\documentclass[11pt]{article}
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\begin{document}

%ICNA 2004 {\'e}preuve optionnelle

%Num{\'e}rotation
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\arabic{enumi} - }}
\renewcommand{\labelenumii}{\alph{enumii}) }


%Macros
\renewcommand{\leq}{\,\leqslant\,}
\renewcommand{\geq}{\,\geqslant\,}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\set}[1]{\left \{ #1 \right \}}
\newcommand{\ouvert}[2]{\left ] #1, #2 \right [}
\newcommand{\segment}[2]{\left [ #1, #2 \right ]}
\newcommand{\ouvgauche}[2]{\left ] #1, #2 \right ]}
\newcommand{\abs}[1]{\left | #1 \right |}
\newcommand{\D}{\mathop{\rm{} d}}
\newcommand{\integ}[4]{\displaystyle{\int_{#1}^{#2}#3  \ \D #4}}
\newcommand{\integrale}[3]{\displaystyle{\int_{#1}^{#2}#3}}
\newcommand{\crochet}[3]{\left [ #3 \right ]_{#1}^{#2}}
\newcommand{\limite}[3]{\lim_{#1 \to #2} \limits #3}
\newcommand{\somme}[3]{\sum_{#1}^{#2}\limits{#3}}
\newcommand{\matrice}[1]{\begin{pmatrix} #1 \end{pmatrix}}
\newcommand{\binomial}[2]{C_{#1}^{#2}}


La calculatrice est autoris{\'e}e.

\textbf{{\Large Questions li{\'e}es : 1 {\`a} 7 ; 8 {\`a} 27 ; 28 {\`a} 32 ; 33 {\`a} 40}}

\begin{center}\textbf{{\Large PARTIE I}}\end{center}

\framebox{\begin{minipage}{16 cm}
$n$ {\'e}tant un entier naturel et $a$ un nombre r{\'e}el non nul on pose :

\centerline{$u_{n} = \integ{0}{\pi}{e^{ax} \cos{nx}}{x}$ \quad et \quad $v_{n} = \integ{0}{\pi}{e^{ax} \sin{nx}}{x}$}
\end{minipage}}

\begin{enumerate}
\item %Question 1
$u_{n}$ v{\'e}rifie pour tout $n \in \N$ :
\begin{enumerate}
\item %1.a)
\begin{tabular}{|l}
$u_{n} = \dfrac{1}{an} \crochet{0}{\pi}{e^{ax} \sin{nx}}$ pour $n > 0$ \\
et\\
$u_{0} = \dfrac{1}{a} \left(e^{a\pi}-1\right)$
\end{tabular}
\item %1.b)
$u_{n} = \dfrac{1}{a} \crochet{0}{\pi}{e^{ax} \left(\cos{nx} - \dfrac{n}{a} \sin{ax}\right)} + \dfrac{n^{2}}{a^{2}} u_{n}$
\item %1.c)
$u_{n} = \dfrac{1}{n^{2}+a^{2}} \crochet{0}{\pi}{e^{ax} \left(a \cos{nx} + n \sin{nx}\right)}$
\item %1.d)
$u_{n} = \dfrac{1}{n^{2}-a^{2}} \left((-1)^{n} e^{a\pi} a - a\right)$
\end{enumerate}

\item %Question 2
$v_{n}$ satisfait pour tout $n \in \N^{*}$ :
\begin{enumerate}
\item %2.a)
$v_{n} = \dfrac{1}{an} \crochet{0}{\pi}{-e^{ax} \cos{nx}}$
\item %2.b)
$v_{n} = \dfrac{1}{a} \crochet{0}{\pi}{e^{ax} \left(-\dfrac{n}{a} \cos{nx} + \sin{nx}\right)} - \dfrac{n^{2}}{a^{2}} v_{n}$
\item %2.c)
$v_{n} = \dfrac{1}{n^{2}-a^{2}} \crochet{0}{\pi}{e^{ax} \left(n \cos{nx} - a \sin{nx}\right)}$
\item %2.d)
$v_{n} = \dfrac{1}{n^{2} + a^{2}} \left((-1)^{n+1} n e^{a\pi} + n\right)$
\end{enumerate}

\item %Question 3
La valeur absolue de $u_{n}$ est pour tout $n \in \N$ major{\'e}ee par :
\begin{enumerate}
\item %3.a) et b)
$\dfrac{\abs{a}}{n^{2} + a^{2}}$ \hfill b) $\dfrac{\abs{a} \left(1 + e^{a\pi}\right)}{\abs{n^{2} - a^{2}}}$ \hfill \ 

et celle de $v_{n}$ est major{\'e}e par :
\setcounter{enumii}{2}
\item %3.c) et d)
$\dfrac{n \left(1 - e^{a\pi}\right)}{a^{2} + n^{2}}$ \hfill d) $\dfrac{1 + e^{a\pi}}{an}$ \hfill \,
\end{enumerate}


