\documentclass[11pt]{article}
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\begin{document}

%Num{\'e}rotation
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{Question \arabic{enumi} :\ \\}}
\renewcommand{\labelenumii}{\alph{enumii}) }


%Macros
\renewcommand{\leq}{\,\leqslant\,}
\renewcommand{\geq}{\,\geqslant\,}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\set}[1]{\left \{ #1 \right \}}
\newcommand{\tq}{\mid}
\newcommand{\segment}[2]{\left [ #1, #2 \right ]}
\newcommand{\ouvert}[2]{\left ] #1, #2 \right [}
\newcommand{\ouvdroite}[2]{\left [ #1, #2 \right [}
\newcommand{\ouvgauche}[2]{\left ] #1, #2 \right ]}
\newcommand{\limite}[3]{\lim_{#1 \to #2} \limits #3}
\newcommand{\matrice}[1]{\begin{pmatrix} #1 \end{pmatrix}}
\newcommand{\determinant}[1]{\begin{vmatrix} #1 \end{vmatrix}}
\newcommand{\somme}[3]{\sum_{#1}^{#2}\limits{#3}}
\newcommand{\bsup}[2]{\sup_{#1}\limits #2}
\newcommand{\binf}[2]{\inf_{#1}\limits #2}




\textbf{{\Large Question li{\'e}es : 1 {\`a} 18 ; 19 {\`a} 22 ; 23 {\`a} 29 ; 30 {\`a} 32}}


\begin{center}\textbf{{\huge - PARTIE I -}}\end{center}

\framebox{\begin{minipage}{16 cm}
Pour $n \inÊ\N$, on d{\'e}finit la fonction $f_{n}$ par :

\indent $f_{n} : \R_{+}^{*} \rightarrow \R$

\indent $x \mapsto f_{n}(x) = \begin{array}{rcl}
\dfrac{x^{n} \ln{x}}{x^{2} - 1} & \mbox{ si } & x {\neq}Ê1 \\
k_{n} & \mbox{ si } & x = 1\end{array}$

o{\`u} $k_{n}$ est un r{\'e}el fix{\'e} et $\ln$ d{\'e}signe la fonction logarithme n{\'e}p{\'e}rien.
On notera $C_{n}$ la courbe repr{\'e}sentative de $f_{n}$ dans un rep{\`e}re orthonorm{\'e}.
$n$ d{\'e}signera un entier naturel dans cette partie.
\end{minipage}}

\begin{enumerate}
\item %Question 1
Le d{\'e}veloppement limit{\'e} de la fonction $\ln{(1+x)}$ {\`a} l'ordre $3$ au voisinage de $0$ s'{\'e}crit, $\varepsilon$ d{\'e}signant une fonction telle que  $\limite{x}{0}{\varepsilon(x)} = 0$

\begin{tabular}{lcl}
a) $1 + x - \dfrac{x^{2}}{2} + \dfrac{x^{3}}{3} + x^{3} \varepsilon(x)$
&\hfill&
b) $x + \dfrac{x^{2}}{2} + \dfrac{x^{3}}{3} + x^{3} \varepsilon(x)$
\\
c) $x - \dfrac{x^{2}}{2} + \dfrac{x^{3}}{3!} + x^{3} \varepsilon(x)$
&\hfill&
d) $x - \dfrac{x^{2}}{2} + \dfrac{x^{3}}{3} + x^{3} \varepsilon(x)$
\end{tabular}

\item %Question 2
Le d{\'e}veloppement limit{\'e} de la fonction $\dfrac{1}{2+u}$ {\`a} l'ordre $2$ au voisinage de $0$ s'{\'e}crit, $\varepsilon$ d{\'e}signant toujours une fonction telle que  $\limite{u}{0}{\varepsilon(u)} = 0$

\begin{tabular}{lcl}
a) $1 - \dfrac{u}{2} + \dfrac{u^{2}}{4} + u^{2} \varepsilon(u)$
&\hfill&
b) $\dfrac{1}{2} + \dfrac{u}{4} + \dfrac{u^{2}}{8} + u^{2} \varepsilon(u)$
\\
c) $-\dfrac{u}{4} + \dfrac{u^{2}}{8} + u^{2} \varepsilon(u)$
&\hfill&
d) $\dfrac{1}{2} - \dfrac{u}{4} + u^{2} \varepsilon(u)$
\end{tabular}


