%ENSAI - 2002 - MATH I - MP (OPTION A)
%
% bruno.baudin@prepas.org
% renaud.palisse@prepas.org

% DEFINITION DES MACROS
\input upsnum.tex
\parindent 0pt

\def\ssi{\Leftrightarrow}
\def\nmat{{\bf N}}
\def\spec {{\rm \,Spec\, }}
\def\id {{\rm \,Id\, }}
\def\im {{\rm \,Im\,  }}
\def\ker{{\rm \,Ker\, }}
\def\vect{{\rm \,Vect\, }}
\def\tr {{\rm \,Tr\,  }}
\def\cmat{{\bf C}}
\def\I{I}

\def\boxit#1#2{\setbox1=\hbox{\kern#1{#2}\kern#1}%
\dimen1=\ht1 \advance\dimen1 by #1 \dimen2=\dp1 \advance\dimen2 by #1
\setbox1=\hbox{\vrule height\dimen1 depth\dimen2\box1\vrule}%
\setbox1=\vbox{\hrule\box1\hrule}%
\advance\dimen1 by .4pt \ht1=\dimen1
\advance\dimen2 by .4pt \dp1=\dimen2 \box1\relax}

\def\cadre#1{\boxit{2 pt}{#1}}

\def\s #1{$\underline{\hbox{#1}}$}

\def\num#1{\vskip 3mm \item{{\bf #1}}}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\centerline{{\bf ENSAI }}
\medskip
\centerline{{\bf CORRIGE DE LA PREMIERE COMPOSITION DE MATHEMATIQUES}}

\bigskip

{\it Erreurs d'\'enonc\'e signal\'ees en d\'ebut d'\'epreuve:

Partie I-exemple

Question 6-d : lire :

"en examinant $\tr h$, prouver que $a=- m$" et non $a=m=dim E-1$, comme
indiqu\'e dans le sujet.

Partie III-Etude de ${\cal M}_n(\cmat)$ :

Question 4 : lire :

"D\'eterminer ${\cal N_{\theta_{\cal A}}}$ (on utilisera la question {\bf II-3 c})"
et non la question II-3 b, comme
indiqu\'e dans le sujet

\

Erreur signal\'ee en cours d'\'epreuve:

Partie I -Exemple

Question 3 : lire :

"$\forall a \in {\cal L}_3$" et non "$\forall a \in {\cal A}$"

\ 

Petite erreur non signal\'ee:

Partie I -Exemple

Question 2 : Rajouter $(e,f,h)\not=(0,0,0)$
}





\bigskip
\centerline {I - EXEMPLE.}
\bigskip

\num{1.a)}
Par un calcul simple, on obtient :
$ \displaystyle [e,h](P)=e(h(P))-h(e(p))=2P'=2e(P)$
donc \cadre{$[e,h]=2e$}

De m\^eme, \cadre{$[f,h]=-2f$} et \cadre{$[e,f]=h$}

\num{1.b)}
Si $P$ est un polyn\^ome de degr\'e $r$, alors, la famille 
$ \displaystyle (e^r(P),\cdots,e^2(P),e(P),P,f(P),f^2(P),\cdots,f^{n-r}(P))$ est une famille de $n+1$ polyn\^omes \'echelonn\'ee en degr\'e. Comme $F$ est un sous espace stable par $e$ et $f$, c'est une famille d'\'el\'ements de $F$.
On a donc une famille libre de $n+1$ \'el\'ements de $F$, sous espace vectoriel de $E$ espace de dimension $n+1$. Donc $E=F$.


\num{2)}
On supposera pour cette question que $(e,f,h)\not=(0,0,0)$. On a alors, $e\not=0$, $f\not=0$ et $h\not=0$ d'apr\`es les relations v\'erifi\'ees par $e$, $f$, et $h$.

On remarque que le "crochet" est bilin\'eaire et que $\forall u\in {\cal L}(E)\quad[u,u]=0$.

Consid\'erons une combinaison lin\'eaire nulle de $e$, $f$ et $h$: $\alpha e+\beta f+\gamma h=0$.

$0=[e,[e,\alpha e+\beta f+\gamma h]]=[e,\beta h+2\gamma e]=2\beta e$, donc \s{$\beta=0$}.