\item %Question 4
La suite $(v_{2k})$, $k \in \N^{*}$, est {\'e}quivalente {\`a} la suite de terme g{\'e}n{\'e}ral :

a) $\dfrac{1}{2k} \left(1 - e^{a\pi}\right)$ \hfill b) $\dfrac{1 + e^{a\pi}}{k}$ \hfill c) $\dfrac{1}{2k}$ \hfill d) $\dfrac{1}{k}$ \hfill


\item %Question 5
\begin{enumerate}
\item %5.a)
Les suites $(u_{n})$ et $(v_{n})$ ne peuvent {\^e}tre convergentes car elles ne sont pas de signe constant.
\item %5.b)
Les suites $(u_{n})$ et $(v_{n})$ convergent car toute suite major{\'e}e est convergente.
\item %5.c)
La suite $(u_{n})$ converge vers $0$
\item %5.d)
La suite $(u_{n})$ diverge car la suite $\left(\cos{nx}\right)$ n'a pas de limite
\end{enumerate}

\medskip
\framebox{\begin{minipage}{16 cm}
On note $\sum{u_{n}}$ (respectivement $\sum{v_{n}}$) la s{\'e}rie num{\'e}rique de terme g{\'e}n{\'e}ral $u_{n}$ (respectivement $v_{n}$)
\end{minipage}}

\item %Question 6
\begin{enumerate}
\item %6.a)
La s{\'e}rie $\sum{v_{2k}}$ converge car $\limite{k}{+{\infty}}{v_{2k}} = 0$
\item %6.b)
La s{\'e}rie $\sum{v_{2k}}$ est de m{\^e}me nature que la s{\'e}rie convergente $\sum{\dfrac{\left(1 - e^{a\pi}\right)}{2k}}$
\item %6.c)
La s{\'e}rie $\sum{v_{n}}$ diverge, comme somme d'une s{\'e}rie divergente et d'une s{\'e}rie convergente.
\item %6.d)
La s{\'e}rie $\sum{v_{n}}$ converge car $v_{n}$ est {\'e}quivalent {\`a} $\dfrac{(-1)^{n+1} e^{a\pi}}{n}$, terme g{\'e}n{\'e}ral d'une s{\'e}rie convergente.
\end{enumerate}


\item %Question 7
\begin{enumerate}
\item %7.a)
La s{\'e}rie $\sum{u_{n}}$ est convergente car $u_{n}$ est {\'e}quivalent {\`a} $\dfrac{1}{n^{2}}$
\item %7.b)
La s{\'e}rie $\sum{v_{n}}$ est altern{\'e}e donc ne peut {\^e}tre absolument convergente
%erreur d'{\'e}nonc{\'e} probable ci-dessus u_{n}
\item %7.c)
La s{\'e}rie $\sum{u_{n}}$ est absolument convergente car $\abs{u_{n}}$ est major{\'e} par le terme g{\'e}n{\'e}ral d'une s{\'e}rie convergente de la forme $\dfrac{A}{n^{2}}$
\item %7.d)
La s{\'e}rie $\sum{u_{n}}$ est divergente.
\end{enumerate}


\begin{center}\textbf{{\Large PARTIE II}}\end{center}

\framebox{\begin{minipage}{16 cm}
Soit $f$ la fonction qui {\`a} $x$ associe $\dfrac{1}{1 + u \cos{x}}$, o{\`u} $u$ est un nombre r{\'e}el fix{\'e}.
\end{minipage}}

\item %Question 8
La fonction $f$ est continue
\begin{enumerate}
\item %8.a)
sur $\R$ pour tout $u \in \ouvert{-1}{1}$
\item %8.b)
sur $\segment{0}{\pi}$ pour tout $u \in \segment{-1}{1}$
\item %8.c)
sur $\segment{0}{\pi}$ pour tout $u \in \R$
\item %8.d)
seulement sur $\ouvert{0}{\pi}$, pour tout $u \in \ouvert{-1}{1}$
\end{enumerate}