\item %Question 3
Le d{\'e}veloppement limit{\'e} {\`a} l'ordre $2$ de la fonction $f_{0}$ au voisinage de $1$ est alors, $\varepsilon_{0}$ {\'e}tant une fonction \textit{v{\'e}rifiant} $\limite{x}{1}{\varepsilon_{0}(x)} = 0$

\begin{enumerate}
\item %3.a)
$1 - \dfrac{x-1}{2} + \dfrac{5}{12} (x-1)^{2} + (x-1)^{2} \varepsilon_{0}(x)$
\item %3.b)
$\dfrac{1}{2} - \dfrac{x-1}{2} + \dfrac{5}{12}(x-1)^{2} + (x-1)^{2}\varepsilon_{0}(x)$
\item %3.c)
$\dfrac{1}{2} - \dfrac{2x-1}{4} + \dfrac{10x^{2} - 9x+3}{24} + x^{2} \varepsilon_{0}(x)$
\item %3.d)
$\dfrac{1}{2} - \dfrac{x}{2} + \dfrac{5}{12} x^{2} + x^{2} \varepsilon_{0}(x)$
\end{enumerate}

\item %Question 4
Pour tout entier $n$ strictement positif, on a 
\begin{enumerate}
\item %4.a) et b)
$f_{n}(x) = f_{0}(x) \quad \forall x \in \R_{+}^{*}$ \hfill b) $f_{n}(x) = x^{n} f_{0}(x) \quad \forall x \in \R_{+}^{*}$

et le d{\'e}veloppement limit{\'e} {\`a} l'ordre $2$ de la fonction $x^{n}$ au voisinage de $1$ s'{\'e}crit, $\varepsilon$ d{\'e}signant une fonction telle que $\limite{x}{1}{\varepsilon(x)} = 0$

\setcounter{enumii}{2}
\item %4.c)
$1 + nx + \dfrac{n(n-1)}{2} x^{2} + x^{2} \varepsilon(x)$
\item %4.d)
$1 + n(x-1) + \dfrac{n(n-1)}{2} (x-1)^{2} + (x-1)^{2} \varepsilon(x)$
\end{enumerate}


\item %Question 5
Pour $n \inÊ\N$, le d{\'e}veloppement limit{\'e} {\`a} l'ordre $2$ au voisinage de $1$ de la fonction $f_{n}$ est alors, avec $\limite{x}{1}{\varepsilon_{n}(x)} = 0$
\begin{enumerate}
\item %5.a)
$\dfrac{1}{2} - \dfrac{n-1}{2} (x-1) + \dfrac{3n^{2} - 9n + 5}{12}(x-1)^{2} + (x-1)^{2} \varepsilon_{n}(x)$
\item %5.b)
$1 + \dfrac{n-1}{2} (x-1) + \dfrac{3n^{2} - 9n+5}{12} (x-1)^{2} + (x-1)^{2} \varepsilon_{n}(x)$
\item %5.c)
$\dfrac{1}{2} + \dfrac{n-1}{2} (x-1) + \dfrac{3n^{2} + 9n + 5}{12} (x-1)^{2} + (x-1)^{2} \varepsilon_{n}(x)$
\item %5.d)
$\dfrac{1}{2} + \dfrac{n-1}{2} x + \dfrac{3n^{2} - 9n + 5}{12} x^{2} + x^{2} \varepsilon_{n}(x)$
\end{enumerate}

\item %Question 6
Pour que, pour tout $n \in \N$, la fonction $f_{n}$ soit continue sur $\R_{+}^{*}$ il faut poser :

a) $k_{n} = 1$ \quad b) $k_{n} = \dfrac{n}{2}$ \quad c) $k_{n} = \dfrac{1}{2}$ \quad d) $k_{n} = - \dfrac{1}{2}$


\framebox{\begin{minipage}{16 cm}
On suppose dor{\'e}navant que $k_{n}$ prend une valeur rendant $f_{n}$ continue sur $\R_{+}^{*}$, pour $n$ entier naturel fix{\'e}.
\end{minipage}}

