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\begin{document}


%En-t{\^e}te et pied de page
\lhead{Polytechnique 2002 MP Maths II}
\rhead{page \thepage}
\cfoot{}

%Macros
\renewcommand{\labelitemi}{$\bullet$}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\arabic{enumi}.} }
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\alph{enumii})} }
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\newcommand{\orth}[1]{{#1^{\bot}}}




\textbf{{\large {\'E}COLE POLYTECHNIQUE \hfil FILI{\`E}RE MP}}

\bigskip
\textbf{CONCOURS D'ADMISSION 2002}

\bigskip
\begin{center}
\textbf{{\large DEUXI{\`E}ME COMPOSITION DE MATH{\'E}MATIQUES}}

\medskip
(Dur{\'e}e : 4 heures)

\bigskip
L'utilisation des calculatrices n'est pas autoris{\'e}e pour cette {\'e}preuve.
\end{center}

\begin{center}$\star$ $\star$ $\star$\end{center}

\bigskip
\textit{On attachera la plus grande importance {\`a} la clart{\'e}, {\`a} la pr{\'e}cision et {\`a} la concision de la r{\'e}daction.}

\bigskip
Dans les trois premi{\`e}res parties, on d{\'e}signe par
\begin{itemize}
\item $n$ et $m$ des entiers $> 0$ tels que $n {\leq} m$ ;
\item $E$ l'espace euclidien $\R^{n}$ avec son produit scalaire usuel $\scal{\cdot}{\cdot}$ et la norme associ{\'e}e $\norme{\cdot}$ ;
\item $e_{j}$, $j = 1, {\dots}, m$, des {\'e}l{\'e}ments non nuls de $E$ satisfaisant une condition de la forme
$$\forall x \in�E, \alpha \norme{x}^{2} {\leq} \somme{j}{}{\scal{x}{e_{j}}}^{2}
\leqno{(1)}$$

o{\`u} $\alpha$ est un r{\'e}el $> 0$ ;
\item $T$ l'endomorphisme de $E$ d{\'e}�ni par
$$T(x) = \somme{j}{}{\scal{x}{e_{j}} e_{j}}.$$
\end{itemize}

Si $S$ est un endomorphisme de $E$, sa norme $\norme{S}$ est d{\'e}�nie par
$$\norme{S} = \sup{\set{\norme{S(x) : \norme{x} = 1}}}.$$

\begin{center}\textbf{{\large Premi{\`e}re partie}}\end{center}

\begin{enumerate}
\item %Question 1.
Donner un exemple simple de famille $(e_{j})$ satisfaisant une condition de la forme (1).

\item %Question 2.
D{\'e}terminer le sous-espace vectoriel de $E$ engendr{\'e} par les $e_{j}$.

\item %Question 3.
On prend $n = 2$, $m = 3$, $e_{1} = (0, 1)$, $e_{2} = \left(-\sqrt{3} / 2, -1/2\right)$, $e_{3} = \left(\sqrt{3} / 2, -1/2\right)$. D{\'e}terminer $\somme{j}{}{\scal{x}{e_{j}}^{2}}$ et $T$.

\item %Question 4.
V{\'e}ri�er que $T$ est autoadjoint, inversible et satisfait $\scal{T(x)}{x} {\geq} \alpha \norme{x}^{2}$ pour tout $x \in E$.

\item %Question 5.
Comparer $\norme{T}$ et $\sup{\set{\scal{T(x)}{x} : \norme{x} = 1}}$.

\item %Question 6.
Trouver un r{\'e}el $\beta$ tel que $\scal{T^{-1}(x)}{x} {\leq} \beta \norme{x}^{2}$ pour tout $x \in�E$. Que peut-on dire de $\norme{T^{-1}}$ ?

\item %Question 7.
On suppose que $\alpha \norme{x}^{2} = \somme{j}{}{\scal{x}{e_{j}}^{2}}$ pour tout $x \in�E$.
D{\'e}terminer $T$.

\bigskip
\begin{center}\textbf{{\large Deuxi{\`e}me partie}}\end{center}

On note $F$ l'espace euclidien $\R^{m}$, $\left(f_{1}, {\dots}, f_{m}\right)$ sa base naturelle, $\scalF{\cdot}{\cdot}$ son produit scalaire naturel.
On d{\'e}�nit une application lin{\'e}aire $\Phi : E \rightarrow F$ par
$$\Phi(x) = \somme{j}{}{\scal{x}{e_{j}} f_{j}}.$$

On pourra admettre qu'il existe une unique application lin{\'e}aire $\Psi : F \rightarrow�E$ satisfaisant

\centerline{$\scal{\Psi(h)}{x} = \scalF{h}{\Phi(x)}$ pour tous $x \in�E$, $h \in F$.}

\item %Question 8.
V{\'e}ri�er que l'on a $\Psi(h) = \somme{j}{}{h_{j} e_{j}}$ et $\Psi \circ \Phi = T$.

