%% This document created by Scientific Word (R) Version 3.0
\documentclass{article}
\usepackage{upsnum}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{sw20exm3}
\usepackage{babel}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
%TCIDATA{OutputFilter=latex2.dll}
%TCIDATA{CSTFile=LaTeX article.cst}
%TCIDATA{Created=Sun Jun 07 12:32:47 1998}
%TCIDATA{LastRevised=Tue Jun 04 23:21:23 2002}
%TCIDATA{}
%TCIDATA{}
%TCIDATA{}
%TCIDATA{PageSetup=72,72,72,72,0}
\setlength{\topmargin}{-0.75in}
\setlength{\textheight}{9.25in}
\setlength{\oddsidemargin}{-.3in}
\setlength{\evensidemargin}{-.3in}
\setlength{\textwidth}{7in}
\def\labelenumi{\arabic{enumi}.}
\def\theenumi{\arabic{enumi}}
\def\labelenumii{(\alph{enumii})}
\def\theenumii{\alph{enumii}}
\def\p@enumii{\theenumi.}
\def\labelenumiii{\arabic{enumiii}.}
\def\theenumiii{\arabic{enumiii}}
\def\p@enumiii{(\theenumi)(\theenumii)}
\def\labelenumiv{\arabic{enumiv}.}
\def\theenumiv{\arabic{enumiv}}
\def\p@enumiv{\p@enumiii.\theenumiii}
%\pagestyle{plain}
\pagestyle{ups}
\setcounter{secnumdepth}{0}
\newtheorem{theorem}{Theorem}
\newtheorem{acknowledgement}[theorem]{Acknowledgement}
\newtheorem{algorithm}[theorem]{Algorithm}
\newtheorem{axiom}[theorem]{Axiom}
\newtheorem{case}[theorem]{Case}
\newtheorem{claim}[theorem]{Claim}
\newtheorem{conclusion}[theorem]{Conclusion}
\newtheorem{condition}[theorem]{Condition}
\newtheorem{conjecture}[theorem]{Conjecture}
\newtheorem{corollary}[theorem]{Corollary}
\newtheorem{criterion}[theorem]{Criterion}
\newtheorem{definition}[theorem]{Definition}
\newtheorem{example}[theorem]{Example}
\newtheorem{exercise}[theorem]{Exercise}
\newtheorem{lemma}[theorem]{Lemma}
\newtheorem{notation}[theorem]{Notation}
\newtheorem{problem}[theorem]{Problem}
\newtheorem{proposition}[theorem]{Proposition}
\newtheorem{remark}[theorem]{Remark}
\newtheorem{solution}[theorem]{Solution}
\newtheorem{summary}[theorem]{Summary}
\newenvironment{proof}[1][Proof]{\textbf{#1.} }{\ \rule{0.5em}{0.5em}}
\begin{document}
\begin{center}
{\LARGE e3a \ \ PC \ \ Math\'{e}matiques 3}
\end{center}
\paragraph{{\protect\Large Premi\`{e}re partie }{{{{{{\protect\Large :
\'{e}tude de l'application }}}}}}$:$\newline
$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\mathcal{L}_{n}:\;%
\protect\begin{array}
[c]{c}%
\mathbb{R}_{n}[X]\rightarrow\mathbb{R}_{n}[X]\\
P\longmapsto XP^{\prime\prime}(X)+(X-4)P^{\prime}(X)-3P(X)
\protect\end{array}
$\newline }
\begin{enumerate}
\item [1.1]\textbf{Propri\'{e}t\'{e}s \'{e}l\'{e}mentaires de }$\mathcal{L}%
_{n}$
\begin{enumerate}
\item La d\'{e}rivation est lin\'{e}aire et fait chuter le degr\'{e} d'un
