%M02Z--.tex 6 mars 2002 17h15 version 6 mars 2002 20h45 % Si un lecteur d\'ec\`ele ce qu'il consid\`ere comme une faute de frappe % qu'il me le signale $lg_vidiani@ipac.fr$ %{\fiverm (Gr\^ace \`a Internet plus de r\'etention des \'enonc\'es % et des corrig\'es pour le concours g\'en\'eral et les Olympiades % par les petits chefs pay\'es par l'\'etat sans contrepartie de diffusion % \`a flux tendu)} \input liv.mac \voffset-15mm \def\titreimpair{\line{ {\fiverm pentium d:-emtex-M01Z--.tex \hskip 3mm} {\bf CONCOURS G\'EN\'ERAL M 6 mars 2002 \hskip 3mm\Carre \hfil Mr VIDIANI Sp\'e M1 CARNOT \hskip 2mm\liond\ \folio}} } \def\titrepair{\line{\bf\folio \hfill {\fiverm M01Z--.tex } {\bf Concours G\'en\'eral 6 mars 2002 \hskip 3mm\Carre Mr VIDIANI \hskip 2mm\liong}} } %\centerline{\vbox{\hrule depth 0pt width 80mm}} %\centerline{\cadrefin{\tenbf PREMI\`ERE PARTIE : Matrice compagne}} %\leavevmode %\cadrefin{\vbox to 10mm {\hsize 30mm\leftskip 0mm\noindent\fiverm nom : %\hfill\vfill\noindent sp\'e MP1 carnot DIJON}}\hskip 1cm % -------------------------------------------------------------------------- - % QQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQ Code Bourse UPS Quercia QQQQQQQQQQQQQQQQQQQQ %*****Haut et bas de page %\def\makeheadline{} \catcode`\@=11 \font\@upstt=cmtt10 \footline={\@upstt\hfil\jobname.tex\ - page \the\count0\ifodd\count0\hfill\fi} \catcode64=\active \ifx\numerodepage\undefined\else\count0=\numerodepage\fi % QQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQ FIN code bourse UPS, Quercia QQQQQQQQQQQQ %XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX %XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX % A l'air de ne rien faire \`a l'impression l'ai je mal plac\'e ? \input upsnum.tex %le code ups n'\'etait pas op\'erant car dans liv.mac il y % avait neutralisation du footline. \hfill\cadrefin{\tenbf CONCOURS G\'EN\'ERAL 6 MARS 2002 8h30-13h30 5h, classe terminale S} \hfill{} {\bf La calculatrice de poche est autoris\'ee. La clart\'e et la pr\'ecision seront prises en compte dans l'appr\'eciation des copies. % * Comment ? Les premi\`eres questions de chacune des trois premi\`eres parties de ce probl\`eme sont ind\'ependantes des autres parties. Il n'est donc pas obligatoire de commencer l'\'etude dans l'ordre indiqu\'e \`a condition d'indiquer la question trait\'ee en respectant l'indexation du texte. Les candidats peuvent admettre les r\'esultats d'une question, \`a condition de l'indiquer clairement sur la copie.} \centerline{\vbox{\hrule depth 0pt width 80mm}} {\it Dans tout le probl\`eme, un triangle $ABC$, est la figure d\'etermin\'ee par les trois points $A,\ B,\ C$ suppos\'es non align\'es. Conform\'ement \`a la tradition, les longueurs de ses cot\'es seront not\'ees $a=BC,\ b=CA$ et $c=AB$, et $\widehat{A},\ \widehat{B}$ et $\widehat{C},\ $ sont les mesures en radians, comprises entre $0$ et $\pi$, de ses angles. \vskip 10mm Les trois premi\`eres parties se d\'eroulent dans le plan rapport\'e \`a un rep\`ere orthonorm\'e direct $(O,\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}$ associ\'e aux coordonn\'ees $(x,y)$ \big(ou $(X,Y)$\big).