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\begin{document}



%Num{\'e}rotation
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\arabic{enumi}\r{}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\alph{enumii})}}

%Macros
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\newcommand{\set}[1]{\left \{ #1 \right \}}
\newcommand{\segmN}[2]{\left [ \left | #1, #2 \right  | \right ]}
\newcommand{\Vect}[1]{\mathop {\rm Vect}  #1}
\newcommand{\Sp}[1]{\mathop{{\rm Spec}{}}#1}
\newcommand{\trace}[1]{\mathop{\rm tr}\left(#1\right)}
\newcommand{\transpose}[1]{{}^{t}\!#1}
\newcommand{\lie}[2]{\left [#1, #2\right ]}
\newcommand{\union}[3]{\bigcup_{#1}^{#2}\limits{#3}}
\newcommand{\intersection}[3]{\bigcap_{#1}^{#2}\limits{#3}}
\newcommand{\sommedirecte}[3]{\bigoplus_{#1}^{#2}\limits{#3}}
\renewcommand{\ker}[1]{\mathop{\rm Ker} #1}
\newcommand{\im}[1]{\mathop{\rm Im} #1}
\newcommand{\somme}[3]{\sum_{#1}^{#2}\limits{#3}}




\begin{center}
\textbf{{\'E}COLE NATIONALE DE LA STATISTIQUE
ET DE L'ANALYSE DE L'INFORMATION}
\end{center}

\begin{center}\rule{2cm}{1pt}\end{center}

\begin{center}\textbf{{\Large concours d'{\'e}l{\`e}ve titulaire de l'ENSAI}}\end{center}

\begin{center}\textbf{{\Large concours externe d'attach{\'e} de l'INSEE}}\end{center}

\begin{center}\rule{2cm}{1pt}\end{center}

\begin{center}MAI 2002\end{center}

\begin{center}\rule{2cm}{1pt}\end{center}

\begin{center}Option A. - MATH{\'E}MATIQUES\end{center}

\begin{center}\rule{2cm}{1pt}\end{center}

\begin{center}\framebox{\textbf{{\large premi{\`e}re composition de math{\'e}matiques}}}\end{center}

\begin{center}Dur{\'e}e : 4 heures\end{center}

\begin{center}\rule{2cm}{1pt}\end{center}

\begin{center}\textit{L'usage des calculatrices est interdit}\end{center}

\begin{center}\rule{2cm}{1pt}\end{center}

\begin{center}\textit{Le sujet comprend 3 pages (y compris celle-ci).}\end{center}


\clearpage


\begin{center}{\huge Concours ENSAI 2002 Maths 1}\end{center}

Dans tout le probl{\`e}me $n$ d{\'e}signe un entier sup{\'e}rieur ou {\'e}gal {\`a} $1$.

Soit $E$ un espace vectoriel de dimension finie sur $\C$.
Si $a, b \in \mathscr{L}(E)$, l'endomorphisme $a \circ b$ sera not{\'e} $ab$ et l'on pose $\lie{a}{b} = ab - ba$.

Pour $a \in \mathscr{L}(E)$ on note $\theta_{a}$ l'endomorphisme de $\mathscr{L}(E)$ d{\'e}fini par

\centerline{$\theta_{a}(b) = \lie{a}{b} = ab-ba$.}

On rappelle le th{\'e}or{\`e}me de d{\'e}composition en noyaux :

Soit $u \in \mathscr{L}(E)$, $\lambda_{1}$, {\dots}, $\lambda_{r}$ ses valeurs propres distinctes et $\alpha_{1}$, {\dots}, $\alpha_{r}$ leur multiplicit{\'e} respective ; alors

\centerline{$E = \sommedirecte{i=1}{r}{\ker{(u-\lambda_{i}Id)^{\alpha_{i}}}}$.}

L'objet du probl{\`e}me est d'{\'e}tudier dans quelques cas particuliers des propri{\'e}t{\'e}s du {\og}crochet{\fg} $\lie{\ }{\ }$.


\begin{center}\textsc{I-Exemple.}\end{center}

\begin{enumerate}
\item %Question I.1
On suppose dans cette question que $E = \C_{n}[X]$ est l'ensemble des polyn{\^o}mes de degr{\'e} au plus $n$, {\`a} coefficients dans $\C$, et l'on pose pour $P \in E$

\centerline{$e(P) = P'$, $f(P) = -nXP + X^{2}P'$, $h(P) = -nP + 2XP'$.}

\begin{enumerate}
\item %I.1.a)
Calculer $\lie{e}{h}$, $\lie{f}{h}$, $\lie{e}{f}$.
\item %I.1.b)
Soit $F {\neq} \set{0}$, un sous-espace de $E$ stable par $e$, $f$, $h$, et $P {\neq} 0$ un {\'e}l{\'e}ment de $F$.
En examinant les degr{\'e}s des images successives de $P$ par $e$ et par $f$, prouver que $F = E$.
\end{enumerate}

\medskip
$E$ d{\'e}signe maintenant un $\C$-espace vectoriel quelconque de dimension finie. On consid{\`e}re $3$ {\'e}l{\'e}ments de $\mathscr{L}(E)$ not{\'e}s $e$, $f$, $h$ et v{\'e}rifiant :

\centerline{$\lie{e}{h} = 2e$, $\lie{f}{h} = -2f$, $\lie{e}{f} = h$.}

On note $\mathscr{L}_{3}$ le sous-espace vectoriel qu'ils engendrent.
\item %Question I.2
Prouver que $\dim{\mathscr{L}_{3}} = 3$.