polyn\^{o}me non nul d'une unit\'{e}, alors gr\^{a}ce aux propri\'{e}t\'{e}s
des lois $+$ et$\;\times$ de l'alg\`{e}bre $\mathbb{R}_{n}[X]$ , on peut dire
que $\mathcal{L}_{n}$ est lin\'{e}aire et que l'image d'un polyn\^{o}me de
$\mathbb{R}_{n}[X]$ est un polyn\^{o}me de degr\'{e} au plus $n$ .%
\[
\fbox{$\mathcal{L}_n\ \in\mathcal{L(}\mathbb{R}_n[X])$}%
\]
\item Soit $\;k$ entier entre $0$ et $n$ : \ $\mathcal{L}_{n}(X^{k}%
)=k(k-1)X^{k-1}+k(X-4)X^{k-1}-3X^{k}=(k-3)X^{k}+(k(k-1)-4k)X^{k-1}.$%
\newline $\mathcal{L}_{n}(X^{k})=(k-3)X^{k}+(k^{2}-5k)X^{k-1}.$ On en
d\'{e}duit la matrice $L_{n}\;$de $\mathcal{L}_{n}$ dans la base canonique :%
\[
L_{n}=\left[
\begin{array}
[c]{cccccccc}%
-3 & -4 & 0 & 0 & \cdots & \cdots & \cdots & 0\\
0 & -2 & -6 & 0 & \ddots & & & \vdots\\
\vdots & \ddots & -1 & -6 & \ddots & \ddots & & \vdots\\
\vdots & & \ddots & 0 & & \ddots & \ddots & \vdots\\
\vdots & & & \ddots & 1 & \ddots & \ddots & \vdots\\
\vdots & & & & \ddots & \ddots & \ddots & 0\\
\vdots & & & & & \ddots & n-2 & n(n-5)\\
0 & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & 0 & n-3
\end{array}
\right]
\]
\item Cette matrice est triangulaire : ses \'{e}l\'{e}ments diagonaux sont
les valeurs propres de $\mathcal{L}_{n}$ . Ils sont distincts 2 \`{a} 2 ,donc
$\mathcal{L}_{n}$ a exactement $\;n+1=\dim(\mathbb{R}_{n}[X])$ valeurs propres
simples :%
\[
\fbox{$\mathcal{L}_n$\ est diagonalisable}%
\]
\item Soit $P$ un polyn\^{o}me non nul de degr\'{e} $p$ et de coefficient
dominant $a_{p}$ . Le calcul pr\'{e}c\'{e}dent montre que si $p\neq3,$ alors
$\mathcal{L}_{n}(P)$ est aussi de degr\'{e} $p$ avec pour coefficient dominant
$(p-3)a_{p}.$\newline Si $\;p=3,$ le degr\'{e} de $\mathcal{L}_{n}(P)$ est au
plus $2..$%
\[
\fbox{$P\in\ker(\mathcal{L}_n)\;et\;P\neq0\;\Longrightarrow\deg(P)=3$}%
\]
\item Un polyn\^{o}me non nul de $\ker$($\mathcal{L}_{n}$) est donc de la
forme $P=$ $a_{3}X^{3}+a_{2}X^{2}+a_{1}X+a_{0}$ avec $a_{3}\neq0.$ Comme
$\ker$($\mathcal{L}_{n}$) est un espace vectoriel, on peut prendre $a_{3}%
=1.$\newline $\mathcal{L}_{n}$ $(P)=-6X^{2}+a_{2}(-X^{2}-6X)+a_{1}%
(-2X-4)-3a_{0}=-(a_{2}+6)X^{2}-(6a_{2}+2a_{1})X-4a_{1}-3a_{0}.$\newline
$P\in\ker$($\mathcal{L}_{n}$)$\Longleftrightarrow\left\{
\begin{array}
[c]{c}%
a_{2}+6=0\\
6a_{2}+2a_{1}=0\\
4a_{1}+3a_{0}=0
\end{array}
\right. ,$ syst\`{e}me qui se r\'{e}sout en\ \ :\ $a_{2}=-6,$ $a_{1}%
=18,\;a_{0}=-24$ .\newline Le seul polyn\^{o}me unitaire de $\ker
$($\mathcal{L}_{n}$) est donc\ $\Pi=X^{3}-6X^{2}+18X-24.$%
\[
\fbox{$\ker(\mathcal{L}_n)=Vect(\Pi)$}%
\]
\item Si $\mathcal{L}_{n}$ est un automorphisme, $0$ ne figure pas sur la
diagonale de $L_{n},$ donc la plus grande valeur propre $n-3$ est