\item %Question 7
Pour tout entier $n$, la fonction $f_{n}$
\begin{enumerate}
\item %7.a)
n'est pas d{\'e}rivable en $1$
\item %7.b)
est d{\'e}rivable en $1$ car toute fonction continue en un point $x_{0}$ est d{\'e}rivable en $x_{0}$
\item %7.c)
est d{\'e}rivable en $1$ puisque $f_{n}$ admet un d{\'e}veloppement limit{\'e} d'ordre $1$ en $1$
\item %7.d)
est d{\'e}rivable en $1$ et a pour d{\'e}riv{\'e}e $f'_{n}(1) = \dfrac{n-1}{2}$, car toute fonction admettant un d{\'e}veloppement limit{\'e} d'ordre $n$ en un point $x_{0}$ a une d{\'e}riv{\'e}e d'ordre $n$ en $x_{0}$, $\forall n \in \N^{*}$.
\end{enumerate}


\item %Question 8
L'{\'e}quation de la tangente {\`a} $C_{n}$ au point de coordonn{\'e}es $(1, k_{n})$ s'{\'e}crit, pour tout $n \in \N$, $y = h_{n}(x)$ avec pour tout $x \in \R$

\begin{tabular}{lcl}
a) $h_{n}(x) = - \dfrac{n-1}{2} (x-1) + \dfrac{1}{2}$ &\hfill& b) $h_{n}(x) = \dfrac{n-1}{2} (x-1) + \dfrac{1}{2}$ \\
c) $h_{n}(x) = \dfrac{n-1}{2} x - \dfrac{n}{2} + 1$ &
\hfill & d) $h_{n}(x) = \dfrac{n-1}{2} x  + \dfrac{1}{2}$
\end{tabular}

\item %Question 9
Pour tout $n \in \N$, la fonction $f_{n} - h_{n}$ est au voisinage de $1$ du signe de $Q(n)$ o{\`u} $Q$ est la fonction polyn{\^o}me d{\'e}finie sur $\R$ par 

\begin{tabular}{lcl}
a) $Q(x) = 3x^{2} - 9x + 5$ & \hfill & b) $Q(x) = 3x^{3} + 9x + 5$
\\
c) $Q(x) = -3x^{2} + 9x - 5$ & \hfill & d) $Q(x) = \dfrac{5}{12}$
\end{tabular}

\item %Question 10
La fonction polyn{\^o}me $Q$
\begin{enumerate}
\item %10.a)
n'admet pas de racines r{\'e}elles
\item %10.b)
admet n{\'e}cessairement des racines r{\'e}elles puisqu'elle est {\`a} coefficients r{\'e}els
\item %10.c)
admet 2 racines r{\'e}elles positives $x_{1} = \dfrac{9 - \sqrt{21}}{6}$ et $x_{2} = \dfrac{9 + \sqrt{21}}{6}$
\item %10.d)
admet 2 racines r{\'e}elles n{\'e}gatives $x_{1} = \dfrac{-9 - \sqrt{21}}{6}$ et $x_{2} = \dfrac{-9 + \sqrt{21}}{6}$
\end{enumerate}

\item %Question 11
Au voisinage du point d'abscisse $1$, la courbe $C_{n}$ reste :
\begin{enumerate}
\item %11.a)
pour tout $n \inÊ\N$, au dessus de sa tangente car $Q(n) > 0$ $\forall n \inÊ\N$
\item %11.b)
pour tout $n \inÊ\N$, au dessous de sa tangente car $Q(n) < 0$ $\forall n \inÊ\N$
\item %11.c)
pour tout entier $n {\geq} 2$ au dessus de sa tangente et au dessous pour $n {\leq} 1$
\item %11.d)
pour tout $n \in \N \setminus \set{1, 2}$ au dessus de sa tangente et au-dessous pour $n \in \set{1, 2}$
\end{enumerate}


\item %Question 12
On a pour tout $ x \in \R_{+}^{*} \setminus \set{1}$ :
\begin{enumerate}
\item %12.a) et b)
$f'_{0}(x) = \dfrac{x^{2} - 1 - 2x^{2} \ln{x}}{x (x^{2} - 1)^{2}}$ \hfill b) $f'_{0}(x) = \dfrac{1}{2x^{2}}$ \hfill\ 

et pour tout $n \in \N$
\setcounter{enumii}{2}
\item %12.c)
$f'_{n}(x) = x^{n-2} \left(n \ln{x} + 1\right)$
\item %12.d)
$f'_{n}(x) = \dfrac{x^{n+1} \left(1 + (n-2) \ln{x}\right) - x^{n-1} \left(1 + n \ln{x}\right)}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}}$
\end{enumerate}


