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\begin{document}
{\Large X-ESPCI 2002- fili\`{e}re PC- deuxi\`{e}me composition.\bigskip}

\quad\textbf{Premi\`{e}re partie\medskip}

\textit{Notations:} $\mathcal{C=}\left(  e_{i}\right)  _{1\leq i\leq n}$%
d\'{e}signe la base canonique de $\mathbb{R}^{n}$ et si $A\in M_{n}\left(
\mathbb{R}\right)  $, on note $diag\left(  A\right)  =\left(  a_{11}%
,a_{22},...,a_{nn}\right)  $ la diagonale de $A$.

\begin{enumerate}
\item [\textbf{1.}]\quad

\begin{enumerate}
\item [\textbf{a)}]Raisonnement par l'absurde: on suppose que tout vecteur non
nul de$\,\mathbb{R}^{n}$ est vecteur propre de $A.$

En particulier: $\forall i\in\left[  1..n\right]  \quad\exists\lambda_{i}%
\in\mathbb{R}\quad Ae_{i}=\lambda_{i}e_{i}.$ En \'{e}crivant que
$X=e_{i}+e_{j}$ est aussi vecteur propre, on obtient: $AX=\mu X\quad$soit
$\mu\left(  e_{i}+e_{j}\right)  =\lambda_{i}e_{i}+\lambda_{j}e_{j}.$ Pour tous
les $i,j$ tels que $i\neq j,$ on d\'{e}duit $\mu=\lambda_{i}=\lambda_{j}$ car
$\left(  e_{i},e_{j}\right)  $ est libre. Ainsi $\lambda_{1}=\lambda
_{2}=...=\lambda_{n}$ qui prouve que $A$ est scalaire.

\item[\textbf{b)}] Si $u$ d\'{e}signe l'endomorphisme de$\,\mathbb{R}^{n}$
canoniquement associ\'{e} \`{a} $A,$ c'est-\`{a}-dire tel que
$A=Mat_{\mathcal{C}}\left(  u\right)  $ alors la matrice $B$ est
$B=Mat_{\mathcal{C}^{\prime}}\left(  u\right)  $ o\`{u} $\mathcal{C}^{\prime
}=\left(  e_{k}^{\prime}\right)  _{k}$ se d\'{e}duit de $\mathcal{C}$ par
l'\'{e}change de $e_{i}$ et $e_{j}$ c'est-\`{a}-dire
\[
e_{i}^{\prime}=e_{j}\quad;e_{j}^{\prime}=e_{i}\quad;\,e_{k}^{\prime}%
=e_{k}\text{\quad si}\quad k\notin\left\{  i,j\right\}  .
\]
\end{enumerate}

\textbf{Deuxi\`{e}me partie}

\item[\textbf{2.}] $A\in M_{n}\left(  \mathbb{R}\right)  $ telle que
$tr\left(  A\right)  =0.$

\begin{enumerate}
\item [\textbf{a)}]Si $A\neq0,$ $A$ ne peut \^{e}tre scalaire ( car $tr\left(
\lambda I\right)  =n\lambda=0\Longrightarrow\lambda=0$ ). D'apr\`{e}s
\textbf{1.a), }il existe $X_{1}\in\mathbb{R}^{n}$ tel que $X_{1} $ et
$X_{2}=AX_{1}$ sont lin\'{e}airement ind\'{e}pendants. On compl\`{e}te ensuite
la famille libre $\left(  X_{1},X_{2}\right)  $ en une base de $\mathbb{R}^{n}.$

\item[\textbf{b)}] On consid\`{e}re: $\mathcal{P}\left(  n\right)  :$ ``toute
matrice $A\in M_{n}\left(  \mathbb{R}\right)  $ telle que $tr\left(  A\right)
=0 $ est semblable \`{a} une matrice de diagonale nulle''. $\mathcal{P}\left(
1\right)  $ \'{e}tant \'{e}vidente, on suppose que $\mathcal{P}\left(
n-1\right)  $ est vraie pour un entier $n\geq2$ et on d\'{e}montre
$\mathcal{P}\left(  n\right)  .$

Soit une matrice $A\in M_{n}\left(  \mathbb{R}\right)  $ de trace nulle. On
suppose $A\neq0$ ( pour $A=0,$ le r\'{e}sultat est imm\'{e}diat) et on
consid\`{e}re $\mathcal{X=}\left(  X_{1},X_{2}...,X_{n}\right)  $ une base de
$\mathbb{R}^{n}$ tel que $AX_{1}=X_{2}.$ Alors
\[
A^{\prime}=Mat_{\mathcal{X}}\left(  u\right)  =\left[
\begin{array}
[c]{cc}%
0 & L_{1}\\
C_{1} & A_{1}%
\end{array}
\right]
\]
o\`{u} $C_{1}=\left[
\begin{array}
[c]{c}%
1\\
0\\
\vdots\\
0
\end{array}
\right]  \in M_{n-1,1}\left(  \mathbb{R}\right)  $ , $L_{1}\in M_{1,n-1}%
\left(  \mathbb{R}\right)  $ et $A_{1}\in M_{n-1}\left(  \mathbb{R}\right)  $
$.$ Les matrices semblables $A$ et $A^{\prime}$ ont m\^{e}me trace, \`{a}
savoir: $0=tr\left(  A\right)  =tr\left(  A^{\prime}\right)  =tr\left(
A_{1}\right)  .$

On applique ensuite $\mathcal{P}\left(  n-1\right)  $ \`{a} la matrice
$A_{1}:$ il existe $P\in GL_{n-1}\left(  \mathbb{R}\right)  $ telle que
$P^{-1}A_{1}P=B_{1}$ o\`{u} $diag\left(  B_{1}\right)  =\left(
0,0,...,0\right)  _{n-1}$.