inf\'{e}rieure ou \'{e}gale \`{a} $-1$ , soit $\;\;n\leq3-1=2.$\newline Si
$\;n=1$ \ : $L_{1}=\left[
\begin{array}
[c]{cc}%
-3 & -4\\
0 & -2
\end{array}
\right] \;$est inversible.\newline Si $n=2$ \ \ :\ $L_{2}=\left[
\begin{array}
[c]{ccc}%
-3 & -4 & 0\\
0 & -2 & -6\\
0 & 0 & -1
\end{array}
\right] \;$est aussi inversible .%
\[
\fbox{$\mathcal{L}_n$\ inversible $\;\Longleftrightarrow\;n\leq2$}%
\]
\newline
\end{enumerate}
\item[1.2] \textbf{Un exemple : n=5}
\begin{enumerate}
\item Comme en 1b)\ $L_{5}=\left[
\begin{array}
[c]{cccccc}%
-3 & -4 & 0 & 0 & 0 & 0\\
0 & -2 & -6 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & -1 & -6 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0 & -4 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 2
\end{array}
\right] .$
\item $Sp(\mathcal{L}$ $_{5})=\left\{ -3,-2,-1,0,1,2\right\} $ et chaque
sous espace propre est une droite .\newline Nous connaissons le noyau de
$\mathcal{L}$ $_{5}$ d'apr\`{e}s 1d ) et la lecture de la premi\`{e}re et de
la derni\`{e}re colonne de la matrice $L_{5}$ nous donne deux droites propres
:\newline
\[
\fbox{$\left\{
\begin{array}
[c]{c}%
\mathcal{L}_{5}(X^{3}-6X^{2}+18X-24)=0\\
\mathcal{L}_{5}(1)=-3\\
\mathcal{L}_{5}(X^{5})=2X^{5}%
\end{array}
\right. $}%
\]
\item La combinaison suivante des deux premi\`{e}res colonnes donne :
$\mathcal{L}$ $_{5}(4-3X)=6X$ , donc $X\in\operatorname{Im}(\mathcal{L}$
$_{5})..$\newline On voit aussi que $\mathcal{L}$ $_{5}(X^{3})$ $=-6X^{2}$ et
$\mathcal{L}$ $_{5}(X^{4})=X^{4}-4X^{3}$ .Compte tenu des vecteurs propres
associ\'{e}s \`{a} une valeur propre non nulle ( ils sont dans
$\operatorname{Im}(\mathcal{L}$ $_{5}))$ on a d\'{e}j\`{a} :\newline
$Vect(1,X,X^{2},X^{4}-4X^{3},X^{5})\subset$ $\operatorname{Im}(\mathcal{L}$
$_{5}).$\newline Les 5 polyn\^{o}mes g\'{e}n\'{e}rateurs sont de degr\'{e}s
diff\'{e}rents 2 \`{a} 2 , ils forment donc une famille libre c'est \`{a} dire
une base de $Vect(1,X,X^{2},X^{4}-4X^{3},X^{5})$.\newline Le th\'{e}or\`{e}me
du rang nous dit que , puisque $\dim(\ker$ $\mathcal{L}$ $_{5})=1,$ on a
\ $\dim\operatorname{Im}(\mathcal{L}$ $_{5})=6-1=5.\;$L$^{\prime}$inclusion
des sous espaces est une \'{e}galit\'{e} car ils ont m\^{e}me dimension :%
\[
\fbox{$Vect(1,X,X^{2},X^{4}-4X^{3},X^{5})=\operatorname{Im}(\mathcal{L}_5)$}%
\]
\item Les polyn\^{o}mes $P$ solutions de (i) sont ceux qui v\'{e}rifient
$\mathcal{L}$ $_{5}(P)=X^{5},$c$^{\prime}$est \`{a} dire $\mathcal{L}$
$_{5}(P-\dfrac{X^{5}}{2})=0$ :%
\[
\fbox{$P=\dfrac{X^{5}}{2}+\lambda(X^{3}-6X^{2}+18X-24)\;,\lambda\in
\mathbb{R}$}%
\]
\newline D\'{e}montrons par l'absurde que $X^{4}\notin$ $\operatorname{Im}%