$0=[e,\alpha e+\gamma h]=+2\gamma e$, donc \s{$\gamma=0$} puis \s{$\alpha=0$}.

On en d\'eduit que $(e,f,h)$ est libre et que \cadre{$\dim{\cal L}_3=3$}.

\num{3.a)}
$x=\alpha e+\beta f+\gamma h\in {\cal J}$, donc $[e,[f,x]]=-2\gamma h\in {\cal J}$ donc \s{$h\in{\cal J}$} car $\gamma \not=0$.

De m\^eme, $[f,x]=-\alpha h-2\gamma f \in {\cal J}$ donc \s{$f\in{\cal J}$}.
et $[e,x]=\beta h+2\gamma e\in {\cal J}$ donc \s{$e\in{\cal J}$}.

${\cal J}$ st un sous-espace de ${\cal L}$ qui contient les trois vecteurs $e$, $f$ et $h$ d'une base de ${\cal L}$ donc \cadre{${\cal J}={\cal L}$}.


\num{3.b)}
Si ${\cal J}\not= \{0\}$, alors, il contient un vecteur $x=\alpha e+\beta f+\gamma h$ avec $\alpha\not=0$ ou $\beta\not=0$ ou $\gamma\not=0$.

Si $\gamma\not=0$, alors on a montr\'e que \cadre{${\cal J}={\cal L}$}.

On proc\`ede de m\^eme si $\alpha\not=0$ ou $\beta\not=0$.

\num{4.a)}
Soit $y$ un vecteur propre de $h$ associ\'e \`a une valeur propre $\alpha$: $h(y)=\alpha y$.

De $eh-he=2e$, on d\'eduit $e(h(y))-h(e(y))=2e(y)$ puis \s{$h(e(y))=(\alpha-2)e(y)$}.

\cadre{Si $e(y)\not=0$, $e(y)$ est donc un vecteur propre de $h$associ\'e \`a la valeur propre $\alpha-2$}


\num{4.b)}
$h$ est un endomorphisme d'un $\cmat$-espace vectoriel, $h$ poss\`ede donc au moins un vecteur propre $y$ associ\'e \`a une valeur propre $\alpha$.

S'il n'existe aucun vecteur propre $x$ de $h$ tel que $e(x)=0$, alors, d'apr\`es la question pr\'ec\'edente, $e(y)$ est un vecteur propre associ\'e \`a la valeur propre $\alpha-2$,
$e(e(y))$ est un vecteur propre associ\'e \`a la valeur propre $\alpha-4$ etc.

On obtient ainsi une infinit\'e de valeurs propres $\alpha$, $\alpha-2$, $\alpha-4$ etc. ce qui est impossible car l'espace vectoriel $E$ est de dimension finie.
  
\num{5.a)}
Montrons par r\'ecurrence que $ \displaystyle h(f^k(x))=(\alpha+2k)f^k(x)$.

C'est vrai pour $k=0$.

Supposons le r\'esultat vrai \`a un rang $k$ et utilisons la relation $fh-hf=-2f$.

$ \displaystyle f(h(f^k(x)))-h(f(f^k(x)))=-2f(f^k(x))$

$ \displaystyle (\alpha-2k)f^{k+1}(x)))-h(f^{k+1}(x))=-2f^{k+1}(x)$

On en d\'eduit $ \displaystyle h(f^{k+1}(x))=(\alpha+2(k+1))f^{k+1}(x)$ et on peut conclure d'apr\`es le principe de r\'ecurrence.

\cadre{$ \displaystyle h(f^k(x))=(\alpha+2k)f^k(x)$}


\num{5.b)}
$f^0(x)=x\not=0$. 

Si pour tout entier  naturel $m$, $f^m(x)\not=0$, alors on d\'eduit du {\bf a)} l'existence d'une infinit\'e de valeurs propres pour $h$, endomorphisme d'un espace de dimension finie.

C'est impossible, il existe donc  $m\in\nmat$ tels que $f^m(x)\not=0$ et $f^{m+1}(x)=0$.


\num{5.c)}
Montrons par r\'ecurrence que pour $k\in\nmat^*$, $e(f^k(x))=k(\alpha+k-1)f^{k-1}(x)$

(cela servira dans la question {\bf 7))}.