La matrice \`{a} blocs diagonaux $Q=\left[
\begin{array}
[c]{cc}%
1 & 0\\
0 & P
\end{array}
\right]  $est inversible et $Q^{-1}=\left[
\begin{array}
[c]{cc}%
1 & 0\\
0 & P^{-1}%
\end{array}
\right]  .$

Par produit des blocs, on v\'{e}rifie que $Q^{-1}A^{\prime}Q=B\quad$%
s'\'{e}crit $B=\left[
\begin{array}
[c]{cc}%
0 & L_{2}\\
C_{2} & B_{1}%
\end{array}
\right]  $ o\`{u} $L_{2}=L_{1}P$ et $C_{2}=P^{-1}C_{1}.$ La matrice $B$
\'{e}tant \`{a} diagonale nulle, $\mathcal{P}\left(  n\right)  $ est
d\'{e}montr\'{e}e.
\end{enumerate}

\item[\textbf{3.}] \quad

\begin{enumerate}
\item [\textbf{a)}]$A=\left[
\begin{array}
[c]{cc}%
1 & 0\\
0 & -1
\end{array}
\right]  $ de trace nulle. $\left\{
\begin{array}
[c]{c}%
u\left(  e_{1}\right)  =e_{1}\\
u\left(  e_{2}\right)  =-e_{2}%
\end{array}
\right.  $ donc $\left\{
\begin{array}
[c]{c}%
e_{1}^{\prime}=e_{1}+e_{2}\\
e_{2}^{\prime}=e_{1}-e_{2}%
\end{array}
\right.  $ v\'{e}rifient
\[
B=Mat_{\left(  e_{1}^{\prime},e_{2}^{\prime}\right)  }\left(  u\right)
=\left[
\begin{array}
[c]{cc}%
0 & 1\\
1 & 0
\end{array}
\right]
\]

\item[\textbf{b)}] De m\^{e}me, $A=\left[
\begin{array}
[c]{ccc}%
1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0\\
0 & 0 & -1
\end{array}
\right]  $ conduit \`{a} $B=Mat_{\left(  e_{1}^{\prime},e_{2}^{\prime}%
,e_{3}^{\prime}\right)  }\left(  u\right)  =\left[
\begin{array}
[c]{ccc}%
0 & 0 & 1\\
0 & 0 & 0\\
1 & 0 & 0
\end{array}
\right]  $ avec $\left\{
\begin{array}
[c]{c}%
e_{1}^{\prime}=e_{1}+e_{3}\\
e_{2}^{\prime}=e_{2}\\
e_{3}^{\prime}=e_{1}-e_{3}%
\end{array}
\right.  $
\end{enumerate}

\item[\textbf{4.}] Soit $A$ non scalaire et \fbox{$t=tr\left(  A\right)  $}$.$

La matrice $A_{0}=A-tI$ n'est pas scalaire et, comme en\textbf{\ 2.a), }il
existe une base $\mathcal{X=}\left(  X_{1},X_{2}...,X_{n}\right)  $ de
$\mathbb{R}^{n}$ tel que $A_{0}X_{1}=X_{2}$ ce qui prouve que $A_{0}$ est
semblable \`{a} $A_{0}^{\prime}=Mat_{\mathcal{X}}\left(  u-tId\right)
=\left[
\begin{array}
[c]{cc}%
0 & L_{1}\\
C_{1} & A_{1}%
\end{array}
\right]  $o\`{u}

$C_{1}=\left[
\begin{array}
[c]{c}%
1\\
0\\
\vdots\\
0
\end{array}
\right]  \in M_{n-1,1}\left(  \mathbb{R}\right)  $, $L_{1}\in M_{1,n-1}\left(
\mathbb{R}\right)  $ et $A_{1}\in M_{n-1}\left(  \mathbb{R}\right)  $ $.$

En cons\'{e}quence, $A$ est semblable \`{a} $A_{0}^{\prime}+tI=\left[
\begin{array}
[c]{cc}%
t & L_{1}\\
C_{1} & B_{1}%
\end{array}
\right]  $ o\`{u} $B_{1}=A_{1}+tI_{n-1}$ et $t=tr\left(  A\right)  =tr\left(
A_{0}^{\prime}+tI\right)  =t+tr\left(  B_{1}\right)  $ livre \fbox{$tr\left(
B_{1}\right)  =0$}$.$ On applique ensuite la question \textbf{2 }\`{a} la
matrice $B_{1}$ de trace nulle: ainsi, $B_{1}$ est semblable \`{a} une matrice
$B_{2}\in M_{n-1}\left(  \mathbb{R}\right)  $ telle que $diag\left(
B_{2}\right)  =\left(  0,0,...,0\right)  _{n-1}.$ Il en r\'{e}sulte que $A$
est semblable \`{a} une matrice de la forme $B=\left[
\begin{array}
[c]{cc}%
t & L_{2}\\
C_{2} & B_{2}%
\end{array}
\right]  $ dont\textbf{\ }la diagonale est $\left(  t,0,...,0\right)  _{n}$
o\`{u} \fbox{$t=tr\left(  A\right)  =\sum\limits_{i=1}^{n}a_{ii}$}.

\item[\textbf{5.}] Soit $A\in M_{n}\left(  \mathbb{R}\right)  \backslash
\left\{  0\right\}  .$

\begin{itemize}
\item \underline{$1^{er}cas:t=tr\left(  A\right)  \neq0$}\quad. La matrice
$A^{\prime}=A-\dfrac{t}{n}I$ \'{e}tant de trace nulle, on la sait (
d'apr\`{e}s \textbf{2. ) }semblable \`{a} une matrice $B^{\prime}\in
M_{n}\left(  \mathbb{R}\right)  $ telle que $diag\left(  B^{\prime}\right)
=\left(  0,0,...,0\right)  $ et, par suite, $A$ est semblable \`{a}
$B=B^{\prime}+\dfrac{t}{n}I$ dont la diagonale est $\left(  \dfrac{t}%
{n},\dfrac{t}{n},...,\dfrac{t}{n}\right)  .$

\item \underline{$2^{\grave{e}me}cas:t=tr\left(  A\right)  =0$}\quad.

Dans ce cas, on d\'{e}montre que $A$ est semblable \`{a} une matrice $B\in
M_{n}\left(  \mathbb{R}\right)  $ de la forme:
\[
B=\left[
\begin{array}
[c]{cc}%
\alpha &  L_{1}\\
C_{1} & B_{1}%
\end{array}
\right]  \quad\text{avec }\alpha\neq0,\,L_{1}\in M_{1,n-1}\left(
\mathbb{R}\right)  ,\,C_{1}\in M_{n-1,1}\left(  \mathbb{R}\right)
\,\text{et\quad}B_{1}\in M_{n-1}\left(  \mathbb{R}\right)  .
\]
Pour cela, on consid\`{e}re un vecteur $X_{1}\in\mathbb{R}^{n}$ tel que
$AX_{1}\neq0$ ( $X_{1}$ existe car $A\neq0$ ).
\end{itemize}

\textbf{* }soit $\left(  X_{1},AX_{1}\right)  $ est li\'{e}e : on peut
\'{e}crire $AX_{1}=\alpha X_{1}$ o\`{u} $\alpha\neq0$ puisque ces deux
vecteurs sont non nuls.

