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\def \R{\hbox{I\kern-1.8pt R}}
\def \C{\hbox{I\kern-1.8pt C}}
\def \N{\hbox{I\kern-1.8pt N}}
\def \K{\hbox{I\kern-1.8pt K}}
\let\dps=\displaystyle
\let\le=\leqslant
\let\ge=\geqslant
\let\v=\varphi
\let\l=\lambda
\let\a=\alpha
\let\b=\beta
\let\o=\omega
\let\eps=\varepsilon
\def\frac#1#2{\textstyle{{#1}\over{#2}}}
\def\Frac#1#2{\displaystyle{{#1}\over{#2}}}
\def\Sum{\displaystyle\sum}
\def\ch{\hbox{ch}}
\def\e{\hbox{e}}
\def\d{\,\hbox{d}}
\def\u{\bf{u}} 
\let\p=\partial

\centerline{\bf E3A, 2002}

\centerline{\bf Math\'ematiques II, PC}
%\vskip4mm
{\bf Exercice 1.}

1)
Si $\u$ est constante, on a pour tout $n$: $a^2=a\sqrt n$ d'o\`u $a=0$. 
R\'eciproquement, si $a=0$, $\u$ est constante.
\vskip2mm
2)
Si la suite converge vers $l$, on obtient $l=0$ en passant \`a la limite dans 
la d\'efinition.
\vskip2mm
3)
Si $u_n\ge \sqrt n$, $\u$ tend vers $+\infty$. De $u_{n+1}=
u_n \Frac{u_n}{\sqrt n}\ge u_n$ on d\'eduit que $\u$ est croissante.
\vskip2mm
4)
(a)
On le montre par r\'ecurrence sur $n$; c'est vrai pour $n=k$; si $u_n<\sqrt n$, 
on d\'eduit $u_{n+1}<\Frac n{\sqrt n}=\sqrt n<\sqrt{ n+1}$.
\vskip2mm
(b)
Pour $n\ge k$ on a: $u_{n+1}=u_n \Frac{u_n}{\sqrt n}\le u_n$.
\vskip2mm
(c)
La suite $\u$ est d\'ecroissante et minor\'ee (par 0), elle est donc convergente;
 d'apr\`es le 2$^\circ$, sa limite est 0.
\vskip2mm
5)
Appliquons la fonction $\ln$ \`a $u_{k+1}=\Frac{u_k^2}{\sqrt k}$ :
$\ln {u_{k+1}}=2\ln u_k-\Frac{\ln k}2$; divisons par $2^{k+1}$: 
$\Frac 1{2^{k+1}}\ln {u_{k+1}}=\Frac1{2^k}\ln u_k-\Frac{\ln k}{2^{k+2}}$.
Ajoutons pour $k$ de 1 \`a $n-1$: 
$\Frac1{2^n}\ln u_n=\Frac1{2}\ln a-\Sum_{k=1}^{n-1}\Frac{\ln k}{2^{k+2}}$; 
d'o\`u $u_n= a^{\dps2^{n-1}}\exp(-\Sum_{k=1}^{n-1}2^{n-k-2}\ln k)$. 
\vskip2mm
6)
(a)
$\Frac{w_{n+1}}{w_n}=\Frac{\ln(n+2)}{2\ln(n+1)}$ a pour limite 1/2 donc la 
s\'erie converge par la r\`egle de d'Alembert.
\vskip2mm
(b)
Si pour un entier $k$ on a $u_k<1$ alors $u_k<\sqrt k$ ce qui entraine que la 
suite converge (d'apr\`es le 4$^\circ$). R\'eciproquement, si la suite converge, sa limite 
est 0 et par suite il existe $k>2$ tel que $u_k<1$.
\vskip2mm
(c)
On a calcul\'e: $\Frac1{2^n}\ln u_n=\Frac1{2}\ln a-\Sum_{k=1}^{n-1}
\Frac{\ln k}{2^{k+2}}=\Frac1{2}\ln a-\Sum_{k=1}^{n-1}\Frac{w_{k-1}}4$. 
Si la suite $\u$ converge, on a $u_n<1$pour $n$ assez grand, d'o\`u 
$\ln u_n<0$ et par suite $\Sum_{k=1}^{n-1} w_{k-1}>2\ln a$; on en d\'eduit 
que $W>2\ln a$, soit $a<\exp(W/2)$. 
R\'eciproquement, si $a<\exp(W/2)$, donc $W>2\ln a$, il existe $n$ tel que 
$\Sum_{k=1}^{n-1} w_{k-1}>2\ln a$ (la suite $(\Sigma w_n)$ est croissante); 
pour ce $n$ on a $\ln u_n<0$ d'o\`u $u_n<1$ et la suite $\u$ converge.
\vskip4mm