\item %Question 9
Pour $u = -1$, la fonction $f$ est {\'e}quivalente au voisinage de $0$ {\`a} la fonction $f_{1}$
\begin{enumerate}
\item %9.a) et b)
$f_{1}(x) = \dfrac{1}{x^{2}}$ \hfill b) $f_{1}(x) = \dfrac{2}{x}$ \hfill \ 

et pour $u = 1$, la fonction $f$ est {\'e}quivalente au voisinage de $\pi$ {\`a} la fonction $f_{2}$
\setcounter{enumii}{2}
\item %9.c) et d)
$f_{2}(x) = \dfrac{2}{(x-\pi)^{2}}$ \hfill d) $f_{2}(x) = \dfrac{2}{\pi-x}$ \hfill \,
\end{enumerate}

\item %Question 10
L'int{\'e}grale $\integ{0}{\pi}{f(x)}{x}$ est :
\begin{enumerate}
\item %10.a)
impropre pour tout $u \in \segment{-1}{1}$
\item %10.b)
non impropre, $\forall u \in \segment{-1}{1}$
\item %10.c)
impropre, uniquement pour $u = -1$
\item %10.d)
impropre pour $u \in \segment{-1}{1}$ tel que $\abs{u} = 1$
\end{enumerate}


\item %Question 11
La fonction $(x-\pi)^{\alpha}$, avec $\alpha$ r{\'e}el,
\begin{enumerate}
\item %11.a)
est int{\'e}grable sur $\ouvert{0}{\pi}$ pour $\alpha > 1$
\item %11.b)
n'est pas int{\'e}grable sur $\ouvert{0}{\pi}$ pour $\alpha > 1$

\medskip
et l'int{\'e}grale $\integ{0}{\pi}{f(x)}{x}$, lorsqu'elle est impropre est
\item %11.c)
convergente car les deux int{\'e}grales $\integ{0}{b}{f(x)}{x}$ et $\integ{b}{\pi}{f(x)}{x}$ sont divergentes, 

$\forall b \in \ouvert{0}{\pi}$
\item %11.d)
divergente
\end{enumerate}

\framebox{\begin{minipage}{16 cm}
On consid{\`e}re la fonction $g$ qui {\`a} $u$ r{\'e}el associe $g(u) = \integ{0}{\pi}{f(x)}{x}$, lorsque cette int{\'e}grale est convergente.
\end{minipage}}

\item %Question 12
La fonction $g$ est d{\'e}finie sur :

a) $\ouvert{-1}{1}$ \hfill b) $\segment{-1}{1}$ \hfill c) $\segment{-1}{1} \setminus \set{0}$ \hfill d) $\ouvgauche{-1}{1}$ \hfill \ 


\item %Question 13
Le changement de variable d{\'e}fini par $t = \tan{\left(x/2\right)}$ donne
\begin{enumerate}
\item %13.a)
$g(u) = \integrale{0}{+{\infty}}{\dfrac{2 \D t}{t^{2} + 2 tu + 1}}$
\item %13.b)
$g(u) = \integrale{0}{\pi}{\dfrac{\D t}{(1-u) + (1+u)t^{2}}}$

et la fonction $g$ s'{\'e}crit
\item %13.c)
$g(u) = \dfrac{\pi}{\sqrt{1-u^{2}}}$ pour tout $u \in \ouvert{-1}{1}$
\item %13.d)
$g(u) = \begin{array}{|lcl}
\dfrac{\pi \abs{u}}{u \sqrt{1-u^{2}}} & \mbox{ si } & 0 < \abs{u} < 1\\
\mbox{et}\\
\pi & \mbox{ si } & u = 0 \end{array}$
\end{enumerate}

\framebox{\begin{minipage}{16 cm}
Soit $h$ la fonction telle que $h(x) = \dfrac{1}{\lambda^{2} - 2 \lambda \cos{x} + 1}$ o{\`u} $\lambda$ est un nombre r{\'e}el
\end{minipage}}

\item %Question 14
Le trin{\^o}me du second degr{\'e} $X^{2} - 2 X \cos{x} + 1$
\begin{enumerate}
\item %14.a)
est strictement positif pour $x \in \segment{0}{\pi}$, $\forall X \in \R$
\item %14.b)
est strictement positif sur $\R$, pour $x \in \ouvert{0}{\pi}$ uniquement
\item %14.c)
admet une racine double $1$ pour $x = 0$
\item %14.d)
est strictement n{\'e}gatif sur $\R$ pour $x \in \segment{0}{\pi}$
\end{enumerate}