On compl\`{e}te alors en $\mathcal{X=}\left(  X_{1},X_{2},...X_{n}\right)  $
base de $\mathbb{R}^{n}$ et $B=Mat_{\mathcal{X}}\left(  u\right)  $ est de la
forme d\'{e}sir\'{e}e avec $C_{1}=0_{1,n-1}$.

* soit $\left(  X_{1},AX_{1}\right)  $ est libre : en consid\'{e}rant
$X_{2}=X_{1}-AX_{1},$ on obtient une famille libre $\left(  X_{1}%
,X_{2}\right)  $ que l'on compl\`{e}te en $\mathcal{X=}\left(  X_{1}%
,X_{2},...X_{n}\right)  $ base de $\mathbb{R}^{n}$. Comme $AX_{1}=X_{1}%
-X_{2},$ la matrice $B=Mat_{\mathcal{X}}\left(  u\right)  $ est de la forme
voulue avec $\alpha=1$ et $C_{1}=\left(
\begin{array}
[c]{c}%
-1\\
0\\
\vdots\\
0
\end{array}
\right)  $ $.$

Ensuite, on remarque que $0=tr\left(  A\right)  =tr\left(  B\right)
=\alpha+tr\left(  B_{1}\right)  $ donc \fbox{$tr\left(  B_{1}\right)
=-\alpha\neq0$} et on applique la m\'{e}thode du $1^{er}cas$ \`{a} la matrice
$B_{1}:$ ainsi, $B_{1}$ est semblable \`{a} une matrice $B_{1}^{\prime}$ dont
tous les coefficients diagonaux sont non nuls. Par la m\'{e}thode employ\'{e}e
au \textbf{2.b), }on d\'{e}duit que $B$ (donc $A$ ) est semblable \`{a} une
matrice $B^{\prime}$ de la forme requise:%
\[
B^{\prime}=\left[
\begin{array}
[c]{cc}%
\alpha &  L_{1}^{\prime}\\
C_{1}^{\prime} & B_{1}^{\prime}%
\end{array}
\right]  \quad\text{avec }\alpha\neq0,\,L_{1}^{\prime}\in M_{1,n-1}\left(
\mathbb{R}\right)  ,\,C_{1}^{\prime}\in M_{n-1,1}\left(  \mathbb{R}\right)
\,\text{et\quad}B_{1}^{\prime}\text{ d'\'{e}l\'{e}ments diagonaux non nuls.}%
\]
\pagebreak 

\textbf{Troisi\`{e}me partie}

\item[\textbf{6.}] $n=2.$ Soit $A=\left[
\begin{array}
[c]{cc}%
a & b\\
c & d
\end{array}
\right]  \in M_{2}\left(  \mathbb{R}\right)  $ de trace $t=a+d.$ On
d\'{e}signe par $\mathcal{C=}\left(  e_{1},e_{2}\right)  $ la base canonique
de $\mathbb{R}^{2}$ (orthonorm\'{e}e) et on cherche une base orthonorm\'{e}e
$\mathcal{C}^{\prime}\mathcal{=}\left(  e_{1}^{\prime},e_{2}^{\prime}\right)
$ telle que \fbox{$u\left(  e_{1}^{\prime}\right)  \cdot e_{1}^{\prime}=0$} .
Il suffit d'effectuer une rotation d'axes $\left\{
\begin{array}
[c]{c}%
e_{1}^{\prime}=\cos\left(  \theta\right)  e_{1}+\sin\left(  \theta\right)
e_{2}\\
e_{2}^{\prime}=-\sin\left(  \theta\right)  e_{1}+\cos\left(  \theta\right)
e_{2}%
\end{array}
\right.  $ et de choisir $\theta$ r\'{e}el tel que $u\left(  e_{1}^{\prime
}\right)  .e_{1}^{\prime}=0.$

Pour cela, on applique le th\'{e}or\`{e}me des valeurs interm\'{e}diaires
\`{a} la fonction \textbf{continue}%
\[
h:\theta\longrightarrow u\left(  X_{\theta}\right)  \cdot X_{\theta}\text{
o\`{u} }X_{\theta}=\cos\left(  \theta\right)  e_{1}+\sin\left(  \theta\right)
e_{2}\text{ }%
\]
Comme $h\left(  0\right)  =u\left(  e_{1}\right)  \cdot e_{1}=a$ et $h\left(
\dfrac{\pi}{2}\right)  =u\left(  e_{2}\right)  \cdot e_{2}=d$ , il existe
$\theta_{0}\in\left[  0,\dfrac{\pi}{2}\right]  $ tel que $h\left(  \theta
_{0}\right)  =\dfrac{a+d}{2}=\dfrac{t}{2}.$

La base $\mathcal{C}^{\prime}\mathcal{=}\left(  e_{1}^{\prime},e_{2}^{\prime
}\right)  $ correspondante v\'{e}rifie:

$B^{\prime}=Mat_{\mathcal{C}^{\prime}}\left(  u\right)  =\left[
\begin{array}
[c]{cc}%
t/2 & b^{\prime}\\
c^{\prime} & d^{\prime}%
\end{array}
\right]  $ avec $t=tr\left(  B^{\prime}\right)  =tr\left(  A\right)
=\dfrac{t}{2}+d^{\prime}$ donc $d^{\prime}=\dfrac{t}{2}$ qui livre le r\'{e}sultat.