(\mathcal{L}$ $_{5})\;:$\newline Si il existe $(\alpha,\beta,\gamma
,\delta,\varepsilon,\zeta)\in\mathbb{R}^{6}$ tel que \ \ $\left[
\begin{array}
[c]{cccccc}%
-3 & -4 & 0 & 0 & 0 & 0\\
0 & -2 & -6 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & -1 & -6 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0 & -4 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 2
\end{array}
\right] \left[
\begin{array}
[c]{c}%
\alpha\\
\beta\\
\gamma\\
\delta\\
\varepsilon\\
\zeta
\end{array}
\right] =\left[
\begin{array}
[c]{c}%
0\\
0\\
0\\
0\\
1\\
0
\end{array}
\right] $ , les lignes $4$ et $5$ sont contradictoires .%
\[
\fbox{$L^{\prime}\'{e}quation\;(ii)\;n^{\prime}a\;pas\;de\;solution$}%
\]
\item D'apr\`{e}s 2c) $1,X,X^{2},X^{5}\;$sont dans $\operatorname{Im}%
(\mathcal{L}$ $_{5}),$ ainsi que $X^{4}-4X^{3}.$ On vient de voir que
$X^{4}\notin\operatorname{Im}(\mathcal{L}$ $_{5}),$ alors $X^{3}\;$n$^{\prime
}$appartient pas non plus \`{a} ce sous espace vectoriel $\operatorname{Im}%
(\mathcal{L}$ $_{5})$ :\newline \fbox{$%
\begin{tabular}
[c]{r}%
Pour $p\in\left\{ 0,1,2,5\right\} $ l'\'{e}quation diff\'{e}rentielle admet
une droite affine de solutions .\\
Pour $p\in\left\{ 3,4\right\} $ , il n'y a pas de solution
.\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \
\end{tabular}
$}
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\subsubsection{{\protect\Large Deuxi\`{e}me partie }{{{{{{\protect\Large :
\'{e}tude locale d'une solution particuli\`{e}re de l'\'{e}quation
diff\'{e}rentielle \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }}}}}}$(E)\;\;\;xy"+(x-4)y^{\prime
}-3y=0$\newline }
\begin{enumerate}
\item [2.1]Soit $\phi$ une solution de $(E)$ sur $\mathbb{R}_{+}^{\ast}\;.$
Par d\'{e}finition $\phi$ est de classe $\mathcal{C}^{2}$ sur $\mathbb{R}%
_{+}^{\ast}$ et\ \newline $\forall x\in\mathbb{R}_{+}^{\ast}\;\;\;\phi
"(x)=\dfrac{4-x}{x}\phi^{\prime}(x)+3\phi(x).\;\;\;\;\;(1)$\newline
D\'{e}montrons par r\'{e}currence sur $\;n\geq2$ que $\phi$ est de classe
$\mathcal{C}^{n}$ sur $\mathbb{R}_{+}^{\ast}$ :\newline $\forall n\geq2$ ,\ si
on suppose $\phi\;$de classe $\mathcal{C}^{n}$ sur $\mathbb{R}_{+}^{\ast}$ ,
$\phi^{\prime}$ est de classe $\mathcal{C}^{n-1}$ sur $\mathbb{R}_{+}^{\ast}$
et d'apr\`{e}s l'\'{e}galit\'{e} (1) , $\phi"$ est de classe $\mathcal{C}%
^{n-1}$ sur $\mathbb{R}_{+}^{\ast}$ , c'est \`{a} dire $\phi$ est de classe
$\mathcal{C}^{n+1}$ sur $\mathbb{R}_{+}^{\ast},$ ce qui prouve
l'h\'{e}r\'{e}dit\'{e} de notre propri\'{e}t\'{e}.\newline \fbox{Toute
solution de (E) sur $\mathbb{R}_{+}^{\ast}$ est de classe $\mathcal{C}%
^{\infty}$ sur $\mathbb{R}_{+}^{\ast}.$}\newline