\item %Question 13
La fonction $f_{n}$ :
\begin{enumerate}
\item %13.a)
est prolongeable par continuit{\'e} en $0$ par $0$ pour tout $n \in \N$ car $\limite{x}{0^{+}}{x^{n} \ln{x}} = 0$
\item %13.b)
est prolongeable par continuit{\'e} en $0$ uniquement pour $n$ entier strictement positif
\item %13.c)
n'est prolongeable par continuit{\'e} en $0$ pour aucune valeur de l'entier $n$
\item %13.d)
est prolongeable par continuit{\'e} en $0$ uniquement pour $n {\geq} 2$
\end{enumerate}


\item %Question 14
La fonction $t_{n}(x) = \dfrac{f_{n}(x) - f_{n}(0)}{x}$, lorsqu'elle est d{\'e}finie, a pour limiute {\`a} droite en $0$ :
\begin{enumerate}
\item %14.a) et b)
$\limite{x}{0^{+}}{t_{n}(x) = 0} \quad \forall n \inÊ\N$
\hfill
b) $\limite{x}{0^{+}}{t_{1}(x)} = +{\infty}$ \hfill \ 

et la courbe $C_{n}$ admet
\setcounter{enumii}{2}
\item %14.c)
une demi-tangente horizontale en $(0, 0)$ $\forall n \in \N^{*}$
\item %14.d)
une demi-tangente horizontale en $(0, 0)$ pour $n {\geq} 2$ et une demi-tangente verticale au point d'abscisse $0$ pour $n \in \set{0, 1}$
\end{enumerate}


\framebox{\begin{minipage}{16 cm}
On consid{\`e}re les fonctions $\varphi_{0}$, $\varphi_{1}$ et $\varphi_{2}$ d{\'e}finies sur $\R_{+}^{*}$ par :

\centerline{$\begin{array}{l}
\varphi_{0}(x) = 1 - \dfrac{1}{x^{2}} - 2 \ln{x} \\
\varphi_{1}(x) = \dfrac{x^{2} - 1}{x^{2} + 1} - \ln{x} \\
\varphi_{2}(x) = x^{2} - 1 - 2 \ln{x}
\end{array}$}
\end{minipage}}


\item %Question 15
La fonction $\varphi_{0}$
\begin{enumerate}
\item %15.a)
a pour d{\'e}riv{\'e}e la fonction $\varphi'_{0}(x) = -\dfrac{1}{x}$ $\forall x \in \R_{+}^{*}$
\item %15.b)
a pour d{\'e}riv{\'e}e la fonction $\varphi'_{0}(x) = \dfrac{2 \left(x^{2} - 1\right)}{x^{3}}$ $\forall x \in \R_{+}^{*}$
\item %15.c)
atteint son maximum au point $x = 1$
\item %15.d)
atteint son minimum au point $x = 1$
\end{enumerate}

\item %Question 16
La fonction $f_{0}$
\begin{enumerate}
\item %16.a)
est d{\'e}croissante sur $\R_{+}^{*}$ mais n'est pas strictement d{\'e}croissante
\item %16.b)
est strictement d{\'e}croissante sur $\R_{+}^{*}$ car $f'_{0}(x) = \dfrac{x}{\left(x^{2}-1\right)^{2}} \varphi_{0}(x) < 0$ $\forall x \in \R_{+}^{*} \setminus \set{1}$ et $f'_{0}(1) = -\dfrac{1}{2}$
\item %16.c)
est strictement croissante sur $\R_{+}^{*}$

et la courbe $C_{0}$ admet
\item %16.d)
les droites $x = 0$ et $y = 0$ pour asymptotes car $\limite{x}{0}{f_{0}(x)} = 0$ et $\limite{x}{+{\infty}}{f_{0}(x)} = +{\infty}$
\end{enumerate}

\item %Question 17
On a :

\begin{tabular}{lcl}
a) $\varphi'_{1}(x) = \dfrac{\left(x^{2}-1\right)^{2}}{x \left(x^{2} + 1\right)^{2}}$ $\forall x \in \R_{+}^{*}$ 
& \hfill & b) $\limite{x}{+{\infty}}{\varphi_{1}(x)} = -{\infty}$
\\
c) $\limite{x}{+{\infty}}{\varphi_{2}(x)} = +{\infty}$
& \hfill & d) $\varphi_{2}(x) {\leq} 0$ $\forall x \in \R_{+}^{*}$
\end{tabular}