\item %Question 15
La fonction $h$ est 
\begin{enumerate}
\item %15.a)
continue sur $\segment{0}{\pi}$ pour tout $\lambda$ r{\'e}el
\item %15.b)
ind{\'e}finiment d{\'e}rivable sur $\segment{0}{\pi}$ pour tout $\lambda$ r{\'e}el tel que $\abs{\lambda} < 1$

et la fonction $x \mapsto h(x) \cos{nx}$, $ n\in \N$, est int{\'e}grable
\item %15.c)
sur $\segment{0}{\pi}$ pour tout $\lambda$ r{\'e}el
\item %15.d)
sur $\segment{0}{\pi}$ pour tout $\lambda$ r{\'e}el tel que $\abs{\lambda} < 1$.
\end{enumerate}



\framebox{\begin{minipage}{16 cm}
On consid{\`e}re la suite $(I_{n})_{n\in\N}$ de terme g{\'e}n{\'e}ral $I_{n} = \integ{0}{\pi}{h(x) \cos{nx}}{x}$, lorsque cette int{\'e}grale existe.
\end{minipage}}


\item %Question 16
$I_{0}$ est :
\begin{enumerate}
\item %16.a) et b)
strictement positif \hfill b) strictement n{\'e}gatif \hfill \ 

et on a pour tout $n \in \N^{*}$
\setcounter{enumii}{2}
\item %16.c) et d)
$I_{0} {\leq} I_{n} {\leq}Ê-I_{0}$ \hfill d) $-I_{0} < I_{n} < I_{0}$ \hfill \,
\end{enumerate}


\item %Question 17
$I_{0}$ peut s'exprimer sous la forme :

\begin{tabular}{lcl}
a) $I_{0} = g\left(-\dfrac{2\lambda}{1+\lambda^{2}}\right) \dfrac{1}{1+\lambda^{2}}$ & \hfill & b) $I_{0} = g\left(\dfrac{2\lambda}{1 + \lambda^{2}}\right) \dfrac{1}{1+\lambda^{2}}$ \\
c) $I_{0} = \dfrac{\pi}{1 - \lambda^{2}}$ & \hfill & d) $I_{0} = \dfrac{\pi}{\lambda^{2} - 1}$
\end{tabular}


\item %Question 18
Les racines du polyn{\^o}mes $X^{2} - 2 X \cos{x} + 1$ sont, pour tout $x$ r{\'e}el :
\begin{enumerate}
\item %18.a) et b)
$e^{ix}$ et $e^{-ix}$ \hfill b) r{\'e}elles car le polyn{\^o}me est {\`a} coefficients r{\'e}els

et la d{\'e}composition en {\'e}l{\'e}ments simples de la fraction rationnelle $\dfrac{1 - X^{2}}{X^{2} - 2 X \cos{x} + 1}$ s'{\'e}crit :

\setcounter{enumii}{2}
\item %18.c) et d)
$\dfrac{1}{1 - X e^{ix}} + \dfrac{1}{1 - X e^{-ix}}$ \hfill d) $ - 1 + \dfrac{1}{1 - X e^{ix}} + \dfrac{1}{1 + X e^{ix}}$ \hfill \
\end{enumerate}


\item %Question 19
 La fraction rationnelle $\dfrac{1}{1 - X e^{ix}}$ peut se mettre sous la forme :
\begin{enumerate}
\item %19.a)
$\somme{p=0}{n-1}{X^{p} e^{ipx}} + \dfrac{X^{n} e^{inx}}{1 + X e^{ix}}$
\item %19.b)
$\somme{p=0}{n}{X^{p} e^{ipx}}$

et la fraction rationnelle $\dfrac{1 - X^{2}}{X^{2} - 2 X \cos{x} + 1}$ sous la forme :
\item %19.c)
$\somme{p=0}{n}{2 X^{p} \cos{px}}$
\item %19.d)
$2 \somme{p=1}{n-1}{X^{p} \cos{px}} + X^{n} \dfrac{2 \cos{nx} - 2 X \cos{(n-1)x}}{X^{2} - 2 X \cos{x} + 1}$
\end{enumerate}


\item %Question 20
La fonction $k$ de la variable r{\'e}elle $\lambda$, d{\'e}finie par $k(\lambda) = \dfrac{1 - \lambda^{2}}{\lambda^{2} - 2 \lambda \cos{x} + 1}$ peut s'{\'e}crire sous la forme :
\begin{enumerate}
\item %20.a)
$k(\lambda) = 2 \somme{p=0}{n}{\lambda^{p} \integ{0}{\pi}{\cos{px}}{x}}$
\item %20.b)
$k(\lambda) = 2 \somme{p=1}{n-1}{\lambda^{p} \integ{0}{\pi}{\cos{px}}{x}} + 2 \lambda^{n} \left(I_{n} - \lambda I_{n-1}\right)$

et la suite $(I_{n})_{n\in\N}$ v{\'e}rifie la relation de r{\'e}currence, valable $\forall n \in \N^{*}$ :
\item %20.c)
$\lambda^{n} \left(I_{n} - \lambda I_{n-1}\right) = \dfrac{\pi}{2}$
\item %20.d)
$I_{n} = \lambda I_{n-1}$
\end{enumerate}


