(P_2(u)\big)$, c'est \`a dire :

$E=\ker(u-\Id)\oplus\ker(u-2\,\Id)^2=E_1\oplus E_2$.
\smallskip

Remarquons tout de suite que $E_1$ et $E_2$ \'etant des noyaux de 
polyn\^omes en $u$ sont stables par $u$.

\num2
La d\'ecomposition en \'el\'ements simples dans $\Cc(X)$ de $F(X)$
est de la forme : $F(x)=\dfrac a{X-1}+\dfrac b{(X-2)^2}+\dfrac c{X-2}$.

. On multiplie par $X-1$, puis on remplace $X$ par 1, ce qui donne
: $\dfrac 1{(1-2)^2}=a+b\times 0+c\times 0$, ~donc ~$\udl{a=1}$.

. On multiplie par $(X-2)^2$, puis on remplace $X$ par 2, ce qui donne
: $\dfrac 1{2-1}=a\times 0+b+c\times 0$, ~donc ~$\udl{b=1}$.

. Pour $X:=0$, on trouve que $\udl{c=-1}$.

\smallskip
Donc $F(X)=\dfrac 1{X-1}+\dfrac 1{(X-2)^2}-\dfrac 1{X-2}
=\dfrac 1{X-1}+\dfrac{3-X}{(X-2)^2}$.

Ainsi $1=\,\udl{(X-1)\,(X-2)^2\,F(X)=(X-2)^2+(X-1)\,(3-X)}$,
~donc ~\fbox{ $V(X)=1$ ~et~ $U(X)=3-X$.}


\num 3
On en d\'eduit que : $\Id=U(u)\circ (u-\Id)+V(u)\circ (u-2\,\Id)^2$.
\smallskip

Donc $~\forall\,x\in E,~x=\big[U(u)\circ (u-\Id)\big](x)+
\big[V(u)\circ (u-2\,\Id)^2\big](x)$.
\smallskip

Posons $~x_1=\big[V(u)\circ (u-2\,\Id)^2\big](x)$ et 
$x_2=\big[U(u)\circ (u-\Id)\big](x)$.
~Ainsi $\udl{x=x_1+x_2}$.
\smallskip

V\'erifions par exemple que $x_1\in E_1=\ker\big(P_1(u)\big)=\ker(u-\Id)$.
~ On rappelle que des polyn\^omes en $u$ commutent.

On a : $(u-\Id)(x_1)=\big[(u-\Id)\circ V(u)\circ (u-2\,\Id)^2\big](x)
=V(u)\Big(\big((u-\Id)\circ (u-2\,\Id)^2\big)(x)\Big)=V(u)(0)=0$.

On montre de m\^eme que $x_2\in E_2$.
\smallskip

On a donc d\'ecompos\'e $x$ en $x_1+x_2$ avec $x_1\in E_1$ et $x_2\in E_2$.
On en d\'eduit que $x_1=p_1(x)$ ~et~ $x_2=p_2(x)$.
\smallskip

Ainsi $~\forall\,x\in E,~p_1(x)=\big[V(u)\circ (u-2\,\Id)^2\big](x)$,
~donc $\udl{p_1=V(u)\circ (u-2\,\Id)^2=(u-2\,\Id)^2=u^2-4\,u+4\,\Id}$.
\smallskip

De m\^eme $\udl{p_2=U(u)\circ (u-\Id)=(3\,\Id-u)\circ (u-\Id)=-u^2+4\,u-3\,\Id}$.

\medskip
{\sl L'int\'er\^et de ces \'egalit\'es est que $p_1$ et $p_2$ s'expriment comme
des polyn\^omes en $u$.}

\num 4
Montrons que $d=p_1+2\,p_2$ est diagonalisable.

\smallskip
\udl{Solution matricielle}
Dans une base $\B$ adapt\'ee \`a la somme directe $E=E_1\oplus E_2$;
~$\mat d=\pmatrix{I_{n_1}&0\cr 0&2\,I_{n_2}\cr}$
ce qui montre que $d=p_1+2\,p_2$ est diagonalisable.

\medskip

\udl{Autre solution}
 $p_1$ et $p_2$ sont des projecteurs associ\'es, ~donc $~p_1\circ p_2=p_2\circ p_1=0$.
\smallskip

On a : $\Id=p_1+p_2$, ~$d=p_1+2\,p_2$ ~et~ 
$d^2=p_1^2+2\,p_1\circ p_2+ 2\,p_2\circ p_1+4\,p_2^2=p_1+4\,p_2$.
\smallskip

On tire $p_1=2\,d-d^2$ ~et~ $p_2=\dfrac{d^2-d}2$,
~donc $~\Id=p_1+p_2=-\dfrac {d^2}2+\dfrac {3\,d} 2$,
~d'o\`u $~d^2-3\,d+2\,\Id=0$.
\smallskip

Ainsi $d$ annule le polyn\^ome $X^2-3\,X+2=(X-1)\,(X-2)$
scind\'e \`a racines simples, donc $d$ est diagonalisable.

\num 5
$w=u-d$ ~avec~ $d=p_1+2\,p_2=(u^2-4\,u+4\,\Id)+2\,(-u^2+4\,u-3\,\Id)=
-u^2+4\,u-2\,\Id$.
\smallskip

Donc $~w=u^2-3\,u+2\,\Id=\,\udl{(u-\Id)\circ(u-2\,\Id)}$.
\smallskip

On en d\'eduit que $~w^2=(u-\Id)\circ (u-\Id)\circ (u-2\,\Id)^2=(u-\Id)\circ 0=0$.
\smallskip

Ainsi, ou bien $w=0$, ou bien $w\ne 0$ et $w^2=0$, 
c'est \`a dire $w$ est nilpotent d'indice 2.