\item[\textbf{7.}] \quad

\begin{enumerate}
\item [\textbf{a)}]$f\left(  A\right)  $ est la borne sup d'un ensemble fini
donc un maximum: il existe deux entiers $i,j$ n\'{e}cessairement distincts
tels que $f\left(  A\right)  =\left|  a_{ii}-a_{jj}\right|  >0.$ En
\'{e}changeant $e_{i}$ et $e_{1},$ $e_{j}$ et $e_{2}$ , on obtient une base
orthonorm\'{e}e $\mathcal{C}^{\prime}\mathcal{=}\left(  e_{k}^{\prime}\right)
_{k}$ telle que $A^{\prime}=Mat_{\mathcal{C}^{\prime}}\left(  u\right)  $
v\'{e}rifie $f\left(  A^{\prime}\right)  =f\left(  A\right)  =\left|
a_{11}^{\prime}-a_{22}^{\prime}\right|  .$

Comme $A^{\prime}$ est orthosemblable\textit{ }\`{a} $A,$ on peut
d\'{e}montrer la propri\'{e}t\'{e} cherch\'{e}e sur $A^{\prime}$ au lieu de
$A,$ ce qui revient \`{a} supposer que $f\left(  A\right)  =\left|
a_{11}-a_{22}\right|  >0.$

REM: en choisissant $i$ et $j$ tels que $a_{ii}=\max\left\{  a_{kk}%
,k=1..n\right\}  $ et $a_{jj}=\min\left\{  a_{kk},k=1..n\right\}  ,$ on peut
se ramener au cas o\`{u} $a_{22}=\max\left\{  a_{kk},k=1..n\right\}  $ et
$a_{11}=\min\left\{  a_{kk},k=1..n\right\}  $ et on a, dans ces conditions,%
\[
f\left(  A\right)  =a_{22}-a_{11}\quad\text{et\quad}\forall k\in\left\{
1..n\right\}  \quad a_{kk}\in\left[  a_{11},a_{22}\right]
\]

\item[\textbf{b)}] La question \textbf{6. }montre que la matrice extraite
$A_{1}=\left[
\begin{array}
[c]{cc}%
a_{11} & a_{12}\\
a_{21} & a_{22}%
\end{array}
\right]  $ est orthosemblable\textit{ }\`{a} une matrice

$B_{1}=\left[
\begin{array}
[c]{cc}%
\lambda &  b_{12}\\
b_{21} & \lambda
\end{array}
\right]  \quad$o\`{u} \fbox{$\lambda=\dfrac{tr\left(  A_{1}\right)  }%
{2}=\dfrac{a_{11}+a_{22}}{2}$}. Ceci assure l'existence d'une base
orthonorm\'{e}e $c^{\prime}\mathcal{=}\left(  e_{1}^{\prime},e_{2}^{\prime
}\right)  $ du plan $P=Vect\left(  e_{1},e_{2}\right)  $ telle que
$Mat_{c^{\prime}}\left(  u_{1}\right)  =B_{1}$ o\`{u} $u_{1}=p_{1}\circ
u\in\mathcal{L}\left(  P\right)  $ ( $p_{1}$ d\'{e}signant la projection
orthogonale sur la plan $P$ $).$

On consid\`{e}re $\mathcal{C}^{\prime}\mathcal{=}\left(  e_{i}^{\prime
}\right)  _{1\leq i\leq n}$ la base orthonorm\'{e}e de $\mathbb{R}^{n}$
d\'{e}finie par $e_{1}^{\prime},e_{2}^{\prime}$ et $e_{i}^{\prime}=e_{i}$ si
$i\geq3.$ On a
\[
A^{\prime}=Mat_{\mathcal{C}^{\prime}}\left(  u\right)  =\left[
\begin{array}
[c]{cc}%
B_{1} & L_{1}\\
C_{1} & A_{2}%
\end{array}
\right]  \text{ o\`{u} }L_{1}\in M_{2,n-2}\left(  \mathbb{R}\right)
,\,C_{1}\in M_{n-2,2}\left(  \mathbb{R}\right)  \,\text{et\quad}A_{2}\in
M_{n-2}\left(  \mathbb{R}\right)  .
\]
On constate que les \'{e}l\'{e}ments diagonaux de $A_{2}$ sont les
$a_{ii}=u\left(  e_{i}^{\prime}\right)  \cdot e_{i}^{\prime}=u\left(
e_{i}\right)  \cdot e_{i}=a_{ii}$ o\`{u} $i=3..n.$ Donc $A^{\prime}$ est
orthosemblable \`{a} $A$ et v\'{e}rifie \fbox{$a_{11}^{\prime}=a_{22}^{\prime
}=\dfrac{a_{11}+a_{22}}{2}$ et $a_{ii}^{\prime}=a_{ii}$ si $i\geq3.$}

Par ailleurs, avec $a_{22}=\max\left\{  a_{kk},k=1..n\right\}  $ et
$a_{11}=\min\left\{  a_{kk},k=1..n\right\}  $ ( cf REM du \textbf{7.a} ) on a
pour tout $i\geq3,\quad a_{ii}\in\left[  a_{11},a_{22}\right]  \;$et par
cons\'{e}quent \fbox{$\forall i\geq3\quad\left|  a_{ii}-\dfrac{a_{11}+a_{22}%
}{2}\right|  \leq\dfrac{f\left(  A\right)  }{2}<f\left(  A\right)  .$}

\item[\textbf{c)}] La matrice $A^{\prime}$ de la question \textbf{7.b)} est
telle que:$\,f\left(  A^{\prime}\right)  =\underset{1\leq i<j\leq n}{\max
}\left|  a_{ii}^{\prime}-a_{jj}^{\prime}\right|  =\underset{3\leq i<j\leq
n}{\max}\left|  a_{ii}-a_{jj}\right|  \leq f\left(  A\right)  .$

\begin{itemize}
\item  Si $f\left(  A^{\prime}\right)  <f\left(  A\right)  $ alors la matrice
$A^{\prime\prime}=A^{\prime}$ convient.