\item %Question 21
Le terme g{\'e}n{\'e}ral $I_{n}$ de cette suite s'{\'e}crit, pour tout $n \in \N$ :
\begin{enumerate}
\item %21.a)
$I_{n} = \dfrac{\lambda^{n} \pi}{\lambda^{2} - 1}$
\item %21.b)
\begin{tabular}{|l}
$I_{2q} = \dfrac{\lambda^{2q} \pi}{1 - \lambda^{2}} + \dfrac{\pi}{2} \left \{\somme{p=1}{q-1}{\left(\lambda^{2p} + \dfrac{1}{\lambda^{2p}}\right)} + 1 + \dfrac{1}{\lambda^{2q}}\right \}$ \\
$I_{2q+1} = \dfrac{\lambda^{2q+1} \pi}{1 - \lambda^{2}} + \dfrac{\pi}{2} \left \{\somme{p=1}{q-1}{\left(\lambda^{2p+1} + \dfrac{1}{\lambda^{2p+1}}\right)} + 1 + \dfrac{1}{\lambda^{2q+1}}\right \}$
\end{tabular}

et la suite $(I_{n})_{n\in\N}$ a pour limite $\ell$
\item %21.c) et d)
$\ell = 0$ \hfill d) $\ell = \dfrac{\pi}{2}$ \hfill \,
\end{enumerate}


\item %Question 22
La fonction $h$, d{\'e}finie par $h(x) = \dfrac{1}{\lambda^{2} - 2 \lambda \cos{x} + 1}$
\begin{enumerate}
\item %22.a)
est paire et $\pi$-p{\'e}riodique pour tout r{\'e}el $\lambda$ tel que $\abs{\lambda} < 1$
\item %22.b)
est $2\pi$-p{\'e}riodique et impaire pour tout r{\'e}el $\lambda$
\item %22.c)
est, pour tout $\lambda$ r{\'e}el $2\pi$-p{\'e}riodique mais n'est ni paire ni impaire
\item %22.d)
n'est p{\'e}riodique pour aucune valeur du r{\'e}el $\lambda$
\end{enumerate}



\item %Question 23
La fonction $h$
\begin{enumerate}
\item %23.a)
n'est d{\'e}rivable sur $\R$ pour aucune valeur du r{\'e}el $\lambda$
\item %23.b)
est ind{\'e}finiment d{\'e}rivable sur $\R$ pour tout r{\'e}el $\lambda$

et sa d{\'e}riv{\'e}e $h'$, si elle existe, s'{\'e}crit :
\item %23.c)
$h'(x) = - \dfrac{2\lambda \sin{x}}{\left(1 - 2 \lambda \cos{x} + \lambda^{2}\right)^{2}}$
\item %23.d)
$h'(x) = \dfrac{2 \left(\cos{x} - \lambda\right)}{\left(\lambda^{2} - 2\lambda \cos{x} + 1\right)^{2}}$
\end{enumerate}



\item %Question 24
Pour qu'une fonction soit d{\'e}veloppable en s{\'e}rie de Fourier
\begin{enumerate}
\item %24.a)
il suffit qu'elle soit continue
\item %24.b)
il suffit qu'elle soit p{\'e}riodique
\item %24.c)
il est n{\'e}cessaire qu'elle soit continue
\item %24.d)
il est n{\'e}cessaire qu'elle soit d{\'e}rivable
\end{enumerate}


\item %Question 25
La fonction $h$, pour $\lambda$ r{\'e}el tel que $\abs{\lambda} < 1$
\begin{enumerate}
\item %25.a)
est d{\'e}veloppable en s{\'e}rie de Fourier car elle est $\pi$-p{\'e}riodique et ind{\'e}finiment d{\'e}rivable
\item %25.b)
n'est pas d{\'e}veloppable en s{\'e}rie de Fourier

et son d{\'e}veloppement en s{\'e}rie de Fourier, s'il existe, converge vers
\item %25.c)
\begin{tabular}{|ccl}
$h(x)$ & en tout point & $x {\neq} k\pi$, $k \in \Z$\\
$0$ & pour & $x = k\pi$, $k \in \Z$
\end{tabular}

\item %25.d)
la demi-somme des limites {\`a} droite et {\`a} gauche de $h$ en tout point $x$ de $\R$
\end{enumerate}