Pour $k=1$, de $[e,f]=h$, on d\'eduit 
$e(f(x))-f(e(x))=h(x)$, or $e(x)=0$ et $h(x)=\alpha x$ donc {$e(f(x))=\alpha x$}. 
L'hypoth\`ese de r\'ecurrence au rang 1 est vaie.

Supposons l'hypoth\`ese de r\'ecurrence vraie \`a un rang $k\in\nmat^*$: $e(f^k(x))=k(\alpha+k-1)f^{k-1}(x)$

En appliquant la relation $ef-fe=h$ au vecteur $f^k(x)$, on obtient:

{$e(f^{k+1}(x))=(k(\alpha+k-1) +\alpha+2k)f^k(x)=(k+1)(\alpha+k)f^k(x)$}, hypoth\`ese de r\'ecurrence au rang $k+1$

On peut conclure d'apr\`es le principe de r\'ecurrence que 
\cadre{pour $k\in\nmat^*$, $e(f^k(x))=k(\alpha+k-1)f^{k-1}(x)$}

On en d\'eduit que
\cadre{pour $k\in\nmat^*$, $e(f^k(x))$ est colin\'eaire \`a $f^{k-1}(x)$}.


\num{6.a)} $F=\vect\{x,f(x),\cdots,f^m(x)\}$, on utilise les r\'esultats de la question {\bf5)}

$f^{m+1}(x)=0$ donc 
\s{$F$ est stable par $f$}.

$\forall k\in \nmat,\quad h(f^k(x))=(\alpha+2k)f^k(x)\in F$, on en d\'eduit que \s{$F$ est stable par $h$}.

$e(x)=0$ et $\forall k\in \nmat^*,\quad e(f^k(x))=k(\alpha+k-1)f^{k-1}(x)\in F$, on en d\'eduit que \s{$F$ est stable par $e$}.

\cadre{$F$ est donc stable par $e$, $f$ et $h$}

On sait que $F\not=\{0\}$ car $x\not=0$, or $E$ ne contient aucun  sous-espace stable par ${\cal L}_3$ autre que $\{0\}$ et $E$. On a donc \cadre{$F=E$}

\num{6.b)}
En {\bf a)}, on a montr\'e que ${\cal B}=(x,f(x),\cdots,f^m(x))$ est une famille \s{g\'en\'eratrice} de $E$.

Consid\'erons une combinaison lin\'eaire nulle des vecteurs de 
${\cal B}$: $a_0 x+a_1f(x)+\cdots+a_mf^m(x)=0$.

$f^m(x)\not=0$ et $f^{m+1}(x)=0$, donc si on applique $f^m$ \`a l'expression pr\'ec\'edente, il reste: $a_0f^m(x)=0$. On en d\'eduit que $a_0=0$.

On recommence en appliquant $f^{m-1}$ puis $f^{m-2}$ etc. et on en d\'eduit $a_1=0$ puis $a_2=0$ etc.

La famille ${\cal B}$ est donc \s{libre}.

Finalement: \cadre{${\cal B}=(x,f(x),\cdots,f^m(x))$ est une base de $E$}


\num{6.c)}
On a vu que $\forall k\in \nmat$, $h(f^k(x))=(\alpha+2k)f^k(x)$, la matrice dans la base ${\cal B}=(x,f(x),\cdots,f^m(x))$ est donc la matrice diagonale d'ordre $m+1$ dont les \'el\'ements diagonaux sont: $\alpha, \alpha+2,\cdots,\alpha+2m$

\num{6.d)}
De {\bf c)}, on d\'eduit: 
$ \displaystyle \tr h=(m+1)\alpha+2\sum_{k=0}^m k=(m+1)\alpha+m(m+1)=(m+1)(\alpha+m)$

De $[e,f]=h$, on d\'eduit: 
$ \displaystyle \tr h=\tr(ef-fe)=\tr(ef)-\tr(fe)=0$

On a donc \cadre{$\alpha=-m$}

\num{7)}
On a montr\'e que pour $k\in\nmat^*$, $e(f^k(x))=k(\alpha+k-1)f^{k-1}(x)$, de plus $e(x)=0$, on en d\'eduit que la matrice de $e$ dans la base $\cal B$ est 
$(a_{ij})_{1\leq i\leq m+1 \atop 1\leq j\leq m+1}$ avec $a_{ij}=(i+1)(\alpha+i)$ si $j=i+1$ et $a_{ij}=0$ sinon.