{\bf Exercice 2.}
\vskip2mm
1)
$f$ est de classe $C^{\infty}$ car les fonctions $\sin$ et $(x,y)\mapsto 
x+y$ le sont.
\vskip2mm
2)
$\Frac{\p f}{\p x}(z)=\cos x-\cos(x+y)$  et $\Frac{\p f}{\p y}(z)=\cos y
-\cos(x+y)$. $\Frac{\p f}{\p x}(z)=\Frac{\p f}{\p y}(z)=0$ est donc 
\'equivalent \`a $\cos x=\cos y=\cos(x+y)$. Il y a 2 cas: soit $y=x+2k\pi$ et 
$\cos x=\cos (2x)$, d'o\`u $x=2k'\pi$ ou $x=2k'\pi/3$; soit $y=-x+2k\pi$ et 
$\cos x=1$, d'o\`u $x=2k'\pi$. Finalement on obtient 3 solutions dans le 
carr\'e $C=[-\pi,\pi]\times[-\pi,\pi]$ : $z=(0,0),z=(2\pi/3,2\pi/3)$ et 
$z=(-2\pi/3,-2\pi/3)$.
\vskip2mm
3)
$f(x,y)=2\sin(\Frac{x+y}2)\left(\cos(\Frac{x-y}2)-\cos(\Frac{x+y}2)\right)
=2\sin(\Frac{x+y}2)2\sin(\Frac x2)\sin(\Frac y2)$.
\vskip2mm
4)
D'une part, $f(x+2\pi,y)=f(x,y+2\pi)=f(x,y)$ et $f(-x,-y)=-f(x,y)$.
 D'autre part, soit $T$ le triangle d\'efini par $x\ge0,y\ge0$ et $x+y\le2\pi$. 
$f(z)>0$ si $z=(x,y)$ est \`a l'int\'erieur de $T$, $f(z)=0$ si $z$ est sur le 
bord de $T$, $f(z)<0$ si $z$ est \`a l'int\'erieur de $T'$ sym\'etrique de $T$ par 
rapport 
\`a $O$. On en d\'eduit ais\'ement $S_0,S_{>0}$ et $S_{<0}$ par des translations de 
$2\pi$ selon $x'Ox$ ou $y'Oy$.
\vskip2mm
5)
Un extr\'ema local de $f$ est un point critique; ceux qui sont \`a l'int\'erieur 
du carr\'e $C$ sont donc les 3 points obtenus au 2$^\circ$. 
$z=(0,0)$ n'est pas un extr\'emum puisqu'il 
est sur la fronti\`ere entre $S_{>0}$ et $S_{<0}$. Montrons que les 2 autres 
sont des extr\'emums. $f$ \'etant continue sur
 le compact $T$, elle y est born\'ee et atteint ses bornes; $f$ \'etant nulle sur 
les bords et positive \`a l'int\'erieur, elle a un maximum \`a l'int\'erieur de $T$, 
au seul point critique, $z=(2\pi/3,2\pi/3)$ (remarque: c'est l'isobarycentre 
de $T$). La valeur du maximum est 
$M=2\sin(2\pi/3)-\sin(4\pi/3)=\Frac{3\sqrt 3}2$. 
Par sym\'etrie par rapport \`a $O$, il y a un minimum local en 
$z=(-2\pi/3,-2\pi/3)$ \'egal \`a $-M$. 
\vskip2mm
6)
Puisqu'on recouvre le plan avec les translat\'es de $T$ et $T'$, la fonction 
$f$ a un maximum absolu $M$ atteint en tous les points $z=(2\pi/3+2k\pi,2\pi/3
+2k'\pi)$ et un minimum absolu $-M$ atteint en tous les points $z=(-2\pi/3
+2k\pi,-2\pi/3+2k'\pi)$
\vskip4mm