\item[2.2] L'\'{e}quation (E) est lin\'{e}aire d'ordre $2$ et le coefficient
de $y"$ est $x$ , qui ne s'annule pas sur l'intervalle $\mathbb{R}_{+}^{\ast
}.$ Comme $x_{0}=1\in$ $\mathbb{R}_{+}^{\ast}\;$ le th\'{e}or\`{e}me de Cauchy
dit qu'il existe une et une seule solution $\phi$ sur $\mathbb{R}_{+}^{\ast}$
satisfaisant la condition initiale $\phi(x_{0})=2$ et $\phi^{\prime}%
(x_{0})=-2.$\newline
\item[2.3] La formule de Leibnitz permet de calculer les d\'{e}riv\'{e}es
ni\`{e}me des produits suivants :\newline a) $x\mapsto x\phi"(x)$ . On obtient
: $x\longmapsto x\phi^{(n+2)}(x)+n\phi^{(n+1)}(x).$\newline b) $x\longmapsto
(x-4)\phi^{^{\prime}}(x).$ On obtient : $x\longmapsto(x-4)\phi^{(n+1)}%
(x)+n\phi^{(n)}(x).$\newline Comme la fonction $x\longmapsto x\phi
"(x)+(x-4)\phi^{\prime}(x)-3\phi(x)$ est nulle sur $\mathbb{R}_{+}^{\ast}$ ,
sa d\'{e}riv\'{e}e ni\`{e}me aussi :\newline $\forall x\in\mathbb{R}_{+}%
^{\ast}\;\;x\phi^{(n+2)}(x)+n\phi^{(n+1)}(x)+(x-4)\phi^{(n+1)}(x)+n\phi
^{(n)}(x)-3\phi^{(n)}(x)=0.$\newline en particulier au point $x=1$ :%
\[
u_{n+2}+(n-3)(u_{n+1}+u_{n})=0
\]
\item[2.4] D'apr\`{e}s 2.1 $\phi$ est de classe $\mathcal{C}^{\infty}$ sur
l'intervalle $\mathbb{R}_{+}^{\ast}\;$qui contient $1$ . Le th\'{e}or\`{e}me
de Taylor Young assure l'existence d'un d\'{e}veloppement limit\'{e} \`{a}
tout ordre en $\;x_{0}=1.$ En particulier \`{a} l'ordre $3$ , il s'\'{e}crit :
\newline $\phi(x)=\phi(1)+\phi^{\prime}(1)(x-1)+\dfrac{\phi"(1)}{2}%
(x-1)^{2}+\dfrac{\phi^{(3)}(1)}{3!}(x-1)^{3}+o((x-1)^{3}).$\newline Sachant
que $\;u_{0}=2\;$ et $u_{1}=-2$ \ la formule \'{e}tablie en 2.3 permet de
calculer\ $u_{2}=0$ \ et\ $u_{3}=-4.$\newline
\[
\fbox{$\phi(x)=2-2(x-1)-\dfrac{2}{3}(x-1)^{3}+o((x-1)^{3})$}%
\]
\item[2.5] On lit sur cette formule que la droite d'\'{e}quation\ $y=2-2(x-1)$
est tangente \`{a} $\;\Gamma$ au point $M_{0}(1,2)$ et que ce point est un
point d'inflexion parce qu'au voisinage de $x_{0}=1$ le signe de
$\phi(x)-(2-2(x-1))=\dfrac{2}{3}(x-1)^{3}+o((x-1)^{3})\;$est celui de
$x-1:$\newline \newline \fbox{La tangente au point d'inflexion $(1,2)$ a pour
\'{e}quation $y=4-2x$}\newline
\end{enumerate}
{\Large Troisi\`{e}me partie }{{{{{{\Large : Recherche de solutions de (E)
d\'{e}veloppables en s\'{e}rie enti\`{e}re}}}}}}
\begin{enumerate}
\item [3.1]Les solutions polynomiales de $(E)$ sont les fonctions
polyn\^{o}mes $P$ qui v\'{e}rifient $\mathcal{L}_{n}(P)=0.$ D'apr\`{e}s 1.1e)
il s'agit de :%
\[
\fbox{$P=\lambda(X^{3}-6X^{2}+18X-24)\;,\lambda\in\mathbb{R}$}%
\]
\item[3.2] Soit $\;f(x)=%
%TCIMACRO{\dsum \limits_{n=0}^{\infty}}%
%BeginExpansion
{\displaystyle\sum\limits_{n=0}^{\infty}}
%EndExpansion
