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\begin{document}

\begin{center}
\textbf{\'{E}COLE POLYTECHNIQUE\medskip}

\textbf{\'{E}COLE SUP\'{E}RIEURE DE PHYSIQUE ET DE CHIMIE
INDUSTRIELLES\bigskip}

CONCOURS D'ADMISSION 2002\hspace{7cm}FILI\`{E}RE {\Large PC\vspace{1.5cm}}

\textbf{DEUXI\`{E}ME COMPOSITION DE MATH\'{E}MATIQUES\medskip}

(Dur\'{e}e: 4 heures)\medskip

L'utilisation des calculatrices n'est pas autoris\'{e}e pour cette \'{e}preuve.\bigskip

***\bigskip
\end{center}

Ce probl\`{e}me a pour but principal l'\'{e}tude des coefficients diagonaux
des diverses matrices semblables \`{a} une matrice donn\'{e}e.

On d\'{e}signe par $n$ un entier $\geq$ 2, par $M_{n}(\mathbf{R})$ l'espace
des matrices \`{a} coefficients r\'{e}els, \`{a} $n$ lignes et $n$ colonnes,
et par $I$ la matrice identit\'{e}; on appelle \textit{scalaires} les matrices
de la forme $\lambda I$ o\`{u} $\lambda$ est un r\'{e}el. On rappelle que deux
matrices $A$ et $B$ sont dites \textit{semblables} s'il existe une matrice
inversible $Q$ v\'{e}rifiant $B=QAQ^{-1}$, c'est-\`{a}-dire si $A$ et $B$
repr\'{e}sentent un m\^{e}me endomorphisme de $\mathbf{R}^{n}$ dans deux bases
de $\mathbf{R}^{n}$.\bigskip

\begin{center}
\textbf{Premi\`{e}re partie\bigskip}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item [\textbf{1.}]D\'{e}montrer les assertions suivantes:\medskip

\begin{enumerate}
\item [\textbf{a)}]Si une matrice $A$ est non scalaire, il existe un vecteur
$X$ de $\mathbf{R}^{n}$, non nul et non vecteur propre pour $A$.

\item[\textbf{b)}] Soit $A\in M_{n}(\mathbf{R}),$ $i$ et $j\in\left\{
1,...,n\right\}  $. Il existe une matrice $B$ semblable \`{a} $A$ telle que
\[
b_{i,i}=a_{j,j}\quad,\quad b_{j,j}=a_{i,i}\quad,\quad b_{k,k}=a_{k,k}%
\quad\text{pour tout\thinspace}k\neq i,j\,.
\]
\bigskip
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\begin{center}
\textbf{Deuxi\`{e}me partie\bigskip}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item [\textbf{2.}]On se donne une matrice $A$ de $M_{n}(\mathbf{R})$ de trace
nulle et on se propose de d\'{e}montrer qu'il existe une matrice $B$ semblable
\`{a} $A$ ayant tous ses coefficients diagonaux nuls.\medskip

\begin{enumerate}
\item [\textbf{a)}]Montrer que si $A$ est non nulle, il existe une base
$\left(  X_{1},...,X_{n}\right)  $ de $\mathbf{R}^{n}$ telle que $AX_{1}%
=X_{2}$ .

\item[\textbf{b)}] Conclure en proc\'{e}dant par r\'{e}currence sur $n$.\medskip
\end{enumerate}

\item[\textbf{3.}] \textit{Applications num\'{e}riques.} Dans chacun des cas
consid\'{e}r\'{e}s, on indiquera une matrice $B$ r\'{e}pondant \`{a} la
question et une base qui lui correspond.\medskip

\begin{enumerate}
\item [\textbf{a)}]$n=2$,\quad$A$ est diagonale avec coefficients diagonaux $1,-1.$

\item[\textbf{b)}] $n=3$,\quad$A$ est diagonale avec coefficients diagonaux
$1,0,-1$.\medskip
\end{enumerate}

\item[\textbf{4.}] Soit $A$ une matrice de $M_{n}(\mathbf{R})$ non scalaire.

Montrer qu'il existe une matrice $B$ semblable \`{a} $A$ avec coefficients
diagonaux de la forme $(t,0,...,0)$, et exprimer $t$ en fonction des
coefficients diagonaux de $A$.\medskip

\item[\textbf{5.}] Soit A une matrice de $M_{n}(\mathbf{R})$ non nulle.
Montrer qu'il existe une matrice $B$ semblable \`{a} $A$ avec coefficients
diagonaux tous non nuls.\bigskip
\end{enumerate}

\begin{center}
\textbf{Troisi\`{e}me partie\bigskip}
\end{center}

On dira que deux matrices $A$ et $B$ de $M_{n}(\mathbf{R})$ sont
\textit{orthosemblables} s'il existe une matrice orthogonale $Q$ v\'{e}rifiant
$B=QAQ^{-1}$, c'est-\`{a}-dire si $A$ et $B$ repr\'{e}sentent un m\^{e}me
endomorphisme de $\mathbf{R}^{n}$ dans deux bases orthonormales de
$\mathbf{R}^{n}$. Pour toute matrice $A$ on pose
\[
f\left(  A\right)  =\sup\left\{  \left|  a_{i,i}-a_{j,j}\right|
:i,j=1,...,n\right\}  \quad.
\]
On se donne une matrice $A$ et on se propose de d\'{e}montrer qu'il existe une
matrice $B$, orthosemblable \`{a} $A$ et ayant tous ses coefficients diagonaux
\'{e}gaux.

\begin{enumerate}
\item [\textbf{6.}]D\'{e}montrer l'assertion dans le cas o\`{u} $n=2.\medskip$

\item[\textbf{7.}] On suppose maintenant $n$ quelconque et les $a_{i,i}$ non
tous \'{e}gaux.\medskip

\begin{enumerate}
\item [\textbf{a)}]Montrer qu'on peut supposer $f\left(  A\right)  =\left|
a_{1,1}-a_{2,2}\right|  $\thinspace.