\item  Si $f\left(  A^{\prime}\right)  =f\left(  A\right)  >0$ (donc $n\geq4$
) on r\'{e}it\`{e}re la construction de la question \textbf{7b) }sur la
matrice $A_{2}\in M_{n-2}\left(  \mathbb{R}\right)  $\textbf{ }extraite de $A$
( cf notations de \textbf{7b) }).\textbf{ }On construit une matrice
$A_{2}^{\prime}$ orthosemblable\textit{ }\`{a} $A_{2}$ puis une matrice
$A^{\prime\prime}=\left[
\begin{array}
[c]{cc}%
B_{1} & L_{1}^{\prime}\\
C_{1}^{\prime} & A_{2}^{\prime}%
\end{array}
\right]  $ orthosemblable\textit{ }\`{a} $A$ telle que $f\left(
A^{\prime\prime}\right)  =\underset{5\leq i<j\leq n}{\max}\left|
a_{ii}-a_{jj}\right|  \leq f\left(  A\right)  .$ ( $f\left(  A^{\prime\prime
}\right)  =0$ si $n=4$ )

L'algorithme s'arr\^{e}tant au bout d'un nombre fini $p$ d'\'{e}tapes ( au
plus $E\left(  n/2\right)  )$ on est s\^{u}r de trouver une matrice
$A^{\left(  p\right)  }$ orthosemblable\textit{ }\`{a} $A$ telle que $f\left(
A^{\left(  p\right)  }\right)  <f\left(  A\right)  .$
\end{itemize}
\end{enumerate}

\item[\textbf{8.}] \quad

\begin{enumerate}
\item [\textbf{a)}]Consid\'{e}rons l'application$\quad\varphi_{A}:\left\{
\begin{array}
[c]{c}%
M_{n}\left(  \mathbb{R}\right)  \longrightarrow M_{n}\left(  \mathbb{R}\right)
\\
Q\quad\longrightarrow\,^{t}QA\,Q
\end{array}
\right.  \quad$continue (par continuit\'{e} d'une application

bilin\'{e}aire en dimension finie) et $E_{A}=\left\{  Q^{-1}AQ/Q\in
O_{n}\left(  \mathbb{R}\right)  \right\}  =\left\{  \,^{t}QAQ/Q\in
O_{n}\left(  \mathbb{R}\right)  \right\}  =\varphi_{A}\left(  O_{n}\left(
\mathbb{R}\right)  \right)  .$

Or l'ensemble \underline{$O_{n}\left(  \mathbb{R}\right)  $ est compact} en
tant que ferm\'{e} born\'{e} d'un espace vectoriel de dimension finie:

- \textbf{ferm\'{e}} car $O_{n}\left(  \mathbb{R}\right)  =\left\{  Q\in
M_{n}\left(  \mathbb{R}\right)  /\,^{t}QQ=I\right\}  =\varphi_{I}^{-1}\left(
I\right)  $ image r\'{e}ciproque par une application continue d'un ferm\'{e}.

- \textbf{born\'{e}} car $\forall Q\in O_{n}\left(  \mathbb{R}\right)
\quad\left\|  Q\right\|  _{\infty}=\underset{i,j}{\max}\left|  q_{ij}\right|
\leq1$ ( les vecteurs colonnes sont de norme quadratique 1 )

En conclusion, \underline{$E_{A}=\varphi_{A}\left(  O_{n}\left(
\mathbb{R}\right)  \right)  $ est compact car image continue d'un compact.}

\item[\textbf{b)}] L'application $f$ est continue sur $M_{n}\left(
\mathbb{R}\right)  $ car compos\'{e}e, diff\'{e}rence d'applications continues:

- les projections $p_{i}:M\longrightarrow m_{ii}$ sont continues (
lin\'{e}aires en dimension finie ),

- la valeur absolue est continue sur $\mathbb{R}$ ,

- l'application $\max:\left(  \alpha_{1},\alpha_{2},...,\alpha_{p}\right)
\longrightarrow\max\left(  \alpha_{1},\alpha_{2},...,\alpha_{p}\right)  $ est
continue sur $\mathbb{R}^{p}$ ce qui s'explique par r\'{e}currence sur $p$ en
remarquant que
\[
\max\left(  \alpha_{1},\alpha_{2}\right)  =\tfrac{\alpha_{1}+\alpha_{2}}%
{2}+\left|  \tfrac{\alpha_{1}-\alpha_{2}}{2}\right|  \text{\quad et\quad}%
\max\left(  \alpha_{1},\alpha_{2},...,\alpha_{p}\right)  =\max\left(
\max\left(  \alpha_{1},\alpha_{2},...,\alpha_{p-1}\right)  ,\alpha_{p}\right)
.
\]
Il en r\'{e}sulte que $f$ est born\'{e}e sur le compact $E_{A}$ et atteint ses bornes.

REM:\textit{ \'{e}crire que l'application }$f_{E_{A}}$ \textit{atteint son
minimum est un pl\'{e}onasme!}

\item[\textbf{c)}] On d\'{e}signe par $A_{0}$ l'une des matrices de $E_{A}$
telle que $f\left(  A_{0}\right)  =\min\limits_{A^{\prime}\in E_{A}}f\left(
A^{\prime}\right)  .$ Si les coefficients diagonaux de $A_{0}$ ne sont pas
tous \'{e}gaux, on peut appliquer \`{a} $A_{0}$ l'algorithme de la question
\textbf{7 }et construire une matrice $A_{0}^{\prime\prime}$
orthosemblable\textit{ }\`{a} $A_{0}$ ( donc orthosemblable\textit{ }\`{a} $A$
) telle que $f\left(  A_{0}^{\prime\prime}\right)  <f\left(  A_{0}\right)
\leq f\left(  A\right)  .$ C'est contradictoire avec la d\'{e}finition de
$A_{0}.$

\underline{Conclusion: $B=A_{0}$ est orthosemblable\textit{ }\`{a} $A$ et
\`{a} \'{e}l\'{e}ments diagonaux tous \'{e}gaux.}\medskip
\end{enumerate}

\item[\textbf{9.}] \textit{Application num\'{e}rique: }l'algorithme\textit{
}de la question \textbf{7. }conduit \`{a}:%
\[
A_{0}=\left[
\begin{array}
[c]{ccc}%
1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0
\end{array}
\right]  \quad,A_{1}=\left[
\begin{array}
[c]{ccc}%
1/2 & 1/2 & 0\\
1/2 & 1/2 & 0\\
0 & 0 & 0
\end{array}
\right]  \quad\text{pour par exemple: }\left\{
\begin{array}
[c]{c}%
e_{1}^{\prime}=\left(  e_{1}+e_{2}\right)  /\sqrt{2}\\
e_{2}^{\prime}=\left(  e_{1}-e_{2}\right)  /\sqrt{2}%
\end{array}
\right.
\]
puis en op\'{e}rant sur la matrice extraite: $A_{1}^{\prime}=\left[
\begin{array}
[c]{cc}%
1/2 & 0\\
0 & 0
\end{array}
\right]  ,$ on obtient la matrice orthosemblable \`{a}\textit{ }$A_{1}%
^{\prime}:$%
\[
A_{1}^{^{\prime\prime}}=\left[
\begin{array}
[c]{cc}%
1/4 & 1/4\\
1/4 & 1/4
\end{array}
\right]  \quad\text{donc\quad}A_{2}=\left[
\begin{array}
[c]{ccc}%
1/2 & ? & ?\\
? & 1/4 & 1/4\\
? & 1/4 & 1/4
\end{array}
\right]
\]
On r\'{e}it\`{e}re le proc\'{e}d\'{e} sur $A_{2}$ qui v\'{e}rifie $f\left(
A_{2}\right)  =\tfrac{1}{4}=\left|  a_{11}-a_{22}\right|  $ d'o\`{u}
$a_{11}^{\prime}=a_{22}^{\prime}=\tfrac{1}{2}\left(  a_{11}+a_{22}\right)
=\tfrac{3}{8}$ et $a_{33}^{\prime}=\tfrac{1}{4}.$%

