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\begin{document}

ENSAIT 2002 Maths 2 (toutes fili\`eres)

\ \ 

PREMIERE PARTIE

1) $\bullet \;X$ est vecteur propre de $M$ pour la valeur propre $\lambda $
donc : $X\neq 0$ et $MX=\lambda X$ d'o\`u : $^tX\,M\,X=\lambda \left\|
X\right\| ^2=\lambda \,r^2=ax^2+2bcxy+dy^2=r^2(a\cos ^2\theta +(b+c)\sin
\theta \cos \theta +d\sin ^2\theta )$

$X\neq 0\Rightarrow r\neq 0$ donc : \fbox{$\lambda =a\cos ^2\theta
+(b+c)\sin \theta \cos \theta +d\sin ^2\theta $}

$\bullet \;\left| \lambda \right| \leq \left| a\right| \cos ^2\theta +\left|
b+c\right| \left| \sin \theta \right| \left| \cos \theta \right| +\left|
d\right| \sin ^2\theta \;;\;\left| a\right| \leq \beta \,,\,\left|
b+c\right| \leq \beta $ et $\left| d\right| \leq \beta $ donc : $\left|
\lambda \right| \leq \beta (\cos ^2\theta +\left| \sin \theta \right| \left|
\cos \theta \right| +\sin ^2\theta )\acute \Rightarrow \,$\fbox{$\left|
\lambda \right| \leq \beta \left( \left| \sin \theta \right| +\left| \cos
\theta \right| \right) ^2$}

$\bullet \;\forall \theta \in {\bf R}\;,\;\exists \theta ^{\prime }\in
[0,\frac \pi 2]\;$tq$\;\left| \sin \theta \right| =\sin \theta ^{\prime }$
et $\left| \cos \theta \right| =\cos \theta ^{\prime }\;;\;\sin \theta
^{\prime }+\cos \theta ^{\prime }=\,\sqrt{2}\sin (\theta ^{\prime }+\frac
\pi 4)\leq \sqrt{2}$ donc : \fbox{$\left| \lambda \right| \leq 2\beta $}

$\bullet \;$Si $\left| \lambda \right| =2\beta $ alors : $2\beta \leq \beta
\left[ \sqrt{2}\sin (\theta ^{\prime }+\frac \pi 4)\right] ^2\leq 2\beta
\Rightarrow \sin (\theta ^{\prime }+\frac \pi 4)=1\Rightarrow \theta
^{\prime }=\frac \pi 4$ (car $\theta ^{\prime }\in [0,\frac \pi 2]$) . Donc $%
\left| \sin \theta \right| =\left| \cos \theta \right| =\frac{\sqrt{2}}2$ et 
$\lambda =\frac 12\left( a+d\right) +\varepsilon \frac 12(b+c)$ avec $%
\varepsilon =\pm 1$

Si $\lambda =2\beta :4\beta =a+d+\varepsilon (b+c)\Leftrightarrow \left(
\beta -a\right) +\left( \beta -d\right) +\left[ 2\beta -\varepsilon
(b+c)\right] =0$ . La somme de ces 3 termes positifs est nulle ssi ils sont
nuls ; ssi : \underline{$a=\beta \,,\,d=\beta \,,\,b+c=\varepsilon 2\beta $}
. Si $\varepsilon =$

$+1$ : $M=\left( 
\begin{array}{cc}
\beta & b \\ 
2\beta -b & \beta 
\end{array}
\right) \,;\,\det (M-2\beta I_2)=(\beta -b)^2=0\Leftrightarrow b=\beta \,$%
\fbox{$M=\beta \left( 
\begin{array}{cc}
1 & 1 \\ 
1 & 1 
\end{array}
\right) $}

$-1$ : $M=\left( 
\begin{array}{cc}
\beta & b \\ 
-2\beta -b & \beta 
\end{array}
\right) ;\det (M-2\beta I_2)=(\beta +b)^2=0\Leftrightarrow b=-\beta \,$\fbox{%
$M=\beta \left( 
\begin{array}{cc}
1 & -1 \\ 
-1 & 1 
\end{array}
\right) $}

Si $\lambda =-2\beta :2\beta $ est valeur propre de $-M$ et la matrice $-M$
a le m\^eme $"\beta "$ que $M$ donc :

\fbox{$M=-\beta \left( 
\begin{array}{cc}
1 & 1 \\ 
1 & 1 
\end{array}
\right) $} ou \fbox{$M=-\beta \left( 
\begin{array}{cc}
1 & -1 \\ 
-1 & 1 
\end{array}
\right) $}