\item %Question 26
Les coefficients de Fourier trigonom{\'e}triques $a_{n}$ et $b_{n}$ de $h$ sont donn{\'e}s, pour tout $n \in \N$ et tout $\lambda$ r{\'e}el tel que $\abs{\lambda} < 1$, par :
\begin{enumerate}
\item %26.a)
$a_{n} = \dfrac{1}{2\pi} \integ{0}{2\pi}{h(x) \cos{nx}}{x}$ et $b_{n} = \dfrac{1}{2\pi} \integ{0}{2\pi}{h(x) \sin{nx}}{x}$
\item %26.b)
$a_{n} = \dfrac{1}{\pi} \integ{0}{\pi}{h(x) \cos{2nx}}{x}$ et $b_{n} = \dfrac{1}{\pi} \integ{0}{\pi}{h(x) \sin{2nx}}{x}$
\item %26.c)
$b_{n} = 0$ et $a_{n} = \integ{0}{\pi}{h(x) \cos{2nx}}{x}$ car $h$ est paire
\item %26.d)
$a_{n} = 0$ et $b_{n} = \dfrac{2}{\pi} \integ{0}{\pi}{h(x) \sin{nx}}{x}$ car $h$ est impaire
\end{enumerate}


\item %Question 27
On a pour tout r{\'e}el $\lambda$ tel que $\abs{\lambda} < 1$
\begin{enumerate}
\item %27.a)
$h(x) = \dfrac{1}{1-\lambda^{2}} \left \{1 + 2 \somme{n=1}{+{\infty}}{\lambda^{n} \cos{nx}}\right \}$, $\forall x \in \R$
\item %27.b)
$h(x) = \dfrac{\pi}{1-\lambda^{2}} \left \{\dfrac{1}{2} + \somme{n=1}{+{\infty}}{\lambda^{n} \cos{nx}}\right \}$, $\forall x \in \R$
\item %27.c)
$h(x) = \dfrac{2}{1-\lambda^{2}} \somme{n=1}{+{\infty}}{\lambda^{n} \sin{nx}}$, $\forall x \in \R$
\item %27.d)
$\dfrac{1}{1-\lambda^{2}} \left \{1 + \somme{n=1}{+{\infty}}{2\lambda^{n} \cos{nx}}\right \} = \begin{array}{|lcl}
h(x) & \mbox{ pour } & x {\neq} k\pi, k \in \Z\\
0 & \mbox{ pour } & x=k\pi, k \in \Z \end{array}$
\end{enumerate}


\begin{center}\textbf{{\Large PARTIE III}}\end{center}


\framebox{\begin{minipage}{16 cm}
Soit $B = \left(e_{1}, e_{2}, e_{3}\right)$ la base canonique de $\R^{3}$ $\left(e_{1} = (1, 0, 0) ; e_{2} = (0, 1, 0) ; e_{3} = (0, 0, 1)\right)$, espace vectoriel sur $\R$
\end{minipage}}

\item %Question 28
La famille de vecteurs de $\R^{3}$ suivante forme une base $B_{1}$ de $\R^{3}$
\begin{enumerate}
\item %28.a)
$V_{1} = e_{1}$ ; $V_{2} = e_{2}$ ; $V_{3} = 3e_{1}$ ;
\item %28.b)
$V_{1} = e_{1}$ ; $V_{2} = e_{2} - e_{3}$ car les vecteurs sont lin{\'e}airement ind{\'e}pendants
\item %28.c)
$V_{1} = e_{1} + e_{2}$ ; $V_{2} = e_{2} - e_{3}$ ; $V_{3} = 2 e_{1} - e_{2} + 3 e_{3}$
\item %28.d)
$V_{1} = e_{1} + e_{2}$ ; $V_{2} = e_{2} - e_{3}$ ; $V_{3} = e_{1}$
\end{enumerate}


\framebox{\begin{minipage}{16 cm}
On consid{\`e}re l'endomorphisme $f$ de $\R^{3}$ qui, au triplet $(x, y, z)$ de $\R^{3}$, associe le triplet 

$(4x-5y-5z, 5x-6y-7z, -2x+2y+3z)$
\end{minipage}}


\item %Question 29
La matrice $A$ de $f$ dans la base $B$ s'{\'e}crit :
\begin{enumerate}
\item %29.a) et b)
$A = \matrice{4 & 5 & -2 \\ -5 & -6 & 2 \\ -5 & -7 & 3}$ \hfill b) $A = \matrice{5 & -6  & -7 \\ -2 & 2 & 3 \\ 4 & -5 & -5}$

et la matrice $A'$ de $f$ dans la base $B_{1}$ d{\'e}finie {\`a} la question 28 est de la forme :
\setcounter{enumii}{2}
\item $A' = \matrice{a & 0 & 3 \\ 0 & b & 2 \\ 0 & 0 & c}$ o{\`u} $a$, $b$, $c$ sont des r{\'e}els
\hfill d) $A'$ est diagonale \hfill\,
\end{enumerate}