\begin{tabular}
[c]{|c|c|c|}\hline
$m$ & $diag\left(  A_{m}\right)  $ & $f\left(  A_{m}\right)  $\\\hline
$0$ & $\left(  1,0,0\right)  $ & $1$\\
$1$ & $\left(  1,1,0\right)  /2$ & $1/2$\\
$2$ & $\left(  2,1,1\right)  /4$ & $1/4$\\
$3$ & $\left(  3,3,2\right)  /8$ & $1/8$\\
$4$ & $\left(  6,5,5\right)  /16$ & $1/16$\\\hline
\end{tabular}
$\quad$Il semble que \fbox{$f\left(  A_{m}\right)  =\dfrac{1}{2^{m}}$} et que,
\textbf{pour }$m$\textbf{ pair, }$diag\left(  A_{m}\right)  =\dfrac{1}{2^{m}%
}\left(  \alpha_{m},\beta_{m},\beta_{m}\right)  $ avec $\alpha_{m}=\beta
_{m}+1$ et, par conservation de la trace, $\alpha_{m}+2\beta_{m}=2^{m}.$ On
trouve ainsi que

\fbox{$\alpha_{m}=\dfrac{2^{m}+2}{3}$ et $\beta_{m}=\dfrac{2^{m}-1}{3}$} soit
$diag\left(  A_{m}\right)  =\dfrac{1}{3.2^{m}}\left(  2^{m}+2,2^{m}%
-1,2^{m}-1\right)  $ qui conduit \`{a}

$diag\left(  A_{m+1}\right)  =\dfrac{1}{2^{m}}\left(  \dfrac{\alpha_{m}%
+\beta_{m}}{2},\dfrac{\alpha_{m}+\beta_{m}}{2},\beta_{m}\right)  .$ D'o\`{u}
les formules suivantes \underline{que l'on v\'{e}rifie par r\'{e}currence}:%
\begin{align*}
&  \fbox{$diag\left(  A_m\right)  =\dfrac{1}{3.2^{m}}\left(  2^{m}%
+2,2^{m}-1,2^{m}-1\right)  $\quad si\quad$m$\thinspace pair}\\
&  \fbox{$diag\left(  A_m\right)  =\dfrac{1}{3.2^{m}}\left(  2^{m}%
+1,2^{m}+1,2^{m}-2\right)  $\quad si\quad$m$\thinspace impair}%
\end{align*}
On constate bien que \fbox{$f\left(  A_{m}\right)  =\dfrac{1}{2^{m}}$ pour
tout $m$}.\medskip

\textbf{Quatri\`{e}me partie}

\item[\textbf{10.}] $R\left(  A\right)  =\left\{  \left(  AX|X\right)  :X\in
S\right\}  $ o\`{u} $S$ d\'{e}signe la sph\`{e}re unit\'{e} pour la norme
$\left\|  .\right\|  .$

\begin{enumerate}
\item [\textbf{a)}]Soit $\lambda$ une valeur propre r\'{e}elle de $A:$ il
existe un vecteur propre $X$ associ\'{e}. Quitte \`{a} le normaliser, on peut
supposer que $X\in S$ et alors, $\left(  AX|X\right)  =\lambda\left(
X|X\right)  =\lambda\in R\left(  A\right)  .$

Si $\left(  e_{i}\right)  _{i}$ d\'{e}signe toujours la base canonique
(orthonorm\'{e}e ) de $\mathbb{R}^{n},$ on a $\left(  Ae_{i}|e_{i}\right)
=a_{ii}\in R\left(  A\right)  .$

\item[\textbf{b)}] - $S$ \'{e}tant compacte ( ferm\'{e}e born\'{e}e en
dimension finie ), l'ensemble $R\left(  A\right)  $ est compact puisque image
de $S$ par l'application continue $\phi:\left\{
\begin{array}
[c]{c}%
\mathbb{R}^{n}\longrightarrow\mathbb{R}\\
X\longrightarrow\left(  AX|X\right)
\end{array}
\right.  .$ Ainsi, \underline{$R\left(  A\right)  $ est ferm\'{e} born\'{e}.}

- On d\'{e}montre que $R\left(  A\right)  $ est un \underline{intervalle en
v\'{e}rifiant sa convexit\'{e}}: on consid\`{e}re $r_{1}$ et $r_{2}$ deux
\'{e}l\'{e}ments distincts de $R\left(  A\right)  $ qui s'\'{e}crivent
$r_{1}=\left(  AX_{1}|X_{1}\right)  $ et $r_{2}=\left(  AX_{2}|X_{2}\right)  $
o\`{u} $X_{1}$ et $X_{2}$ sont dans $S;$ il s'agit de d\'{e}montrer que le
segment $\left[  r_{1},r_{2}\right]  $ est inclus dans $R\left(  A\right)  $.

\begin{itemize}
\item $1^{er}cas:$ $0\notin\left[  X_{1},X_{2}\right]  =\left\{  \left(
1-t\right)  X_{1}+tX_{2}/t\in\left[  0,1\right]  \right\}  .$