\bigskip
\centerline {II - PRELIMINAIRE A L'ETUDE DE ${\cal M}_n(\cmat)$.}
\bigskip

\num{1)}
Notons $n=\dim E$.

Si $a\in{\cal L}(E)$ poss\`ede une unique valeur propre $\lambda$, alors son polyn\^ome caract\'eristique est $(\lambda-X)^n$. 

Du th\'eor\`eme de Cayley-Hamilton, on d\'eduit alors que $(\lambda\id-a)^n=0$.
\cadre{$(a-\lambda \id)$ est donc nilpotent}

\num{2)}
Supposons $u$ nilpotent d'ordre $p$ et $v$ nilpotent d'ordre $q$.

Comme $u$ et $v$ commutent, on peut utiliser le bin\^ome de Newton:
$ \displaystyle (u-v)^{p+q}=\sum_{k=0}^{p+q} C_{p+q}^k u^k v^{p+q-k}$.

$u^p=0$ donc tous les termes d'indice $k\geq p$ sont nuls.

$v^q=0$ donc tous les termes d'indice $k\leq p$ sont nuls.

On a donc $(u-v)^{p+q}=0$.
\cadre{$u-v$ est bien nilpotent.}



\num{3.a)}
$ \displaystyle (\ker u^n)=(\bigcup_{p=0}^n \ker u^p)$ est une suite croissante de sous-espace de $E$, $E$ est de dimension finie, cette suite est donc stationnaire, constante \`a partir d'un certain rang $p_0$. On a donc 
\cadre{$ \displaystyle {\cal N}_u\bigcup_{p=0}^\infty \ker u^p=\ker u^{p_0}$.}

De m\^eme, $ \displaystyle (\im u^n)=(\bigcap_{p=0}^n \im u^p)$ est une suite d\'ecroissante de sous-espace de $E$, constante \`a partir du m\^eme rang $p_0$ car $\dim \ker u^n+\dim \im u^n=E$. On a donc 
\cadre{$ \displaystyle {\cal G}_u=\bigcap_{p=0}^\infty \im u^p=\im u^{p_0}$.}

\num{3.b)}
Soit $x\in {\cal N}_u\cup{\cal G}_u$.
$u^{p_0}(x)=0$ et il existe $y\in E$ tel que $x=u^{p_0}(y)$.

On a alors $u^{2p_0}(y)=0$, donc $y\in\ker u^{2p_0}$. Comme $\ker u^{2p_0}=\ker u^{p_0}$, on a $u^{p_0}(y)=0$ et donc $x=0$ d'o\`u {${\cal N}_u\cap{\cal G}_u=\{0\}$.}

De plus $\dim{\cal N}_u+\dim {\cal G}_u=\dim\ker u^{p_0}+\dim\im u^{p_0}=\dim E$.

On en d\'eduit que \cadre{${\cal N}_u\oplus{\cal G}_u=E$.}


$u$ commute avec $u^{p_0}$ donc $\ker u^{p_0}$ et $\im u^{p_0}$ sont stables par $u$:
\cadre{${\cal N}_u$ et ${\cal G}_u$ sont stables par $u$.}

La restriction de $u$ \`a ${\cal N}_u$ est nilpotente d'ordre $p_0$.

La restriction de $u$ \`a ${\cal G}_u$ est bijective car son noyau est r\'eduit \`a $\{0\}$ et que l'on est en dimension finie.

\num{3.c)}
Soit $n$ tel que la restriction de $u$ \`a $F$ soit nilpotente d'ordre $n$.

Soit $x\in E$.
On le d\'ecompose suivant la somme directe $F\oplus G=E$: $x=x_F+x_G$. ($u^n(x_F)=0$ et $u(x_G)\in G$)

$\forall k\geq n,\quad u^k(x)=u^k(x_G)\in G$, donc $\forall k\geq n,\quad \im u^k\subset G$.

D'autre part, la restriction de $u$ \`a $G$ est bijective donc 
$\forall k\in\nmat , \quad G\subset \im u^k$.