\medskip
On pose $\tilde e_{j} = T^{-1}\left(e_{j}\right)$ et on d{\'e}�nit une application lin{\'e}aire $\tilde{\Phi} = E \rightarrow F$ par
$$\tilde{\Phi}(x) = \somme{j}{}{\scal{x}{\tilde e_{j}} f_{j}}.$$

\item %Question 9.
V{\'e}ri�er que l'on a $F = \im{\tilde{\Phi}} \oplus \orth{\left(\im{\Phi}\right)}$.

\item %Question 10.
{\'E}tant donn{\'e} un {\'e}l{\'e}ment $x$ de $E$, d{\'e}terminer le minimum des nombres $\somme{j}{}{h_{j}^{2}}$ pour les familles $(h_{j})$ v{\'e}ri�ant $x = \somme{j}{}{h_{j} e_{j}}$, et pr{\'e}ciser pour quelles familles $(h_{j})$ ce minimum est atteint.

\item %Question 11.
Expliquer ce qui se passe dans chacun des cas suivants
\begin{enumerate}
\item les $e_{j}$ forment une base de $E$ ;
\item les $e_{j}$ forment une base orthonormale de $E$ ;
\item on a $\alpha \norme{x}^{2} = \somme{j}{}{\scal{x}{e_{j}}^{2}}$ pour tout $x \in�E$.
\end{enumerate}

\bigskip
\begin{center}\textbf{{\large Troisi{\`e}me partie}}\end{center}

\medskip
On se propose, dans cette partie, de r{\'e}soudre l'{\'e}quation $T(x) = y$ par une m{\'e}thode d'it{\'e}rations successives. On pose
$$a = \inf{\set{\scal{T(x)}{x} : \norme{x} = 1}}, b = \norme{T} ;$$
on a donc $0 < a {\leq} b$. Pour tout r{\'e}el $s > 0$ on pose $V_{s} = id_{E} - sT$.

\item %Question 12.
Montrer que l'on a
$$\norme{V_{s}} = \max{\left(\abs{1 - as}, \abs{1 - bs}\right)}.$$

\item %Question 13.
D{\'e}terminer le minimum $C$ de la fonction $s \mapsto \norme{V_{s}}$, pr{\'e}ciser pour quelle valeur $s_{0}$ de $s$ il est atteint, et montrer que $C \in \ouvdroite{0}{1}$.
{\`A} quelle condition $C$ est-il {\'e}gal {\`a} $0$ ?

[Il est conseill{\'e} de dessiner les courbes repr{\'e}sentatives des fonctions $s \mapsto \abs{1 - as}$ et $s \mapsto \abs{1 - bs}$].

\medskip
On �xe un {\'e}l{\'e}ment $y$ de $E$ et on d{\'e}�nit une application $U$ de $E$ dans lui-m{\^e}me par
$$U(x) = x + s_{0} \left(y - T(x)\right).$$

\item %Question 14.
{\'E}tant donn{\'e} $x$ et $x' \in�E$, comparer $\norme{U(x) - U(x')}$ et $C \norme{x - x'}$.

\item %Question 15.
On d{\'e}signe par $x_{0}$ un {\'e}l{\'e}ment de $E$ et on pose, pour tout entier $n > 0$, $x_{n} = U^{n}(x_{0})$.

{\'E}tudier le comportement de la suite $(x_{n})$. Conclure.

\bigskip
\begin{center}\textbf{{\large Quatri{\`e}me partie}}\end{center}

\bigskip
Dans cette partie, on d{\'e}signe par
\begin{itemize}
\item $E$ un espace pr{\'e}hilbertien r{\'e}el ;
\item $T$ un endomorphisme continu de $E$ (on ne le suppose pas autoadjoint) ;
\item $x_{0}$ et $y_{0}$ des {\'e}l{\'e}ments de $E$.
\end{itemize}

Pour tout r{\'e}el $s > 0$ on d{\'e}�nit une application $U_{s}$ de $E$ dans lui-m{\^e}me par
$$U_{s}(x) = x + s \left(y_{0} - T(x)\right).$$

\item %Question 16.
\begin{enumerate}
\item Trouver une condition portant sur $T$ suffisante pour que l'on ait une majoration de la forme
$$\norme{id_{E} - s T}^{2} {\leq} 1 - 2 a s + b^{2} s^{2}$$

avec $a > 0$, $b$ r{\'e}el.
\item Trouver alors une condition portant sur $E$, impliquant que la suite $x_{n} = U_{s}^{n}(x_{0})$ soit convergente pour un $s$ convenable ; pr{\'e}ciser dans ce cas la nature (injectif ?, surjectif ?) de $T$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip
\begin{center}$\star \quad \star$

$\star$
\end{center}
\end{document}