\item %Question 18
La fonction $f_{1}$ prolong{\'e}e {\`a} $\R_{+}^{*}$, si cela est possible,
\begin{enumerate}
\item %18.a)
est d{\'e}croissante sur $\segment{0}{1}$ et croissante sur $\ouvdroite{1}{+{\infty}}$
\item %18.b)
est positive sur $\R_{+}$ car croissante sur $\R_{+}$ et nulle en $0$

et la droite $Oy$ est
\item %18.c)
direction asymptotique de la courbe $C_{2}$
\item %18.d)
asymptote {\`a} la courbe $C_{1}$
\end{enumerate}



\begin{center}\textbf{\huge - PARTIE II -}\end{center}

\framebox{\begin{minipage}{16 cm}
$\R^{3}$ est rapport{\'e} {\`a} la base canonique $B = (e_{1}, e_{2}, e_{3})$ avec $e_{1} = (1, 0, 0)$ ; $e_{2} = (0, 1, 0)$ et $e_{3} = (0, 0, 1)$.
On consid{\`e}re $f$ l'endomorphisme de $\R^{3}$ qui {\`a} tout triplet $(x, y, z) \in \R^{3}$ associe le triplet $\left((b+c)x + (c-a)y + (b-a)z, (c-b)x + (a+c)y + (a-b)z, (b-c)x + (a-c)y + (a+b)z\right)$ o{\`u} $a$, $b$, $c$ sont des r{\'e}els distincts $2$ {\`a} $2$.
\end{minipage}}

\item %Question 19
La matrice $A$ de $f$ par rapport {\`a} la base $B$ s'{\'e}crit :
\begin{enumerate}
\item %19.a) et b)
$A = \matrice{(b+c) & (c-b) & (b-c) \\ (c-a) & (a+c) & (a-c) \\ (b-a) & (a-b) & (a+b)}$
\hfill b) $A = \matrice{(b+c) & (c-a) & (b-a) \\ (c-b) & (a+c) & (a-b) \\ (b-c) & (a-c) & (a+b)}$

\setcounter{enumii}{2}
\item %19.c)
$A = \matrice{(2b+2c-2a) & 0 & 0 \\ 0 & (2a+2c-2b) & 0 \\ 0 & 0 & (2a+2b-2c)}$
\item %19.d)
$A = \matrice{(b-a) & (c-a) & (b+c) \\ (a-b) & (a+c) & (c-b) \\ (a+b) & (a-c) & (b-c)}$
\end{enumerate}

\item %Question 20
Pour tout $\lambda$ r{\'e}el la matrice $A - \lambda I$ a pour d{\'e}terminant $\Delta$
\begin{enumerate}
\item %20.a)
$\Delta = (2c-\lambda) \determinant{1 & (c-b) & (b-c) \\ 0 & (a+b-\lambda) & (a-b) \\ 0 & (a-b) & (a+b-\lambda)}$
\item %20.b)
$\Delta = (2c-\lambda) \determinant{0 & (a+b-\lambda) & (a-b) \\ 1 & (a+c-\lambda) & (a-c) \\ 0 & (a-b) & (a+b-\lambda)}$
\item %20.c)
$\Delta = (2a-\lambda) (2c-\lambda) \determinant{1 & 0 & 0 \\ (c-b) & (2b-\lambda) & (a-b) \\ 0 & 0 & 1}$
\item %20.d)
$\Delta = \lambda^{3} - \lambda^{2} (2a+2b+2c) + \lambda (4ab+4ac+4bc) - 8abc$
\end{enumerate}


\item %Question 21
La matrice $A$
\begin{enumerate}
\item %21.a)
est {\'e}gale {\`a} sa transpos{\'e}e pour tout $(a, b, c) \in \R^{3}$
\item %21.b)
est inversible pour tout $(a, b, c) \in \R^{3}$
\item %21.c)
n'est pas inversible car son d{\'e}terminant est nul $\forall (a, b, c) \in \R^{3}$
\item %21.d)
est inversible si et seulement si $a$ et $b$ sont non nuls
\end{enumerate}