\item[\textbf{b)}] Construire une matrice $A^{\prime}$, orthosemblable \`{a}
$A$ et telle que
\[
a_{1,1}^{\prime}=a_{2,2}^{\prime}\quad,\quad a_{i,i}^{\prime}=a_{i,i}%
\quad\forall i\geq3\quad,\quad\left|  a_{1,1}^{\prime}-a_{i,i}^{\prime
}\right|  <f\left(  A\right)  \quad\forall i\geq3.
\]

\item[\textbf{c)}] Construire une matrice $A^{\prime\prime}$, orthosemblable
\`{a} $A$ et telle que $f(A^{\prime\prime})<f(A).\bigskip$
\end{enumerate}

On d\'{e}signe par $O_{n}(\mathbf{R})$ l'ensemble des matrices orthogonales,
et par $E_{A}$ celui des matrices orthosemblables \`{a} $A$.\medskip

\item[\textbf{8.}] \quad

\begin{enumerate}
\item [\textbf{a)}]Montrer que $E_{A}$ est une partie compacte de
$\mathbf{R}^{n^{2}}$.

\item[\textbf{b)}] Montrer que la restriction de la fonction $f$%
\thinspace\`{a}$\,E_{A}$ atteint son minimum.

\item[\textbf{c)}] Conclure.\medskip
\end{enumerate}

\item[\textbf{9.}] \textit{Application num\'{e}rique.} On prend $n=3$ et $A$
diagonale avec coefficients diagonaux $(1,0,0)$ ; on note $A_{m}$, $m=0,1,...$
les matrices successives obtenues par la m\'{e}thode pr\'{e}c\'{e}dente, de
sorte que
\[
diag\left(  A_{0}\right)  =\left(  1,0,0\right)  \quad,\quad diag\left(
A_{1}\right)  =\left(  \dfrac{1}{2},\dfrac{1}{2},0\right)  \quad,\quad
diag\left(  A_{2}\right)  =\left(  \dfrac{1}{2},\dfrac{1}{4},\dfrac{1}%
{4}\right)  \quad,\quad\text{etc.}%
\]
D\'{e}terminer $f(A_{m})$ et les coefficients diagonaux de $A_{m}.$\pagebreak 
\end{enumerate}

\begin{center}
\bigskip

\textbf{Quatri\`{e}me partie\bigskip}
\end{center}

On munit $\mathbf{R}^{n}$ de son produit scalaire usuel not\'{e} $\left(
.|.\right)  $ et de la norme correspondante $\left\|  .\right\|  .$

Pour toute matrice $A$ de $M_{n}(\mathbf{R})$ on pose
\[
R\left(  A\right)  =\left\{  \left(  AX|X\right)  :\left\|  X\right\|
=1\right\}  .
\]

\begin{enumerate}
\item [\textbf{10.}]D\'{e}montrer les assertions suivantes:\medskip

\begin{enumerate}
\item [\textbf{a)}]$R(A)$ contient les valeurs propres r\'{e}elles de $A$
ainsi que ses coefficients diagonaux.

\item[\textbf{b)}] $R(A)$ est un intervalle ferm\'{e} born\'{e} de \textbf{R}.

\item[\textbf{c)}] Si $A$ est sym\'{e}trique et de trace nulle, le nombre $0 $
appartient \`{a} $R(A)$.\bigskip
\end{enumerate}

\item[\textbf{11.}] Montrer que si la trace $t$ de $A$ appartient \`{a}
$R(A)$, il existe une matrice $B$ orthosemblable \`{a} $A$ avec coefficients
diagonaux $\left(  t,0,...,0\right)  $.\bigskip
\end{enumerate}

\begin{center}
\textbf{Cinqui\`{e}me partie\bigskip}
\end{center}

On note $Sp(A)$ l'ensemble des valeurs propres d'une matrice A.\medskip

\begin{enumerate}
\item [\textbf{12.}]On se donne une matrice non nulle A de $M_{n}(\mathbf{R})$
et on note $B$ une matrice semblable \`{a} $A$ ayant tous ses coefficients
diagonaux non nuls.

\begin{enumerate}
\item [\textbf{a)}]Trouver une matrice $Y$ telle que l'on ait
\[
Sp(Y)=\left\{  1\right\}  \quad\text{et\quad}Sp(B+Y)\cap Sp(Y)=\varnothing
\]

\item[\textbf{b)}] Construire une matrice $X$ non nulle telle que l'on ait
\[
Sp(A+X)\cap Sp(X)=\varnothing
\]
\end{enumerate}

\item[\textbf{13.}] On d\'{e}signe par $T$ une application lin\'{e}aire de
$M_{n}(\mathbf{R})$ dans lui-m\^{e}me qui transforme toute matrice inversible
en une matrice inversible.\medskip

\begin{enumerate}
\item [\textbf{a)}]V\'{e}rifier que l'on a
\[
Sp\left(  T\left(  I\right)  ^{-1}T\left(  A\right)  \right)  \subset
Sp\left(  A\right)
\]

\item[\textbf{b)}] Montrer que l'application $T$ est inversible.\bigskip
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\begin{center}
*\quad*

*
\end{center}
\end{document}