\item %Question I.3
Soit $\mathscr{I}$  un sous-espace de $\mathscr{L}_{3}$ tel que

\centerline{$\forall x \in \mathscr{I}, \forall a \in \mathscr{L}_{3}, \lie{a}{x} \in \mathscr{I}$.}

\begin{enumerate}
\item %I.3.a)
Montrer que si $\mathscr{I}$ contient un {\'e}l{\'e}ment $x = \alpha e + \beta f + \gamma h$ avec $\gamma {\neq} 0$, alors $\mathscr{I} = \mathscr{L}_{3}$.

\item %I.3.b)
Prouver que si $\mathscr{I} {\neq} \set{0}$ alors $\mathscr{I} = \mathscr{L}_{3}$ (on pourra se ramener {\`a} la question pr{\'e}c{\'e}dente)
\end{enumerate}

\item %Question I.4
\begin{enumerate}
\item %I.4.a)
Soit $y$ un vecteur propre de $h$ ; prouver que si $e(y) {\neq} 0$, alors $e(y)$ est un vecteur propre de $h$.

\item %I.4.b)
En d{\'e}duire qu'il existe un vecteur propre $x$ de $h$ tel que $e(x) = 0$.
\end{enumerate}

\medskip
Dans la suite de cette partie, on note $x$ un tel vecteur, et on note $\alpha$ la valeur propre de $h$ associ{\'e}e.

\item %Question I.5
\begin{enumerate}
\item %I.5.a)
Calculer $h\left(f^{k}(x)\right)$ o{\`u} $k$ est un entier naturel.
\item %I.5.b)
En d{\'e}duire qu'il existe $m \in \N$ tel que $f^{m}(x) {\neq} 0$ et $f^{m+1}(x) = 0$.
\item %I.5.c)
Prouver que pour $k \in \N^{*}$, $e\left(f^{k}(x)\right)$ est colin{\'e}aire {\`a} $f^{k-1}(x)$.
\end{enumerate}

\item %Question I.6
On suppose que $E$ ne contient aucun sous-espace stable par $\mathscr{L}_{3}$ autre que $\set{0}$ et $E$.
On pose

\centerline{$F = \Vect{\left(x, f(x), {\dots}, f^{m}(x)\right)}$}

\begin{enumerate}
\item %I.6.a)
Justifier que $F$ est stable par $e$, $f$ et $h$. Que peut-on en d{\'e}duire ?

\item %I.6.b)
Montrer que la famille $\mathscr{B} = \left(x, f(x), {\dots}, f^{m}(x)\right)$ est une base de $E$.

\item %I.6.c)
D{\'e}terminer la matrice de $h$ dans la base $\mathscr{B}$.

\item %I.6.d)
En examinant $\trace{h}$, prouver que $\alpha = -m$.
\end{enumerate}

\item %Question I.7
D{\'e}terminer la matrice de $e$ dans la base $\mathscr{B}$.
\end{enumerate}


\begin{center}\textsc{II-Pr{\'e}liminaire {\`a} l'{\'e}tude de $\mathscr{M}_{n}(\C)$}\end{center}

Dans cette partie $E$ d{\'e}signe toujours un $\C$-espace vectoriel de dimension finie.
\begin{enumerate}
\item %Question II.1
Prouver qu'un endomorphisme $a$ de $E$ poss{\`e}de une seule valeur propre si et seulement s'il existe $\lambda \in \C$ tel que $a - \lambda Id$ soit nilpotent.

\item %Question II.2
Soit $u$ et $v$ deux endomorphismes nilpotents commutant entre eux. Prouver que $u - v$ est nilpotent.

\item %Question II.3
Soit $u$ un endomorphisme de $E$ ; on pose $\mathscr{N}_{u} = \union{p=0}{{\infty}}{\ker{u^{p}}}$ et $\mathscr{G}_{u} = \intersection{p=0}{{\infty}}{\im{u^{p}}}$.
\begin{enumerate}
\item %II.3.a)
Prouver qu'il existe $p_{0} \in \N$ tel que $\mathscr{N}_{u} = \ker{u^{p_{0}}}$ et $\mathscr{G}_{u} = \im{u^{p_{0}}}$.

\item %II.3.b)
Prouver que $\mathscr{N}_{u}$ et $\mathscr{G}_{u}$ sont deux sous-espaces suppl{\'e}mentaires, stables par $u$, tels que $u$ restreint {\`a} $\mathscr{N}_{u}$ soit nilpotent et que $u$ restreint {\`a} $\mathscr{G}_{u}$ soit bijectif.