\item %Question 22
Le polyn{\^o}me $P(\lambda) = \det{(A-\lambda I)}$, pour $(a, b, c) \in \R^{3}$
\begin{enumerate}
\item %22.a) et b)
est de degr{\'e} $2$
\hfill b) admet $0$ pour racine car $\det{A} = 0$

\setcounter{enumii}{2}
\item %22.c) et d)
est {\'e}gal {\`a} $(2a-\lambda)(2b-\lambda)(2c-\lambda)$
\hfill d) est {\'e}gal {\`a} $(\lambda-2a)(\lambda-2b)(\lambda-2c)$
\end{enumerate}


\begin{center}\textbf{{\huge - PARTIE III -}}\end{center}

\framebox{\begin{minipage}{16 cm}
Soit $(x_{n})_{n\in\N}$ une suite born{\'e}e de nombres r{\'e}els.

On d{\'e}finit la suite $(y_{n})_{n\in\N}$ par 

$\forall n \in \N, y_{n} = \dfrac{1}{n+1} \somme{k=0}{n}{x_{k}}$

On d{\'e}signe par $\binf{n{\geq}p}{x_{n}}$ (resp. $\bsup{n{\geq}p}{x_{n}}$) la borne inf{\'e}rieure (resp. sup{\'e}rieure) de l'ensemble $\set{x_{n} \tq n {\geq} p}$.
\end{minipage}}


\item %Question 23
La suite de terme g{\'e}n{\'e}ral $\binf{n{\geq}p}{x_{n}}$, $n \in \N$, est
\begin{enumerate}
\item %23.a)
convergente car d{\'e}croissante et minor{\'e}e
\item %23.b)
croissante et major{\'e}e mais divergente car elle n'est pas de signe constant
\item %23.c)
croissante, minor{\'e}e et convergente
\item %23.d)
convergente car toute suite born{\'e}e converge
\end{enumerate}


\item %Question 24
La suite $\left(\binf{p{\geq}n}{y_{p}}\right)_{n\in\N}$ est
\begin{enumerate}
\item %24.a)
d{\'e}croissante et minor{\'e}e car elle a les m{\^e}mes propri{\'e}t{\'e}s que la suite $\left(\binf{p{\geq}n}{x_{p}}\right)_{n\in\N}$
\item %24.b)
croissante et major{\'e}e donc convergente
\item %24.c)
divergente car la s{\'e}rie de terme g{\'e}n{\'e}ral $\dfrac{1}{n}$ diverge
\item %24.d)
minor{\'e}e et convergente
\end{enumerate}

\item %Question 25
Les limites des suites $\left(\binf{p{\geq}n}{x_{p}}\right)_{n\in\N}$ et $\left(\binf{p{\geq}n}{y_{p}}\right)_{n\in\N}$ v{\'e}rifient, si elles existent
\begin{enumerate}
\item %25.a)
$\limite{n}{+{\infty}}{\left(\binf{p{\geq}n}{x_{p}}\right)} {\leq}Ê\limite{n}{+{\infty}}{\left(\binf{p{\geq}n}{y_{p}}\right)}$
\item %25.b)
$\limite{n}{+{\infty}}{\left(\binf{p{\geq}n}{x_{p}}\right)} {\geq}Ê\limite{n}{+{\infty}}{\left(\binf{p{\geq}n}{y_{p}}\right)}$

et celles des suites $\left(\bsup{p{\geq}n}{x_{p}}\right)_{n\in\N}$ et $\left(\bsup{p{\geq}n}{y_{p}}\right)_{n\in\N}$
\item %25.c)
$\limite{n}{+{\infty}}{\left(\bsup{p{\geq}n}{y_{p}}\right)} {\geq}Ê\limite{n}{+{\infty}}{\left(\bsup{p{\geq}n}{x_{p}}\right)}$
\item %25.b)
$\limite{n}{+{\infty}}{\left(\binf{p{\geq}n}{-y_{p}}\right)} {\geq}Ê- \limite{n}{+{\infty}}{\left(\bsup{p{\geq}n}{y_{p}}\right)} {\geq}Ê- \limite{n}{+{\infty}}{\left(\bsup{p{\geq}n}{x_{p}}\right)}$
\end{enumerate}