\item %Question 30
Les valeurs propres de $A$ sont :
\begin{enumerate}
\item %30.a)
$-1$ et $1$ simples
\item %30.b)
$2$, $0$, $1$ simples
\item %30.c)
$-1$ simple et $1$ double
\item %30.d)
$-1$ et $1$ doubles
\end{enumerate}


\item %Question 31
L'endomorphisme $f$ est :
\begin{enumerate}
\item %31.a)
inversible car $0$ n'est pas valeur propre
\item %31.b)
non inversible car les valeurs propres ne sont pas toutes distinctes
\item %31.c)
non diagonalisable car une condition n{\'e}cessaire de diagonalisation est que toutes les valeurs propres soient simples
\item %31.d)
diagonalisable
\end{enumerate}


\item %Question 32
$P$ {\'e}tant la matrice de passage de la base $B$ {\`a} la base $B_{1}$ d{\'e}finie {\`a} la question 28, la matrice $A^{n}$, pour tout $n \in \N$, s'{\'e}crit :
\begin{enumerate}
\item %32.a)
$A^{n} = P^{-1} {A'}^{n} P$
\item %32.b)
$A^{n} = P^{-1} {A'}^{n}$
\item %32.c)
$A^{n} = \matrice{0 & 1 & 2^{n}+1 \\ 0 & 0 & -1 \\ (-1)^{n} & -1 & 3^{n}-2^{n}-1}$
\item %32.d)
$A^{2k} = \matrice{1 & 0 & 0 \\ 4k & 1 - 4k & -4k \\ -4k & 4k & 1+4k}$ si $n = 2k$

et $A^{2k+1} = \matrice{4 & -3 & -3 \\ 4k+5 & -4k-4 & 4k-5 \\ -4k-2 & 4k+2 & 4k+3}$ si $n = 2k+1$
\end{enumerate}


\begin{center}\textbf{{\Large PARTIE IV}}\end{center}

\framebox{\begin{minipage}{16 cm}
Soit $n$ un entier positif ou nul, on note $E_{n}$ l'espace vectoriel des polyn{\^o}mes {\`a} une ind{\'e}termin{\'e}e $X$ {\`a} coefficients r{\'e}els de degr{\'e} au plus {\'e}gal {\`a} $n$.

Il existe, pour tout $n \in \N$, un et un seul polyn{\^o}me $P_{n} \in E_{n}$ qui v{\'e}rifie

\centerline{$\forall x \in \R, \cos{(nx)} = P_{n}\left(\cos{x}\right)$}
\end{minipage}}

\item %Question 33
On a pour tout $n > 0$
\begin{enumerate}
\item %33.a)
$P_{n+1} + P_{n-1} = X P_{n}$
\item %33.b)
$P_{n+1} - P_{n-1} = 2 X P_{n}$
\item %33.c)
$P_{n} = \somme{0{\leq}2p{\leq}n}{}{(-1)^{p} \binomial{n}{p} X^{n-2p} \left(1-X^{2}\right)^{p}}$
\item %33.d)
$P_{n} = \somme{0{\leq}2p{\leq}n}{}{\binomial{n}{2p} X^{n-2p} \left(X^{2} - 1\right)^{p}}$
\end{enumerate}

\item %Question 34
Ces polyn{\^o}mes v{\'e}rifient pour tout $n$, $P'_{n}$ d{\'e}signant le polyn{\^o}me d{\'e}riv{\'e} de $P_{n}$
\begin{enumerate}
\item %34.a)
$P_{n}(0) = 1$ et $P_{n}$ est pair si $n$ est pair
\item %34.b)
$P_{n}(-1) = 0$ et $P_{n}$ est impair si $n$ est impair
\item %34.c)
$P_{2n}(0) = (-1)^{n}$ et $P'_{2n+1}(0) = (-1)^{n} (2n+1)$
\item %34.d)
$P_{n}(-1) = (-1)^{n}$ et $P'_{n}(-1) = 0$
\end{enumerate}


\item %Question 35
Pour $n > 0$, lorsque $x$ tend vers $+{\infty}$, la fonction polyn{\^o}me $P_{n}(x)$ est {\'e}quivalente {\`a}
\begin{enumerate}
\item %35.a)
$2^{n} x^{n}$
\item %35.b)
$2^{n-1} x^{n}$
\item %35.c)
$(n-1)! x^{n}$
\item %35.d)
$n! x^{n}$
\end{enumerate}