On remarque que $R\left(  A\right)  =\left\{  \phi^{\prime}\left(  X\right)
:X\in\mathbb{R}^{n}\backslash\left\{  0\right\}  \right\}  $ o\`{u}
$\phi^{\prime}$ est l'application continue$\left\{
\begin{array}
[c]{c}%
\mathbb{R}^{n}\backslash\left\{  0\right\}  \longrightarrow\mathbb{R}\\
X\longrightarrow\dfrac{\left(  AX|X\right)  }{\left\|  X\right\|  ^{2}}%
\end{array}
\right.  $ On consid\`{e}re $\psi:\left\{
\begin{array}
[c]{c}%
\left[  0,1\right]  \longrightarrow\mathbb{R}\\
t\longrightarrow\phi^{\prime}\left[  \left(  1-t\right)  X_{1}+tX_{2}\right]
\end{array}
\right.  $ \textbf{continue} et on lui applique le th\'{e}or\`{e}me des
valeurs interm\'{e}diaires:
\[
\psi\left(  0\right)  =r_{1}\quad\text{et\quad}\psi\left(  1\right)
=r_{2},\quad\text{donc}\quad\forall r\in\left[  r_{1},r_{2}\right]
\quad\exists\theta\in\left[  0,1\right]  \quad\psi\left(  \theta\right)
=r\quad
\]
et, en cons\'{e}quence $\left[  r_{1},r_{2}\right]  \subset\psi\left(  \left[
0,1\right]  \right)  =\phi^{\prime}\left(  \left[  X_{1},X_{2}\right]
\right)  \subset R\left(  A\right)  .$

\item $2^{\grave{e}me}cas:$ $0\in\left[  X_{1},X_{2}\right]  .$

Les vecteurs $X_{1}$ et $X_{2}$ sont n\'{e}cessairement li\'{e}s donc
$X_{1}=X_{2}$ ou $X_{1}=-X_{2}$ (puisque unitaires). Dans ce cas, on aurait
$r_{1}=r_{2}$ ce qui a \'{e}t\'{e} exclu.
\end{itemize}

REM: \textit{cette question peut aussi se d\'{e}montrer \`{a} l'aide des
matrices sym\'{e}triques. }On commence par d\'{e}montrer que lorsque $A$ est
sym\'{e}trique, $R\left(  A\right)  =\left[  \lambda_{\min},\lambda_{\max
}\right]  $ o\`{u} $\lambda_{\min}$ et $\lambda_{\max}$ sont les valeurs
propres extremales de $A$ ( se prouve en r\'{e}duisant la forme quadratique
associ\'{e}e \`{a} $A$ ). Pour $A$ quelconque, on consid\`{e}re $A^{+}%
=\dfrac{\left(  A+\,^{t}A\right)  }{2}$ la partie sym\'{e}trique de $A$ et on
remarque que $R\left(  A\right)  =R\left(  A^{+}\right)  $ puisque $\left(
A^{+}X|X\right)  =\tfrac{1}{2}\,\left[  ^{t}\left(  AX\right)  X+\,^{t}\left(
^{t}AX\right)  X\right]  =\left(  AX|X\right)  $.

\item[\textbf{c)}] \textit{Dans cette question, la sym\'{e}trie de }%
$A$\textit{ ne sert pas. }

Le segment $R\left(  A\right)  $ contient (d'apr\`{e}s \textbf{10.a) )}
tous\textbf{ }les $a_{ii}$ o\`{u} $1\leq i\leq n$\textbf{ }donc contient leur
moyenne $\dfrac{tr\left(  A\right)  }{n}=\dfrac{1}{n}\sum\limits_{i=1}%
^{n}a_{ii}$ . Lorsque $tr\left(  A\right)  =0,$ on d\'{e}duit que $0\in
R\left(  A\right)  $.

\item[\textbf{d)}] \quad$t=tr\left(  A\right)  \in R\left(  A\right)  $ donc
s'\'{e}crit $t=\left(  AX_{1}|X_{1}\right)  $ o\`{u} $X_{1}\in S.$ On peut
compl\'{e}ter par $X_{2},X_{3},...X_{n}$ de telle fa\c{c}on que $\mathcal{X=}%
\left(  X_{i}\right)  _{i}$ soit un base orthonorm\'{e}e de $\mathbb{R}^{n}.$
Si $u$ d\'{e}signe toujours l'endomorphisme canoniquement associ\'{e} \`{a}
$A,$ on obtient:%
\[
A^{\prime}=Mat_{\mathcal{X}}\left(  u\right)  =\left[
\begin{array}
[c]{cc}%
t & L_{1}\\
C_{1} & A_{1}%
\end{array}
\right]  \,\text{o\`{u} }C_{1}\in M_{n-1,1}\left(  \mathbb{R}\right)
,\,L_{1}\in M_{1,n-1}\left(  \mathbb{R}\right)  \,\text{et }A_{1}\in
M_{n-1}\left(  \mathbb{R}\right)  .
\]
Ainsi, $A$ et $A^{\prime}$ sont orthosemblables\textit{ }et $tr\left(
A^{\prime}\right)  =tr\left(  A\right)  =t+tr\left(  A_{1}\right)  $ donc
$tr\left(  A_{1}\right)  =0.$ La troisi\`{e}me partie a d\'{e}montr\'{e} que
$A_{1}$ est orthosemblable \`{a} une \underline{matrice $B_{1}$ de diagonale
nulle} ce qui prouve l'existence d'une base orthonorm\'{e}e $\mathcal{X}%
^{\prime}\mathcal{=}\left(  X_{i}^{\prime}\right)  _{i}$ telle que
$B=Mat_{\mathcal{X}}\left(  u\right)  =\left[
\begin{array}
[c]{cc}%
t & L_{1}^{\prime}\\
C_{1}^{\prime} & B_{1}%
\end{array}
\right]  .$ Donc $A$ est orthosemblable \`{a} cette matrice $B$ de diagonale
$\left(  t,0,0,...,0\right)  .\medskip$
\end{enumerate}

\textbf{Cinqui\`{e}me partie}

\item[\textbf{12.}] \quad

\begin{enumerate}
\item [\textbf{a)}]D'apr\`{e}s \textbf{5. }$A$ est semblable \`{a} une matrice
$B=\left(  b_{ij}\right)  _{ij}$ telle que $\forall i\in\left[  1..n\right]
\;b_{ii}\neq0.$