\item %Question 26
On consid{\`e}re dans cette question le cas particulier o{\`u} la suite $(x_{n})_{n\in\N}$ est d{\'e}finie par :

$\forall n \in \N \quad x_{n} = (-1)^{n}$. On a alors
\begin{enumerate}
\item %26.a)
$y_{n} = 0$ si $n$ est impair et $y_{n} = \dfrac{1}{n+1}$ si $n$ est pair
\item %26.b)
$y_{n} = -\dfrac{1}{n+1}$ si $n$ est impair et $y_{n} = 0$ si $n$ est pair
\item %26.c)
$\limite{n}{+{\infty}}{\left(\binf{p{\geq}n}{x_{p}}\right)} = 0 = \limite{n}{+{\infty}}{\left(\bsup{p{\geq}n}{x_{p}}\right)}$
\item %26.d)
$\limite{n}{+{\infty}}{\left(\binf{p{\geq}n}{x_{p}}\right)} < \limite{n}{+{\infty}}{\left(\binf{p{\geq}n}{y_{p}}\right)} = \limite{n}{+{\infty}}{\left(\bsup{p{\geq}n}{y_{p}}\right)} < \limite{n}{+{\infty}}{\left(\bsup{p{\geq}n}{x_{p}}\right)}$
\end{enumerate}

\item %Question 27
On peut avoir, pour certaines suites born{\'e}es $(x_{n})_{n\in\N}$
\begin{enumerate}
\item %27.a)
$(x_{n})_{n\in\N}$ convergente et $\left(\binf{p{\geq}n}{x_{p}}\right)_{n\in\N}$ divergente
\item %27.b)
$(x_{n})_{n\in\N}$ divergente et $\left(\binf{p{\geq}n}{x_{p}}\right)_{n\in\N}$ convergente

et pour tout suite born{\'e}e $(x_{n})_{n\in\N}$ on a l'{\'e}quivalence
\item %27.c)
$\left [(x_{n})_{n\in\N} \mbox{ convergente}\right ] \Leftrightarrow \left [\left(\binf{p{\geq}n}{x_{p}}\right)_{n\in\N} \mbox{ et } \left(\bsup{p{\geq}n}{x_{p}}\right)_{n\in\N} \mbox{ convergentes}\right ]$
\item %27.d)
$\left [(y_{n})_{n\in\N} \mbox{ convergente}\right ] \Leftrightarrow \left [\left(\binf{p{\geq}n}{x_{p}}\right)_{n\in\N} \mbox{ et } \left(\bsup{p{\geq}n}{x_{p}}\right)_{n\in\N} \mbox{ convergentes et ont m{\^e}me limite}\right ]$
\end{enumerate}

\framebox{\begin{minipage}{16 cm}
Soit $A$ un nombre r{\'e}el non nul, $\alpha$ un {\'e}l{\'e}ment de l'intervalle $\ouvert{1}{+{\infty}}$ et $(u_{n})_{n\in\N}$ une suite de nombres r{\'e}els strictement positifs convergeant vers $0$ et v{\'e}rifiant $\limite{n}{+{\infty}}{\theta_{n}} = A$ o{\`u} 

$\theta_{n} = u_{n}^{1-\alpha} - u_{n+1} u_{n}^{-\alpha}$ $\forall n \in \N$
\end{minipage}}

\item %Question 28
On a n{\'e}cessairement
\begin{enumerate}
\item %28.a)
$A < 0$
\item %28.b)
$A > 0$

et la suite $(x_{n})_{n\in\N}$ d{\'e}finie par $x_{n} = u_{n+1}^{1-\alpha} - u_{n}^{1-\alpha}$ $\forall n \in \N$
\item %28.c)
est convergente et a pour limite $(1 - \alpha) A$
\item %28.d)
est divergente car $\forall n \in \N \quad x_{n} = \left [\left(1 - \theta_{n} u_{n}^{\alpha-1}\right)^{1-\alpha} - 1\right ] u_{n}^{1-\alpha}$ et $\limite{n}{+{\infty}}{u_{n}^{1-\alpha}} = +{\infty}$
\end{enumerate}

\item %Question 29
Soit $(x_{n})_{n\in\N}$ et $(y_{n})_{n\in\N}$ les suites d{\'e}finies par :