\ \ 

2) $\bullet $ Les valeurs propres de $M$ sont les racines de son polyn\^ome
caract\'eristique qui est :

\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ $X^2-(a+d)X+ad-bc$

$\bullet $ Soit $\Delta =(a+d)^2-4(ad-bc)$ . Par hypoth\`ese , $\Delta <0$
et les valeurs propres sont : $\lambda =\frac 12\left[ a+d\pm i\sqrt{-\Delta 
}\right] $ ; $Re(\lambda )=\frac 12(a+d)\Rightarrow \left| Re(\lambda
)\right| \leq \frac 12(\left| a\right| +\left| d\right| )\Rightarrow $\fbox{$%
\left| Re(\lambda )\right| \leq \beta $}

$\bullet $ $\left[ Im(\lambda )\right] ^2=\frac{-\Delta }4=\frac 14\left[
4ad-4bc-(a+d)^2\right] =\frac 14\left[ (b-c)^2-(b+c)^2-(a-d)^2\right] $

$\bullet $ $\left[ Im(\lambda )\right] ^2\,\leq \frac 14(b-c)^2\Rightarrow $%
\fbox{$\left| Im(\lambda )\right| \leq \frac 12\left| b-c\right| $}

$\bullet \;\left| Im(\lambda )\right| =\frac 12\left| b-c\right|
\Leftrightarrow (b+c)^2+(a-d)^2=0\Leftrightarrow a=d$ et $c=-b$

\fbox{$M=\left( 
\begin{array}{cc}
a & b \\ 
-b & a 
\end{array}
\right) $} a pour valeurs propres : $\lambda =a\pm ib$ ; elles sont non
r\'eelles ssi \underline{$b\neq 0$}

\ \ \ 

DEUXIEME PARTIE

1) $\bullet $ En g\'en\'eral l'in\'egalit\'e de Cauchy-Schwarz est : $\left(
<x,y>\right) ^2\leq \,<x,x>.<y,y>$

Pour le produit scalaire canonique : $\left( \sum_{i=1}^px_iy_i\right)
^2\leq \left( \sum_{i=1}^px_i^2\right) .\left( \sum_{i=1}^py_i^2\right) $

$\bullet $ En particulier si le vecteur $y$ a toutes ses composantes
\'egales \`a $1:\left( \sum_{i=1}^px_i\right) ^2\leq p\left(
\sum_{i=1}^px_i^2\right) $

$\bullet $ L'\'egalit\'e a lieu dans l'in\'egalit\'e de Cauchy-Schwarz si et
seulement si les 2 vecteurs sont li\'es . Or $x$ est li\'e au vecteur $y$
pr\'ec\'edent ssi toutes les composantes de $x$ sont \'egales :

$\left( \sum_{i=1}^px_i\right) ^2=p\left( \sum_{i=1}^px_i^2\right)
\Leftrightarrow x_1=x_2=\cdots =x_p$

\ \ \ 

2) Posons $Y=MZ:\forall k\;,\;y_k=\sum_{j=1}^nm_{k,j}z_j$ et $^t\overline{Z}%
MZ=\sum_{k=1}^n\overline{z_k}y_k=\sum_{k=1}^n\overline{z_k}\left(
\sum_{j=1}^nm_{k,j}z_j\right) $

d'o\`u : $^t\overline{Z}MZ=\sum_{k=1}^n\left( \sum_{j=1}^nm_{k,j}\overline{%
z_k}z_j\right) =\sum_{j=1}^n\left( \sum_{k=1}^nm_{k,j}\overline{z_k}%
z_j\right) $ car $j$ et $k$ sont ind\'ependants

\ \ \ 

\ \ 

\ \ 

\ \ 

\ 

\ \ 

\ \ \ \ \ 

3) $\bullet $ Propri\'et\'e imm\'ediate de la norme : $Z\mapsto \left\|
Z\right\| $

$\bullet $ Soit $\lambda $ une valeur propre de $M$ . Il existe une matrice
colonne non nulle $X\in M_{n,1}({\bf C})$ telle que $MX=\lambda X$ . Alors $%
M\left( \frac 1{\left\| X\right\| }X\right) =\frac 1{\left\| X\right\|
}MX=\frac 1{\left\| X\right\| }\lambda X=\lambda \left( \frac 1{\left\|
X\right\| }X\right) $ donc $\frac 1{\left\| X\right\| }X$ est un vecteur
propre de norme 1 associ\'e \`a la valeur propre $\lambda $ .