{\bf Exercice 3.}
\vskip2mm
1)
$x'(t)=\Frac{-3(2t+1)}{(t^2+t+1)^2}$ : $x$ est croissante sur 
$]-\infty,-1/2[$ et d\'ecroissante sur 
$]-1/2,+\infty[$. 
$y'(t)=\Frac{3(1-t^2)}{(t^2+t+1)^2}$ : $y$ est croissante sur 
$]-1,1[$ , d\'ecroissante sur $]-\infty,-1[$ et 
$]1,+\infty[$. 
\vskip2mm
2)
$x$ et $y$ ont pour limite 0 en $+\infty$ et $-\infty$. Avec $x(-1/2)=4$ 
, $y(-1)=-3$ et $y(1)=1$ on d\'eduit: $0\le x(t)\le 4$ et $-3\le y(t)\le1$. Ce 
sont les \'equations d'un carr\'e de centre (2,-1).
\vskip2mm
3)
(a)
$O$ est le point limite en $+\infty$ et $-\infty$.
\vskip2mm
(b)
$t\overrightarrow{OM(t)}=(t x(t),t y(t))$ a pour limite (0,3) en 
$+\infty$ et $-\infty$.
\vskip2mm
(c)
La droite ${\cal D}(O,t\overrightarrow{OM(t)})$ a pour position limite en 
$+\infty$ et $-\infty$ l'axe des $y$ qui est donc tangent \`a $\Gamma$ en $O$.
\vskip2mm
4)
De $y=tx$ on d\'eduit $t=\Frac y x$ que l'on reporte dans $(t^2+t+1)x-3=0$ 
d'o\`u l'\'equation $x^2+xy+y^2-3x=0$. Le point $O$ v\'erifie aussi cette \'equation.
\vskip2mm
5)
Cette \'equation est l'\'equation d'une conique inscrite dans un carr\'e, c'est donc 
une ellipse.
\vskip2mm
6)
La tangente est orthogonale au vecteur gradient \'egal \`a $(2x+y-3,x+2y)$. Elle 
est donc verticale si et seulement si $x+2y=0$ qui entraine $3y^2+6y=0$ , d'o\`u
 $y=0$ et $x=0$ (c'est le point $O$) ou $y=-2$ et $x=4$ (c'est le point $A$). 
Le milieu de $[O,A]$ est $G(2,-1)$. Le  centre d'une
 l'ellipse \'etant centre de sym\'etrie, la sym\'etrique de la tangente verticale 
au point $O$ est donc aussi verticale donc $A$ est sym\'etrique de $O$ et le 
centre de l'ellipse est bien le milieu de $[O,A]$. 
\vskip2mm
7)
(a)
La matrice est sym\'etrique r\'eelle, donc diagonalisable dans une base orthonorm\'ee
 que l'on peut choisir directe. Son polyn\^ome caract\'eristique est $X^2-2X+3/4$ 
qui a pour racines 1/2 et 3/2. Une base orthonorm\'ee directe de diagonalisation 
associ\'ee est ${\cal B}=(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})$ avec 
$\overrightarrow{u}=\Frac{(1,-1)}{\sqrt 2},
\overrightarrow{v}=\Frac{(1,1)}{\sqrt 2}$.
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(b)
Les axes de $\Gamma'$ sont donc les droites ${\cal D}(G,\overrightarrow{u})$ et 
${\cal D}(G,\overrightarrow{v})$ d'\'equations $y=-x+1$ et $y=x-3$. Ce sont les 
diagonales du carr\'e contenant l'ellipse.
\vskip2mm
(c)
Dans le rep\`ere $(G,\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})$ , l'\'equation de 
l'ellipse est $1/2X^2+3/2Y^2=C^{ste}$; les sommets de l'ellipse sont 
sur l'axe $(G,\overrightarrow{u})$ c'est \`a dire la droite d'\'equation
 $y=-x+1$. Celle-ci coupe l'ellipse en $(x,y)$ v\'erifiant $y=1-x$ et 
$x^2+x(1-x)+(1-x)^2-3x=0$ soit $x^2-4x+1=0$ d'o\`u les deux sommets: 
$S_1(2+\sqrt3,-1-\sqrt3)$ et $S_2(2-\sqrt3,-1+\sqrt3)$. Remarque: en reportant 
$x=2$ et $y=-1$ dans l'\'equation de $\Gamma'$, on obtient l'\'equation en $X$ et 
$Y$ : $X^2/6+Y^2/2=1$ d'o\`u $a=\sqrt 6$, $b=\sqrt 2$, $c=2$ et $e=\sqrt{2/3}$.
\vskip2mm
8)

\centerline{\psfig{file=m02rp2fa.eps,height=5cm,width=6cm}}




\bye