On en d\'eduit que: 
$\forall k\geq n,\quad \im u^k=G$ et comme la suite $ \displaystyle (\im u^n)=(\bigcap_{p=0}^n \im u^p)$ est d\'ecroissante, \cadre{$ \displaystyle {\cal G}_u=\bigcap_{p=0}^\infty \im u^p=G$.}

$\forall x\in $F$,\quad u^n(x)=0$ donc $F\subset \ker u^n$.
On en d\'eduit que $ \displaystyle F\subset \bigcup_{p=0}^\infty \ker u^p={\cal N}_u$.

Or $\dim F=\dim E-\dim G$, $\dim{\cal N}_u=\dim E-\dim {\cal G}_u$ et $G={\cal G}_u$. On en d\'eduit \cadre{$F={\cal N}_u$.}




\bigskip
\centerline {III - ETUDE DE ${\cal M}_n(\cmat)$.}
\bigskip

\num{1.a)}
Soit $\lambda$ une valeur propre de $A$ associ\'ee au vecteur propre $X$ et $M$ la matrice carr\'ee d'ordre $n$ dont chaque colonne est \'egale \`a $X$.
On voit que $\phi_A(M)=MA=\lambda A$. $\lambda$ est donc une valeur propre de $\phi_A$.

Soit $\lambda$ une valeur propre de $\phi_A$ associ\'ee \`a $M$: $\phi_a(M)=\lambda M$.
Chaque colonne non nulle de $M$ est alors un vecteur propre de $A$. $\lambda$ est donc une valeur propre de $A$.

\cadre{Les valeurs propres de l'endomorphisme $\phi_a$ sont bien les valeurs propres de $A$.}


\num{1.b)}
$\psi_A(M)=MA$, or $MA=\lambda A \ssi {}^tA{}^tM=\lambda{}^tM$

D'apr\`es la question pr\'ec\'edente, 
\cadre{les valeurs propres de l'endomorphisme $\psi_a$ sont les valeurs propres de $A$.}

\num{2.a)}
$(A-\lambda I_n)^\alpha$ commute avec $A$ donc $\ker (A-\lambda I_n)^\alpha$ est stable par $A$.

$({}^tA-\mu I_n)^\beta$ commute avec ${}^tA$ donc $\ker ({}^tA-\mu I_n)^\beta$ est stable par ${}^tA$.

Si $U\in \ker (A-\lambda I_n)^\alpha$ et $V\in \ker ({}^tA-\mu I_n)^\beta$, alors $AU\in \ker (A-\lambda I_n)^\alpha$ et ${}^tAV\in \ker ({}^tA-\mu I_n)^\beta$.

On en d\'eduit que $\theta_A(U^tV)=AU^tV-U^tVA=(AU)^tV-V^t(^tAV)\in{\cal L}_{\lambda \mu}$.
\cadre{${\cal L}_{\lambda,\mu} $ est donc stable par $\theta_A$.}

\num{2.b)}
La restriction de $\phi_A-\lambda \id$ \`a ${\cal L}_{\lambda \mu}$ est un endomorphisme nilpotent, en effet, pour  $U\in \ker (A-\lambda I_n)^\alpha$ et $V\in \ker ({}^tA-\mu I_n)^\beta$, 
$(\phi_a-\lambda\id)^\alpha(U^tV)=(A-\lambda I_n)^\alpha U^tV=0$ car  $U\in \ker (A-\lambda I_n)^\alpha$.

De m\^eme, la restriction de  $\psi_A-\mu \id$ \`a ${\cal L}_{\lambda \mu}$ est un endomorphisme nilpotent, en effet, pour  $U\in \ker (A-\lambda I_n)^\alpha$ et $V\in \ker ({}^tA-\mu I_n)^\beta$, 
$(\phi_a-\lambda\id)^\beta(U^tV)=U^tV(A-\mu I_n)^\beta=U^t((^tA-\mu I_n)^\beta V)=0$ car  $V\in \ker (^tA-\mu I_n)^\beta$.

De plus $\phi_A$ et $\psi_A$ commutent car pour toute matrice $M\in{\cal M}_n(\cmat)$, 
$\phi_A(\psi_A(M))=\psi_A(\phi_A(M))=AMA$, $\phi_A-\lambda \id$ et $\psi_A-\mu\id$ commutent donc \'egalement.