\item %Question 36
Les polyn{\^o}mes $P_{3}$ et $P_{4}$ sont 
\begin{enumerate}
\item %36.a)
$P_{3} = 4X^{3} - 3X$ et $P_{4} = 8X^{4} + 8X^{2} + 1$
\item %36.b)
$P_{3} = 4X^{3} + 3X$ et $P_{4} = 8X^{4} - 8X^{2} + 1$
\item %36.c)
$P_{3} = 3X^{3} - 4X$ et $P_{4} = 12X^{4} + 8X^{2} + 1$
\item %36.d)
$P_{3} = 6X^{3} - 4X$ et $P_{4} = 12X^{4} - 8X^{2} + 1$
\end{enumerate}


\framebox{\begin{minipage}{16 cm}
On note $M_{n}$ la matrice carr{\'e}e, {\`a} $n+1$ colonnes, dont la colonne num{\'e}ro $j+1$, pour tout $j$ entier compris entre $0$ et $n$, a pour coefficients les composantes du polyn{\^o}me $P_{j}$ dans la base canonique de l'espace $E_{n}$ des polyn{\^o}mes de degr{\'e} inf{\'e}rieur ou {\'e}gal {\`a} $n$ {\`a} coefficients r{\'e}els.
\end{minipage}}

\item %Question 37
Le d{\'e}terminant de la matrice $M_{n}$ vaut
\begin{enumerate}
\item %37.a)
$n!$
\item %37.b)
$2^{n-1}$
\item %37.c)
$2^{n(n+1)/2}$
\item %37.d)
$2^{n(n-1)/2}$
\end{enumerate}


\framebox{\begin{minipage}{16 cm}
On consid{\`e}re $\Phi_{n}$, l'endomorphisme de $E_{n}$ qui {\`a} tout polyn{\^o}me $P$ de $E_{n}$ associe le polyn{\^o}me $\Phi_{n}(P) = \left(X^{2} - 1\right) P'' + X P' + P(0)$ o{\`u} $P'$ et $P''$ d{\'e}signent les polyn{\^o}mes d{\'e}riv{\'e}s de $P$.

On d{\'e}signe par $B_{n}$ sa matrice dans la base canonique de $E_{n}$.
\end{minipage}}


\item %Question 38
La matrice $B_{n}$ est
\begin{enumerate}
\item %38.a)
triangulaire inf{\'e}rieure et $\det{(B_{n})} = n! (n-1)!$
\item %38.b)
triangulaire sup{\'e}rieure et $\det{(B_{n})} = n!$
\item %38.c)
diagonalisable et $\det{(B_{n})} = (n!)^{2}$
\item %38.d)
inversible et la matrice inverse est triangulaire sup{\'e}rieure
\end{enumerate}


\item %Question 39
Le polyn{\^o}me $P_{n}$ satisfaisant la relation $\cos{(nx)} = P_{n}\left(\cos{x}\right)$, v{\'e}rifie
\begin{enumerate}
\item %39.a)
$\Phi_{n}(P_{n}) = n P_{n} + 1$
\item %39.b)
$\Phi_{n}(P_{n}) = -n P_{n} + P_{n}(0)$
\item %39.c)
$\Phi_{n}(P_{n}) = n^{2} P_{n} + \cos{\left(n\pi/2\right)}$
\item %39.d)
$\Phi_{n}(P_{n}) = -n^{2} P_{n} + P_{n}(0)$
\end{enumerate}


\item %Question 40
On note $A_{n}$ la matrice de l'application $\Phi_{n}$ dans la base $\left(P_{0}, P_{1}, {\dots}, P_{n}\right)$ de $E_{n}$, on a
\begin{enumerate}
\item %40.a)
$A_{n} = M_{n} B_{n} M_{n}^{-1}$ et $A_{n}$ est une matrice diagonale
\item %40.b)
$A_{n} = M_{n}^{-1} B_{n} M_{n}$ et $A_{n}$ est une matrice triangulaire inf{\'e}rieure
\item %40.c)
Les seuls coefficients non nuls de $A_{n} = M_{n} B_{n} M_{n}^{-1}$ sont sur la diagonale principale et sur la premi{\`e}re ligne
\item %40.d)
Les seuls coefficients non nuls de $A_{n} = M_{n}^{-1} B_{n} M_{n}$ sont sur la diagonale principale et sur la premi{\`e}re ligne
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{document}