\item %II.3.c)
Prouver r{\'e}ciproquement que si $E = F \oplus G$ o{\`u} $F$ et $G$ sont deux sous-espaces stables par $u$ tels que la restriction de $u$ {\`a} $F$ soit nilpotente et la restriction de $u$ {\`a} $G$ bijective, alors $F =  \mathscr{N}_{u}$ et $G = \mathscr{G}_{u}$.
\end{enumerate}

On vient donc de prouver l'existence et l'unicit{\'e} de tels sous-espaces $F$ et $G$.
\end{enumerate}

\begin{center}\textsc{III-{\'E}tude de $\mathscr{M}_{n}(\C)$.}\end{center}

Dans cette partie, $A$ d{\'e}signe une matrice de $\mathscr{M}_{n}(\C)$, et l'on note $\theta_{A}$ l'endomorphisme de $\mathscr{M}_{n}(\C)$ d{\'e}fini par

\centerline{$\theta_{A}(B) = AB - BA$.}

\begin{enumerate}
\item %Question III.1
\begin{enumerate}
\item %III.1.a)
Montrer que les valeurs propres de l'endomorphisme $\phi_{A}$ de $\mathscr{M}_{n}(\C)$ d{\'e}fini par $\phi_{A}(M) = AM$ sont les valeurs propres de $A$.

\item %III.1.b)
D{\'e}terminer les valeurs propres de l'endomorphisme $\psi$ de $\mathscr{M}_{n}(\C)$ d{\'e}fini par $\psi_{A}(M) = MA$.
\end{enumerate}

\medskip
{\'E}tant donn{\'e}e $A \in \mathscr{M}_{n}(\C)$, on consid{\`e}re $\lambda$ et $\mu$ deux valeurs propres de $A$ de multiplicit{\'e} respective $\alpha$ et $\beta$. On pose

\centerline{$\mathscr{L}_{\lambda, \mu} = \Vect{\set{U \transpose{V}, U \in \ker{(A-\lambda I_{n})^{\alpha}}; V \in \ker{\left(\transpose{A} - \mu I_{n}\right)^{\beta}}}}$.}

\item %Question III.2
\begin{enumerate}
\item %III.2.a)
Prouver que le sous-espace $\mathscr{L}_{\lambda, \mu}$ de $\mathscr{M}_{n}(\C)$ est stable par $\theta_{A}$.

\item %III.2.b)
Prouver que la restriction de $\theta_{A}$ {\`a} $\mathscr{L}_{\lambda, \mu}$ admet pour unique valeur propre $\lambda - \mu$ (on remarquera que $\theta_{A} = \phi_{A} - \psi_{A}$).
\end{enumerate}

\item %III.3
\begin{enumerate}
\item %III.3.a)
Soit $\mathscr{F} = \left(U_{1}, {\dots}, U_{p}\right)$ et $\mathscr{G} = \left(V_{1}, {\dots}, V_{q}\right)$ deux familles de vecteurs de $\mathscr{M}_{n,1}(\C)$.
Prouver que si les familles $\mathscr{F}$ et $\mathscr{G}$ sont libres, la famille $\set{U_{i} \transpose{V_{j}}, i \in \segmN{1}{p}, j \in \segmN{1}{q}}$, qu'on notera $\mathscr{F} \otimes \mathscr{G}$, est libre.
\item %III.3.b)
Soit $\lambda$ et $\mu$ deux valeurs propres de $A$. On note $\mathscr{B}_{\lambda}$ une base de $\ker{(A-\lambda I_{n})^{\alpha}}$ et $\mathscr{B}_{\mu}^{*}$ une base de $\ker{\left(\transpose{A} - \mu I_{n}\right)^{\beta}}$.
Prouver que la famille $\mathscr{B}_{\lambda} \otimes \mathscr{B}_{\mu}^{*}$ est une base de $\mathscr{L}_{\lambda, \mu}$.

\item %III.3.c)
En d{\'e}duire que $\mathscr{M}_{n}(\C) = \sommedirecte{(\Sp{A})^{2}}{}{\mathscr{L}_{\lambda, \mu}}$ o{\`u} $\Sp{A}$ d{\'e}signe l'ensemble des valeurs propres de $A$.
\end{enumerate}

\item %Question III.4
D{\'e}terminer $\mathscr{N}_{\theta_{A}}$ (on utilisera la question II.3\r{}c).

\item %Question III.5
\begin{enumerate}
\item %III.5.a)
Soit $p_{1}$, {\dots}, $p_{n}$ des entiers positifs ou nuls tels que $\somme{k=1}{n}{p_{k}} = n$.
Prouver que $\somme{k=1}{n}{p_{k}^{2}}$ est minimal lorsque 
$\forall k \in \segmN{1}{n}, p_{k} = 1$.

\item %III.5.b)
En d{\'e}duire une condition n{\'e}cessaire et suffisante portant sur $A$ pour que $\dim{\mathscr{N}_{\theta_{A}}}$ soit minimale.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{document}