a_{n}x^{n}$ pour tout $x\in\left] -R,R\right[ .$
\begin{enumerate}
\item Une s\'{e}rie enti\`{e}re se d\'{e}rive terme \`{a} terme sur son
intervalle de convergence, alors :\newline $\forall x\in\left] -R,R\right[
.\;\;xf"(x)+(x-4)f^{\prime}(x)-3f(x)=%
%TCIMACRO{\dsum \limits_{n=2}^{\infty}}%
%BeginExpansion
{\displaystyle\sum\limits_{n=2}^{\infty}}
%EndExpansion
n(n-1)a_{n}x^{n-1}+%
%TCIMACRO{\dsum \limits_{n=1}^{\infty}}%
%BeginExpansion
{\displaystyle\sum\limits_{n=1}^{\infty}}
%EndExpansion
na_{n}x^{n}-%
%TCIMACRO{\dsum \limits_{n=1}^{\infty}}%
%BeginExpansion
{\displaystyle\sum\limits_{n=1}^{\infty}}
%EndExpansion
4na_{n}x^{n-1}-3%
%TCIMACRO{\dsum \limits_{n=0}^{\infty}}%
%BeginExpansion
{\displaystyle\sum\limits_{n=0}^{\infty}}
%EndExpansion
a_{n}x^{n}$\newline Des s\'{e}ries qui convergent s'ajoutent terme \`{a} terme
, alors :\newline $\forall x\in\left] -R,R\right[ .\;\;xf"(x)+(x-4)f^{\prime
}(x)-3f(x)=-3a_{0}-4a_{1}+%
%TCIMACRO{\dsum \limits_{p=1}^{\infty}}%
%BeginExpansion
{\displaystyle\sum\limits_{p=1}^{\infty}}
%EndExpansion
[p(p+1)a_{p+1}+pa_{p}-4(p+1)a_{p+1}-3a_{p}]x^{p}$\newline Par unicit\'{e} du
d\'{e}veloppement en s\'{e}rie enti\`{e}re, cette fonction est nulle sur
$\left] -R,R\right[ $ si et seulement si on a :\newline $-3a_{0}%
-4a_{1}=0\;\;$et $\;\forall p\in\mathbb{N}^{\ast}$ \ \ $(p+1)(p-4)a_{p+1}%
+(p-3)a_{p}=0,$ ce qu'on peut r\'{e}sumer par\newline :%
\[
\forall n\in\mathbb{N}\ \ \;\;(n+1)(n-4)a_{n+1}+(n-3)a_{n}=0
\]
\item Si $f$ est solution il faut $\;a_{4}=0\;$ et\ $\forall n\geq
5\;\;a_{n+1}=\dfrac{-(n-3)}{(n+1)(n-4)}a_{n}.$\newline V\'{e}rifions par
r\'{e}currence sur $\;n\in\mathbb{N}$ que la formule\ $a_{n+5}=(-1)^{n}%
\dfrac{n+1}{(n+5)!}5!a_{5}$ est vraie :\newline Pour $n=0$ on a bien
$(-1)^{n}\dfrac{n+1}{(n+5)!}=\dfrac{1}{5!}.$\newline $\forall n\in\mathbb{N}$
\ , si $a_{n+5}=(-1)^{n}\dfrac{n+1}{(n+5)!}5!a_{5},$ alors la formule de
r\'{e}currence donne\newline $a_{n+6}=\dfrac{-(n+2)}{(n+6)(n+1)}\times
(-1)^{n}\dfrac{n+1}{(n+5)!}5!a_{5}=(-1)^{n+1}\dfrac{n+2}{(n+6)!}5!a_{5}$ ,ce
qu'il fallait d\'{e}montrer.\newline R\'{e}ciproquement, consid\'{e}rons la
s\'{e}rie enti\`{e}re\ $\psi(x)=%
%TCIMACRO{\dsum \limits_{n=0}^{\infty}}%
%BeginExpansion
{\displaystyle\sum\limits_{n=0}^{\infty}}
%EndExpansion
(-1)^{n}\dfrac{n+1}{(n+5)!}5!x^{n+5}$ pour laquelle $\newline a_{0}%
=a_{1}=a_{2}=a_{3}=a_{4}=0\;$ et\ $a_{5}=1$ et \ $\left| \dfrac{a_{n+1}%
}{a_{n}}\right| =\dfrac{(n-3)}{(n+1)(n-4)}..$\newline D'apr\`{e}s le
crit\`{e}re de d'Alembert comme $\left| \dfrac{a_{n+1}}{a_{n}}\right|
\rightarrow0\;$ quand\ $n\rightarrow\infty$ son rayon de convergence est
infini.\ D'apr\`{e}s 3.2a) $\psi$ estune solution.