On consid\`{e}re la matrice triangulaire sup\'{e}rieure $Y=\left[
\begin{array}
[c]{cccc}%
1 &  &  & \\
0 & 1 & -b_{ij} & \\
\vdots & \ddots & \ddots & \\
0 & \cdots & 0 & 1
\end{array}
\right]  $ soit$\left\{
\begin{array}
[c]{c}%
y_{ij}=-b_{ij}\,\text{si }i<j\\
y_{ii}=1\quad\quad\quad\quad\\
y_{ij}=0\,\text{si }i>j
\end{array}
\right.  .$

La matrice $B+Y$ est triangulaire inf\'{e}rieure avec $diag\left(  B+Y\right)
=\left(  1+b_{11},1+b_{22},...,1+b_{nn}\right)  .$

Les spectres ( r\'{e}els ou complexes ) sont $Sp\left(  Y\right)  =\left\{
1\right\}  $ et $Sp\left(  B+Y\right)  =\left\{  1+b_{ii}:1\leq i\leq
n\right\}  .$

\underline{Ils sont disjoints car les $b_{ii}$ sont non nuls.}

\item[\textbf{b)}] Par d\'{e}finition de $B,$ il existe $P\in GL_{n}\left(
\mathbb{R}\right)  $ telle que $B=PAP^{-1}.$ Par suite, la matrice
$X=P^{-1}YP$ v\'{e}rifie $A+X=P^{-1}\left(  B+Y\right)  P$ donc $Sp\left(
X\right)  =Sp\left(  Y\right)  $ et $Sp\left(  A+X\right)  =Sp\left(
B+Y\right)  .$
\end{enumerate}

\item[\textbf{13.}] $T\in\mathcal{L}\left(  M_{n}\left(  \mathbb{R}\right)
\right)  $ telle que $\forall A\in GL_{n}\left(  \mathbb{R}\right)  \;T\left(
A\right)  \in GL_{n}\left(  \mathbb{R}\right)  .$

\begin{enumerate}
\item [\textbf{a)}]\textbf{Pour }$\lambda$\textbf{ r\'{e}el,} on a:%
\begin{align*}
\det\left(  T\left(  I\right)  ^{-1}T\left(  A\right)  -\lambda I\right)   &
=\det\left(  T\left(  I\right)  ^{-1}\left[  T\left(  A\right)  -\lambda
T\left(  I\right)  \right]  \right)  =\det\left(  T\left(  I\right)
^{-1}\right)  \det\left(  T\left(  A\right)  -\lambda T\left(  I\right)
\right)  =\\
&  =\det\left(  T\left(  I\right)  \right)  ^{-1}\det\left(  T\left(
A-\lambda I\right)  \right)  \text{ car }T\,\text{est lin\'{e}aire.}%
\end{align*}
Il en r\'{e}sulte que si $\lambda$ est dans le spectre r\'{e}el de $T\left(
I\right)  ^{-1}T\left(  A\right)  $ alors $\det\left(  T\left(  I\right)
^{-1}T\left(  A\right)  -\lambda I\right)  =0$ donc $\det\left(  T\left(
A-\lambda I\right)  \right)  =0$. Comme la matrice $A-\lambda I$ ne peut
\^{e}tre inversible, on en d\'{e}duit que $\lambda$ est dans le spectre
r\'{e}el de $A.$ Donc \fbox{$Sp_{\mathbb{R}}\left(  T\left(  I\right)
^{-1}T\left(  A\right)  \right)  \subset Sp_{\mathbb{R}}\left(  A\right)  $}

\item[\textbf{b)}] \textit{Erreur d'\'{e}nonc\'{e}...du moins pour }$n$ \textit{pair.}

Pour d\'{e}montrer que $T$ est inversible, il suffit de prouver que son noyau
est r\'{e}duit \`{a} $\left\{  0\right\}  $ puisqu'il s'agit d'un
endomorphisme d'un espace-vectoriel de dimension finie.

Soit $A\in M_{n}\left(  \mathbb{R}\right)  $ \textbf{non nulle} telle que
$T\left(  A\right)  =0.$ On peut lui appliquer les r\'{e}sultats de la
question \textbf{12. }\`{a} savoir l'existence d'une matrice non nulle $X\in
M_{n}\left(  \mathbb{R}\right)  $ telle que $Sp\left(  A+X\right)  \cap
Sp\left(  X\right)  =\emptyset.$

Pr\'{e}cision: pour les matrices triangulaires $Y$ et $B+Y$ ( donc
\'{e}galement pour $X$ et $A+X)$ le spectre r\'{e}el et le spectre complexe
sont confondus.

D'apr\`{e}s \textbf{13.a) }$Sp_{\mathbb{R}}\left(  T\left(  I\right)
^{-1}T\left(  X\right)  \right)  \subset Sp_{\mathbb{R}}\left(  X\right)  $ et
$Sp_{\mathbb{R}}\left(  T\left(  I\right)  ^{-1}T\left(  A+X\right)  \right)
\subset Sp_{\mathbb{R}}\left(  A+X\right)  $ .

Or $T\left(  A+X\right)  =T\left(  A\right)  +T\left(  X\right)  =T\left(
X\right)  $ ce qui conduit \`{a}
\[
Sp_{\mathbb{R}}\left(  T\left(  I\right)  ^{-1}T\left(  X\right)  \right)
\subset Sp_{\mathbb{R}}\left(  A+X\right)  \cap Sp_{\mathbb{R}}\left(
X\right)  =\emptyset
\]
On arrive \`{a} une contradiction si on prouve que le \textbf{spectre
r\'{e}el} $T\left(  I\right)  ^{-1}T\left(  X\right)  $ est non vide ce qui
est vrai pour $n$ impair.

Mais pour $n$ pair, \textbf{l'application }$T$\textbf{ n'est pas
n\'{e}cessairement inversible} comme le prouve le contre-exemple suivant (pour
$n=2)$.%
\[
T:\left\{
\begin{array}
[c]{ccc}%
M_{2}\left(  \mathbb{R}\right)   & \longrightarrow &  M_{2}\left(
\mathbb{R}\right)  \\
\left(
\begin{array}
[c]{cc}%
a & b\\
c & d
\end{array}
\right)   & \longrightarrow & \left(
\begin{array}
[c]{cc}%
a & b\\
-b & a
\end{array}
\right)
\end{array}
\right.
\]
\bigskip
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\begin{center}
\rule[0.05cm]{5.65cm}{0.03cm}
\end{center}
\end{document}