$\bullet $ $^t\overline{X}\,M\,X=\lambda ^t\overline{X}\,\,X=\lambda \left\|
X\right\| ^2$ et $\left\| X\right\| =1$ donc \fbox{$\lambda =\,^t\overline{X}%
\,M\,X$}

\ \ 

4) D'apr\`es 2) : $\lambda =\sum_{j=1}^n\left( \sum_{k=1}^nm_{k,j}\overline{%
x_k}x_j\right) $ et $\forall (j,k)\;,\left| m_{k,j}\right| \leq \alpha $
donc en utilisant l'in\'egalit\'e triangulaire : $\left| \lambda \right|
\leq \alpha \sum_{j=1}^n\left( \sum_{k=1}^n\left| x_k\right| \left|
x_j\right| \right) \Rightarrow \left| \lambda \right| ^2\leq \alpha ^2\left(
\sum_{j=1}^n\sum_{k=1}^n\left| x_k\right| \left| x_j\right| \right) ^2$

D'apr\`es 1) : $\sum_{k=1}^n\left| x_k\right| \leq \sqrt{n}\sqrt{%
\sum_{k=1}^n\left| x_k\right| ^2}\leq \sqrt{n}$ car $\sum_{k=1}^n\left|
x_k\right| ^2=\left\| X\right\| ^2=1$

$\sum_{j=1}^n\left| x_j\right| \sum_{k=1}^n\left| x_k\right| \leq \sqrt{n}%
\sum_{j=1}^n\left| x_j\right| \leq \sqrt{n}\times \sqrt{n}\leq n$ d'o\`u 
\fbox{$\left| \lambda \right| \leq n\alpha $}

\ \ 

5) $\bullet \;M$ est r\'eelle donc comme en 3) : $\overline{\lambda }=\,^tX\,%
\overline{M}\,\overline{X}=\,^tX\,M\,\overline{X}$ . Ceci est une matrice
carr\'ee d'ordre 1 donc \'egale \`a sa transpos\'ee : $\,^tX\,M\,\overline{X}%
=\,^t\,\left( ^tX\,M\,\overline{X}\right) =\,^t\overline{X}\,\,^tM\,X$ .
Enfin : $Re(\lambda )=\frac 12(\lambda +\overline{\lambda })$ d'o\`u : \fbox{%
$Re(\lambda )=\frac 12^t\overline{X}\,(M+\,^tM)\,X$}

$\bullet $ On remplace dans le calcul fait en 4) la matrice $M$ par $\frac
12(M+\,^tM)$ . $\alpha $ est remplac\'e par $\beta $ et on obtient : \fbox{$%
\left| Re(\lambda )\right| \leq n\beta $}

$\bullet $ Soit $M$ une matrice r\'eelle antisym\'etrique : $%
M+\,^tM=0_n\Rightarrow \beta =0$ ; donc pour toute valeur propre $\lambda
:Re(\lambda )=0$ . Donc \underline{$M$ n'admet pas de valeur propre r\'eelle
non nulle} .

\ \ \ 

6) $\bullet $ $Im(\lambda )=\frac 1{2i}(\lambda -\widetilde{\lambda })$ donc
: \fbox{$2iIm(\lambda )=\,^t\overline{X}\,(M-\,^tM)\,X$}

$\bullet $ On remplace dans le calcul fait en 4) la matrice $M$ par $\frac
12(M-\,^tM)$ . $\alpha $ est remplac\'e par $\gamma $ et on obtient : \fbox{$%
\left| Im(\lambda )\right| \leq n\gamma $}

$\bullet $ Soit $M$ une matrice r\'eelle sym\'etrique : $M-\,^tM=0_n%
\Rightarrow \gamma =0$ ; donc pour toute valeur propre $\lambda :Im(\lambda
)=0$ . Donc \underline{toutes les valeurs propres de $M$ sont r\'eelles} .

\ \ 

TROISIEME PARTIE

1)\ $\left| \overline{z_1}z_2-\overline{z_2}z_1\right| ^2=(\overline{z_1}z_2-%
\overline{z_2}z_1)(z_1\overline{z_2}-z_2\overline{z_1})=2\left| z_1\right|
^2\left| z_2\right| ^2-(\overline{z_1}^2z_2^2+\overline{z_2}^2z_1^2)$

\ \ \ \ 

2) $\sum_{j=1}^n\left( \sum_{k=1}^n\left| \overline{z_j}z_k-\overline{z_k}%
z_j\right| ^2\right) =\sum_{j=1}^n\left( \sum_{k=1}^n2\left| z_j\right|
^2\left| z_k\right| ^2-(\overline{z_j}^2z_k^2+\overline{z_k}^2z_j^2)\right)
= $