\[
\psi(x)=%
%TCIMACRO{\dsum \limits_{n=0}^{\infty}}%
%BeginExpansion
{\displaystyle\sum\limits_{n=0}^{\infty}}
%EndExpansion
(-1)^{n}\dfrac{n+1}{(n+5)!}5!x^{n+5}\;\;\;\;\;,\;\;R=+\infty
\]
\item On a d\'{e}montr\'{e} que si $\;f\;$ est solution d\'{e}veloppable en
s\'{e}rie enti\`{e}re sur $\left] -R,R\right[ $ elle est de la forme
$\newline f(x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3}+a_{5}\psi(x)$ . Alors
$P(x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3}$ est une solution de ($E)$ puisque
combinaison lin\'{e}aire\ $P=f-a_{5}\psi$. \newline D'apr\`{e}s 3.1 :
$\exists\lambda\in\mathbb{R\;\;}P(x)=\lambda(x^{3}-6x^{2}+18x-24).$
\newline R\'{e}ciproquement $\;\forall(\lambda,a_{5})\in\mathbb{R}%
^{2}\;f(x)=\lambda(-24+18x-6x^{2}+x^{3})+a_{5}\psi(x)$ est une fonction
d\'{e}veloppable en s\'{e}rie enti\`{e}re avec rayon de convergence
$R=+\infty$ \ et elle est soluton de $(E)$ parce que combinaison lin\'{e}aire
de $\Pi$ et $\psi$ qui sont des solutions de $(E).$\newline On a donc
trouv\'{e} toutes les solutions $f$ d\'{e}veloppables en s\'{e}rie
enti\`{e}re. Elles sont de la forme :
\[
\fbox{$f=\lambda\Pi+a_5\psi,\;(\lambda,a_5)\in\mathbb{R}^{2}$}%
\]
\end{enumerate}
\item[3.3] Une cons\'{e}quence du th\'{e}or\`{e}me de Cauchy est que
l'ensemble des solutions de $(E)$ sur l'intervalle $\mathbb{R}_{+}^{\ast}$
o\`{u} le coefficient $x$ de $y"$ ne s'annule pas est un espace vectoriel de
dimension $2$ .\newline Nous connaissons 2 solutions : les restrictions de
$\Pi$ et $\psi$ \`{a} $\mathbb{R}_{+}^{\ast}\;$; l'une est polynomiale,
l'autre pas ; elles sont donc lin\'{e}airement ind\'{e}pendantes et forment
une base de l'ensemble des solutions de $(E)$ sur l'intervalle $\mathbb{R}%
_{+}^{\ast}$ . On en d\'{e}duit la forme de toute solution $F$ :%
\[
\fbox{$\exists(\alpha,\beta)\in\mathbb{R}^{2}\;\;\forall x\in\mathbb{R}%
_+^{\ast}\;\;F(x)=\alpha\Pi(x)+\beta\psi(x)$}%
\]
\item[3.4] Sur l'intervalle $\mathbb{R}_{-}^{\ast},$ le coefficient $x$ ne
s'annule pas non plus :\ l'ensemble des solutions de $(E)$ sur $\mathbb{R}%
_{-}^{\ast}$ est un espace vectoriel de dimension $2$ .\newline Les
restrictions de $\Pi$ et $\psi$ \`{a} $\mathbb{R}_{-}^{\ast}$ sont des
solutions lin\'{e}airement ind\'{e}pendantes .\newline On a de m\^{e}me la
forme de toute solution $G$ :%
\[
\fbox{$\exists(\gamma,\delta)\in\mathbb{R}^{2}\;\;\forall x\in\mathbb{R}%
_-^{\ast}\;\;G(x)=\gamma\Pi(x)+\delta\psi(x)$}%
\]
\item[3.5] Les coordonn\'{e}es $\alpha$ et $\beta$ de la fonction $\phi$
d\'{e}finie en 2.2 se calculent par $\left\{
\begin{array}
[c]{c}%
\alpha\Pi(1)+\beta\psi(1)=2\\
\alpha\Pi^{\prime}(1)+\beta\psi^{\prime}(1)=-2
\end{array}
\right. .$ Ce syst\`{e}me est de Cramer parce que son d\'{e}terminant est le
wronskien au point $1:$ $W(1)=\left|
\begin{array}
[c]{cc}%
\Pi(1) & \psi(1)\\
\Pi^{\prime}(1) & \psi^{\prime}(1)
\end{array}
\right| .$ Cette fonction $W$ ne prend jamais la valeur $0$ parce que $\Pi$
et $\psi$ sont lin\'{e}airement ind\'{e}pendantes .\newline Notons
$(\alpha_{0},\beta_{0})$ la solution de ce syst\`{e}me de Cramer On peut
prolonger $\phi$ \`{a} $\mathbb{R}\;$avec :\newline \newline \fbox{$f=\alpha