\newpage

\num{6} D\'etermination de $\C(u)$.

\snum a
$*$ Si $v\in\C(u)$, alors $v$ commute avec tout polyn\^ome en $u$,
donc en particuler avec $d=-u^2+4\,u-2\,\Id$ et $w=u^2-3\,u+2\,\Id$.

$*$ Si $v$ commute avec $d$ et avec $w$, alors $v$ commute avec 
$u=d+w$.

\smallskip
Ainsi : \udl{$v\in\C(u)\iff v\in\C(d)$ ~et~ $v\in\C(w)$}.

\snum b
$w$ est un polyn\^ome en $u$, donc $\,E_1=\ker(u-\Id)\,$ et $\,E_2=\ker(u-2\,\Id)$
sont stables par $w$.
\smallskip

De plus $w=(u-2\,\Id)\circ (u-\Id)$, d'o\`u $E_1=\ker(u-\Id)\subset \ker w$,
donc la restriction de $w$ \`a $E_1$ est nulle.
\smallskip

En outre, $~\forall\,x\in E_2=\ker(u^2-4\,u+4\,\Id),
~w(x)=(u^2-3\,u+2\,\Id)(x)=(u^2-4\,u+4\,\Id)(x)+(u-2\,\Id)(x)=
(u-2\,\Id)(x)$,
~donc \udl{$w$ et $u-2\,\Id)$ co\"incident sur $E_2$}.

\smallskip
En se pla\c cant sur une base $\B=``\B_1\cup B_2''$ adapt\'ee \`a la somme directe
$E=E_1\oplus E_2$, alors $w$ admet dans cette base une repr\'esentation matricielle
diagonale par blocs de la forme 
$~W=\matrix{
\pmatrix{0 & 0\cr 0& N \cr} & 
\hskip-3mm\matrix{\updownarrow \,{n_1}\cr \updownarrow \,n_2\cr} \cr
\matrix{\mathop{\leftrightarrow}\limits_{n_1} &
 \mathop{\leftrightarrow}\limits_{n_2}\cr} & \cr}$
~o\`u l'on sait que $N$ est la matrice dans la base $\B_2$
de l'endomorphisme $w_2$ induit sur $E_2$ par $w$, donc aussi par $u-2\,\Id$.

\smallskip
Puisque $u=d+w$, il  en r\'esulte que 
$\mat u=\pmatrix{I_{n_1} & 0\cr 0& I_{n_2}+N \cr}$.
\smallskip

\udl{Remarque} : puisque $w^2=0$, on a $\udl{N^2=0}$.

\snum c
On a $\ker w_2=E_2\cap\ker(u-2\,\Id)=\ker(u-2\,\Id)$ ~car 
$\ker(u-2\,\Id)\subset \ker(u-2\,\Id)^2=E_2$.

Donc $\,\rg N=\rg w_2=\dim E_2-\dim(\ker w_2)
=n_2-\dim\big(\ker(u-2\,\Id)\big)$.

\snum d
$*$ Si $v$ commute avec $u$, alors $v$ stabilise $E_1=\ker(u-\Id)$
et $E_2=\ker(u-2\,\Id)$, alors $\mat v$
est diagonale par blocs de la forme
$\pmatrix{V_1 & 0\cr 0& V_2 \cr}$.
En traduisant que $\mat u$ et $\mat v$ commutent,
on trouve que $\,\udl{V_2\,N=N\,V_2}$.

\smallskip
$*$ R\'eciproquement si $\mat u$ est de la forme 
$\pmatrix{V_1 & 0\cr 0& V_2 \cr}$ avec $ V_2\,N=N\,V_2$,
on constate imm\'ediatement que $\mat u$ et $\mat v$ commutent,
donc $u$ et $v$ commutent, d'o\`u $v\in\C(u)$.

\snum{e}
$*$ \udl{Si $u$ est diagonalisable},
alors $u-2\,\Id$ l'est aussi et on sait l'endomorphisme $w_2$
induit sur $E_2$ par $u-2\,\Id$ est diagonalisable.
Donc $N=Mat(w_2,\B_2)$ est diagonalisable.
Or $N$ est nilpotente, donc ses valeurs propres sont toutes nulles
(car si $NX=\lambda.X$ et $X\ne 0$, alors $0=N^2.X=\lambda^2.X$, donc $\lambda=0$).
\smallskip

Ainsi $N$ est semblable \`a la matrice diagonale nulle, donc $\udl{N=0}$.

\smallskip

$*$ \udl{Si $N=0$}, alors $w=0$, donc \udl{$u=d$ est diagonalisable}.


\snum f
On suppose $u$ non diagonalisable, donc $N\ne 0$,
donc $N$ est nilpotente d'indice \'egal \`a 2.

Posons $\,p=\dim\big(\ker(u-2\,\Id)\big)$.
Ainsi le rang de $N$ est $r_2=n_2-p$.
\smallskip

Puisque $N$ est nilpotente d'indice 2, d'apr\`es le {\bf II.5},
le commutant de $N$ a pour dimension
$(n_2-r_2)^2+r_2^2=p^2+(n_2-p)^2$.
\smallskip

De la caract\'erisation obtenue au (d), on d\'eduit que
$\,\udl{\dim \C(u)=n_1^2+p^2+(n_2-p)^2}$.



\bigskip
\bigskip
\bigskip


\centerline{\bf Fin du corrig\'e}




\end{document}