$2\left( \left| z_1\right| ^2+\left| z_2\right| ^2+\cdots +\left| z_n\right|
^2\right) -\left( z_1^2+z_2^2+\cdots +z_n^2\right) \left( \overline{z_1}^2+%
\overline{z_2}^2+\cdots +\overline{z_n}^2\right) =2-U\overline{U}$ car $%
\left\| Z\right\| =\left| z_1\right| ^2+\left| z_2\right| ^2+\cdots +\left|
z_n\right| ^2=1$ . Soit $U=z_1^2+z_2^2+\cdots +z_n^2$ : $\overline{z_1}^2+%
\overline{z_2}^2+\cdots +\overline{z_n}^2=\overline{U}$ et $U\overline{U}%
\geq 0$ donc : \fbox{$\sum_{j=1}^n\left( \sum_{k=1}^n\left| \overline{z_j}%
z_k-\overline{z_k}z_j\right| ^2\right) \leq 2$}%
$$
\bullet \;2iIm(\lambda )=\,^t\overline{X}\,(M-\,^tM)\,X=\sum_{j=1}^n\left(
\sum_{k=1}^n(m_{j,k}-m_{k,j})\overline{x_j}x_k\right) =\sum_{k=1}^n\left(
\sum_{j=1}^n(m_{k,j}-m_{j,k})\overline{x_k}x_j\right) \text{ (en in-} 
$$
tervertissant les noms des 2 indices , ce qui est l\'egitime puisqu'ils sont
ind\'ependants) . Or : $A=B\Rightarrow A=\frac 12(A+B)$ donc $2iIm(\lambda
)=\frac 12\sum_{j=1}^n\left( \sum_{k=1}^n(m_{j,k}-m_{k,j})(\overline{x_j}x_k-%
\overline{x_k}x_j)\right) $ . On utilise $\gamma $ : $\forall
(j,k)\;,\;\left| m_{j,k}-m_{k,j}\right| \leq 2\gamma \Rightarrow \left|
2Im(\lambda )\right| \leq \,\gamma \sum_{j=1}^n\left( \sum_{k=1}^n\left| 
\overline{x_j}x_k-\overline{x_k}x_j\right| \right) $ .

\ \ 

\ \ 

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\ \ 

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\ \ 

Posons : $u_{j,k}=\left| \overline{x_j}x_k-\overline{x_k}x_j\right| $ . $%
\forall j\;,\;u_{j,j}=0\;;\;\forall j,k\;tq\;j\neq k\;;\;u_{k,j}=u_{j,k}$
donc : 
$$
\sum_{j=1}^n\left( \sum_{k=1}^nu_{j,k}\right) =2\sum_{1\leq j<k\leq
n}u_{j,k}\Rightarrow \left| 2Im(\lambda )\right| \leq 2\,\gamma \sum_{1\leq
j<k\leq n}u_{j,k}\Rightarrow 4\left[ Im(\lambda )\right] ^2\leq 4\gamma
^2\left( \sum_{1\leq j<k\leq n}u_{j,k}\right) ^2 
$$

La somme $\sum_{1\leq j<k\leq n}u_{j,k}$ comporte $C_n^2=\frac{n(n-1)}2$
termes . D'apr\`es II 1) :%
$$
\;\left( \sum_{1\leq j<k\leq n}u_{j,k}\right) ^2\leq C_n^2\sum_{1\leq
j<k\leq n}\left( u_{j,k}\right) ^2\text{ et }\sum_{1\leq j<k\leq n}\left(
u_{j,k}\right) ^2=\,\frac 12\sum_{j=1}^n\sum_{k=1}^n\left( u_{j,k}\right)
^2\Rightarrow 4\left[ Im(\lambda )\right] ^2\leq 
$$
(de m\^eme que ci-dessus) . On trouve : $4\left[ Im(\lambda )\right] ^2\leq
4\,\gamma ^2\times C_n^2\times \frac 12\sum_{j=1}^n\sum_{k=1}^n\left(
u_{j,k}\right) ^2$

Conclusion : \fbox{$4\left[ Im(\lambda )\right] ^2\leq \,\gamma ^2\times
n(n-1)\sum_{j=1}^n\sum_{k=1}^n\left( \left| \overline{x_j}x_k-\overline{x_k}%
x_j\right| \right) ^2$}

$\left\| X\right\| =1$ donc $\sum_{j=1}^n\left( \sum_{k=1}^n\left| \overline{%
x_j}x_k-\overline{x_k}x_j\right| ^2\right) \leq 2$ d'o\`u : \fbox{$\left|
Im(\lambda )\right| \leq \gamma \sqrt{\frac{n(n-1)}2}$}

\end{document}