$\forall n \in \N, x_{n} = u_{n+1}^{1-\alpha} - u_{n}^{1-\alpha}$ et $y_{n} = \dfrac{1}{n+1} \somme{k=0}{n}{x_{k}}$.
La suite $(y_{n})_{n\in\N}$
\begin{enumerate}
\item %29.a)
a pour limite $(\alpha - 1)A$ car $(x_{n})_{n\in\N}$ converge vers $(\alpha-1)A$
\item %29.b)
a pour limite $(1-\alpha) A$

et la suite $(u_{n})_{n\in\N}$ est {\'e}quivalente {\`a} la suite
\item %29.c)
$n^{\frac{1}{1-\alpha}}$
\item %29.d)
$\left [(1-\alpha)A\right ]^{\frac{1}{1-\alpha}} n^{\frac{1}{1-\alpha}}$
\end{enumerate}


\begin{center}\textbf{{\huge - PARTIE IV -}}\end{center}

\framebox{\begin{minipage}{16 cm}
On consid{\`e}re la fonction r{\'e}elle $g$ d{\'e}finie sur l'intervalle $\segment{0}{\dfrac{\pi}{2}}$ par

\centerline{$g(t) = \begin{array}{|lcl}
\dfrac{\sin{t}}{t} & \mbox{ si } & t {\neq} 0\\
\ell & \mbox{ si } & t = 0 \mbox{ o{\`u} } \ell \mbox{ est un r{\'e}el fix{\'e}.} \end{array}$}
\end{minipage}}

\item %Question 30
La fonction $g$ est
\begin{enumerate}
\item %30.a)
d{\'e}rivable sur $\segment{0}{\dfrac{\pi}{2}}$ pour tout $\ell$ r{\'e}el
\item %30.b)
continue mais non d{\'e}rivable sur $\segment{0}{\dfrac{\pi}{2}}$ dans le cas o{\`u} $\ell = 1$
\item %30.c)
pour $\ell = 1$, de classe $\mathscr{C}^{1}$ sur $\segment{0}{\dfrac{\pi}{2}}$ et a pour d{\'e}riv{\'e}e $g'(t) = \begin{array}{|l}
\dfrac{\cos{t}}{t^{2}} \left(t - \tan{t}\right) \mbox{ si } t {\neq}Ê0 \\ 0 \mbox{ si } t = 0 \end{array}$
\item %30.d)
de classe $\mathscr{C}^{1}$ sur $\ouvgauche{0}{\dfrac{\pi}{2}}$ uniquement, pour tout $\ell \in \R$.
\end{enumerate}

\item %Question 31
La fonction $g$ est, pour tout $\ell$ r{\'e}el
\begin{enumerate}
\item %31.a)
croissante sur $\segment{0}{\dfrac{\pi}{2}}$
\item %31.b)
d{\'e}croissante sur $\segment{0}{\dfrac{\pi}{2}}$ car $g'(t) {\leq} 0$ sur $\segment{0}{\dfrac{\pi}{2}}$
\item %31.c)
d{\'e}croissante sur $\ouvgauche{0}{\dfrac{\pi}{2}}$ mais n'est pas d{\'e}croissante sur $\segment{0}{\dfrac{\pi}{2}}$ pour $\ell \in \R \setminus \set{1}$ car $g'$ n'est pas d{\'e}finie en $0$
\item %31.d)
d{\'e}croissante sur $\segment{0}{\dfrac{\pi}{2}}$ uniquement pour $\ell {\geq} 1$.
\end{enumerate}

\item %Question 32
On a alors, pour tout $\ell$ r{\'e}el

\begin{tabular}{lcl}
a) $1 {\leq} g(t) {\leq} g\left(\dfrac{\pi}{2}\right)$ $\forall t \in \ouvgauche{0}{\dfrac{\pi}{2}}$ & \hfill & b) $\dfrac{2}{\pi} {\leq} g(t) {\leq}Ê\ell$ $\forall t \in \ouvgauche{0}{\dfrac{\pi}{2}}$
\\
c) $\dfrac{2}{\pi} {\leq} g(t) {\leq} 1$ $\forall t \in \ouvgauche{0}{\dfrac{\pi}{2}}$ & \hfill & d) $\dfrac{2}{\pi} {\leq} g(t) {\leq}Ê1$ $\forall t \in \segment{0}{\dfrac{\pi}{2}}$
\end{tabular}

\end{enumerate}

\end{document}