} %\lettrine{{(7)}} \cadreepais{\grise \g=90 {\tenbf Th\'eor\`eme des MOMENTS }} \traitgras \noindent\hfill\grise \w=70mm\h=4mm {}\hskip 1mm \cadrefin{\bf Premi\`ere partie} \hskip 1mm\grise\h=4mm \w=65mm{}\hfill{} Soit $ABC$ un triangle. On note $P$ le projet\'e orthogonal du point $A$ sur la droites $BC$ et $D$ le sym\'etrique du point $C$ par rapport \`a la droite $(AP)$. On dit que ce triangle est pseudo-rectangle en $A$ si $|\widehat{B}- \widehat{C}|=\frac \pi 2$. On pr\'ecise qu'il est pseudo-rectangle en $A$, obtus en $B$ dans le cas o\`u $|\widehat{B}-\widehat{C}=\frac \pi 2$. \num{1} Montrer que le triangle $ABC$ est pseudo-rectangle en $A$ si et seulement si le triangle $ABD$ est rectangle en $A$. \trait \num{2} Montrer que $PA^2=PB.PC$ si et seulement si le triangle $ABC$ est rectangle en $A$ ou pseudo-rectangle en $A$. \trait \num{3} Montrer que le triangle $ABC$ est rectangle en $A$ ou pseudo-rectangle en $A$, si et seulement si son orthocentre est le sym\'etrique du point $A$ par rapport \`a la droite $(BC)$. \trait \num{4} Soit $R$ le rayon du cercle circonscrit au triangle $ABC$. Montrer que $PB+PC=2R$ si et seulement si $ABC$ est rectangle en $A$ ou pseudo-rectangle en $A$. \trait \num{5} Montrer que le triangle $ABC$ est pseudo-rectangle en $A$ si et seulement si la droite $(AP)$ est tangente au cercle circonscrit au triangle $ABC$. \trait \num{6} Dans le plan complexe associ\'e au rep\`ere orthonorm\'e direct $(O,\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}$, on note $\alpha,\ \beta,\ \gamma$ les affixes des points non align\'es $A,\ ,\ B,\ C$. \num{6.a} Donner une condition n\'ec\'essaire et suffisante sur $\frac {(\alpha-\beta)(\alpha-\gamma)}{(\beta-\gamma)^2}$ pour que le triangle $ABC$ soit pseudo-rectangle en $A$. \centerline{\vbox{\hrule depth 0pt width 80mm}} \num{6.b} On suppose $\beta=-\gamma=e^{i{\pi\over 4}}$. %(et non {\fiverm Ovaert}) D\'eterminer l'ensemble $(E_1)$ des points $A$ du plan tel que le triangle $ABC$ soit pseudo-rectangle en $A$. \centerline{\vbox{\hrule depth 0pt width 80mm}} \num{6.c} On suppose $\beta=-\gamma=1$. D\'eterminer l'ensemble $(E_2)$ des points $A$ du plan tel que le triangle $ABC$ soit pseudo-rectangle en $A$. \centerline{\vbox{\hrule depth 0pt width 80mm}} \num{6.d} Par quelle transformation g\'eom\'etrique simple passe-t-on de $(E_2)$ \`a $(E_1$ ? \traitgras \noindent\hfill\grise \w=70mm\h=4mm {}\hskip 1mm \cadrefin{\bf Deuxi\`eme partie} \hskip 1mm\grise\h=4mm \w=65mm{}\hfill{} \num{1} Soit $(a,b,c)$ un triplet de r\'eels strictement positifs. \'Etablir l'\'equivalence des conditions suivantes : \hskip 10mm $\bf[i]$ il existe un triangle $ABC$ pseudo-rectangle en $A$ et obtus en $B$ tel que $AB=c,\ BC=a$ et $CA=b$ ; \hskip 10mm $\bf[ii]$ $b^2-c^2=a\sqrt{b^2+c^2}$ ; \hskip 10mm $\bf[iii]$ il existe deux r\'eels $\rho$ et $\theta$ v\'erifiant $\rho>0,\ 0<\theta<\frac \pi 4$ et $a=\rho \cos 2\theta,\ b=\rho \cos \theta$ et $c=\rho\sin\theta$. Ces conditions \'etant r\'ealis\'ees, montrer que $\theta$ mesure un des angles du triangle $ABC$. Comment peut-on interpr\'eter g\'eom\'etriquement $\rho$ ? \trait \num{2} Soit $ABC$ un triangle pseudo-rectangle en $A$, obtus en $B$ et dont les longueurs des cot\'es dont des nombres rationnels ; soit $\rho$ et $\theta$ %j'aurais \'ecrit "soient" les deux r\'eels d\'efinis au $\bf 1.[iii]$. {\it Dans cette question, on pourra utiliser sans justification les formules trigonom\'etriques suivantes v\'erifi\'ees par tout r\'eel $\varphi$ pour lequel $\tan\varphi$ est d\'efinie : $\cos 2\varphi=\frac {1-\tan ^2\varphi}{1+\tan^2\varphi},\ \sin 2\varphi=\frac {2\tan \varphi}{1+\tan^2\varphi}$.} \num{2.a} Montrer que $\rho $ est rationnel et en d\'eduire que $\tan\frac \theta 2$ est rationnel. Soient $p$ et $q$ les entiers strictement positifs et premiers entre eux tels que $\tan\frac \theta 2=\frac pq$. \centerline{\vbox{\hrule depth 0pt width 80mm}} \num{2.b} V\'erifier que $0