De la question {\bf II 2)}, on d\'eduit que la restriction de $(\phi_A-\psi_A)-(\lambda-\mu)\id$ \`a ${\cal L}_{\lambda \mu}$ est un endomorphisme nilpotent.

De la question {\bf II 1)}, on d\'eduit ensuite que 
la restriction de $\theta_A=\phi_A-\psi_A$ \`a ${\cal L}_{\lambda \mu}$  poss\`ede $\lambda-\mu $ comme unique valeur propre.

Donc: \cadre{la restriction de $\theta_A$ \`a ${\cal L}_{\lambda \mu}$  poss\`ede $\lambda-\mu $ comme unique valeur propre.}


\num{3.a)}
On suppose que les familles 
${\cal F}=(U_1,U_2,\cdots,U_p)$ et ${\cal G}=(V_1,V_2,\cdots,V_q)$ sont libres et  on note $(b_{kj})_{1\leq k\leq n}$ les coefficients de la matrice $V_j$.

Consid\'erons une combinaison lin\'eaire nulle  de la famille ${\cal F}\otimes {\cal G}$:
$ \displaystyle \sum_{1\leq i\leq p\atop 1\leq j\leq q} \alpha_{ij} U_i{}^tV_j=0$.

En s\'eparant les deux sommes, 
$ \displaystyle \sum_{i=1}^p U_i{}^t\Big(\sum_{j=1}^q \alpha_{ij}V_j\Big)=0$

On obtient une matrice carr\'ee d'ordre $n$ dont la $k$i\`eme colonne est:
$ \displaystyle \sum_{i=1}^p\Big(\sum_{j=1}^q\alpha_{ij}b_{kj}\Big)U_i=0$

Comme la famille ${\cal F}=(U_1,U_2,\cdots,U_p)$ est libre, on en d\'eduit que les scalaires $ \displaystyle \sum_{j=1}^q\alpha_{ij}b_{kj}$ sont tous nuls, puis que pour tout $i$: $ \displaystyle \sum_{j=1}^q \alpha_{ij}V_j=0$  et comme ${\cal G}=(V_1,V_2,\cdots,V_q)$ est libre, tous les $\alpha_{ij}$ sont nuls.

\cadre{La famille ${\cal F}\otimes {\cal G}$ est donc libre}

\num{3.b)}
Soit $U\in \ker (A-\lambda\I_n)^\alpha$ et $V\in \ker (^tA-\mu\I_n)^\beta$.
De la d\'ecomposition de $U$  dans la base ${\cal B}_\lambda$ et de la d\'ecomposition de $V$ dans la base ${\cal B}^*_\mu$, on d\'eduit imm\'ediatement un d\'ecomposition de $U^tV$ dans 
$ \displaystyle \cal B_\lambda\otimes B^*_\mu$, 
or ${\cal L}_{\lambda,\mu}=\vect\{U^tV,\quad U\in \ker (A-\lambda\I_n)^\alpha$;\quad $V\in \ker (^tA-\mu\I_n)^\beta\}$. 

$ \displaystyle \cal B_\lambda\otimes B^*_\mu$ est donc une famille g\'en\'eratrice de ${\cal L}_{\lambda,\mu}$.

De {\bf a)} on d\'eduit que $\cal B_\lambda\otimes B^*_\mu$ est une famille libre.

\cadre{$\cal B_\lambda\otimes B^*_\mu$ est bien une base de ${\cal L}_{\lambda,\mu}$.}

\num{3.c)}
On note $\lambda_1,\cdots,\lambda_r$ les valeurs propres deux \`a deux distinctes de  $A$ de multiplicit\'es respectives: $\alpha_1,\cdots,\alpha_r$.

On utilise le th\'eor\`eme de d\'ecomposition des noyaux pour $A$ et pour ${}^tA$:

$ \displaystyle  E=\bigoplus_{i=1}^r\ker (A-\lambda_i I_n)^{\alpha_i}
=\bigoplus_{i=1}^r\ker ({}^tA-\lambda_i I_n)^{\alpha_i}$

On note 
$(U_1,\cdots,U_n)$ une base de ${\cal M}_{n1}(\cmat)$ adapt\'ee \`a la premi\`ere somme directe et 
$(V_1,\cdots,V_n)$ une base de ${\cal M}_{n1}(\cmat)$ adapt\'ee \`a la seconde somme directe.