_{0}\Pi+\beta_{0}\psi$ prolonge $\phi$ en une fonction de classe
$\mathcal{C}^{\infty}$ sur $\mathbb{R\;}$et $f$ est solution de (E) sur
$\mathbb{R}$}\newline
\item[3.6] Soit\ $f\;$ une solution de (E) sur $\mathbb{R\;}$. D'apr\`{e}s 3.3
et 3.4 :\newline $\exists(\alpha,\beta,\gamma,\delta)\in\mathbb{R}%
^{4}\;\;\left\{
\begin{array}
[c]{c}%
\forall x>0\;\;\;f(x)=\alpha\Pi(x)+\beta\psi(x)\\
\forall x<0\;\;f(x)=\gamma\Pi(x)+\delta\psi(x)
\end{array}
\right. $\newline Le raccordement par continuit\'{e} en $\;x=0\;$ exige
:\ $f(0)=-24\alpha=-24\gamma,$ c'est \`{a} dire $\alpha=\gamma.$\newline Le
raccordement des d\'{e}riv\'{e}es premi\`{e}res et secondes est assur\'{e}
quand $\alpha=\gamma$ parce que $\psi^{\prime}(0)=\psi"(0)=0,$ d'o\`{u}
:$f\prime(0)=\alpha\Pi^{\prime}(0)\;$et $\;f"(0)=\alpha\Pi"(0).$%
\newline Notons $F(x)=\left\{
\begin{array}
[c]{c}%
\psi(x)\;\;si\;x\geq0\\
0\;\;\;\;\;\;si\;\;x\leq0
\end{array}
\right. \;$et$\;G(x)=\left\{
\begin{array}
[c]{c}%
0\;\;\;\;si\;x\geq0\\
\psi(x)\;\;\;\;si\;\;x\leq0
\end{array}
\right. $\newline Ce sont des solutions sur $\mathbb{R\;}$d'apr\`{e}s ce qui
pr\'{e}c\`{e}de et nous avons vu que si $f$ une solution de (E) sur
$\mathbb{R}$ \newline $\exists(\beta,\gamma,\delta)\in\mathbb{R}^{3}\;f=\beta
F+\delta G+\gamma\Pi.$\newline \newline \fbox{L'ensemble des solutions de (E)
sur $\mathbb{R\;}$est l'espace vectoriel de dimension 3 engendr\'{e} par
$(F,G,\Pi)$}\newline $F$ et $G$ sont de classe $\mathcal{C}^{4}$ sur
$\mathbb{R\;},$ de classe $\mathcal{C}^{\infty}$ sur $\mathbb{R}^{\ast},$ mais
leur d\'{e}riv\'{e}e d'ordre $5$ a une discontinuit\'{e} en $0.$\newline
\item[3.7] Calculons le d\'{e}veloppement limit\'{e} \`{a} l'ordre $5$ au
voisinage de $x=0$ de $f(x)=(x+4)e^{-x}:$\newline $f(x)=(4+x)(1-x+\dfrac{1}%
{2}x^{2}-\dfrac{1}{6}x^{3}+\dfrac{1}{24}x^{4}-\dfrac{1}{120}x^{5}%
+o(x^{5})=4-3x+x^{2}-\dfrac{1}{6}x^{3}+\dfrac{1}{120}x^{5}+o(x^{5}).$%
\newline Par ailleurs , v\'{e}rifions que $f$ est une solution de (E) sur
$\mathbb{R\;}$:\newline $f^{\prime}(x)=(-x-3)e^{-x}\;\;$et
\ \ $f"(x)=(x+2)e^{-x}$\newline $xf"(x)+(x-4)f^{\prime}(x)-3f(x)=(x^{2}%
+2x-x^{2}-3x+4x+12-3x-12)e^{-x}=0.$\newline $f$ est d\'{e}veloppable en
s\'{e}rie enti\`{e}re , alors d'apr\`{e}s 3.2c) :\newline $\exists
(\lambda,a_{5})\in\mathbb{R}^{2}\;\;\;\;\forall x\in\mathbb{R\;\;}%
f(x)=\lambda(x^{3}-6x^{2}+18x-24)+a_{5}\psi(x)\;,$ cequi nous donne comme
d\'{e}veloppement limit\'{e} d'ordre $5$ au voisinage de $0$ :\newline $f(x)=$
$-24\lambda+18\lambda x-6\lambda x^{2}+\lambda x^{3}+\alpha_{5}x^{5}+o(x^{5})$
. L'identification des coefficients permet de calculer \newline
$\lambda=-\dfrac{1}{6}$ \ \ et \ \ $\alpha_{5}=\dfrac{1}{120}$ et de trouver
effectivement :\newline $\forall x\in\mathbb{R}$ $\;\;\psi(x)=120\left(
f(x)+\dfrac{1}{6}(x^{3}-6x^{2}+18x-24)\right) $ soit apr\`{e}s
simplifications\newline :\fbox{$\forall x\in\mathbb{R}\;\;\psi(x)=%
%TCIMACRO{\dsum \limits_{n=0}^{\infty}}%
%BeginExpansion
{\displaystyle\sum\limits_{n=0}^{\infty}}
%EndExpansion
(-1)^{n}\dfrac{n+1}{(n+5)!}5!x^{n+5}=120(-4+3x-x^{2}+\dfrac{1}{6}%
x^{3}+(x+4)e^{-x}$}
\end{enumerate}
\end{document}