De {\bf 3.a)}, on d\'eduit que $ \displaystyle (U_i{}^tV_j)_{1\leq i\leq n \atop 1\leq j\leq n}$ est une famille libre de $n^2$ vecteurs de ${\cal M}_n(\cmat)$, c'est donc une base  de ${\cal M}_n(\cmat)$.

On fait ensuite une partition de cette base:
$ \displaystyle \Big({\cal B}_{\lambda_i}\otimes {\cal B}^*_{\lambda_j}\Big)_{1\leq i\leq n \atop 1\leq j\leq n}$ ou bien avec les notations de l'\'enonc\'e : 

$ \displaystyle \Big({\cal B}_{\lambda}\otimes {\cal B}^*_{\mu}\Big)_{(\spec A)^2}$
d'o\`u l'on d\'eduit :
\cadre{$ \displaystyle {\cal M}_n(\cmat) = \bigoplus_{(\spec A)^2} {\cal L}_{\lambda \mu}$}

 


\num{4)}
On a montr\'e que ${\cal L}_{\lambda \mu}$ est stable par $\theta_A$ et que la restriction de $\theta_A$ \`a ${\cal L}_{\lambda \mu}$ poss\`ede $\lambda-\mu$ comme unique valeur propre.

La restriction de $\theta$ \`a ${\cal L}_{\lambda \mu}$ est donc bijective si $\lambda\not=\mu$, et nilpotente si $\lambda=\mu$.

Notons $ \displaystyle F=\bigoplus_{\lambda \in \spec A} {\cal L}_{\lambda \lambda}$ et 
$ \displaystyle G=\bigoplus_{(\lambda \mu)\in(\spec A)^2\atop \lambda \not = \mu} {\cal L}_{\lambda \mu}$

On a \'evidemment $E=F\oplus G$, de plus la restriction de $\theta_A$ \`a $F$ est nilpotente et la restriction de $\theta_A$ \`a $G$ est bijective.

De la question {\bf II 3.c)}, on d\'eduit alors que 
\cadre{$ \displaystyle {\cal N}_{\theta_A}=F=\bigoplus_{\lambda \in \spec A} {\cal L}_{\lambda \lambda}$}


\num{5.a)}
Soient $p_1,\cdots,p_n$ des entiers positifs ou nuls tels que $ \displaystyle \sum_{k=1}^n p_k =n$.

$ \displaystyle \sum_{k=1}^n p_k^2-n=\sum_{k=1}^n(p_k^2-p_k)=\sum_{k=1}^np_k(p_k-1)$

$p_k$ est un entier naturel, donc $p_k(p_k-1)\geq0$ et $ \displaystyle \sum_{k=1}^n p_k^2\geq n$.

De plus $ \displaystyle \sum_{k=1}^n p_k^2=n$ si et seulement si les $p_k$ sont tous \'egaux \`a 0 ou 1, comme $ \displaystyle \sum_{k=1}^n p_k=n$, le seul cas possible pour avoir  $ \displaystyle \sum_{k=1}^n p_k^2=n$ est $\forall k,\quad p_k=1$.

\cadre{$ \displaystyle \sum_{k=1}^n p_k^2$ est bien minimal lorsque $\forall k,\quad p_k=1$.}




\num{5.b)}
En reprenant les notations de la question {\bf 4)}:
$ \displaystyle \dim {\cal N}_{\theta_A}=\sum_{i=1}^r \alpha_i^2$, et $ \displaystyle  \sum_{i=1}^r \alpha_i =n$.

On se ram\`ene \`a la question pr\'ec\'edente en posant $\alpha_i=0$ pour $r<i\leq n$.

On voit alors qu'une condition n\'ecessaire et suffisante pour que $ \displaystyle \dim {\cal N}_{\theta_A}$ soit minimale est: 

$\forall i\in [1,n], \quad \alpha_i=1$

Autrement dit :
\cadre{$ \displaystyle \dim {\cal N}_{\theta_A}$ est minimale si et seulement si $A$ poss\`ede $n$ valeurs propres distinctes}.
\end

